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Envoyons en entrée d'un filtre passe-bas, un signal périodique dont on choisit la forme. Chaque harmonique constituant le signal est atténué et déphasé selon la loi donnée par la fonction de transfert du filtre. Pour un filtre passe-bas du premier ordre, cette fonction de transfert dépend de deux paramètres : le gain statique \(G_0\) et la fréquence de coupure haute \(\nu_c\). Cette simulation interactive permet de prévoir les caractéristiques du signal de sortie.

Exercices d'explorations

1. Choisir un signal sinusoïdal de fréquence 100 Hz. Mesurer le gain pour différentes valeurs de fréquences de coupure en partant de 10 Hz jusqu'à 1000 Hz, puis tracer le diagramme de Bode \(G_\text{dB}=f(\log(x))\) avec \(x=\nu/\nu_c\). Vérifier que le comportement est bien celui d'un filtre passe-bas du premier ordre.
2. Choisir un signal carré de 100 Hz. Fixer \(G_0=1\) et ajuster la fréquence de coupure à 10 Hz. Vérifier que le filtre agit comme un intégrateur. Expliquer.
3. En admettant que la réponse du filtre est assez bien décrite par la relation \[ s(t)=2\pi \nu_c\int_0^t e(t')\, \mathrm{d}t'+s(0) \] montrer que le signal triangulaire doit avoir une amplitude crête-crête égale à \[ s_\text{pp}=\frac{\pi \nu_c}{2\nu}e_\text{pp} \] Confronter avec le résultat de la simulation.

Méthode numérique utilisée

Le calcul de la tension de sortie est effectuée par synthèse de Fourier.

À partir de la décomposition de Fourier du signal d'entrée : \begin{equation} e(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+b_{n}\sin(n\, 2\pi \nu \, t) \quad\text{avec}\quad n\in \mathbb{N} \end{equation} on peut calculer le signal de sortie grâce à la fonction de transfert \(\underline{H}(\nu)\) du filtre. Si l'on pose \[ H^a_n=\mathrm{Re}\{\underline{H}(n\nu)\} \quad\text{et}\quad H_n^b=\mathrm{Im}\{\underline{H}(n\nu)\} \] alors le signal de sortie s'écrit \begin{equation} s(t)=H(0)a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}H_n^a+b_nH_n^b\right)\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+ \left(b_{n}H_n^a-a_nH_n^b\right)\sin(n\, 2\pi \nu \, t) \end{equation}