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On envoie en entrée d'un filtre passe-bande un signal périodique dont on choisit la forme. Chaque harmonique constituant le signal est atténuée et déphasée selon la loi donnée par la fonction de transfert du filtre. Cette fonction de transfert dépend de trois paramètres : le gain à la résonance \(G\), la fréquence de résonance \(\nu_0\) et le facteur de qualité \(Q\). Cette simulation interactive permet de prévoir les caractéristiques du signal de sortie.

Exercices d'explorations

1. Choisir un signal sinusoïdal de 100 Hz. Fixer \(Q=1\) et \(G_0=1\). Vérifier qu'il y a résonance lorsque la fréquence de coupure est à 100 Hz et que le signal de sortie est en phase avec le signal d'entrée.
2. Sélectionner un signal en dent de scie et déterminer la troisième composante de Fourier en ajustant les paramètres du filtra passe-bande à des valeurs adéquates.
   La théorie donne \[a_3=0 \quad\text{et}\quad b_3=-\frac{V_\text{pp}}{3\pi} \] Comparer avec votre résultat (il vaut mieux utiliser la valeur rms pour déduire l'amplitude de l'harmonique — savez-vous pourquoi ?).

Méthode numérique utilisée

Le calcul de la tension de sortie est effectuée par synthèse de Fourier.

Si l'on connaît la décomposition de Fourier du signal d'entrée : \begin{equation} e(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+b_{n}\sin(n\, 2\pi \nu \, t) \quad\text{avec}\quad n\in \mathbb{N} \end{equation} on peut calculer le signal de sortie à partir des coefficiens de Fourier \(a_n\) et \(b_n\) ainsi que la fonction de transfert \(\underline{H}(\nu)\) du filtre. Si l'on pose \[ H^a_n=\mathrm{Re}\{\underline{H}(n\nu)\} \quad\text{et}\quad H_n^b=\mathrm{Im}\{\underline{H}(n\nu)\} \] alors le signal de sortie s'écrit \begin{equation} s(t)=H(0)a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}H_n^a+b_nH_n^b\right)\cos(n\, 2\pi \nu\, t)+ \left(b_{n}H_n^a-a_nH_n^b\right)\sin(n\, 2\pi \nu \, t) \end{equation}