La simulation trace le trajet d'un point M le long d'une courbe paramétrique plane. À chaque instant, la base de Frenet et le cercle osculateur sont représentés. Le centre C du cercle osculateur est le centre de courbure, et son rayon est le rayon de courbure. Lorsque M parcourt la courbe, C décrit une courbe que l'on appelle, la développée (evolute en anglais).
Cinq trajectoires sont illustrées : l'ellipse, une courbe de Lissajous, la parabole, la cardioide et la néphroide.
Simulation
Built with Processing
Sélectionner dans le menu déroulant la trajectoire de votre choix.
Aspects théoriques
Supposons que l'on connaisse l'équation paramétrique (x(t),y(t)) de la trajectoire du point M. À un instant t donné, M présente un vecteur vitesse et un vecteur accélération donnés par
\[ \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix}\dot x\\ \dot y\\\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}\ddot x\\ \ddot y\\\end{pmatrix} \]Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire, il est facile de trouver un vecteur tangent unitaire
\[ \overrightarrow{\tau}= \frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot x\\ \dot y\\\end{pmatrix} \]où \(v\) désigne la norme du vecteur vitesse. Pour le vecteur normal, orienté dans le sens de la courbure, il s'écrit
\[ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{n}&=&\frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot y\\ -\dot x\\\end{pmatrix}&\text{si}&\ddot x\dot y-\dot x\ddot y>0 \\ \overrightarrow{n}&=&-\frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot y\\ -\dot x\\\end{pmatrix}&\text{si}&\ddot x\dot y-\dot x\ddot y<0\\ \end{array} \] D'après la formule de Frenet, on a \begin{equation} \overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{\tau}+\frac{v^2}{R}\,\overrightarrow{n} \end{equation}où \(R\) désigne le rayon de courbure. Multiplions vectoriellement le vecteur accélération par \(\overrightarrow{\tau}\) pour éliminer l'accélération tangentielle :
\[ \|\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{\tau}\|=\frac{v^2}{R} \]Ainsi, le rayon de courbure est donnée par
\begin{equation} R= \frac{v^3}{\left|\ddot x\dot y-\dot x\ddot y\right|} \end{equation}La position du centre de courbure C est telle que \[ \overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OM}}+R \overrightarrow{n} \] ce qui donne, en coordonnées cartésiennes :
\begin{equation} \left\{\begin{array}{rcl} x_\text{C} &=&x +\dfrac{\dot x^2+\dot y ^2}{\ddot x\dot y-\dot x\ddot y}\dot y \\ y_\text{C} &=&y -\dfrac{\dot x^2+\dot y ^2}{\ddot x\dot y-\dot x\ddot y}\dot x \\[4mm] \end{array}\right. \end{equation}Connaissant l'équation paramétrique de la courbe, on peut en déduire à chaque instant la position du centre de courbure.