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MENUSimuler pour apprendre

Un oscillateur à impact est un système déterministe simple qui présente la particularité de développer un comportement chaotique dans certaines conditions. En jouant sur la fréquence excitatrice, on observe une transition vers le chaos via un scénario qui fait apparaître une cascade de sous harmoniques.
Dans cette simulation, l'oscillateur présente une fréquence propre de 1 Hz. Un coefficient d'amortissement fluide est ajustable (λ) ainsi que le coefficient de restitution (r) lors de l'impact de la masse sur le support placé à la position de repos.

Simulation

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Exercices d'explorations

  1. Eteindre le moteur et attendre que le pendule soit au repos. Fixer \(\lambda=0,3\,\mathrm{Hz}\) et \(f=2\,\mathrm{Hz}\) (le double de la fréquence propre). Observer l'amplification de l'amplitude. Quelle amplitude aurait-on obtenu sans la présence de l'obstacle ?
  2. Fixer \(f=2,7\,\mathrm{Hz}\) et observer le comportement chaotique du pendule élastique.

Méthode numérique utilisée

Si l'on note \(x\) le déplacement (vers le bas) du pendule élastique à partir de sa position d'équilibre, alors la dynamique du système est décrite par les équations :

\begin{align} \ddot x+2\lambda\dot x+{\omega_0}^2 x={\omega_0}^2e(t)\quad\text{si }x\lt 0\label{eq:equaddiff}\\ \dot x^+=-r\dot x^-\quad\text{si }x=0\label{eq:impact}\\ \end{align}

L'équation \eqref{eq:equaddiff} traduit le mouvement du pendule soumis au déplacement \(e(t)\) de la liaison à l'excitateur ; \(\omega_0\) est la pulsation propre du pendule et \(\lambda\) un coefficient d'amortissement pour tenir compte des frottements (que l'on suppose linéaires en vitesse). L'équation \eqref{eq:impact} traduit le rebond inélastique lors de l'impact de la masse sur la paroi fixée en \(x=0\). \(\dot x^+\) est la vitesse de la masse juste après le choc alors que \(\dot x^-\) est celle juste avant.

Cette équation différentielle est intégrée numériquement via la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4[1] avec un pas correspondant à 20ms.

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Pour en savoir plus...

  1. J. Roussel Méthodes de Runge-Kutta[en ligne], 2016. Disponible sur femto-physique.fr
  2. J. Roussel Oscillateurs mécaniques[en ligne], 2014. Disponible sur femto-physique.fr
  3. J.S. Walker, T. Soule Chaos in a simple impact oscillator: The Bender bouncer American Journal of Physics vol. 64, p397-409, 1996