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Écartons un pendule simple de sa position d'équilibre, puis lâchons-le. On observe des oscillations angulaires amorties régies par l'équation différentielle non linéaire suivante : \begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+2\lambda\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+{\omega_0}^2\sin(\theta)=0 \label{eq:equaddiffpendulesimple} \end{equation} où \(\omega_0=\sqrt{g/\ell}\) est la pulsation propre du pendule et \(\lambda\) le coefficient d'amortissement (par soucis de simplicité, on a choisit un frottement proportionnel à la vitesse angulaire)

La simulation illustre le cas d'un pendule simple pour lequel la pulsation propre est fixée à \(2\pi\) et \(\lambda\) choisi par l'utilisateur. Par défaut, l'évolution du pendule simple est décrite dans l'espace \((\theta,\dot\theta)\), qu'on nomme l'espace des phases. Dans cet espace, un point représentatif de l'état du pendule est repéré par le vecteur position \(\overrightarrow{r}=(\theta,\dot\theta)^T\). Au cours du temps, ce vecteur décrit une trajectoire de phase dont l'équation est donnée par \[ \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{bmatrix}\theta \\ \dot \theta\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\dot \theta \\ -2\lambda\dot \theta-{\omega_0}^2\sin(\theta) \end{bmatrix}= \overrightarrow{F}(\theta,\dot\theta) \] La simulation trace également la carte de champ de \(\overrightarrow{F}(\theta,\dot\theta)\), champ vectoriel qui s'interprète comme un champ de vitesse associé au système dynamique.

Simulation

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Un clic dans l'espace des phases permet de fixer les conditions initiales. On peut aussi agir sur le pendule si on veut seulement lâcher le pendule dans une configuration particulière. Presser S pour faire une copie d'écran.

version plein écran

Exercices d'explorations

  1. Fixer, \(\lambda=0\), puis observer la trajectoire de phase pour un pendule lâché avec un petit angle : quelle courbe obtient-t-on ? Montrer à l'aide de la conservation de l'énergie que la courbe a pour équation \[ \left(\frac{\dot \theta}{\omega_0\theta_\text{max}}\right)^2+\left(\frac{\theta}{\theta_\text{max}}\right)^2= 1 \]
  2. Comment évolue la trajectoire de phase quand l'énergie augmente ? Obtient-on toujours un cycle ?
  3. Observer \(\theta=f(t)\). Partir de 179° et compter le nombre d'oscillations à l'écran. Faire la même chose pour un angle de 30°. La période dépend-elle de l'angle initial ? Dans quel sens ?
  4. Fixer maintenant un coefficient d'amortissement non nul. Comment cela affecte-til la trajectoire de phase ? Interpréter.

Méthode numérique utilisée

L'équation différentielle \eqref{eq:equaddiffpendulesimple} est intégrée numériquement via la méthode de Verlet[1].

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Pour en savoir plus...

  1. J. Roussel La méthode de Verlet[en ligne], 2014. Disponible sur femto-physique.fr