ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE

Le transport d'énergie par un champ électromagnétique se manifeste dans des phénomènes aussi variés que la propagation de la lumière, le fonctionnement des circuits électriques ou la radio télécommunication. Comprendre comment cette énergie est stockée, transférée ou convertie constitue le propos de ce cours.

Puissance cédée par le champ électromagnétique

Expression mathématique

Considérons une distribution \(\mathcal{D}\) de charges et de courants, caractérisée par les champs \((\rho_e,\overrightarrow{j_e})\), en présence d'un champ électromagnétique \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B})\). Ce dernier agit sur la distribution \emph{via} la force de Lorentz

\[ \overrightarrow{F}=q\,\overrightarrow{E}+q\,\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B} \]

Cherchons à exprimer la puissance mécanique de cette force. Pour cela, isolons un petit volume mésoscopique \( \mathrm{d}\tau\) situé en M, lequel subit la force

\[ \overrightarrow{\mathrm{d}F} = \rho_e \mathrm{d}\tau\, \overrightarrow{E} + \rho_e \mathrm{d}\tau\,\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B} \]

Cette force transfère aux charges une puissance mécanique

\[ \mathrm{d}\mathcal{P} = \overrightarrow{\mathrm{d}F}\cdot \overrightarrow{v} = \rho_e \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{v}\;\mathrm{d}\tau = \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\;\mathrm{d}\tau \]

Dans cette formule \(\rho_e\) désigne la densité des porteurs de charge mobiles, car les autres subissent une force qui ne travaillent pas.

Après sommation sur toute la distribution, on obtient

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \underbrace{\mathcal{\;P\;}}_\text{W} = \iiint_{\mathcal{D}} \underbrace{\;\overrightarrow{j_e}\cdot\overrightarrow{E}\;}_\mathrm{W.m^{-3}}\;\mathrm{d}\tau \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

La grandeur \(p=\overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\) désigne la puissance volumique (en W.m^-3) cédée par le champ électromagnétique à la distribution de charges et de courants.

Cette expression reste correcte même si le mouvement des particules est relativiste.

Exemple: le cylindre conducteur

Supposons un conducteur ohmique cylindrique de longueur \(\ell\) et de section droite \(s\), traversé par un courant axial stationnaire et uniforme, d'intensité \(I\). Ce courant est lié à l'existence d'un gradient de potentiel au sein du conducteur. En effet, en vertu de la loi d'Ohm locale, on a

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{j_e}=-\gamma \;\overrightarrow{\text{grad}}V=\gamma \overrightarrow{E} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

où \(\gamma\) est la conductivité électrique du conducteur (en Ω.m^-1). Le gradient de potentiel est imposé par une source de tension. La puissance cédée par le champ électrique au conducteur s'écrit

Cylindre conducteur traversé par un courant stationnaire et uniforme d'intensité I — Cylindre conducteur traversé par un courant stationnaire et uniforme d'intensité \(I\).

\[ \mathcal{P} = \iiint_{\mathcal{D}} \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\; \mathrm{d}\tau = \iiint_{\mathcal{D}} \frac{{j_e}^2}{\gamma}\; \mathrm{d}\tau = \frac{{j_e}^2}{\gamma}\iiint_{\mathcal{D}} \mathrm{d}\tau = \frac{{j_e}^2}{\gamma}\ell s \]

où les dernières relations utilisent le fait que le conducteur est homogène et le courant uniformément réparti. Le courant étant axial, on a \(I=j_es\) de sorte que la puissance cédée s'écrit

\[ \mathcal{P}=\frac{\gamma \ell}{s}I^2 \]

On reconnaît la célèbre formule de l'effet Joule pour un fil conducteur :

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \mathcal{P}=RI^2 \quad\text{avec}\quad R=\frac{1}{\gamma}\frac{\ell}{s} \quad\text{en }\Omega \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

Un bilan thermodynamique sur le conducteur entre deux instants, donne

\[ \Delta H=Q+W_\text{elec} \quad\text{soit}\quad \int_{T_1}^{T_2} mc_p \mathrm{d}T = Q+RI^2\Delta t \]

On voit donc que si la température du conducteur est maintenue constante, on a \(\Delta H=0\) et \(Q=-RI^2 \Delta t\). Toute l'énergie électrique est dissipée sous forme de chaleur. C'est ce que l'on appelle le chauffage par effet Joule.

La formule \(\mathcal{P}=RI^2=\iiint \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\; \mathrm{d}\tau\) est une définition énergétique de la résistance d'un conducteur siège de courants électriques.

Exercice

Un cylindre conducteur creux de conductivité \(\gamma\), de hauteur \(h\), de diamètres intérieur et extérieur respectivement \(d_1\) et \(d_2\), est alimenté par un générateur qui maintient une tension constante entre la surface intérieure et extérieure. Quelle est sa résistance ?

\(R=\dfrac{\ln(d_2/d_1)}{\gamma 2\pi h}\).

Bilan d'énergie électromagnétique

Quelle forme doit prendre ce bilan ?

Considérons un volume V limité par une surface S. Ce volume contient éventuellement des charges électriques et un champ électromagnétique \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B})\). Supposons que l'on puisse associer au champ électromagnétique une énergie. Appelons \(U_\text{em}\) une telle énergie électromagnétique contenue dans V. Comme l'énergie est une grandeur extensive, on peut écrire

\[ \underbrace{\;U_\text{em}\;}_\mathrm{en~J} = \iiint_\text{V}\underbrace{\;u_\text{em}\;}_\mathrm{en~W.m^{-3}}\;\mathrm{d}\tau \]

L'énergie électromagnétique \(U_\text{em}(t)\) peut varier au cours du temps pour deux raisons non exclusives :

Volume V limité par la surface fermée S et contenant un domaine matériel D — Volume V limité par la surface fermée S et contenant un domaine matériel \(\mathcal{D}\).

soit le champ électromagnétique perd de l'énergie en en cédant à la matière ;
soit par échange d'énergie électromagnétique entre le milieu extérieur et le volume V. On parle de transfert radiatif. Notons \(\phi_\text{r}\) un tel flux d'énergie (en W) en le comptant positivement lorsqu'il sort du volume V.

Ainsi, un bilan d'énergie électromagnétique doit se traduire par une relation du type

\[ \frac{\mathrm{d}U_\text{em}}{\mathrm{d} t}=-\mathcal{P}-\phi_\text{r} \quad\text{avec}\quad \mathcal{P}=\iiint_{V} \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\;\mathrm{d}\tau \]

\(\mathcal{P}\) est calculée en intégrant sur V puisque \(\overrightarrow{j_e}=\overrightarrow{0}\) pour tout M \(\notin \mathcal{D}\).

Le transfert radiatif a lieu à travers la surface fermée S ; on peut donc supposer qu'il s'exprime comme le flux d'un vecteur densité courant d'énergie que nous notons \(\overrightarrow{R}\), comme :

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \underbrace{\;\phi_\text{r}\;}_\text{W} = \oiint_\text{S} \underbrace{\;\overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\;}_\mathrm{W.m^{-2}} \; \mathrm{d}S \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

Reprenons le bilan d'énergie :

\[ \iiint_\text{V} \frac{\partial u_\text{em}}{\partial t}\; \mathrm{d}\tau =-\iiint_\text{V} \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\; \mathrm{d}\tau -\oiint_\text{S} \overrightarrow{R}\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\; \mathrm{d}S \]

ce qui donne après utilisation du théorème de la divergence

\[ \iiint_\text{V} \frac{\partial u_\text{em}}{\partial t}\; \mathrm{d}\tau =-\iiint_\text{V} \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}\; \mathrm{d}\tau -\iiint_\text{V} \text{div}\overrightarrow{R}\; \mathrm{d}\tau \quad\forall{V} \]

Il en découle la relation

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \text{div}(\overrightarrow{R})+\frac{\partial u_\text{em}}{\partial t}=- \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

Il s'agit de la forme locale qui traduit le bilan d'énergie électromagnétique. Il nous reste à montrer que les équations de Maxwell aboutissent bien à cette forme et, en prime, à obtenir les expressions de \(u_\text{em}\) et \(\overrightarrow{R}\).

Théorème de Poynting

Écrivons les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday

\[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\, \overrightarrow{j_e} +\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E} = -\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \]

Multiplions la première relation par \(\overrightarrow{E}/\mu_0\) et la seconde par \(\overrightarrow{B}/\mu_0\), puis soustrayons-les. On obtient

\[ \frac{\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}-\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}}{\mu_0}=\overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E} + \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\epsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right) \]

Or, l'analyse vectoriel donne \(\text{div}\left(\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}\right)=\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}-\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}\). On en déduit la relation

\[ \text{div}\left(\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{\mu_0}\right)+ \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\epsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right) = - \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E} \]

Cette équation est bien de la même forme que la relation(5). Cette relation est appelée théorème de Poynting. Par identification, on en déduit

Théorème de Poynting

\[ \underbrace{u_\text{em}=\frac{\epsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}}_{\substack{\text{densité volumique}\\ \text{d'énergie électromagnétique}}} \quad\text{et}\quad \underbrace{\overrightarrow{R}=\frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{\mu_0}}_{\substack{\text{densité de courant d'énergie}\\ \text{dit \textbf{vecteur de Poynting}}}} \]

Le choix du couple \((u_\text{em},\overrightarrow{R})\) n'est pas unique, et nous avons opté pour la solution la plus simple. L'important est que ce choix permet d'effectuer un bilan énergétique cohérent.

Le théorème de Poynting montre ainsi que :

l'on peut associer au champ électromagnétique une énergie ;
son transport s'effectue dans une direction perpendiculaire à \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\);
l'énergie électromagnétique ne se conserve pas en général, car \(\text{div}\overrightarrow{R}+\partial u_\text{em}/\partial t \neq 0\). En revanche, l'énergie totale, conformément au premier principe de la thermodynamique, se conserve.

Propagation de l'énergie dans le vide

Transport de l'énergie

Une onde plane électromagnétique se propageant dans le vide est capable de transporter de l'énergie sous forme électromagnétique. Voyons cela en déterminant le vecteur de Poynting associé à une OPPH.

Rappelons la structure d'une onde plane dans le vide : le champ électromagnétique est transversale, le trièdre \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{k})\) est direct, et \(B(\text{M},t)=E(\text{M},t)/c\). Ainsi, pour une OPPH de vecteur d'onde \(\overrightarrow{k}=k\; \overrightarrow{u}\), le transport d'énergie est décrit par le vecteur de Poynting suivant :

\[ \overrightarrow{R} = \frac{\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B}}{\mu_0} = \frac{EB}{\mu_0}\;\overrightarrow{u} = \epsilon_0c E^2\;\overrightarrow{u} \quad\text{avec}\quad \mu_0\epsilon_0c^2=1 \]

Le courant d'énergie est dirigé selon la direction de propagation.

Dans le domaine optique, ce que l'on appelle rayons lumineux est tout simplement l'ensemble des lignes de courant d'énergie. Donc une onde plane monochromatique peut être décrite par un ensemble de rayons parallèles transportant de l'énergie électromagnétique.

Éclairement d'une onde plane

L’ énergétique \(E_\text{e}\) quantifie la puissance d'un rayonnement électromagnétique par unité de surface perpendiculaire à sa direction. Elle s'exprime donc en W.m^-2.

En général, le récepteur a un temps de réponse beaucoup plus grand que la période du phénomène électromagnétique reçu, de sorte qu'il est sensible au flux moyen reçu. C'est pourquoi, on définit l'éclairement comme une densité surfacique de puissance moyenne :

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle E_\text{e} \stackrel{\text{def}} = \frac{\langle \mathrm{d}\phi_\text{r}\rangle}{\mathrm{d}S}= \langle\overrightarrow{R}\rangle \cdot \overrightarrow{n} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

Eclairement d'un capteur par une onde électromagnétique.

où \(\overrightarrow{n}\) est la normale à l'élément de surface.

Pour une onde plane, arrivant en incidence normale sur un capteur plan, on trouve

\[ E_\text{e} = \langle\overrightarrow{R}\rangle \cdot \overrightarrow{n} = \langle\epsilon_0c E^2 \;\overrightarrow{u}\rangle\cdot \overrightarrow{u} = \epsilon_0 c \langle E^2 \rangle \]

On justifie ainsi le choix que nous avons fait en optique ondulatoire, d'attribuer à une onde lumineuse une intensité proportionnelle au carré moyen de l'onde[3].

Pour une onde plane harmonique, le champ électrique associé est de la forme \(E=E_0\cos(\omega t -\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{\text{OM}}+\varphi)\) dont le carré moyen vaut simplement \({E_0}^2/2\). Dans ce cas, on trouve

\[ E_\text{e} = \frac12 \epsilon_0 c {E_0}^2 \]

Attention aux notations : \(E_\text{e}\) est l'éclairement énergétique en W.m^-2, et \(E_0\) l'amplitude du champ électrique en V.m^-1.

Dans le vide, l'éclairement d'une OPPH est directement relié à l'amplitude du champ électrique.

Exercice

L'éclairement solaire à la surface de la Terre est de l'ordre de 1.10³ W.m^-2. En déduire les amplitudes du champ électromagnétique associé à ce rayonnement.

Le vecteur de Poynting moyen présente la propriété d'être à flux conservatif dans tout espace exempt de matière. En effet, dans le vide le théorème de Poynting devient

\[ \text{div}(\overrightarrow{R})+\frac{\partial u_\text{em}}{\partial t} = - \overrightarrow{j_e}\cdot \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0} \quad\text{car}\quad \overrightarrow{j_e}=\overrightarrow{0} \]

Si nous moyennons sur le temps, on a \(\langle \partial u_\text{em}/\partial t\rangle=0\) d'où

\[ \text{div}\langle\overrightarrow{R}\rangle=0 \quad\text{soit}\quad \oiint_\text{S} \langle\overrightarrow{R}\rangle\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}=0 \]

où S est une surface fermée qui ne doit pas pas contenir de matière.

En effet, la moyenne temporelle de la dérivée d'une grandeur continue et périodique vaut :

\begin{equation} \begin{split} \Big\langle \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\Big\rangle &= \frac{1}{T}\int_0^T \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}\; \mathrm{d}t\\ &=f(t+T)-f(t)=0 \end{split} \notag \end{equation}

Exemple — Éclairement d'une étoile

Une étoile rayonne une puissance électromagnétique \(\mathcal{P}\) de façon isotrope. Considérons le volume exempte de matière enfermée entre la sphère S₁ de rayon \(r_1\) et la sphère S₂ de rayon \(r_2>r_1\). Notons \(E_\text{e,1}\) l'éclairement reçu par S₁ et \(E_\text{e,2}\) celui reçu par S₂. Le fait que \(\langle \overrightarrow{R}\rangle\) soit à flux conservatif se traduit par

\[ E_\text{e,1}4\pi {r_1}^2=E_\text{e,2}4\pi {r_2}^2 \]

Autrement dit, le produit \(r^2\,E_\text{e}\) est constant. L'éclairement d'une étoile décroit ainsi en \(1/r^2\) et l'amplitude du champ électrique diminue comme \(1/r\).

Vitesse de transport

À chaque fois qu'une grandeur physique \(G\) est transporté, on peut définir un vecteur courant \(\overrightarrow{j_G}\) qui se met sous la forme

\[ \overrightarrow{j_G}=g\; \overrightarrow{v_G} \]

où \(g\) désigne la densité volumique associée à la grandeur \(G\) et \(\overrightarrow{v_G}\) la vitese de transport. On peut par exemple penser au courant électrique \( \overrightarrow{j_e}=\rho_e\; \overrightarrow{v}\).

Ici, on s'intéresse au transport de l'énergie électromagnétique, et le courant associé est le vecteur de Poynting. On doit pouvoir écrire

\[ \overrightarrow{R}=u_\text{em}\; \overrightarrow{v_E} \]

où \(\overrightarrow{v_E}\) désigne la vitesse de transport de l'énergie électromagnétique. Pour une onde plane, on a vu que \(\overrightarrow{R}=\epsilon_0c E^2\;\overrightarrow{u}\). Calculons la densité d'énergie électromagnétique que transporte l'onde :

\[ u_\text{em}=\frac12 \epsilon_0E^2+\frac12 \frac{B^2}{\mu_0}= \frac12 \epsilon_0E^2+\frac12 \frac{E^2}{\mu_0 c^2}=\epsilon_0E^2 \]

On constate que les contributions magnétique et électrique se répartissent à part égale dans la densité d'énergie électromagnétique. De plus, on en déduit

\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{v_E}=\frac{\overrightarrow{R}}{u_\text{em}}=c \; \overrightarrow{u} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

L'énergie se propage à la même vitesse que l'onde. Pour résumer, dans le vide on a

\[ v_\varphi=v_\text{g}=v_E=c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} \]

Dans les milieux transparents (non absorbants) la vitesse de transport de l'énergie se confond avec la vitesse de groupe. Ça n'est plus le cas dans les milieux absorbants.

Retour sur les interférences

Envoyons deux ondes électromagnétiques planes, harmoniques et synchrones (pulsation \(\omega\)) sur un récepteur en incidence quasi normale. Notons \(\overrightarrow{E_1}\) et \(\overrightarrow{E_2}\) les champs électriques associés à ces deux ondes. En un point M du récepteur, l'éclairement s'écrit

\begin{equation} \begin{split} E_\text{e}&=\epsilon_0c\langle(\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2})^2\rangle\\ &=\epsilon_0c\langle{E_1}^2\rangle + \epsilon_0c\langle{E_2}^2\rangle + 2\epsilon_0c\langle \overrightarrow{E_1}\cdot\overrightarrow{E_2}\rangle \end{split} \end{equation}

Si les deux ondes sont dans le même état de polarisation, alors

\begin{equation} \begin{split} \overrightarrow{E_1}(\text{M},t)&=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\,\overrightarrow{u} \quad\text{et}\quad \\ &\overrightarrow{E_2}(\text{M},t)=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)\,\overrightarrow{u} \end{split} \end{equation}

Notons \(E_\text{e,1}\) l'éclairement de la première onde lorsqu'elle éclaire seule le récepteur, et \(E_\text{e,2}\) celui de la seconde. Lorsque les deux ondes éclairent simultanément le récepteur, l'éclairement vaut

\[ E_\text{e} = E_\text{e,1} + E_\text{e,2} + 4\sqrt{E_\text{e,1}E_\text{e,2}}\langle \cos(\omega t+\varphi_2)\cos(\omega t+\varphi_1)\rangle \]

\[ \text{on a}\quad\left\{\begin{array}{rcl} E_\text{e,1}&=&\dfrac12\epsilon_0 c {A_1}^2\\[2mm] E_\text{e,2}&=&\dfrac12\epsilon_0 c {A_2}^2\\ \end{array}\right. \]

Sachant que \(\langle 2\cos(\omega t+\varphi_2)\cos(\omega t + \varphi_1)\rangle=\cos(\varphi_2-\varphi_1)\), on en déduit

\[ E_\text{e} = E_\text{e,1} + E_\text{e,2} + 2\sqrt{E_\text{e,1}E_\text{e,2}}\cos(\varphi_2-\varphi_1) \]

On retrouve le phénomène d'interférence avec une formule identique à celle vue en optique ondulatoire[4]. Cependant, on voit ici que du fait du caractère vectoriel de l'onde électromagnétique, la relation suppose le même état de polarisation.

Sinon, il faut tenir compte de l'angle entre \(\overrightarrow{E_1}\) et \(\overrightarrow{E_2}\). La formule générale est donc plutôt

\[ E_\text{e} = E_\text{e,1} + E_\text{e,2} + 2\sqrt{E_\text{e,1}E_\text{e,2}}\cos(\varphi_2-\varphi_1)\; \langle \overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\rangle \]

Ainsi, on ne peut pas observer d'interférence quand \(\langle\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\rangle=0\), ce qui correspond, par exemple, aux situations suivantes :

les deux ondes sont polarisées rectilignement selon deux directions perpendiculaires \((\overrightarrow{u_1}\perp \overrightarrow{u_2})\);
une onde est polarisée rectilignement et l'autre circulairement, car \(\langle \overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\rangle=\langle \cos(\omega t+\varphi_0)\rangle=0\) ;
les deux ondes sont polarisées circulairement, l'une à gauche l'autre à droite, car \(\langle \overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\rangle=\langle \cos(2\omega t+\varphi_0)\rangle=0\).

Si l'une des deux ondes présente une polarisation aléatoire (onde non polarisée), on a forcément \(\langle \overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\rangle=0\), mais dans ce cas celle-ci n'est pas strictement harmonique.

Pour en savoir plus...

H. Gié et J.P. Sarmant Electromagnétisme, volume 1 et 2Collection des sciences physiques, Technique et documentation, Lavoisier, 1985.
R. Feynman The Feynman Lectures on Physics, Volume II, chap. 27[en ligne], disponible sur feynmanlectures.caltech.edu
J. Roussel Modèle scalaire de la lumière[en ligne], 2017, disponible sur femto-physique.fr
J. Roussel Interférence à deux ondes[en ligne], 2017, disponible sur femto-physique.fr