Cours d'Électromagnétisme

La détermination de l'auto-inductance $L$ d'un solénoïde ne pose pas de gros problèmes expérimentaux. Associée à un conducteur ohmique et un condensateur, la bobine forme un oscillateur électrique dont la résonance est couramment illustrée dans le secondaire. Rappelons que la fréquence de résonance (résonance d'intensité) $$f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$ permet de déduire $L$ si la capacité $C$ du condensateur est connue ( voir par exemple le TP Modélisation d'une bobine sur physique.ensc-rennes.fr). Le calcul théorique est quant à lui beaucoup plus délicat. On propose ici une méthode basée sur le calcul de la mutuelle inductance entre deux spires. Il en ressort une formule faisant intervenir des sommes, facile à implémenter dans un programme.

Couplage entre deux spires

Avant de s'intéresser au solénoïde, commençons par étudier le couplage électromagnétique entre deux spires circulaires coaxiales parcourues par un courant électrique.

Inductance mutuelle entre deux spires

Considérons deux spires filiformes, l'une de diamètre $D_1$, l'autre de diamètre $D_2$, et séparées par la distance $d_{12}$. Parcourue par un courant électrique (d'intensité respectives $I_1$ et $I_2$), chaque spire génère un flux magnétique à travers l'autre spire. Appelons $\phi_{1\to2}$ le flux magnétique produit par la spire 1 à travers la spire 2. On montre facilement que $$\phi_{1\to2}=M\, I_1 \quad\text{et}\quad \phi_{2\to1}=M\, I_2$$ où $M$, appelée inductance mutuelle, traduit le couplage électromagnétique entre les spires. En général, $M$ dépend de la géométrie des circuits en interaction et de leur position relative. Ici, $M$ est fonction de $D_1,$ $D_2$ et $d_{12}$.

Le calcul exact[1]fait intervenir les intégrales elliptiques complètes $K$ et $E$ définies par $$K(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-x^2\sin^2\varphi}} \quad\text{et}\quad E(x)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-x^2\sin^2\varphi}\,\mathrm{d}\varphi$$ Maxwell a établit le résultat suivant : $$\begin{split} M(D_1,D_2,d_{12})=\mu_0\sqrt{D_1D_2}\,\frac{K(x)-E(x)}{\sqrt{x}}\\ \quad\text{avec}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{r_1-r_2}{r_1+r_2}\\[2mm] {r_1}^2&=&{d_{12}}^2+\frac14\left(D_1+D_2\right)^2\\[2mm] {r_2}^2&=&{d_{12}}^2+\frac14\left(D_1-D_2\right)^2\\ \end{array}\right. \end{split}$$

Calcul de E et K

Les intégrales elliptiques sont des fonctions paires définies sur l'intervalle ]-1,1[ et on les représente traditionnellement sur l'intervalle [0,1[. Sur cet intervalle $K(x)$ est une fonction croissante et divergente en $x=1$, alors que $E(x)$ décroit entre $\pi/2$ et 1.

Sous Python, les fonctions $K$ et $E$ se trouvent dans la bibliothèque scipy. On les appelle à l'aide des syntaxes respectives scipy.special.ellipk et scipy.special.ellipe. Plus exactement, il s'agit des fonctions $$K(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-m\sin^2\varphi}} \quad\text{et}\quad E(m)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2\varphi}\,\mathrm{d}\varphi$$ Le code ci-dessous permet de tracer les graphes de la Fig. 2.

Code Python

	import numpy as np
	import scipy as sp
	from scipy import special 
	import matplotlib.pyplot as plt
	xx=np.linspace(0,2,1000)
	plt.plot(xx, sp.special.ellipk(xx**2),label='K(x)')
	plt.plot(xx, sp.special.ellipe(xx**2),label='E(x)')
	plt.yticks([1,np.pi/2,2,3,4],labels=[1,'\(\pi/2\)',2,3,4])
	plt.legend()
	plt.grid()
	plt.xlabel('x')
	

Si les fonctions elliptiques ne sont pas implémentées dans le langage que l'on utilise pour faire des calculs, on peut bien sûr approcher ces intégrales par les méthodes classiques d'intégration numériqueMéthodes du rectangle à gauche, du rectangle à droite, du trapèze, méthode de Simpson, etc.. Il existe cependant une manière beaucoup plus efficace et simple à programmer qui repose sur la suite arithmético-géométrique[4]. L'algorithme suivant retourne, après quelques itérations seulement, le résultat $K(x)-E(x)$ avec un niveau de précision fixé par $\epsilon_0$.

Auto-inductance d'une spire

L'auto-inductance $L$ est liée au flux magnétique $\phi$ généré par un circuit sur lui même, via la relation : $\phi=L \,I$. Par conséquent on peut considérer que $L$ est une mutuelle inductance entre deux circuits identiques confondus. Dans le cas d'une spire circulaire de diamètre $D$, on a $$L=\lim_{d\to 0} M(D,D,d)= \lim_{x\to 1}\mu_0 D\frac{K(x)-E(x)}{\sqrt{x}}=\infty$$ Effectivement, à cause du caractère filiforme de la spire, le champ magnétique diverge au voisinage du fil conducteur, et l'énergie magnétique aussi : $$W_m=\frac12 LI^2=\iiint_\text{espace}\frac{B^2}{2\mu_0}\, \mathrm{d}\tau=\infty$$ En réalité, l'auto-inductance d'une spire est finie du fait de l'épaisseur non nulle du fil qui le constitue. Si l'on note $e$ cette épaisseur, une bonne approximation de $L$ est donnée par la formule de Kirchhoff : $$L=\mu_0 D\left[\frac12 \ln\left(\frac{8D}{e}\right)-\frac78\right]$$ Cette formule suppose une spire de section circulaire traversée par un courant uniformément réparti sur la section. De plus l'épaisseur du fil doit être faible devant le diamètre $D$ de la spire.

Applications aux solénoïdes

Bobine monocouche

Considérons un solénoïde, constitué par un fil conducteur d'épaisseur $e$, de section circulaire, enroulé sur un cylindre de diamètre $D_0$. Après $N$ tours, la bobine fait une longueur $L$.

En pratique, l'épaisseur du fil est souvent faible devant le diamètre $D_0$ de sorte que l'on peut négliger l'hélicité de l'enroulement, et considérer la distribution de courant équivalente à $N$ spires circulaires, coaxiales et jointivesSi l'on tient compte de l'épaisseur e' de l'isolant entourant le fil conducteur, la distance qui sépare deux spires voisines vaut e + 2e'. Pour notre propos nous négligerons e' devant e..

Alimentée par un courant d'intensité $I$, chaque spire produit un flux magnétique à travers les autres et elle-même. Le flux total $\phi$ qui traverse toutes les spires s'écrit $$\phi=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^N \phi_{i\to j}= \sum_{i=1}^N\phi_{i\to i}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq i}^N \phi_{i\to j}$$ où $\phi_{i\to i}$ représente le flux propre de la $i$-ème spire et $\phi_{i\to j}$ le flux engendré par la $i$-ème spire sur la $j$-ième. Toutes les spires étant de même épaisseur et de même diamètreOn note D₁ = D₀ + e ce diamètre., on a $$\phi_{i\to i}=L I \quad\text{avec}\quad L=\mu_0 D_1\left[\frac12 \ln\left(\frac{8D_1}{e}\right)-\frac78\right]$$ et $$\phi_{i\to j}=\phi_{j\to i}=M(D_1,D_1,|j-i|e)\,I$$ Par conséquent, le flux magnétique qui traverse la bobine s'écrit $$\phi=\left[NL+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq i}^N M(D_1,D_1,d_{ij})\right]I = \left[NL+2\sum_{i=1}^{N}\sum_{j>i} M(D_1,D_1,d_{ij})\right]I$$ On peut encore simplifier l'expression car la mutuelle inductance entre deux spires ne dépend que de la distance qui les sépare. On décompte $N-1$ paires de spires séparées de $e$, $N-2$ paires de spires séparées de $2e$,..., $N-i$ paires séparées de $ie$. Finalement, le flux magnétique s'écrit $$\phi= \left[NL+2\sum_{\ell=1}^{N-1} (N-\ell)M(D_1,D_1,\ell\,e)\right]\, I= L_\text{bobine}\,I$$ On en déduit la formule donnant l'auto-inductance d'une bobine mono-couche : $$\begin{equation} \boxed{L_\text{bobine}=NL+2\sum_{\ell=1}^{N-1} (N-\ell)M(D_1,D_1,\ell\,e)} \end{equation}$$ Relation d'autant plus juste que l'épaisseur $e$ est faible devant le diamètre du solénoïde.

Bobine multicouche

On réalise une bobine multicouche en enroulant le fil électrique sur plusieurs couches. Si l'on note $N_\text{c}$ le nombre de couches et $p$ le nombre de spires par couche, on a $N=pN_\text{c}$.
On peut reprendre le calcul général et tenir compte du fait que les spires n'ont pas les mêmes diamètres : $$\phi= \sum_{i=1}^N\phi_{i\to i}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j\neq i}^N \phi_{i\to j}$$ Toutefois, ce calcul représente une somme de $N^2$ termes, ce qui peut être prohibitif en termes de temps de calcul. C'est pourquoi, nous allons chercher à exprimer le flux en effectuant un minimum de sommes.

Tout d'abord, appelons $L_k$ l'auto-inductance d'une spire de la couche $k$ ($k=1,\ldots,N_\text{c}$) de diamètre $D_k$. On a $$\sum_{i=1}^N\phi_{i\to i}=\left(\sum_{k=1}^{N_\text{c}} pL_k\right)I\\ \quad\text{avec}\quad L_k=\mu_0 D_k\left[\frac12 \ln\left(\frac{8D_k}{e}\right)-\frac78\right] \quad\text{et}\quad D_k=D_0+e(2k-1)$$ Quant au calcul des $\phi_{i\to j}$, il faut distinguer deux types de situations.

1. Les spires en interaction appartiennent à la même couche. On notera $\phi_\text{intra}$ cette contribution.
2. Les spires en interactions sont sur deux couches différentes. On notera $\phi_\text{extra}$ cette dernière contribution.

On a vu précédemment que le flux lié aux spires d'une même couche est donné par (1). Ici, le nombre de spires sur une couche vaut $p$, et on ne s'intéresse pas au flux propre. En répétant le calcul pour toutes les couches, on trouve $$\phi_\text{intra}=\left[2\sum_{k=1}^{N_\text{c}}\sum_{\ell=1}^{p-1} (p-\ell)M(D_k,D_k,\ell\,e)\right]I$$ Pour ce qui est des interactions entre les spires de diamètres différents, on distingue également deux situations :

1. Considérons une spire sur la couche $k$ en interaction avec une spire concentrique sur la couche $k'$. Pour chaque paire de couches $(k,k')$ il y a $p$ telles interactions. Leur contribution en termes de flux vaut donc $$\phi_\text{inter}^1=I\sum_{k,k'\neq k}^{N_\text{c}}p\,M(D_k,D_{k'},0)= 2p\,I\sum_{k=1}^{N_\text{c}-1}\sum_{k'>k}^{N_\text{c}}M(D_k,D_{k'},0)$$
2. Considérons maintenant une spire de la couche $k$ en interaction avec une spire non concentrique d'une couche $k'\neq k$. Comptons tout d'abord le nombre de spires décalées de $e$ : cela revient à compter l'ensemble des couples d'entiers $(i,j)\in [1,\ldots,p]^2$ tel que $|j-i|=1$. On en a $p-1$ quand $j-i=1$ et $p-1$ quand $j-i=-1$. Au total on trouve $2(p-1)$. De la même façon, on trouve $2(p-2)$ spires en interactions décalées de $2e$, etc. Finalement, ce type d'interaction donne lieu à la contribution $$\begin{split} \phi_\text{inter}^2=I\sum_{k,k'\neq k}^{N_\text{c}}\sum_{\ell=1}^p 2(p-\ell)\,M(D_k,D_{k'},\ell e)\\ =4I\sum_{k=1}^{N_\text{c}-1}\sum_{k'>k}^{N_\text{c}}\sum_{\ell=1}^p (p-\ell)\,M(D_k,D_{k'},\ell e) \end{split}$$

En calculant $\phi=\sum_{i=1}^N\phi_{i\to i}+\phi_\text{intra}+\phi_\text{inter}^1+\phi_\text{inter}^2$ et en fixant $I=1\,\mathrm{A}$, on obtient directement la self-inductance de la bobine multicouche : $$\boxed{ L_\text{bobine}=p(S_1+2S_2)+2S_3+4S_4 \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{l} S_1 = \displaystyle \sum_{k=1}^{N_\text{c}} L_k\\ S_2 = \displaystyle \sum_{k=1}^{N_\text{c}-1}\sum_{k'>k}^{N_\text{c}}M_{k,k'}^0\\ S_3 = \displaystyle \sum_{k=1}^{N_\text{c}}\sum_{\ell=1}^{p-1} (p-\ell)M_{k,k}^{\ell}\\ S_4 = \displaystyle \sum_{k=1}^{N_\text{c}-1}\sum_{k'>k}^{N_\text{c}}\sum_{\ell=1}^p (p-\ell)\,M_{k,k'}^\ell \\ M_{k,k'}^\ell=M(D_k,\,D_{k'},\,\ell e) \end{array}\right. }$$ Cette relation généralise (1). On peut vérifier que l'on retrouve bien le cas de la bobine simple lorsque $N_c=1$. C'est cette relation qui est utilisée dans le calculateur d'auto-inductance en ligne que l'on trouve sur femto-physique.fr