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MENUCours d'Électromagnétisme

Ce chapitre est consacré à l'étude du mouvement des charges électriques dans un conducteur, éventuellement mobile, en présence d'un champ électromagnétique susceptible de varier dans le temps. L'ensemble des phénomènes électriques qui apparaissent est appelé induction électromagnétique.
Nous présenterons d'abord les lois qui découlent des travaux de Faraday et Lenz, puis nous verrons comment la théorie électromagnétique intègre ces phénomènes dans un cadre plus large que celui étudié jusqu'ici.

Approche historique

Faits expérimentaux

>Mickael Faraday
Mickael Faraday (1791-1867)

Après la découverte d'Œrsted sur la possibilité de produire un champ magnétique à partir de l'électricité, on s'est bien entendu mis à la recherche de la possibilité inverse : produire de l'électricité à partir d'un champ magnétique. Michael Faraday, après de nombreuses tentatives infructueuses, parvint à ses fins en 1831, et découvrit qu'il est possible d'induire un courant électrique dans un conducteur en le soumettant à un flux magnétique variable.

Voyons comment se manifeste ce phénomène sur quelques expériences simples.

Expérience n°1 — Formons un circuit électrique avec une spire conductrice et un galvanomètreLe galvanomètre est un appareil qui permet de mesurer de très faibles courants électriques, typiquement de l'ordre du nA.. Approchons le pôle d'un aimant droit. Le galvanomètre nous signale la présence d'un courant électrique, dit courant induit tant que l'aimant se déplace. Une fois l'aimant immobilisé, le galvanomètre n'indique aucun courant. Si l'on retire l'aimant dans un mouvement inverse, on observe à nouveau un courant électrique, mais cette fois-ci dans l'autre sens. Si l'on répète l'action plus rapidement, le courant électrique induit par le mouvement est plus intense.

Expériences 1 et 2
Expériences 1 et 2 (le galvanomètre n'est pas représenté).

Expérience n°2 — Maintenons l'aimant fixe, puis déplaçons le circuit de sorte que le mouvement relatif soit le même que dans l'expérience précédente. Nous constatons le même phénomène de courants induits.

De ces deux expériences il en résulte que le mouvement relatif d'un inducteur par rapport à un circuit fermé provoque l'apparition d'un courant, dit courant d'induction.

Un courant induit apparaît dans la spire lorsque l'on ouvre ou ferme l'interrupteur K
Un courant induit apparaît dans la spire lorsque l'on ouvre ou ferme l'interrupteur K, ou lorsque l'on déplace le curseur du rhéostat Rh.

Expérience n°3 — On peut également induire un courant sans qu'il y ait de mouvement relatif entre l'inducteur et l'induit. Par exemple, on peut remplacer l'aimant par une bobine alimentée par une source de tension comme l'illustre la Fig.3. En déplaçant la curseur du rhéostat ou en fermant l'interrupteur, le galvanomètre détecte un courant induit.

Dans ces trois expériences, c'est à chaque fois la variation du flux magnétique qui est associée à l'apparition d'un courant induit.

Expérience n°4 — Terminons, en reprenant l'expérience n°1 mais en ouvrant le circuit : aucun courant ne peut circuler dans ce cas. Que se passe-t-il alors lorsque l'aimant est mis en mouvement ? Un voltmètre branché aux bornes de l'induit affiche une tension à chaque mouvement de l'aimant, et dont la polarité change quand le sens du mouvement change. Autrement dit, le circuit se comporte comme une pile de f.é.m \(e\).

Conclusion

Toute variation de flux magnétique à travers un circuit provoque l'apparition d'une force électromotrice induite \(e\). Le circuit est alors équivalent à une source de tension de f.é.m \(e\) :

Loi de Lenz-Faraday

En 1834, Heindrich Lenz présente une formulation mathématique des résultats expérimentaux de Faraday.

Loi de Lenz-Faraday

Toute variation de flux magnétique à travers un circuit C produit l'apparition d'une f.é.m d'induction \(e\) donnée par \begin{equation} e=-\frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d} t} \quad\text{avec}\quad \phi_B=\iint_\text{S}\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \label{eq:loi_de_lenz_faraday} \end{equation} où \(e\) s'exprime en volts et \(\phi_B\) en webers.

Heindrich Lenz
Heindrich Lenz (1804-1865)

Le flux magnétique à travers un circuit peut varier pour différentes raisons.

Le circuit siège d'un phénomène d'induction est équivalent à une source de tension polarisée, insérée dans le circuit. Pour déterminer son orientation, il faut au préalable choisir un sens d'orientation du circuitCe choix est arbitraire.. Ce sens positif détermine celui du vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) via la règle du tire-bouchon, ce qui permet de calculer le flux magnétique. Si \(e>0\), le générateur équivalent produit un courant dans le sens positif (cf. Fig. 5). Dans le cas contraire, le courant induit est orienté dans le sens négatif. La valeur de l'intensité est donnée par la loi d'Ohm \(e=Ri\) où \(R\) est la résistance du circuit fermé.

Orientation de la f.é.m et du courant induit
Orientation de la f.é.m et du courant induit. Ici le flux diminue, ce qui induit un courant circulant dans le sens positif. Une orientation différente du circuit ne changerait pas le sens réel du courant.

Exemple

Cadre en mouvement uniforme dans un champ permanent.
Choix d'orientations.

Une spire en forme de carré d'arête \(a\) est entraînée à la vitesse constante \(\overrightarrow{v}\) en direction de l'axe O\(x\). Dans l'espace \(x>0\) règne un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\) uniforme perpendiculaire au plan de la spire. Exprimons l'intensité du courant induit en fonction de \(v\), \(B\) et \(R\) la résistance électrique de la spire.

Commençons par orienter le circuit. Choisissons le sens ABCD. À ce sens de parcours, est associé le vecteur normal \(\overrightarrow{n}\) opposé au champ magnétique (Fig.7). Appelons \(x(t)\) l'abscisse du coté BC de la spire. Le flux magnétique à travers la spire s'écrit \[ \phi_B=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=-\iint_\mathcal{D} B \,\mathrm{d}S= \begin{cases} 0 &\text{si }x <0\\ -Ba\,x(t) &\text{si }x \in[0,a]\\ -Ba^2 &\text{si }x> a \end{cases} \] D'après la loi de Faraday le circuit est équivalent à un générateur de f.é.m \[ e=-\frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d} t}=\begin{cases} Bav &\text{si }x\in[0,a]\\ 0 &\text{sinon} \end{cases} \] Ce générateur en court-circuit induit un courant d'intensité \begin{equation} i=\frac{e}{R}=\begin{cases} \dfrac{Bav}{R} &\text{si }x\in[0,a]\\ 0 &\text{sinon} \end{cases} \label{induction_magnetique_eq2} \end{equation} Un courant circule donc dans le sens positif durant l'entrée de la spire dans la zone magnétique.

Remarque

La loi de Lenz-Faraday ne précise pas quelle surface S choisir dans le calcul du flux magnétique ; il suffit d'en choisir une qui s'appuie sur le circuit C. Par conséquent, la loi de Lenz-Faraday suppose implicitement la conservation du flux magnétique.

Loi de modération de Lenz

La présence du signe − dans la loi de Lenz-Faraday a une signification profonde : elle décrit le comportement modérateur du phénomène d'induction et traduit comme nous allons le voir la conservation de l'énergie.

Pour illustrer ceci, reprenons l'exemple précédent. Nous avons montré que durant son entrée dans la zone magnétique, la spire est le siège d'un courant induit \(i=Bav/R\). On constate alors deux choses.

Freinage électromagnétique
Freinage électromagnétique.

Ainsi, les effets électromagnétiques issus de l'apparition du courant induit ont tendance à modérer le phénomène d'induction en freinant la spire et atténuant la variation du flux total. Ces effets modérateurs permettent de prévoir le sens du courant induit et plus généralement la polarité de la f.é.m d'induction.

Loi de modération de Lenz

La polarité de la tension induite est telle que si le courant peut circuler, les effets qu'il génère s'opposent à la cause qui lui a donné naissance.

Cette loi reflète en réalité la conservation de l'énergie. Pour reprendre, l'exemple précédent, du fait de la force de freinage, l'opérateur doit produire un travail pour maintenir la vitesse de la spire constante. Le travail mécanique à fournirL'opérateur exerce une force F⃗op = -F⃗L si le vecteur vitesse est constant. vaut \[ W=\int_{x=0}^{x=a}-\overrightarrow{F_\text{L}}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=\frac{B^2a^3\, v}{R} \] Pendant le même temps, l'énergie électrique dissipée par effet joule vaut \[ W'=\int_{t=0}^{t=a/v} Ri^2\, \mathrm{d}t=R\times \left(\frac{Bav}{R}\right)^2\times\frac{a}{v}=\frac{B^2a^3\, v}{R} \] Comme on le constate, l'énergie électrique a été apportée par l'opérateur qui a dû pousser le cadre conducteur afin de maintenir sa vitesse constante. La loi de modération est le résultat de cette conversion d'énergie.

Convert magnetism into electricityDans son carnet Notes de chimie, idées, suggestions, et sujets de recherche, Faraday met cette idée en tête d'une liste consacrée à l'électricité.

La découverte de l'induction a joué un rôle majeure dans le développement de l'électricité. On s'est vite rendu compte du potentiel de ce phénomène, notamment en matière de conversion d'énergie. De nos jours, l'un des convertisseurs le plus utilisé est l'alternateur. Il convertit l'énergie mécanique d'un rotor mis en mouvement (en général l'inducteur) en un courant alternatif au sein d'un stator (en général l'induit). On en trouve, dans les centrales électriques, les éoliennes, les voitures etc.

Schéma de principe d'un alternateur à induit mobile
Schéma de principe d'un alternateur à induit mobile.

Donnons le principe simplifié d'un alternateur à induit mobile (rotor) : un cadre constitué de \(N\) enroulements d'un conducteur est mis en rotation par rapport à un champ magnétique uniforme et permanent. On suppose que le cadre est entrainé à une vitesse angulaire constante \(\omega\). Le flux magnétique qui traverse le rotor vaut \[ \phi_B=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=NS\,\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n} =NSB\cos(\theta) \] où \(S\) est l'aire du cadre. Le mouvement angulaire est décrit par \(\theta(t)=\omega t+\theta_0\) de sorte que la f.é.m d'induction vaut \[ e(t)=-\frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d} t}=NSB\omega\sin(\omega t+\theta_0) \] L'induit se comporte comme une source de tension alternative de fréquence \(\nu=\omega/(2\pi)\) et d'amplitude \(E=NSB\omega\). On note que plus le rotor tourne vite, plus l'amplitude de la tension est importante. Par exemple, dans un véhicule, l'alternateur étant entraîné par le moteur, on régule la valeur du champ magnétiqueDans les alternateurs des voitures, le champ magnétique est produit par un électroaimant dont on peut piloter l'alimentation à l'aide d'un système de régulation. La tension produite par l'alternateur est bien sûr rendue continue par redressement électronique (ponts de diodes) pour pouvoir alimenter la batterie. de façon à éviter des surtensions qui pourraient endommager la batterie et les autres appareils consommateurs d'électricité.

Dans les centrales industrielles, la tension produite oscille à 50 Hz mais le rotor (l'inducteur) tourne moins vite, car il présente plusieurs paires de pôles magnétiques.

Flux propre et flux extérieur

Dans les exemples précédents, le flux magnétique est déterminé en intégrant uniquement le champ magnétique extérieur \(\overrightarrow{B}\). Or, si un courant induit circule, il doit aussi produire un champ magnétique et donc un flux magnétique supplémentaire. On appelle ce flux, le flux propre. Rigoureusement, on doit écrire \[ \phi_B=\iint_\text{S}\overrightarrow{B}_\text{ext}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S+ \iint_\text{S}\overrightarrow{B}_\text{induit}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \]

Dans tout ce chapitre nous négligerons le flux propre devant le flux extérieur par soucis de simplicité. En conséquence, nos résultats ont un domaine de validité restreint.

Exemple

Cadre en mouvement uniforme dans un champ permanent
Cadre en mouvement uniforme dans un champ permanent.

Reprenons l'exemple d'une spire entraînée à la vitesse constante \(\overrightarrow{v}\) entrant dans une zone où règne un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\) uniforme perpendiculaire au plan de la spire. À quelle condition sur la vitesse, notre résultat \eqref{induction_magnetique_eq2} est-il correct ?

Pour cela estimons l'ordre de grandeur du flux propre : \[ \phi_\text{propre}\sim B_\text{induit}a^2\sim \frac{\mu_0 i}{a}\times a^2 \] Tant que le flux propre est négligeable, on a \(i=Bav/R\) ce qui donne \(\phi_\text{propre}\sim \mu_0Ba^2v/R\). Le flux imposé étant de l'ordre de \(Ba^2\), le résultat \eqref{induction_magnetique_eq2} est une bonne approximation si \[ \frac{\mu_0 Ba^2 v}{R}\ll Ba^2 \quad\text{soit}\quad v\ll \frac{R}{\mu_0} \] La solution \eqref{induction_magnetique_eq2} est donc exacte dans la limite \(v\to 0\). Notez que la condition précédente n'est pas très contraignante : si l'on prend \(R\sim 1\,\Omega\) cela donne \(v\ll 1\cdot 10^6\,\mathrm{m.s^{-1}}\)

Nous verrons dans un prochain chapitre que le flux total doit s'écrire \[ \phi_B=\phi_\text{ext}+Li \] où \(L\) désigne l'auto-inductance du circuit. Dans ce contexte, l'équation électrique prend la forme \[ e(t)=-\frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{d}\phi_\text{ext}}{\mathrm{d} t}-L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d} t} \]

Négliger le flux propre revient donc à négliger l'auto-inductance.

Origine de l'induction de Lorentz

Champ électromoteur de Lorentz

Expérience

Expérience vue de dessus
Expérience vue de dessus.

Une barre conductrice mobile est disposée sur deux rails conducteurs parallèles espacés de \(\ell\) et reliés à un galvanomètre. Le rail et les fils de connexion présentent une résistance négligeable devant celle de la barre conductrice de sorte que la résistance du circuit ne varie pas lorsque la barre se déplace ; on la note \(R\).

L'ensemble est plongé dans un champ magnétique permanent et uniforme. Entraînons la barre à la vitesse \(\overrightarrow{v}\) ; le galvanomètre indique alors l'apparition d'un courant induit dans le sens positif.

Que prévoit la loi de Lenz-Faraday ? — Compte tenu du choix d'orientation du circuit, le flux magnétique s'écritComme indiqué précédemment, l'auto-induction est négligée dans tout ce chapitre. \[ \phi_B(t)=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=B\ell x(t) \] on en déduit \[ e=-\frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d} t}=B\ell v \quad\text{avec}\quad v=|\dot x|=-\dot x \] Si l'on ferme le circuit, un courant induit d'intensité \(i=e/R=B\ell v/R\) circule dans le sens positif comme observé expérimentalement. On peut vérifier qu'une force de freinage apparaît et que le courant induit tend à atténuer la variation du flux magnétique conformément à la loi de modération de Lenz.

Accumulation des porteurs de charges aux extrémités de la barre en circuit ouvert
Accumulation des porteurs de charges aux extrémités de la barre en circuit ouvert.

Interprétation dans le référentiel du laboratoire — Considérons les électrons libres de la barre en mouvement. Un observateur dans le référentiel du laboratoire voit ces électrons animés, en moyenne, d'une vitesse \(\overrightarrow{v}\) en présence d'un champ magnétique \(\overrightarrow{B}\). Apparaît alors une force magnétique \(\overrightarrow{f}=q \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\) qui présente une composante non nulle le long de la barre conductrice. Aussi,

En résumé, le courant induit résulte du déplacement des porteurs de charges libres du conducteur sous l'action de la force de Lorentz. On retrouve qualitativement les conclusions déduites de la loi de Lenz.

Interprétation dans le référentiel lié au conducteur — Dans le cadre de la mécanique newtonienne, la force est un invariant galiléen. C'est pourquoi les porteurs de charge sont aussi soumis à la force \(\overrightarrow{f}=q \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\) dans le référentiel lié à la barre. Cependant, les électrons étant immobilesRigoureusement, les électrons ne sont pas immobiles si un courant induit circule. Cependant, la force magnétique qui en découle n'ayant pas de composante le long du circuit, elle n'a pas d'effet électromoteur. En fait elle est à l'origine de l'effet Hall [1]., cette force ne peut être que de nature électrique. Autrement dit, dans le référentiel lié à la barre, les électrons sont soumis à une force \[ \overrightarrow{f}=q \overrightarrow{E}_\text{em} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{E}_\text{em}=\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B} \] Ce champ de nature électrique dans le référentiel lié à la barre est appelé champ électromoteur, car il met en mouvement les porteurs de charge. En circuit ouvert, ce champ électromoteur est responsable de l'accumulation des charges aux extrémités de la barre (Fig.12). Ces charges superficielles créent un champ électrostatique \(\overrightarrow{E}\) qui neutralise le champ électromoteur de façon à maintenir les électrons au repos: \[ \overrightarrow{E}+\overrightarrow{E}_\text{em}=\overrightarrow{0} \] La barre est donc équivalente à un générateur de tension à vide \[ e=V_\oplus -V_\ominus= \int_\oplus^\ominus \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} =\int_\ominus^\oplus \overrightarrow{E}_\text{em}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=vB\ell \] On retrouve le même résultat que celui obtenu par la relation de Lenz-Faraday.

Le courant circule dans le sens du champ électromoteur
Le courant circule dans le sens du champ électromoteur.

Lorsque le circuit est fermé, ce champ électromoteur donne l'énergie nécessaire aux porteurs de charges pour vaincre l'effet du champ électrostatique ainsi que les effets dissipatifs liés à l'effet Joule. La tension aux bornes de la barre vaut alors \[ U_\text{PN}=e-Ri \] où \(R\) est la résistance de la portion PN de la barre conductrice.

Résumé

Dans le référentiel lié à la barre mobile, les porteurs de charge sont soumis à un champ électrique dont une composante, appelée champ électromoteur de Lorentz et noté \(\overrightarrow{E}_\text{em}\), est responsable de l'apparition de la f.é.m d'induction. On a \[ \overrightarrow{E}_\text{em}=\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B} \quad\text{et}\quad e=\oint \overrightarrow{E}_\text{em}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \]

Généralisation

Le circuit balaye une surface ∑ entre t et t + dt
Le circuit balaye une surface \(\Sigma\) entre \(t\) et \(t + \mathrm{d}t\).

Le résultat précédent se généralise pour tout circuit filiforme en mouvement dans un champ magnétique uniforme.

Considérons un circuit C filiforme fermé de forme quelconque soumis à un mouvement et/ou à une déformation au cours du temps. Notons \(\overrightarrow{v_\text{P}}\) la vitesse de déplacement d'un point P du circuit C. La démonstration repose sur la conservation du flux magnétique \begin{equation} \oint_\text{S} \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=0 \label{induction_magnetique_eq3} \end{equation} Notons \(\phi(t)\) le flux magnétique à travers C à l'instant \(t\) et \(\phi(t+\mathrm{d}t)\) celui à travers le circuit à l'instant \(t+\mathrm{d}t\). Lors de son déplacement, le circuit balaye une surface latérale \(\Sigma\), de sorte que la réunion de \(\Sigma\) et de la surface des spires aux deux instants \(t\) et \(t+\mathrm{d}t\) forme une surface fermée. En vertu de \eqref{induction_magnetique_eq3} on a \[ \phi(t)-\phi(t+\mathrm{d}t)+\iint_\Sigma \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\mathrm{d}S=0 \quad\text{avec}\quad \phi(t)=\iint_{S(t)} \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\mathrm{d}S \] où le signe − du deuxième terme provient de la convention d'orientation de \(\overrightarrow{n}^\text{ext}\).

Pendant \(\mathrm{d}t\), le flux magnétique à travers la spire varie donc de \[ \mathrm{d}\phi=\phi(t+\mathrm{d}t)-\phi(t)=\iint_\Sigma \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\mathrm{d}S \] Exprimons l'élément de surface latérale en fonction de l'élément de parcours infinitésimal \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) et \(\overrightarrow{v_\text{P}}\) : \(\overrightarrow{n}^\text{ext}\, \mathrm{d}S=\overrightarrow{v_\text{P}}\, \mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\). Il en découle, \[ \mathrm{d}\phi= \left[\oint_{\text{C}(t)}\overrightarrow{B}\cdot\left( \overrightarrow{v_\text{P}}\wedge \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\right)\right]\mathrm{d}t= -\left[\oint_{\text{C}(t)}\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\cdot\left(\overrightarrow{v_\text{P}}\wedge\overrightarrow{B} \right)\right]\mathrm{d}t \]

À retenir

La f.é.m induite par le déplacement d'un circuit dans un champ magnétique permanent \(\overrightarrow{B}\) s'interprète comme la circulation du champ électromoteur de Lorentz \(\overrightarrow{E}_\text{em}=\overrightarrow{v_\text{p}}\wedge \overrightarrow{B}\) le long du circuit. \begin{equation} e(t)=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d} t}= \oint_{\text{C}(t)}\left(\overrightarrow{v_\text{P}}\wedge\overrightarrow{B}\right) \cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=\oint_\text{C(t)}\overrightarrow{E}_\text{em}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \label{induction_magnetique_eq10} \end{equation}

Freinage électromagnétique

Comme on l'a déjà vu, le mouvement d'un circuit dans un champ magnétique fait apparaître des courants induits qui, par leurs effets, s'opposent au mouvement en développant une force de freinage de type visqueux.

Ce phénomène est mis à profit dans les dispositifs de freinage des poids lourds et des autocars. En général, un disque métallique entraîné par les roues passe dans l'entrefer d'un électroaimant fixe. Des courants induits apparaissent alors au sein du conducteur et dissipent une partie de l'énergie mécanique par effet Joule. La force de freinage qui en résulte dépend alors de la distribution de ces courants volumiques, appelés courants de Foucault. Celle-ci est assez compliquée à déterminer en général, mais on peut dégager les idées essentielles avec une géométrie simple.

Plaque conductrice en mouvement dans un champ magnétique uniforme
Plaque conductrice en mouvement dans un champ magnétique uniforme

Imaginons une plaque conductrice en translation à la vitesse \(\overrightarrow{v}\) dans une zone de largeur \(a\) où règne un champ magnétique uniforme \(\overrightarrow{B}\) perpendiculaire à la plaque. Le mouvement de la plaque induit un champ électromoteur \[ \overrightarrow{E}_\text{em}=\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}=vB\, \overrightarrow{u_y} \] Ce champ va mettre en mouvement les porteurs de charges dans la zone magnétique. En vertu de la loi d'Ohm, le vecteur densité de courant s'écrit \[ \overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}_\text{em}=\gamma vB\, \overrightarrow{u_y} \] Rappelons que pour une distribution volumique de courant, la force de Laplace s'écrit \[ \overrightarrow{F_\text{L}}=\iiint \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{B}\, \mathrm{d}\tau \] En intégrant dans le volume où règne le champ magnétique, on obtient \[ \overrightarrow{F_\text{L}}=-\alpha_0 \, \overrightarrow{v} \quad\text{avec}\quad \alpha_0=a e \ell\gamma B^2 \] La force induite est une force de frottement de type visqueux, et le coefficient de frottement \(\alpha\) varie comme le carré du champ magnétique. Dans les poids lourds, le champ magnétique est produit par un électroaimant ; dès lors on peut contrôler la puissance du freinage via l'alimentation de l'électroaimant. Un tel dispositif présente les avantages suivants :

Allure des courants de Foucault (lignes orange). Les flèches blanche indiquent l'allure du champ électrostatique
Allure des courants de Foucault (lignes orange). Les flèches blanche indiquent l'allure du champ électrostatique

Le lecteur attentif aura sans doute remarqué une certaine incohérence dans le modèle précédent. En effet, le courant induit ne peut pas expulser les charges hors de la plaque conductrice. Par conséquent, on doit observer une accumulation de charges sur les bords de la plaque. Il en résulte l'apparition d'un champ électrostatique \(\overrightarrow{E}\) qui se superpose au champ électromoteur. On a donc plutôt \[ \overrightarrow{j}=\begin{cases} \gamma(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{E}_\text{em})&\text{si }|x|<a/2\\ \gamma\overrightarrow{E}&\text{sinon} \end{cases} \] Le champ électromoteur provoque la mise en circulation des courants de Foucault, et les charges statiques les guident via le champ électrostatique \(\overrightarrow{E}\), de façon à refermer les lignes de courant sur elles-mêmes ( Fig.16). On montre que le champ électrostatique peut se mettre sous la forme \[ \overrightarrow{E}=vB\left[f(x,y)\, \overrightarrow{u_x}+g(x,y)\, \overrightarrow{u_y}\right] \] La force de Laplace vaut alors \[ \overrightarrow{F}=\iiint \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{B}\, \mathrm{d}\tau =\gamma vB^2\left(\overrightarrow{u_y}\iiint f(x,y)\, \mathrm{d}\tau-\overrightarrow{u_x}\iiint (1+g(x,y)\, \mathrm{d}\tau\right) \] Dans la configuration symétrique de la figure 16, on a \[ f(x,y)=-f(x,-y) \quad\text{et}\quad g(x,y)=g(x,-y)<0 \] Dans ce cas le premier terme disparaît, et il reste \[ \overrightarrow{F_\text{L}}=-\alpha \, \overrightarrow{v} \quad\text{avec}\quad \alpha=\alpha _0\langle 1+g(x,y)\rangle <\alpha_0 \] où \(\langle \ldots\rangle\) désigne la moyenne calculée dans le volume où règne le champ magnétique. Finalement, le coefficient de frottement fluide est inférieur à celui obtenu en négligeant l'accumulation des charges qui assurent la fermeture des lignes de courant. De ce point de vue on peut dire que le champ électrostatique joue un rôle contre-électromoteur.

En pratique le champ magnétique est localisé et non uniforme. Dans ce cas, en plus des charges superficielles, des charges volumiques de guidage apparaissent là ou le champ magnétique décroît rapidement. De manière générale, le coefficient de frottement dépend du profil du champ magnétique et de la géométrie du conducteur via les effets de bords [2]. On a toujours \(\alpha \leq\alpha_0/2\) où \(\alpha_0\) est le coefficient de frottement obtenu en tenant compte uniquement du champ électromoteur.

Induction de Neumann

On peut aussi induire un courant en soumettant un circuit fixe à un champ magnétique variable dans le temps. Quelle est l'origine du champ électromoteur dans ce cas ?

Équation de Maxwell-Faraday

Les expériences de Faraday ont montré que le courant induit était lié à la variation du flux magnétique à travers l'induit, peu importe l'origine des causes responsables de la variation du flux. Ici le flux magnétique varie car le champ magnétique dépend explicitement du temps. Notons \(\overrightarrow{B}(\text{M},t)\) le champ magnétique qui règne en un point quelconque M de l'espace, et à l'instant \(t\). Le courant électrique est lié à l'existence d'un champ électrique dont une composante présente un caractère électromoteur. La f.é.m induite doit s'écrire \begin{equation} e=\oint_\text{C} \overrightarrow{E}(\text{P},t)\, \overrightarrow{d \ell}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\iint_\text{S}\overrightarrow{B}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \label{induction_magnetique_eq4} \end{equation}

Le théorème de Stokes indique que \[ \oint_\text{C} \overrightarrow{E}(\text{P},t)\,\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}= \iint_\text{S}\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \] Par conséquent, \[ e=\iint_\text{S}\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= -\iint_\text{S}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \] Équation qui, pour être valable quelle que soit la surface S choisie, implique la relation locale suivante :

Relation de Maxwell-Faraday

\begin{equation} \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}=- \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{E}=- \frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \label{induction_magnetique_eq5} \end{equation}

La relation de Maxwell-Faraday est un énoncé complètement équivalent à la relation \eqref{induction_magnetique_eq4}. Elle constitue l'une des 4 équations locales de Maxwell. Insistons sur le fait que cette dernière relation s'applique qu'il y ait ou non un circuit conducteur. Toute variation temporelle d'un champ magnétique induit au même endroit un champ électrique qui a la particularité de ne pas être conservatif.

Remarque

En régime stationnaire, on retrouve la relation \(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}\).

Potentiel électromagnétique

Comme on l'a déjà signalé, la notion de flux magnétique à travers un circuit n'a de sens que si le champ magnétique reste à flux conservatif. C'est pourquoi, on étend la conservation du flux magnétique, aux régimes variables.

\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{\text{div}\,\overrightarrow{B}(\text{M},t)=0 \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{B}(\text{M},t)=0} \label{induction_magnetique_eq6} \end{equation}

Il en résulte que le champ magnétique dérive d'un potentiel vecteur \(\overrightarrow{A}(\text{M},t)\) fonction de l'espace et du temps :

\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{\overrightarrow{B}(\text{M},t)=\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}(\text{M},t)} \label{induction_magnetique_eq7} \end{equation}

Si l'on injecte cette dernière relation dans l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}= -\frac{\partial \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}}{\partial t}= -\overrightarrow{\text{rot}}\,\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t} \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)=\overrightarrow{0} \] Autrement dit, le champ \(\overrightarrow{E}+\partial \overrightarrow{A}/\partial t\) est un gradient. On pose alors

Champ électrique en régime variable

\begin{equation} \overrightarrow{E}(\text{M},t)= -\overrightarrow{\text{grad}}V(\text{M},t)-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t} \label{induction_magnetique_eq8} \end{equation} où \(V(\text{M},t)\) désigne le potentiel électrique (on dit aussi potentiel scalaire).

En régime variable, le champ électrique présente une composante non conservative, appelé champ électromoteur de Neumann : \(\overrightarrow{E_\text{em}}=-\partial \overrightarrow{A}/ \partial t\).

De la même manière que l'ensemble \(\{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}\) constitue le champ électromagnétique, l'ensemble \(\{V,\overrightarrow{A}\}\) constitue le potentiel électromagnétique.

Exemple de calcul

Spire conductrice en présence d'un champ magnétique axial et variable
Spire conductrice en présence d'un champ magnétique axial et variable.

Considérons une spire de rayon \(a\) d'axe (O\(z\)). Plaçons cette spire dans un champ magnétique uniforme et axial, mais variable dans le temps \[ \overrightarrow{B}=B(t)\, \overrightarrow{u_z} \] On peut penser au champ magnétique produit par un solénoïde quasi-infini, de densité d'enroulement \(n\), alimenté par un courant d'intensité variable \(i(t)\) ; on a dans ce casOn peut utiliser les lois de la magnétostatique si le courant ne varie pas trop vite ; c'est l'approximation des régimes quasi stationnaires. \(B(t)=\mu_0 n i(t)\).

Tout plan contenant l'axe (O\(z\)) est un plan d'antisymétrie ; par conséquent le potentiel vecteur est orthoradial. Vu l'invariance par rotation et translation, on peut écrire \(\overrightarrow{A}=A(r)\, \overrightarrow{u_\theta}\). Une des méthodes permettant de trouver l'expression de \(A(r)\) consiste à calculer le flux magnétique à travers une ligne de champ du potentiel vecteur, à savoir un cercle de rayon \(r\). D'une part, on a \[ \phi_B=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=B(t)\pi r^2 \] D'autre part, \[ \phi_B=\iint \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \oint \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=2\pi r A(r) \] Il découle \(\overrightarrow{A}=\frac12 rB(t)\, \overrightarrow{u_\theta}\). Vérifions que son rotationnel donne bien le champ magnétique : \[\require{cancel} \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial \cancel{A_z}}{\partial\theta}-\cancel{\dfrac{\partial A_\theta}{\partial z}}\\ \dfrac{\partial \cancel{A_r}}{\partial z}-\dfrac{\partial \cancel{A_z}}{\partial r}\\ \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(rA_{\theta})}{\partial r}-\dfrac{1}{r}\cancel{\dfrac{\partial A_r}{\partial \theta}}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\B(t)\end{pmatrix}=\overrightarrow{B} \] Poursuivons en déterminant le champ électromoteur : \[ \overrightarrow{E}_\text{em}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=-\frac12 r \frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d} t}\, \overrightarrow{u_\theta} \] Ce champ induit dans la spire un courant d'intensité algébrique \[ i=\frac{1}{R}\oint_{r=a} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=-\frac{\pi a^2}{R}\frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d} t} \] où \(R\) est la résistance de la spire et où l'auto-induction a été négligée.

Chauffage par induction

Comme nous venons de le voir dans l'exemple précédent, un champ magnétique axial et variable dans le temps induit un courant lui même variable dans une spire perpendiculaire au champ magnétique. Si l'on remplace la spire par un barreau conducteur, des courants de Foucault vont se développer au sein du matériau, et dissiper l'énergie électrique par effet Joule. C'est le principe du chauffage par induction qui a une grande importance, tant industrielle (fusion, soudure sans défaut) que domestique (cuisson sur plaque à induction).

Cherchons à déterminer la distribution de ces courants ainsi que la puissance dissipée par effet Joule en supposant que :

Barreau cylindrique conducteur, siège de courants de Foucault induits par un champ magnétique variable
Barreau cylindrique conducteur, siège de courants de Foucault induits par un champ magnétique variable.

D'après l'exemple précédent, le champ électromoteur induit s'écrit \[ \overrightarrow{E}(r,t)=-\frac12 r \frac{\mathrm{d}B(t)}{\mathrm{d} t}\, \overrightarrow{u_\theta} =\frac12 B_0\omega \sin(\omega t)\, r\, \overrightarrow{u_\theta} \] En vertu de la loi d'Ohm, les courants de Foucault se distribuent suivant une densité \[ \overrightarrow{j}=\gamma \overrightarrow{E}=\frac12 \gamma B_0\omega \sin(\omega t)\, r\, \overrightarrow{u_\theta} \] On constate que les courants de Foucault ne sont pas répartis uniformément dans le cylindre. Par ailleurs, plus la fréquence est élevée, plus ces courants sont intenses.

Calculons maintenant la puissance dissipée par effet Joule. Notons \(\rho_\text{e}\) la densité des électrons libres. Chaque élément de volume \(\mathrm{d}\tau\) contient \(\rho_\text{e} \mathrm{d}\tau\) porteurs de charge et subit la force électrique \(\overrightarrow{\mathrm{d}F}=\rho_\text{e} \mathrm{d}\tau\, \overrightarrow{E}\). Celle-ci développe une puissance \[ \mathrm{d}\mathcal{P}=\rho_\text{e} \mathrm{d}\tau\, \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{v_\text{e}}= \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\, \mathrm{d}\tau \] où l'on a fait intervenir \(\overrightarrow{v_\text{e}}\) la vitesse moyenne des électrons libres. Finalement, la puissance fournie au cylindre conducteur s'écrit \[ \mathcal{P}=\iiint \overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}\, \mathrm{d}\tau =\iiint \frac{\gamma {B_0}^2\omega^2\sin^2(\omega t)}{4} r^2\, \mathrm{d}\tau \] Après intégration sur le volume cylindrique, on trouve \[ \mathcal{P}=\frac{\gamma {B_0}^2\omega^2\sin^2(\omega t)}{4} \underbrace{\iiint r^3\, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z}_{\pi a^4h/2}=\frac{\pi \gamma \omega^2{B_0}^2 a^4 h}{8}\sin^2(\omega t) \] En moyenne, la puissance dissipée par unité de volume (\(\mathrm{W.m^{-3}}\)) vaut \[ \left\langle \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{V}}\right\rangle=\frac{\gamma \omega^2 {B_0}^2 a^2}{16} \] La densité de puissance moyenne croît linéairement avec la surface du cylindre, le carré du champ magnétique et la fréquence. Ce dernier point est cependant à nuancer car nous avons négligé l'auto-induction, ce qui restreint le domaine de validité de la relation obtenue. Nos résultats supposent en effet que le champ imposé est bien supérieur au champ magnétique induit. On peut estimer ce dernier à partir de l'expression de \(\overrightarrow{j}\) : on trouve \(B_\text{induit}\sim \mu_0\gamma a^2 \omega B_0/4\).

Nos résultats sont donc valides tant que \[ \frac{\mu_0\gamma a^2 \omega B_0}{4}\ll B_0 \quad\text{soit}\quad \omega \ll \frac{4}{\mu_0\gamma a^2} \] Par exemple, pour un cylindre d'aluminium de rayon \(a=1\,\mathrm{cm}\) et de conductivité \(\gamma=38\cdot 10^6\,\mathrm{S.m^{-1}}\), cela donne une fréquence \(\nu \ll 800\,\mathrm{Hz}\). Au delà, la puissance dissipée croît plutôt en \(\sqrt{\omega}\).

Pour un traitement complet du problème, voir [4].

Bilan et discussions

Équations de Maxwell dans l'ARQS

Résumons ce que l'on a appris dans ce chapitre : les phénomènes d'induction font apparaître un lien entre phénomène électrique et variation de flux, ce qui oblige à admettre l'existence d'un couplage entre champ électrique et magnétique. Les équations locales qui décrivent bien les phénomènes d'induction se résument à :

Résumé

\begin{equation*} \begin{array}{c|c} \text{Relation avec les sources}&\text{Structure du champ}\\ \text{div}\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0} & \boldsymbol{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}}\\ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0 \overrightarrow{j} & \text{div}\overrightarrow{B}=0 \end{array} \end{equation*}

où la relation en gras traduit le couplage électromagnétique.

Ces équations forment les équations de Maxwell dans un cadre approché que l'on appelle Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS en abrégé). Nous verrons [3] que cette approximation revient à négliger les retards de propagation de l'interaction électromagnétique. Pour un circuit de dimension caractéristique \(L\), soumis a des grandeurs électromagnétiques variables de temps caractéristique \(T\), le retard de propagation est effectivement négligeable si \[ cT\ll L \quad\text{soit en terme de fréquence}\quad \nu \ll \frac{c}{L} \] Pour \(L\sim 1\,\mathrm{m}\), cela donne \(\nu \ll 300\,\mathrm{MHz}\). Cette gamme de fréquence définit le domaine de l'électrocinétique.

Dans l'ARQS, i_1(t)=i_2(t)
Dans l'ARQS, \(i_1(t)=i_2(t)\)
Dans l'ARQS, i_1(t)+i_2(t)+i_3(t)+i_4(t)=0
Dans l'ARQS, \(i_1(t)+i_2(t)+i_3(t)+i_4(t)=0\).

Dans ce cadre, le courant électrique est à flux conservatif. En effet, puisque la divergence d'un rotationnel est nul, on a \[ \text{div}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\,\text{div}\overrightarrow{j}(\text{M},t)=0 \] Par conséquent, à un instant \(t\), le long d'une branche d'un circuit, l'intensité électrique conserve la même valeur.

Par ailleurs, si on calcule le flux de \(\overrightarrow{j}\) à travers une surface fermée qui englobe un nœud, on trouve \[ \sum_{k=1}^{n\text{ branches}} i_k(t)=0 \] où \(i_k\) est l'intensité algébrique du courant de la k-ième branche ; on retrouve la loi des nœuds.

Enfin, la loi d'Ohm des conducteurs est aussi valide en régime quasi-stationnaire : \[ \overrightarrow{j}(M,t)=\gamma \overrightarrow{E'}(\text{M},t) \] où \(\overrightarrow{E'}\) est le champ électrique dans le référentiel du conducteur.

Discussion autour de la loi de Faraday

Jusqu'ici, nous avons distingué le cas où le circuit est en mouvement dans un champ magnétique stationnaire du cas où le circuit est fixe dans un champ électromagnétique dépendant du temps. Mais que se passe-t-il lorsque un circuit est mobile dans un champ électromagnétique variable ? La loi de Faraday est-elle toujours valide ?

Dans le cas général, la f.é.m d'induction s'obtient toujours par le calcul de la circulation le long du circuit C du champ électriqueEn réalité, seule sa composante électromotrice intervient puisque sa composante électrostatique -∇⃗V est à circulation nulle sur un circuit fermé. : \[ e(t)=\oint_{\text{P}\in \text{C}} \overrightarrow{E'}(\text{P},t)\, \overrightarrow{\mathrm{d}\ell} \] où \(\overrightarrow{E'}\) est le champ électrique dans le référentiel lié à la portion P du circuit C. Dans le cadre de l'électromagnétisme classiqueOn suppose que la vitesse de déplacement du circuit par rapport au référentiel galiléen du laboratoire est non relativiste., \(\overrightarrow{E'}\) est lié au champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}\) du laboratoire via \[ \overrightarrow{E'}=\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}_\text{P}\wedge \overrightarrow{B} \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{E}= -\overrightarrow{\nabla}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t} \] ce qui donne la formule générale

Formule générale de l'induction

\begin{equation} e(t)=\underbrace{\oint-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}(\text{P},t)\,\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}}_\text{Neumann} + \underbrace{\oint\overrightarrow{v}_\text{P}\wedge \overrightarrow{B}(\text{P},t)\,\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}}_\text{Lorentz} \label{induction_magnetique_eq11} \end{equation}

Le premier terme traduit la variation du flux suite à la variation du champ magnétique quand le second terme correspond à la variation du flux suite au déplacement du circuit. Finalement, on peut écrire \[ e=-\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d} t} \] à condition de tenir compte de toutes les causes de variation du flux.

Un exemple de circuit soumis à une variation de flux et pourtant siège d'aucun phénomène d'induction
Un exemple de circuit soumis à une variation de flux et pourtant siège d'aucun phénomène d'induction.

Toutefois, la loi de Lenz-Faraday souffre de quelques exceptionsCertains auteurs comme Richard Feynman préfèrent parler de règle du flux pour cette raison.. Dans le circuit ci-contre, un contact glisse sur un bobinage que l'on a enroulé autour d'un aimant. Lorsque le curseur se déplace, le nombre de spires du circuit fermé varie de sorte que le flux magnétique à travers le circuit varie. Pourtant, aucun phénomène d'induction n'est observé. En effet, si l'on utilise la relation \eqref{induction_magnetique_eq11} on trouve \(e=0\), car :

  1. d'une part, le potentiel vecteur est indépendant du temps ;
  2. d'autre part, le champ électromoteur de Lorentz est quasi nul. En effet \(B\simeq 0\) à l'extérieur de l'aimant. Même si on tient compte du champ résiduel extérieur, ce dernier étant dans le plan du circuit, \(\overrightarrow{E}_\text{em}\) est nécessairement perpendiculaire à la partie mobile, de sorte que sa circulation ne peut que donner zéro.

La formule de Lenz-Faraday est donc à manier avec précaution. Cette formule suppose en fait une variation continue des paramètres qui définissent la configuration du circuit. L'exemple ci-dessus ne respecte pas cette condition, car la surface enfermée par le circuit varie de façon discontinue à chaque fois que le curseur entre en contact avec une spire au cours de son déplacement.

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Pour en savoir plus...

  1. J. Roussel Interactions magnétiques[en ligne], 2016, disponible sur femto-physique.fr
  2. A. Deiber et H. Idda Freinage par courants de foucault (II): Des charges réparties en volume guident les courants induitsBUP vol. 101, №891, p.177-197, 2007.
  3. J. Roussel Équations de Maxwell dans le videDisponible bientôt sur femto-physique.fr
  4. J. Roussel et D. Cordier Courants de Foucault induits dans un cylindre conducteur - Approche numériqueBUP cahier enseignement supérieur vol. 105, №938(2), p.101-114, 2011.
  5. H. Gié et J.P. Sarmant Electromagnétisme, volume 1 et 2Collection des sciences physiques, Technique et documentation, Lavoisier, 1985.
  6. E. M. Purcell Cours de physique de Berkeley, tome 2 : Électricité et magnétismeDunod, 1998.