MENUCours d'Optique

Lorsque l'on superpose deux faisceaux monochromatiques, l'intensité qui en résulte varie spatialement entre un maximum qui dépasse la somme des intensités et un minimum qui peut être nul. Ce phénomène est appelé interférence et concerne tout phénomène ondulatoire. En optique, son observation est rendue difficile car les sources réelles ne sont jamais absolument monochromatiques  : elles sont le siège de fluctuations aléatoires de phase et d'amplitude qui brouillent les interférences. Un dispositif de division du front d'onde ou d'amplitude est souvent nécessaire pour fabriquer, à partir d'une source, deux sources secondaires dites cohérentes.

Après une introduction au phénomène d'interférence à deux ondes, c'est à de tels dispositifs interférométriques qu'est consacré ce chapitre.

Interférence de deux ondes monochromatiques

Cas de deux ondes non synchrones

Envisageons tout d'abord deux sources S₁ et S₂ produisant deux ondes monochromatiques non synchrones, c'est-à-dire de fréquences différentes. Examinons ce qu'il se passe dans la région où les deux ondes se superposent. En un point M de ce champ d'interférence, l'état ondulatoire de chaque onde peut s'écrire \[ \psi_1=A_1\cos(\omega_1t-\phi_1) \qquad\text{et}\qquad \psi_2=A_2\cos(\omega_2t-\phi_2) \] où \(\omega_1\) et \(\omega_2\) sont deux pulsations différentes. Lorsque S₁ (resp. S₂) est seule active, elle produit un rayonnement d'intensité \(I_1={A_1}^2/2\) (resp. \(I_2={A_2}^2/2\)). En revanche, quand les sources sont simultanément actives, l'onde résultante vaut \(\psi=\psi_1+\psi_2\). Élevons \(\psi\) au carré  : \[ \begin{split} \psi^2={A_1}^2\cos^2(\omega_1t-\phi_1)+{A_2}^2\cos^2(\omega_2t-\phi_2)\\ +2A_1A_2\cos(\omega_1t-\phi_1)\cos(\omega_2t-\phi_2) \end{split} \] Prenons maintenant la moyenne temporelle pour obtenir l'intensité de l'onde résultante. Rappelons au passage que \[ \langle\cos(at)\cos(bt)\rangle=\langle\sin(at)\sin(bt)\rangle= \begin{cases} 1/2&\text{ si }a=b\\ 0&\text{ si }a\neq b \end{cases} \] Aussi, on obtient \[ I=\langle\psi^2\rangle=\frac12{A_1}^2+\frac12{A_2}^2=I_1+I_2 \]

Cas de deux ondes synchrones

Supposons maintenant les deux ondes lumineuses synchrones de pulsation commune \(\omega\). L'état ondulatoire de l'onde résultante en M s'écrit \[ \psi(\text{M},t)=A_{1}\cos(\omega t-\phi_{1})+A_{2}\cos(\omega t-\phi_{2}) \] d'où l'on déduit l'intensité du rayonnement en M  : \[ \begin{split} I(\text{M})=\langle\psi(\text{M},t)^{2}\rangle= \langle {A_1}^{2}\cos^{2}(\omega t-\phi_{1})+{A_2}^{2}\cos^{2}(\omega t-\phi_{2})\\ +2A_{1}A_{2}\cos(\omega t-\phi_{1})\cos(\omega t-\phi_{2})\rangle \end{split} \] Sachant que \(\langle\cos^{2}(\omega t+\phi)\rangle=1/2\) et \[ \cos(\omega t-\phi_{1})\cos(\omega t-\phi_{2})=\frac{1}{2}\left[\cos\left(2\omega t-\phi_{1}-\phi_{2}\right)+ \cos\left(\phi_{2}-\phi_{1}\right)\right] \] on obtient \[ I(\text{M})=\frac{1}{2}{A_1}^{2}+\frac{1}{2}{A_2}^{2}+A_{1}A_{2}\langle\cos\Delta\phi\rangle \] Avec \(\Delta\phi=\phi_{2}-\phi_{1}\), le déphasage entre les deux ondes. Finalement, si une source S₁ produit en M une intensité \(I_1\) et qu'une deuxième source produit une intensité \(I_{2}\), alors les deux sources, simultanément actives, produisent en M une onde d'intensité

Comme on le voit, l'intensité résultant de la superposition de deux ondes n'est pas égal à la somme des intensités. On dit qu'il y a un phénomène d'interférence ou que les ondes interfèrent. Le terme \(2\sqrt{I_{1}I_{2}}\,\langle\cos\Delta\phi\rangle\) représente le terme d'interférence.

Ce phénomène, assez couramment observé en acoustique, ne s'observe pas si facilement dans le domaine optique. Afin de comprendre pourquoi, explicitons le terme \(\langle\cos\Delta\phi\rangle\). Si l'onde \(\psi_1\) est issue d'une source S₁, on a vu que son retard de phase est donné en M par la quantité \[ \phi_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}L_{1}+\varphi_{1} \] avec \(L_{1}\) le chemin optique le long du trajet \(\overset{\displaystyle\frown}{\mathrm{S_{1}M}}\) et \(\varphi_1\) la phase à l'origine qui dépend du processus d'émission. De la même manière, \[ \phi_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}L_{2}+\varphi_{2} \] de sorte que \[ \Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta+\Delta \varphi \quad\text{avec}\quad \delta=L_2-L_1 \quad\text{et}\quad \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1 \] La différence de chemin optique \(\delta\) est souvent appelée différence de marche. On distingue essentiellement deux cas :

• \(\Delta\varphi\) varie de façon aléatoire. C'est par exemple le cas lorsque les deux sources quasi monochromatiques sont indépendantes. Le processus d'émission fait que \(\varphi_2\) et \(\varphi_1\) varient de façon imprévisible avec un temps caractéristique \(\tau_c\) assez court. Le détecteur va donc moyenner un grand nombre de figures d'interférences de sorte que \(\langle\cos\Delta \phi \rangle=0\). Il n'y'a pas d'interférence. On dit que les sources sont incohérentes.
• \(\varphi_2\) et \(\varphi_1\) varient de façon imprévisible, mais pas \(\Delta \varphi\). On dit que les sources sont corrélées ou cohérentes (voir [7]). Le cas le plus simple correspond à deux sources qui émettent constamment en phase  : \[ \varphi_{1}=\varphi_{2} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\phi=\frac{2\pi\delta}{\lambda} \]

Rôle de la polarisation

L'analyse faite jusqu'ici s'inscrit dans le cadre du modèle scalaire ; il oublie donc l'aspect vectoriel des ondes électromagnétiques. Regardons le rôle de la polarisation dans le phénomène d'interférence. Pour cela, considérons deux ondes planes monochromatiques de vecteurs de propagation \(\overrightarrow{k_{1}}\) et \(\overrightarrow{k_{2}}\) et polarisées suivant \(\overrightarrow{u_{1}}\) et \(\overrightarrow{u_{2}}\). Écrivons le champ électrique résultant de la superposition des ondes en un point M de vecteur position \(\overrightarrow{r}\) : \[ \underline{\overrightarrow{E_1}}(\text{M},t)= E_{1}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k_1}\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_1)}\,\overrightarrow{u_{1}} \quad\text{et}\quad \underline{\overrightarrow{E_2}}(\text{M,t})= E_{2}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k_2}\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_2)}\,\overrightarrow{u_{2}} \] où l'on a adopté la notation complexe. Le champ résultant vaut donc \[ \underline{\overrightarrow{E}}(\text{M},t)= \mathrm{e}^{i\omega t}\left[ E_1\,\mathrm{e}^{i\phi_1}\,\overrightarrow{u_1}+E_2\,\mathrm{e}^{i\phi_2}\,\overrightarrow{u_2} \right] \quad\text{avec}\quad \phi_i=-\overrightarrow{k_i}\cdot\overrightarrow{r}+\varphi_i \] L'intensité est proportionnelle au carré moyen du champ électrique. Sachant que \(I_1={E_1}^2/2\) et \(I_2={E_2}^2/2\), on trouve : \[ I=\frac12\langle\underline{\overrightarrow{E}}\cdot\underline{\overrightarrow{E}}^\star\rangle= I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\,\langle(\cos\Delta \phi)\,\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}\rangle \] où \(\Delta \phi=\phi_1-\phi_2\) représente le déphasage entre les ondes. On voit ici que le terme d'interférence \(2\sqrt{I_1I_2}\,\langle\cos\Delta \phi\,(\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2})\rangle\) dépend de la polarisation. On notera que :

• d'une part, il ne peut pas y avoir d'interférence entre deux ondes polarisées à 90°, fait que ne peux expliquer la théorie scalaire et qui fut mis en évidence par François Arago ;
• d'autre part, si la polarisation est complètement aléatoire et non corrélée au déphasage \(\Delta\phi\), alors \(\langle\cos\Delta\phi\,(\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2})\rangle=\langle\cos\Delta\phi\rangle \langle \overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}\rangle=0\) car \(\langle \overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}\rangle=0\). Aucune interférence n'est observée.

Finalement, générer des interférences lumineuses nécessite de produire une certaine corrélation de phase et de polarisation.

Contraste des franges d'interférences

Quand deux sources synchrones et cohérentes interfèrent, le déphasage \(\Delta \phi\) n'est plus aléatoire mais dépend du point M. On observe alors une modulation spatiale de l'intensité résumée par la relation \[ I(\text{M})=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta \phi(\text{M}) \] Le terme franges d'interférences est une autre façon de désigner cette modulation d'intensité.

Attardons-nous sur le cas où \(I_1=I_2=I_0\). L'intensité suit la loi simple

Il existe des endroits où l'intensité est maximale et égale à \(4I_0\) (et non à \(2I_0\) en l'absence d'interférence). Ces endroits forment alors des franges brillantes et correspondent à la superposition d'ondes en phase \((\cos\Delta\phi=1)\) ce qui double l'amplitude et donc quadruple l'intensité du rayonnement. On parle d'interférence constructive.

De même, il existe des endroits où l'intensité est nulle qu'on appelle des franges sombres et qui correspondent à \(\cos\Delta\phi=-1\). Dans ce cas, les ondes qui se superposent vibrent en opposition de phase de sorte que l'onde résultante s'annule  : on dit qu'il y a interférence destructive.

Quand les ondes qui interfèrent ne présentent pas la même intensité, il n'est plus possible d'obtenir \(I=0\). En effet, l'intensité vaut au minimum \(I_\text{min}=\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2\), terme non nul quand \(I_1\neq I_2\). Par conséquent, la modulation d'intensité est moins contrastée. Pour mesurer le contraste, on définit le terme sans dimension \(\gamma\), donné par

\(\gamma\) est appelé contraste ou facteur de visibilité. Dans le cas de l'interférence à deux ondes, on a \(I_\text{max}=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\) et \(I_\text{min}=I_{1}+I_{2}-2\sqrt{I_{1}I_{2}}\) de sorte que le contraste vaut \[ \gamma=\frac{2\sqrt{I_{1}I_{2}}}{I_{1}+I_{2}}\leq 1 \qquad\text{d'où}\qquad I=(I_1+I_2)(1+\gamma\cos\Delta \phi) \] La figure ci-dessous montre comment la visibilité des franges diminue avec \(\gamma\).

Système interférentiel

Concrètement, pour réaliser au moins deux sources cohérentes, le plus simple consiste à utiliser l'un des deux dispositifs suivants :

• interféromètre à division d'amplitude  : une surface partiellement réfléchissante opère une division du flux lumineux incident. Les deux faisceaux émergeants sont cohérents et interfèrent après avoir parcouru des chemins différents.
• interféromètre à division du front d'onde  : on prélève sur un faisceau incident deux faisceaux provenant de deux endroits différents du front d'onde.

Division du front d'onde

Expérience d'Young

Thomas YoungThomas Young (1773 Milverton, Somerset - 1829 Londres ) : médecin et physicien anglais. Partisan du modèle ondulatoire de la lumière, il fit une expérience décisive en faveur de cette théorie. Passionné d'égyptologie il aida également au déchiffrage de la Pierre de Rosette. réalisa en 1801 une expérience maintenant célèbre puisqu'elle permit de mettre en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Le dispositif consiste à éclairer à l'aide d'une source ponctuelle monochromatique S, un écran percé de deux trous identiques S₁ et S₂ relativement proches et équidistants de S. Ces deux trous diffractent la lumière et se comportent comme deux sources ponctuelles secondaires vibrant en phase et produisant sur un écran placé à la distance \(D\) des franges d'interférences. Dans le champ d'interférence, on observe que :

• la lumière se réparti dans un système de franges alternativement sombres et claires quasi rectilignes.
• ce phénomène d'interférence disparaît lorsque l'on masque l'un des trous.

Analyse qualitative

Il faut noter que S₁ et S₂ sont dans le même état vibratoire puisqu'ils proviennent du même front d'onde ; en ce sens il y a division du front d'onde. Par conséquent, le déphasage en M entre les ondes issues de S₁ et S₂ s'écrit \[ \Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(\mathrm{S_{1}M-S_{2}M}) \] Les franges brillantes sont telles que \(\Delta\phi=2p\pi\) c'est-à-dire \(\mathrm{S_{1}M-S_{2}M}=p\lambda\). Dans cette relation, \(p\) est un entier relatif qui désigne l'ordre d'interférence.

• \(p=0\) correspond au plan médiateur de [S₁S₂] ce qui donne sur l'écran d'observation, une frange rectiligne horizontale. Cette frange a la particularité d'être achromatique  : en effet, sa position étant indépendante de \(\lambda\), elle sera blanche si la source est blanche.
• Pour \(p\neq0\), l'ensemble des points M tel que \(\mathrm{S_1M-S_2M}=p\lambda\) correspond à une hyperboloïde d'axe de révolution S₁S₂. Dans le plan (\(x\)O\(z\)) on observe des branches d'hyperboles et sur l'écran des franges quasi rectilignes parallèles et horizontales (cf. Figure ci desous). On peut noter que ces franges n'existent pas toujours puisque la condition \(\mathrm{S_1 M-S_2M}=p\lambda\) avec \(p\neq 0\) n'a pas de solution lorsque \(p\lambda>a\). C'est pourquoi, si \(a<\lambda\), on ne voit que la frange centrale. En pratique, \(\lambda\) étant de l'ordre du \(\mathrm{\mu m}\) et \(a\) de l'ordre du mm, on observe un grand nombre de frangesLe nombre 1+2a/λ donne le nombre de franges brillantes. En pratique le nombre de franges visibles est limité par le champ d'interférence et les phénomènes d'incohérence..

Répartition de l'intensité

Cherchons à établir la répartition de l'intensité du rayonnement sur un écran placé parallèlement à l'écran source et à la distance \(D\gg a\). Tout d'abord, si les trous sont de même taille, on peut considérer que l'onde produite par \(S_{1}\) en un point de l'écran est de même amplitude que celle créée par \(S_{2}\). On peut donc se ramener à l'étude de l'interférence de deux ondes identiques issues de deux points différents. On a vu précédemment que l'intensité vaut dans ce cas \[ I=2I_{0}(1+\cos\Delta\phi) \quad\text{avec}\quad \Delta\phi=\frac{2\pi}{\lambda}(\mathrm{S_{1}M-S_{2}M}) \] où \(I_0\) est l'intensité obtenue lorsque l'on masque un trou. En pratique, le champ d'interférence est assez restreint (limité par le champ de diffraction et l'incohérence de la source), c'est pourquoi on se place dans le cadre des petits angles  : \(\left|x\right|\ll D\) et \(\left|y\right|\ll D\). Le déphasage vaut  : \[ \begin{array}{rcl} \Delta\phi &=& \dfrac{2\pi}{\lambda}(\mathrm{S_1 M-S_2 M})\\[2mm] &=& \dfrac{2\pi}{\lambda}\left(\sqrt{(x+a/2)^2+y^2+D^2}-\sqrt{(x-a/2)^2+y^2+D^2}\right)\\[2mm] &=& \dfrac{2\pi}{\lambda}D\left(\sqrt{1+\frac{(x+a/2)^2+y^2}{D^2}}-\sqrt{1+\frac{(x-a/2)^2+y^2}{D^2}}\right)\\[2mm] &\simeq&\dfrac{2\pi}{\lambda}D\left(1+\frac{1}{2}\frac{(x+a/2)^2+y^2}{D^2}-1-\frac{1}{2}\frac{(x-a/2)^2+y^2}{D^2}\right)\\[2mm] \Delta \phi &\simeq & \dfrac{2\pi}{\lambda}\dfrac{ax}{D} \end{array} \] où l'on a utilisé \(\sqrt{1+\epsilon}\simeq1+\epsilon/2\) quand \(\epsilon\ll 1\). L'intensité s'écrit donc :

Comme on le voit sur la figure ci-contre, l'intensité est modulée spatialement suivant \(x\), ce qui fait apparaître des franges rectilignes horizontales. Les franges brillantes sont telles que \(x_{p}=pi\) avec \(p\) l'ordre d'interférence. Autrement dit, \(i\) correspond à la distance qui sépare deux franges brillantes  : \(i\) est l'inter-frange.

Si l'on veut que le phénomène soit visible à l'œil nu, l'interfrange \(i\) doit être de l'ordre du millimètre au moins. Comme la longueur d'onde est de l'ordre du micromètre, il faut \(\frac{D}{a}>10^{3}\). Si l'on choisit \(D=1\,\mathrm{m}\), cela impose \(a<1\,\mathrm{mm}\).

Dispositifs équivalents

De nombreux dispositifs se ramènent à l'expérience des trous d'Young. Il s'agit, dans tous les cas, de produire à partir d'une source ponctuelle, deux sources secondaires par division du front d'onde.

Biprisme de Fresnel

Prenons deux prismes en verre d'indice \(n\) dont la base est un triangle rectangle de faible angle au sommet \(A\). Accolons ces deux prismes de façon à former un biprisme comme l'indique la figure ci-dessous. Éclairons maintenant le biprisme à l'aide d'une source ponctuelle S. Chaque prisme dévie la lumière d'un angle \((n-1)A\) vers le haut ou vers le bas suivant leur disposition. Finalement, le biprisme transforme S en deux images virtuelles S₁ et S₂ qui vibrent en phase. On observe alors des franges d'Young dans le champ d'interférence.

Bilentilles de Billet

Découpons une lentille mince convergente en son diamètre de façon à former de demi-lentilles. Plaçons entre ces deux parties un cache opaque d'épaisseur \(e\). Cette bilentille forme à partir d'une source ponctuelle S deux images cohérentes ponctuelles S₁ et S₂ séparées de la distance \[ a=e(1+|\gamma|) \] où \(\gamma\) est le grandissement transversale. Par exemple pour un montage \(2f'-2f'\), on a \(|\gamma|=1\) et \(a=2e\). Dans le champ d'interférence, on observe des franges d'Young.

Miroirs de Fresnel

Accolons deux miroirs plans par leur côté de façon à former un angle faible. Si l'on éclaire le dispositif par une source ponctuelle S, la lumière émergente provient de deux sources virtuelles S₁ et S₂ cohérentes. On observe donc des franges d'Young dans le champ d'interférence.

Fentes d'Young

Les trous d'Young sont simplement remplacés par des fentes horizontales ce qui permet d'augmenter la luminosité du phénomène sans altérer le contraste.

Tous ces dispositifs ont néanmoins le même défaut  : les interférences se brouillent très vite dès que la source n'est plus ponctuelle[7].

Division d'amplitude

Division d'amplitude par une lame

Lorsqu'un rayon lumineux rencontre un dioptre, la lumière se divise en deux rayons, l'un réfléchi l'autre réfracté (quand l'angle de réfraction donné par la loi de Snell-Descartes est défini). Cette division d'amplitude ne se réalise pas de façon équitable. Les taux de réflexion et de transmission sont donnés par les coefficients de Fresnel, lesquels dépendent des conditions d'incidence et de polarisation. Cependant, si l'on se limite au cas où l'incidence est faible, les coefficients de Fresnel prennent la forme simple suivante  : \[ r_{1\to 2}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \qquad\text{et}\qquad t_{1\to 2}=\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}} \] où \(r_{1\to 2}\) désigne le rapport entre l'amplitude du rayon réfléchi et celui du rayon incident pour un rayon allant d'un milieu d'indice \(n_1\) vers un milieu d'indice \(n_2\). \(t_{1\to 2}\) concerne quant à lui le rayon transmis et le rayon incident. Une des conséquences de ces formules est que la réflexion partielle de la lumière s'accompagne d'un déphasage de \(\pi\) lorsque l'indice augmente ( \(r_{1\to2}<0\) si \(n_{1} < n_{2}\)). Pour comparer les intensités, on introduit les pouvoirs de réflexion et de transmission \[ \mathcal{R}=\frac{I_\text{réfléchi}}{I_\text{incident}}=\left|r_{1\rightarrow2}\right|^{2} \qquad\text{et}\qquad \mathcal{T}=\frac{I_\text{transmis}}{I_\text{incident}}=1-\mathcal{R} \]

Prenons un faisceau de lumière issu d'une source ponctuelle, tombant sur une lame transparente puis faisons un calcul estimatif de l'intensité des différents rayons transmis et réfléchis. Pour une interface air/verre on obtient, en prenant \(n_1=1\) et \(n_2=1{,}5\), \(\mathcal{R}=4\%\) et \(\mathcal{T}=96\%\), ce qui donne la répartition représentée sur la Fig.8. En transmission, on constate que le premier rayon sortant est beaucoup plus intense que les suivants ce qui rend les interférences quasi invisibles. En réflexion, on note que les deux premiers rayons ont des intensités comparables ce qui produit des interférences contrastées ; les autres rayons ayant des intensités trop faibles, peuvent être négligés.

Franges d'égale inclinaison

Supposons maintenant que la lame soit à faces parallèles. Exprimons la différence de phase introduite par la lame en fonction de son indice \(n\), de son épaisseur \(e\) et des conditions d'incidence. Tout d'abord, la première réflexion s'accompagne d'un déphasage de \(\pi\), contrairement à la seconde réflexion. Par ailleurs, les rayons émergeants étants parallèles, ils interfèrent à l'infini (ou dans le plan focal d'une lentille) ce qui oblige à comparer l'état ondulatoire de ces deux rayons dans un plan perpendiculaire. On a donc

ce qui donne, \[ \begin{array}{rcl} \delta &=& n\text{(2IJ)}-n_\text{air}(\text{IK}\sin i)\\[2mm] &=& n\dfrac{2e}{\cos r}-n_\text{air}(2e\tan r\,\sin i)\\[2mm] &=& 2ne\left(\dfrac{1}{\cos r}-\tan r\,\sin r\right)\\[2mm] &=& 2ne\dfrac{1-\sin^2 r}{\cos r}\\[2mm] \delta &=& 2ne\,\cos r \end{array} \] Pour résumer, les deux premiers rayons réfléchis sont déphasés de la quantité

En conséquence, on observe des interférences constructives quand \(\Delta\phi=2p\,\pi\) avec \(p\) entier. Cette condition n'est remplie que pour certaines incidences, c'est pourquoi on parle de franges d'égale inclinaison.

Ces rayons de même inclinaison ne se rencontrent qu'à l'infini : les interférences sont donc localisées à l'infini. En pratique, on utilise une lentille convergente (focale \(f'\)) qui projette les rayons d'égale inclinaison dans son plan focale image (cf. Figure ci-dessous). Les rayons de même inclinaison \(i\) convergent alors sur un cercle de centre F' : on observe donc des franges annulaires concentriques.

Cherchons à exprimer le rayon d'une frange d'ordre \(p\). La condition d'interférence constructive donne \[ \Delta \phi=2p\,\pi \quad\Longrightarrow\quad \cos r_p=\dfrac{\lambda}{4ne}(2p-1) \] Dans l'approximation paraxiale (\(i\) et \(r\) son petits), on a \(\cos r \simeq 1-{r}^2/2\). Par ailleurs, toujours dans le même cadre approximatif, le rayon \(R\) d'un anneau est lié à l'inclinaison via \(R\simeq f'\,i\). En vertu de la loi de réfraction \(\sin=n\sin r\) qui devient \(i\simeq n\, r\), on aboutit finalement à \[ {R_p}^2=\mathrm{C^{te}}-k\dfrac{\lambda nf'^{2}}{e} \] où \(R_p\) est le rayon de la frange d'ordre \(p\). Son carré suit donc une loi arithmétique. Ainsi, au fur et à mesure que \(p\) diminue, les anneaux s'éloignent du centre en se resserrant.

Franges d'égale épaisseur

Considérons maintenant une lame mince d'indice uniforme mais d'épaisseur variable. On suppose cependant que l'épaisseur varie sur une grande échelle comparée à l'épaisseur de la lame. Dans ce cas, si l'on envoie un faisceau de lumière en incidence faible, l'épaisseur de la lame au point incident n'est pas significativement différent de celui au point émergeant. Dans ce contexte, la formule (2) \[ \delta=2ne\,cos r \] reste valide à condition d'admettre que \(e\) désigne l'épaisseur locale de la lame mince.

Éclairons la lame avec un faisceau de rayons parallèles. L'angle \(i\), comme l'angle \(r\), est fixé de sorte que la différence de chemin optique n'est fonction que de l'épaisseur locale de la lame mince. Le lieu des points qui produit une frange d'ordre \(p\) est donné par l'équation \[ \frac{2\pi \delta}{\lambda}+\pi=2p\,\pi \qquad\text{soit}\qquad 2ne\cos r=\left(p-\frac12\right)\lambda \]

Le passage d'une frange brillante d'ordre \(p\) entier à une frange voisine d'ordre \(p+1\) traduit un changement d'épaisseur de \(\lambda/(2n\cos r)\). La figure d'interférence renseigne donc sur le relief de la lame. On parle alors de frange d'égale épaisseur ou franges de Fizeau. On montre que ces interférences sont localisées au voisinage de la lame (Fig.11). En général, pour les visualiser il suffit de faire l'image de la lame sur un écran.

Ce type d'observation est utilisé dans le contrôle des surfaces par interférométrie (mesure de faibles épaisseurs, vibrations de surface etc.). Par exemple, le polissage et le contrôle des miroirs pour les astronomes amateurs repose sur l'interférométrie. On atteint une précision dans le contrôle de l'état de surface de l'ordre du dixième de micron ! De la même manière, l'étude du contact de micro-gouttes sur un substrat repose sur l'étude des franges d'égale épaisseur observées par microscopie interférentiel.

Choisir une source étendue permet d'amplifier la luminosité du phénomène qui ne reste cependant visible qu'au voisinage de la lame mince. Une observation à l'œil nu (l'oeil fait la mise au point sur la lame) permet de sélectionner un pinceau de lumière formant un angle incident sur la lame quasi constant ce qui permet de voir des franges d'égale épaisseur avec une certaine valeur de \(\cos r\). En lumière blanche, chaque composante monochromatique produit son propre système de franges ce qui donne aux lames minces un aspect irisé. Dans le quotidien on observe facilement ces irisations~:

• une mince couche d'huile sur l'asphalte humide les fait apparaître ;
• on les rencontre à la surface des bulles et lames de savon ;
• si l'on presse deux lames de verre l'une contre l'autre et que l'on emprisonne quelques poussières, on forme une lame d'air d'épaisseur variable. On voit alors apparaître des franges d'égale épaisseur qui se déforment lorsque l'on serre plus ou moins les lames l'une contre l'autre.

Interféromètre de Michelson

L'interféromètre de MichelsonAlbert Abraham Michelson (1852 Pologne - 1931 États-unis) est lauréat du prix Nobel 1907 pour la précision de ses mesures optiques et les recherches en spectroscopie et en métrologie menées grâce à elles. En 1878, avec un montage à 10 dollars, il réussit sa première mesure de la vitesse de la lumière ! En 1881 il invente un interféromètre qui porte maintenant son nom et qui devait permettre la mise en évidence du mouvement relatif de la Terre par rapport à un hypothétique éther, support de propagation de la lumière. L'absence de mise en évidence d'un tel mouvement a constitué l'un des points de départ de la théorie de la relativité restreinte, dans laquelle l'hypothèse de l'éther est abandonnée au profit du postulat selon lequel la lumière se propage dans le vide à une vitesse indépendante du référentiel. est un dispositif qui fait interférer deux ondes issues d'une division d'amplitude. À partir d'un faisceau d'intensité \(I_0\), une lame semi-réfléchissante, appelée séparatrice produit deux faisceaux perpendiculaires d'intensité égal à \(I_0/2\). Chacun de ces faisceaux est ensuite réfléchi par un miroir (noté M₁ ou M₂) et retraverse la séparatrice. À la sortie de l'interféromètre, les deux faisceaux ont entre eux une différence de marche fonction de la distance et de l'angle entre les miroirs, interfèrent. Le miroir M₂ est monté sur un chariot, ce qui permet de faire varier la différence de marche en tournant une vis micrométrique. On dispose d'autre part de tout un lot de vis destinées à régler l'orientation des lames et des miroirs.

Seul un côté de la séparatrice est réfléchissant. Par conséquent, un des faisceaux traverse la séparatrice une seule fois alors que l'autre faisceau la traverse trois. Pour compenser la différence de marche parasite qui en résulte, une lame identique mais non réfléchissante appelée compensatrice est accolée à la séparatrice de façon à ce que chacun des faisceaux traverse 4 fois l'épaisseur d'une lame. La figure ci-dessous retrace le parcours d'un rayon lumineux (la compensatrice est volontairement omise, par souci de simplification).

Lorsque les miroirs sont perpendiculaires et à égale distance de la séparatrice, on se trouve au contact optique. Les deux faisceaux parcourent alors le même chemin optique ceci quelque soit leur inclinaison : on n'observe pas de franges d'interférence. En agissant sur le miroir M₂, on fait apparaître des franges d'interférences. On distingue deux types de configuration.

Configuration dite en lame d'air —Ce type d'interférence est obtenu lorsque l'image M'₂ du miroir M₂ par rapport à la séparatrice est parallèle à M₁. Dans ce cas, l'interféromètre est optiquement équivalent à une lame d'air à faces parallèles d'épaisseur \(e\). Comme on l'a vu pour la lame à faces parallèles, les interférences sont localisées à l'infini, d'où l'utilisation d'une lentille convergente et d'un capteur placé dans son plan focal.

Si l'on reprend l'expression du déphasage produit par une lame d'épaisseur constante et que l'on fait \(n=1\), on obtient \[ i=r \qquad\text{et}\qquad \Delta\phi=\frac{4\pi e\cos i}{\lambda} \] Il faut préciser que le terme de déphasage lié à la première réflexion disparaît ici car les rayons subissent le même nombre de réflexions. La frange brillante d'ordre \(p\) entier vérifie la condition \[ \Delta \phi=2p\pi \qquad\text{soit}\qquad \cos i_{p}=p\frac{\lambda}{2e} \qquad\text{avec}\qquad p\in\mathbf{Z} \] Chaque incidence \(i_{p}\) donne à l'écran un anneau brillant, de centre F' et de rayon \(R_p\simeq f'\,i_p\). Déplacer le miroir M₂ permet de modifier l'épaisseur de la lame d'air ce qui conduit à un défilement des franges (cf. [5]). Notamment, quand l'épaisseur diminue (on se rapproche donc du contact optique), l'angle \(i_{p}\) diminue ainsi que le rayon de la frange d'ordre \(p\)  : les anneaux d'interférence "rentrent" dans le centre commun des anneaux au fur et à mesure que l'on se rapproche du contact optique. D'ailleurs, les dénombrer permet d'en déduire la longueur d'onde. En effet, une variation de l'épaisseur \(e\) de \(\Delta e\) conduit à une variation de la différence de chemin optique de \(2\Delta e\). Comme, le défilement d'une frange correspond à une variation de \(\lambda\) sur la différence de chemin optique on en conclut que le défilement de \(N\) franges correspond à une variation d'épaisseur donnée par \[ 2\Delta e=N\lambda \qquad\text{d'où}\qquad \lambda=\frac{2\Delta e}{N} \]

Configuration dite en coin d'air — À partir du contact optique, inclinons maintenant le miroir mobile. Dans ce cas, l'image M'₂ du miroir M₂ et M₁ forment entre eux un angle \(\alpha\). L'interféromètre est optiquement équivalent à un coin d'air. Les franges d'interférence (franges d'égale épaisseur) sont alors localisées près de la surface des miroirs et observables à l'œil nu ou grâce à une lentille convergente qui en forme l'image sur un écran.

Le faisceau source est en général collimaté (à l'aide d'une lentille par exemple) de façon à garantir une incidence quasi normale (\(i\simeq 0\)). La différence de marche est donnée par : \[ \delta=2ne(\text{I})\,\cos r=2e(\text{I})\cos i\simeq 2e(\text{I}) \] avec \(e(\text{I})\), l'épaisseur du coin d'air au point incident I. Repérons le point I par la coordonnée \(y\) comptée à partir du sommet du coin d'air. Dans ce cas, on a \(e(\text{I})=y\,\tan\alpha\). La frange brillante d'ordre \(p\) vérifie l'équation (comme l'angle est petit on a \(\tan\alpha\simeq\alpha\)) \[ \delta=p\lambda \qquad\text{d'où}\qquad y_{p}=p\frac{\lambda}{2\alpha} \] On observe donc, comme l'indique la figure ci-dessus, des franges rectilignes parallèles à l'axe d'inclinaison des miroirs. L'inter-frange vaut \[ i=y_{p+1}-y_{p}=\frac{\lambda}{2\alpha} \] Ainsi, plus \(\alpha\) est grand, plus l'inter-frange est petitÉvidemment, sur l'écran, l'interfrange est amplifié par le grandissement du système de projection.. Les franges sont visibles à l'œil nu à la condition que l'interfrange \(i\) ne soit pas trop petit. Si nous fixons \(i>0{,}1\,\mathrm{mm}\) alors on trouve \(\alpha<10\) minutes d'arc ! Le coin d'air fait effectivement un angle très petit.

Éclairé en lumière blanche, l'interféromètre fera apparaître des franches irisées puisque l'interfrange dépend de la longueur d'onde. Toutefois, la frange d'ordre \(p=0\), présente la particularité d'avoir une position indépendante de la longueur d'onde. Autrement dit, en lumière blanche, cette frange est blanche puisque toutes les composantes chromatiques donneront lieu à une frange identique. Cette frange, dite achromatique, est bien visible sur l'interférogramme ci-dessous (cf. [6]).

Autres interféromètres à division d'amplitude

Il existe de nombreux dispositifs qui reposent sur la division d'amplitude. Comme l'interféromètre de Michelson, ils sont d'une grande précision et rendent de précieux services dans les domaines suivants.

• En spectroscopie, pour la mesure précise des longueurs d'onde et des largeurs de raie spectrale. L'étude du signal capté dans un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air permet de remonter au spectre de la source. On parle d'interférométrie par transformée de Fourier. L'interféromètre de Fabry-Pérot est également utilisé comme spectromètre à haute résolution (interférences à \(N\) ondes).
• En analyse des surfaces. On peut contrôler l'état d'une surface avec une précision de l'ordre de \(100\,\mathrm{nm}\) grâce à l'interféromètre Twyman-Green qui est une variante de l'interféromètre de Michelson.

• En aérospatiale pour le contrôle de la navigation grâce à l'interféromètre de SagnacInventé par Georges Sagnac en 1913, cet interféromètre repose sur l'effet Sagnac  : deux ondes lumineuses parcourant le même chemin en sens opposé se trouvent déphasés si le référentiel lié à l'émetteur et au récepteur est en rotation. Plus précisément, le déphasage est proportionnel à la vitesse angulaire de rotation. utilisé comme gyrolaser ou gyroscope.

• En mécanique des fluides pour la visualisation des écoulements avec l'interféromètre de Mach-Zehnder par exemple. Un écoulement induit des variations de densités et donc des variations d'indice que l'on peut mettre en évidence dans l'interféromètre de Mach-Zehnder formé de deux bras de même longueur. Le signal ne dépend que des variations de phases induites par l'écoulement.

• En astrophysique pour la détection d'ondes gravitationnels. L'interféromètre de Michelson est particulièrement sensible aux variations relatives de longueur entre ses deux bras et constitue l'instrument idéal pour la mesure des ondes gravitationnelles. En effet, théoriquement le passage d'une telle onde produit une déformation anisotrope de l'espace ce qui induit une variation différente des longueurs des deux bras d'un interféromètre. Cependant, en raison de l'extrême sensibilité nécessaire, la longueur des bras doit être de plusieurs centaines de kilomètres. Ceci étant difficilement réalisable sur Terre, on replie le trajet optique en utilisant des réflexions multiples entre deux miroirs. En pratique, on utilise des cavités résonantes du type Fabry-Pérot. Les projets LIGO et VIRGO utilisent ce type de détection et ont permis la première détection des ondes gravitationnelles, le 14 septembre 2015, soit 100 ans après la prévision d'Einstein. Celles-ci, issues de la fusion de deux trous noirs, ont voyagé durant 1,3 milliard d'années avant d'atteindre la Terre et d'être capté sous la forme d'un signal caractéristique extrêmement ténu. Depuis, d'autres évènements de ce type ont été détecté et promettent une nouvelle façon d'observer le cosmos.

Rainer Weiss, Barry C. Barish et Kip S. Thorne ont reçu le Prix Nobel 2017 pour leurs contributions au projet LIGO et la détection des ondes gravitationnelles.

Pour en savoir plus...

1. M. Born et al.Principles of optics : electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light2000.
2. R. TailletOptique physique, propagation de la lumière, DeBoeck supérieur, 2015.
3. J. Peatross et al. Physics of Light and Optics2015. Disponible sur optics.byu.edu
4. J. Roussel Simuler pour apprendre : l'expérience d'Young[en ligne], 2017. Disponible sur femto-physique.fr
5. J. Roussel Simuler pour apprendre : franges d'égale inclinaison[en ligne], 2009. Disponible sur femto-physique.fr
6. J. Roussel Simuler pour apprendre : franges du coin d'air[en ligne], 2009. Disponible sur femto-physique.fr
7. J. Roussel Notion de cohérence[en ligne], 2019. Disponible sur femto-physique.fr
8. R. Fondecave et al. Polymers as dewetting agent Macromoleculesvol. 31, no 26, p. 9305-9315, 1998.