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MENUCours d'Électromagnétisme

Comme on l'a vu, une distribution statique de charges produit en tout point M un champ électrostatique donné par la loi \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=\sum_i\frac{q_i}{4\pi\epsilon_0 {r_i}^2} \overrightarrow{u_i} \] Expression qui est le résultat de la loi de Coulomb et du principe de superposition. De manière équivalente on peut relier le champ électrostatique avec les sources du champ à l'aide de relations mathématiques locales. C'est l'objet de ce chapitre.

Théorème de Gauss

Dans le chapitre sur les conducteurs, nous avons admis le théorème de Gauss qui stipule que le flux du champ électrique à travers une surface fermée quelconque est égal à la quantité de charge électrique située à l'intérieur de la surface : \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=\frac{Q_\text{int}}{\epsilon_0} \] Revenons un instant sur l'origine de ce théorème et voyons comment cette propriété peut s'exprimer sous forme locale.

Flux du champ électrostatique

Le flux du champ électrique à travers S est nul ici
Le flux du champ électrique à travers S est nul ici.

Pour démontrer le théorème de Gauss dans sa version intégrale, commençons par placer une charge électrique \(q\) en O. Celle-ci est responsable d'un champ électrique radial qui décroit comme l'inverse du carré de la distance : \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\, r^2}\overrightarrow{u_r} \quad\text{avec}\quad r=\text{OM} \] Les lignes de champ sont alors des demi-droites partant de O.

Imaginons maintenant une surface fermée S s'appuyant sur des lignes de champ et limitée par deux sections sphériques S\(_1\) et S\(_2\). Par construction, le flux du champ électrostatique à travers S se résume au flux à travers S\(_1\) et S\(_2\). Pour tout point situé sur la section sphérique S\(_1\) le champ électrostatique est constant (en norme) et colinéaire à \(\overrightarrow{n}\) de sorte que (Rappelons que \(\overrightarrow{n}\) est orthogonal à la surface et orienté vers l'extérieur) \[ \iint_\mathrm{S_1} \overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=-E_1 S_1 \] où le signe \(-\) apparaît si l'on suppose la charge positiveVous pourrez vérifier que le résultat final ne dépend pas de cette hypothèse.. De la même manière, le flux à travers la section sphérique S\(_2\) s'écrit \[ \iint_\mathrm{S_2} \overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=E_2 S_2 \] Or, à mesure que l'on s'éloigne de la charge, le champ électrostatique décroit en \(1/r^2\), tandis que l'aire de la section sphérique augmente en \(r^2\) de sorte que \(E_1S_1=E_2S_2\). Il en résulte que \[ \oint_{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=E_2 S_2-E_1 S_1=0 \]

Le flux est-il toujours nul?
Le flux est-il toujours nul ?
Imaginons maintenant que les sections sphériques soient assez petites pour être assimilables a des plans, puis inclinons-les. Le résultat précédent change-t-il ? Ici encore le flux ne dépend que du flux à travers S\(_1\) et S\(_2\). Concentrons-nous sur la surface S\(_2\). En l'inclinant d'un angle \(\theta\) par rapport à la situation précédente, on augmente son aire d'un facteur \(1/\cos\theta\). Dans le même temps le produit scalaire \(\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n}\) diminue d'un facteur \(\cos\theta\). C'est pourquoi, \(\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n}S_2\) reste inchangé et le flux total à travers S est toujours nul si la charge est à l'extérieur.

Theoreme De Gauss
Tout volume peut être décomposé en un ensemble de troncs coniques infinitésimaux de sorte que le flux total à travers la surface fermée qui délimite ce volume est nul si la charge électrique est à l'extérieur.

Munis de ce résultat, on peut facilement se convaincre que le flux du champ électrique créé par une charge ponctuelle à travers une surface fermée est nul lorsque la charge ne s'y trouve pas enfermée. En effet, sélectionnons un faisceau conique de lignes de champ faiblement divergent : soit il ne traverse pas la surface fermée, soit il la traverse en découpant un volume comme étudié précédemment. Dans tous les cas, le flux produit est nul. En additionnant toutes les contributions on aboutit au résultat : \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=0 \quad\text{si la charge est à l'extérieur de }S \] Que se passe-t-il maintenant si la charge est placée à l'intérieur d'une surface fermée S ? Pour trouver la réponse faisons intervenir une sphère S' située à l'intérieur de S et centrée sur la charge. Notez que l'on peut toujours trouver une telle sphère.

Le flux du champ électrique à travers S est le même que celui à travers S'
Le flux du champ électrique à travers S est le même que celui à travers S'.

Appelons S'' la réunion des deux surfaces, puis notons \(\phi\), \(\phi'\) et \(\phi''\) les flux du champ électrostatique à travers les surfaces S, S' et S''. Puisque \(\overrightarrow{n}\) est orienté vers l'extérieur de la surface fermée, on a la relation \(\phi''=\phi-\phi'\). Or, S'' délimite un volume qui ne contient pas la charge électrique. Par conséquent \[ \phi''=0 \quad\text{et}\quad \phi=\phi' \] Il suffit de calculer le flux à travers la sphère S' pour déterminer le flux à travers une surface fermée quelconque. En outre ce calcul est très simple puisque \(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}=E\) avec \(E\) constant et égal à \(\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\, r^2}\) en tout point de la sphère. On trouve donc \[ \phi'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,r^2}\oint_{\text{S'}} \mathrm{d}S= \frac{q}{4\pi\epsilon_0\,r^2}\times 4\pi r^2= \frac{q}{\epsilon_0} \]

En résumé, \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \begin{cases} 0, &\text{ si la charge est à l'extérieur de S}\\ \dfrac{q}{\epsilon_0}&\text{si la charge est à l'intérieur de S} \end{cases} \] Ce résultat se généralise facilement avec \(N\) charges ponctuelles. En effet, en vertu du principe de superposition, le champ électrostatique produit par une distribution \(\{q_{i=1,\ldots,N}\}\) s'écrit \[ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}+\cdots+\overrightarrow{E_N} \] dont le flux vaut \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \sum_i \oint_\text{S} \overrightarrow{E_i}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \frac{\text{somme des charges enfermées par S}}{\epsilon_0} \] Ce résultat important constitue le théorème de Gauss sous sa forme intégrale :

Théorème de Gauss

\begin{equation} \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=\frac{Q_\text{int}}{\epsilon_0} \label{eq:theoreme-de-gauss} \end{equation}

Attardons-nous un instant sur la beauté de ce théorème. Ce qu'il dit est assez surprenant : le flux du champ électrique à travers une surface fermée dépend seulement de la quantité de charge qui s'y trouve. Autrement dit, une fois la surface fermée choisie, on peut toujours déplacer les charges extérieures ; le champ électrique changera partout et notamment en chaque point de la surface fermée, mais le flux à travers celle-ci restera inchangé ! Avouez que c'est contraire à l'intuition. Cette propriété surprenante est comme nous l'avons vu la conséquence de trois attributs de l'interaction électrostatique :

Application du théorème de Gauss

Dans certains cas, le théorème de Gauss sous sa forme intégrale permet de déterminer le champ électrique. Le calcul du champ électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé servira d'illustration.

Fil rectiligne infini et uniformément chargé
Fil rectiligne infini et uniformément chargé de densité linéique \(\lambda\).
Calcul du flux à travers un cylindre fermé
Calcul du flux à travers un cylindre fermé.

Nous avons vu au chapitre sur l'interaction électrostatique comment faire un calcul direct de ce champ en sommant la contribution de chaque élément de fil.

Voyons maintenant comment le théorème de Gauss permet d'obtenir le résultat plus simplement. Tout d'abord, le problème étant invariant vis-à-vis de toute translation suivant l'axe du fil et de toute rotation par rapport à celui-ci, on en déduit que le champ électrique ne dépend que de la distance au fil, que l'on notera \(r\). Par ailleurs, tout plan contenant le fil est un plan de symétrie de sorte que pour tout point M de ce plan, le champ est dans ce plan. Mais le plan perpendiculaire au fil qui passe par M est aussi un plan de symétrie puisque le fil est infini. Il en découle que le champ électrique est radial : en coordonnées cylindriques on a \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=E(r)\, \overrightarrow{u_r} \] Il nous reste à déterminer la fonction \(E(r)\) via le théorème de Gauss. L'astuce consiste à choisir une surface fermée qui permet de relier simplement le flux à \(E(r)\). Un cylindre fermé de rayon \(r\), dont l'axe coïncide avec le fil fera l'affaire. En effet, le flux du champ électrique à travers ce cylindre vaut \begin{multline*} \Phi_E=\oint_\text{cylindre} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S=\iint_{(1)}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n_1}\,\mathrm{d}S \\ +\iint_{(2)}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n_2}\,\mathrm{d}S+ \iint_{(3)}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n_3}\,\mathrm{d}S \end{multline*} où (1) et (3) correspondent aux bases du cylindre et (2) à la surface latérale. Comme on le voit sur le schéma, le champ électrique est perpendiculaire à \(\overrightarrow{n_1}\) et \(\overrightarrow{n_3}\) de sorte que le flux se résume au flux à travers la surface latérale cylindrique. Pour cette surface, le champ électrique est parallèle au vecteur \(\overrightarrow{n_2}\), aussi on a \[ \Phi_E=\iint_{(2)}E(r)\,\mathrm{d}S=E(r)\iint_{(2)}\mathrm{d}S=E(r)\,2\pi r h \] Selon le théorème de Gauss, ce flux vaut \(Q_\text{int}/\epsilon_0\), avec \(Q_\text{int}\) la quantité de charge enfermée par le cylindre, c'est-à-dire ici \(Q_\text{int}=\lambda h\). Finalement l'application du théorème de Gauss donne \[ E(r)\,2\pi r h=\lambda h/\epsilon_0 \quad\text{soit}\quad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0\,r} \] Le champ décroit en \(1/r\) au fur et à mesure qu'on s'éloigne du fil.

Remarque

Vu qu'en réalité un fil infini n'existe pas, il arrive un moment ou la distance au fil est comparable à la longueur du fil. Dès lors on commence à sentir les effets de bords et l'évolution du champ commence à s'écarter sensiblement de l'expression trouvée. Si \(r\) est très grand devant la longueur du fil, on peut traiter le fil comme une charge quasi-ponctuelle de sorte que l'on attend une décroissance en \(1/r^2\) à très grande distance.

Théorème de la divergence

Le théorème de la divergence relie le flux d'un champ vectoriel à travers une surface fermée S, à la somme d'un scalaire en tout point du volume enfermé par S. Ce théorème fait appel à l'opérateur divergence, d'où son nom.

La divergence est un opérateur qui s'applique à un champ vectoriel et retourne un champ scalaire. Il se note \[ \text{div}\overrightarrow{A} \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{A} \] La dernière notation permet de retrouver son expression en coordonnées cartésiennes : \[ \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(x,y,z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A_x(x,y,z)\\A_y(x,y,z)\\A_z(x,y,z) \end{pmatrix} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \]

Calcul du flux à travers un cube
Calcul du flux à travers un cube.

Imaginons un petit cube d'arête \(a\) centré en M(\(x,y,z)\), et dont les faces sont des plans cartésiens. Voyons comment s'écrit le flux d'un champ vectoriel Que l'on suppose continûment dérivable en tout point du volume cubique. \(\overrightarrow{A}\) à travers ce cube. Commençons par exprimer le flux \(\phi_1\) à travers la face (1) perpendiculaire à l'axe (O\(y\)) et située en \(y+a/2\) : \[ \phi_1=\iint_{(1)}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{u_y}\,\mathrm{d}S=\iint_{(1)}A_y(x',y+a/2,z')\,\mathrm{d}x' \mathrm{d}z' \] De même, le flux à travers la face située en \(y-a/2\) vaut \[ \phi_2=\iint_{(2)}\overrightarrow{A}\cdot (-\overrightarrow{u_y})\,\mathrm{d}S= \iint_{(2)}-A_y(x',y-a/2,z')\,\mathrm{d}x' \mathrm{d}z' \] Appelons \(\phi_y\) le flux à travers ces deux faces, et faisons tendre \(a \to 0\). On peut alors considérer l'intégrand constant et égale à sa valeur au centre de la face : \[ \phi_y=\phi_1+\phi_2=\left[A_y(x,y+a/2,z)-A_y(x,y-a/2,z)\right]a^2 \] \(a\) étant un infiniment petit, on peut légitimement remplacer \[ \frac{A_y(x,y+a/2,z)-A_y(x,y-a/2,z)}{a} \quad\text{par}\quad \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} \] ce qui donne \(\phi_y=\dfrac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}a^3\). Ce même raisonnement réitéré sur les faces perpendiculaires aux axes (O\(x\)) et (O\(z\)) aboutit à \[ \phi_x=\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}a^3 \quad\text{et}\quad \phi_z=\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}a^3 \] Finalement, le flux \(\phi\) du champ vectoriel \(\overrightarrow{A}\) à travers un cube infinitésimal centré en \((x,y,z)\) de volume infinitésimal \(\mathrm{d}\tau=a^3\) vaut \[ \phi=\left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}+ \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \right)\, \mathrm{d}\tau=\text{div}\overrightarrow{A}\, \mathrm{d}\tau \]

Flux à travers deux cubes adjacents
Le flux à travers deux cubes adjacents se réduit au flux à travers la surface qui délimite le volume constitué par la réunion des deux cubes.

Mettons dorénavant côte à côte deux cubes infinitésimaux. Lorsque l'on calcule le flux à travers ces deux cubes réunis, on s'aperçoit que la contribution due aux surfaces adjacentes se compensent, car les normales à ces faces sont opposées. Aussi, le flux total se réduit au flux à travers la surface frontière. Dès lors, on conçoit qu'en empilant de tels cubes en nombre infini, on puisse reconstituer un volume fini, de sorte que le flux à travers la surface frontière soit égal à la somme des flux élémentaires produits à travers chaque petit cube constituant le volume. C'est le sens du théorème de la divergence.

Théorème de la divergence

L'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume V est égal au flux de ce champ à travers la surface fermée qui délimite le volume. \[ \oint_{\text{S}} \overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \iiint_{\text{V}}\text{div}\overrightarrow{A}\, \mathrm{d}\tau \]

Ce théorème est aussi appelé théorème de Green-Ostrogradsky.

Équation de Maxwell-Gauss

Plaçons-nous dans le cadre d'un problème d'électrostatique, et imaginons une surface S délimitant un volume V quelconque. En vertu du théorème de Gauss, on a \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=\frac{Q_\text{int}}{\epsilon_0} \] où \(Q_\text{int}\) est la charge électrique que contient le volume V. Adoptons une approche continue pour décrire la répartition des charges : un volume infinitésimal \(\mathrm{d}\tau\) centré en un point M contient une charge \[ \mathrm{d}q=\rho\,\mathrm{d}\tau \] avec \(\rho\) la densité volumique de charge La notion de densité volumique de charge peut s'étendre aux distributions discrètes à condition d'utiliser la distribution de Dirac δ(r⃗). (en C.m\(^{-3}\)). On a donc \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_\text{V} \rho\,\mathrm{d}\tau \] Appliquons maintenant le théorème de la divergence : \[ \oint_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S= \iiint_\text{V} \text{div}\overrightarrow{E}\,\mathrm{d}\tau \] Le volume V étant choisi quelconque, il en découle :

Équation de Maxwell-Gauss

\begin{equation} \text{div}\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E}= \frac{\rho}{\epsilon_0} \label{equation_de_maxwell_gauss} \end{equation}

Cette relation est dite locale car elle relie la source locale de charge (via \(\rho\)) avec ses effets électriques locaux (le champ électrique). Il s'agit de la première équation fondamentale de l'électromagnétisme et nous verrons ultérieurement que sa validité s'étend même aux régimes variablesEn régime variable la loi de Coulomb est violée ; de ce point de vue, on peut dire que l'équation de Maxwell-Gauss se révèle plus générale que la loi de Coulomb..

Discontinuité de la composante normale du champ électrique

Calcul de la discontinuité du champ électrique
Interface chargée séparant deux milieux différents notés 1 et 2.

La relation de Maxwell-Gauss est une équation aux dérivées partielles dont les solutions font intervenir des constantes d'intégration. On détermine généralement ces constantes grâce aux propriétés de symétrie et aux conditions aux limites. Il est donc utile de connaître les relations de passage lorsque l'on traverse une interface séparant deux domaines chargés différemment.

Pour cela imaginons une surface S qui sépare deux domaines (1 et 2). Pour ne pas perdre en généralité, supposons que cette surface présente des charges avec une densité \(\sigma\). Définissons une boîte cylindrique de petite hauteur \(h\), qui traverse S perpendiculairement en découpant un petit contour fermé C. Appliquons le théorème de Gauss dans sa forme intégrale \[ \iint_\mathrm{S_1}\overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{n_{21}} \mathrm{d}S+ \iint_\mathrm{S_2}\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n_{12}} \mathrm{d}S+ \iint_\text{cylindre}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n} \mathrm{d}S= \frac{Q_\text{int}}{\epsilon_0} \] où \(\overrightarrow{n_{12}}\) est un vecteur normal à la surface dirigée de 1 vers 2. Faisons tendre \(h\) vers zéro. Dans ce cas, d'une part la charge intérieure se résume à la charge surfacique, et d'autre part le flux à travers la surface cylindrique latérale tend lui aussi vers 0. Il reste alors \[ -\iint_\mathrm{S_1}\overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{n_{12}} \mathrm{d}S+ \iint_\mathrm{S_2}\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n_{12}} \mathrm{d}S= \frac{1}{\epsilon_0}\iint_\mathrm{S_0} \sigma \mathrm{d}S \] Par ailleurs, choisissons un contour C suffisamment petit pour pouvoir considérer la densité de charge et les champ électriques quasi-uniformes. Dans ce cas, le théorème de Gauss s'écrit \[ -\overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{n_{12}}S_1+\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{n_{12}}S_2= \frac{\sigma S_0}{\epsilon_0} \quad\text{avec}\quad S_1=S_2=S_0 \] avec \(\overrightarrow{E_1}\) (resp. \(\overrightarrow{E}_2\)) le champ électrique qui règne dans le milieu 1 (resp. 2) au voisinage de S. Après simplification, on obtient la relation cherchée :

Relation de passage

La composante normale du champ électrique est discontinue lors de la traversée d'une interface chargée. Cette discontinuité est d'autant plus grande que la densité de charge est importante. \begin{equation} \left(\overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{E_1}\right)\cdot \overrightarrow{n}_{12}=\frac{\sigma}{\epsilon_0} \label{eq:discontinuite_de_la_composante_normale_de_E} \end{equation}

Exemple - Champ créé par une nappe chargée

Nappe chargée
Nappe d'épaisseur \(2a\), chargée uniformément en volume.

Considérons une distribution de charges uniformément réparties entre les deux plans cartésiens d'équation \(x=a\) et \(x=-a\). La densité volumique de charge est donnée par \[ \rho=\begin{cases} \rho_0 & \text{ si }|x| \leq a\\ 0 & \text{ sinon} \end{cases} \] La distribution des charges présente une invariance par translation suivant (O\(y\)) et (O\(z\)). En conséquence le champ électrique ne dépend que de \(x\). Par ailleurs, tout plan contenant l'axe (M,\(\overrightarrow{u_x}\)) est un plan de symétrie, de sorte que le champ électrique est nécessairement suivant \(\overrightarrow{u_x}\). On a \[ \overrightarrow{E}=E(x)\, \overrightarrow{u_x} \] Enfin, le plan \(x=0\) étant un plan de symétrie, on a \(E(-x)=-E(x)\), ce qui permet de restreindre l'étude à \(\mathbb{R}^+\). L'équation de Maxwell-Gauss donne \[ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=\begin{cases} \dfrac{\rho_0}{\epsilon_0} &\text{ si }x\leq a\\ 0 & \text{ si }x>a \end{cases} \] L'intégration de ces équations est élémentaire : \[ E(x)=C_1\quad\text{si }x>a \quad\text{et}\quad E(x)=\dfrac{\rho_0}{\epsilon_0}x+C_2\quad\text{si }x\leq a \]

graphe du champ électrique créé par une nappe chargée
Evolution du champ électrique \(E(x)\).

Il nous reste à déterminer les deux constantes d'intégration. Tout d'abord la fonction \(E(x)\) étant impaire, on a bien sûr \(E(0)=0\) ce qui implique \(C_2=0\). Enfin, la composante normale du champ est continue en \(x=a\) (car \(\sigma=0\)) ce qui se traduit par \[ \lim_{x\to a^-}E(x)=\lim_{x\to a^+}E(x) \quad\text{soit}\quad C_1=\frac{\rho_0}{\epsilon_0}a \] On en déduit l'évolution de la Fig.11.

Circulation du champ électrostatique

Champ conservatif

circulation du champ électrique
Circulation du champ électrique le long d'un circuit fermé orienté.

Plaçons une charge ponctuelle \(q\) en O. Il règne alors dans l'espace un champ électrique donné par \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\, r^2}\, \overrightarrow{u_r} \quad\text{avec}\quad r=\text{OM} \] Faisons maintenant circuler ce champ le long d'un circuit C fermé et orienté. Par définition, la circulation est la quantité \[ \Gamma=\oint_\text{C} \overrightarrow{E}(\text{M})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \] où M parcourt le circuit C dans le sens positif, \(\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) étant son vecteur déplacement infinitésimal.

Le déplacement présente une composante parallèle à $\overrightarrow{u_r}$ et une composante perpendiculaire : $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_\perp}+\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_{||}}$. La composante parallèle, la seule qui nous intéresse pour le calcul de \(\Gamma\), correspond au déplacement radial $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_{||}}=\mathrm{d}r\, \overrightarrow{u_r}$ de sorte que la circulation s'écrit \[ \Gamma=\oint_\text{C}\frac{q\,\mathrm{d}r}{4\pi\epsilon_{0}\,r^2}= \left.\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r}\right|_{r_\text{i}}^{r_\text{f}} \] Mais puisque le circuit est par hypothèse fermé, on a \[ r_\text{i}=r_\text{f} \quad\text{soit}\quad \Gamma=0 \] Si maintenant le champ électrique est produit par une distribution de charges \(\{q_{i=1\ldots N}\}\), conformément au principe de superposition, on a \[ \overrightarrow{E}=\sum_{i=1}^N \overrightarrow{E_i} \quad\text{avec}\quad \oint_\text{C} \overrightarrow{E_i}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0 \] de sorte que la circulation du champ résultant est également nulle.

Circulation du champ électrostatique

En régime statique, la circulation de \(\overrightarrow{E}\) le long de n'importe quel contour fermé est toujours nulle : \[ \oint_\text{C} \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0 \quad\text{pour tout circuit fermé} \] On dit que le champ électrostatique est à circulation conservative.

Remarque

Notez que cette propriété serait encore vérifiée si la force électrique ne variait pas en \(1/r^2\). Elle est à relier au fait que l'interaction coulombienne est une force centrale qui ne dépend que de \(r\).

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes relie la circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour fermé, au flux d'un champ particulier à travers une surface s'appuyant sur le contour initial. Ce théorème fait intervenir un nouvel opérateur différentiel : le rotationnel.

L'opérateur rotationnel agit sur un champ vectoriel, et retourne également un champ vectoriel. Il se note \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A} \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A} \] La dernière notation permet de retenir l'expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes : \begin{equation} \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}= \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\\ \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} A_{x}\\[2mm] A_{y}\\[2mm] A_{z}\\[2mm] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_{z}}{\partial y}-\frac{\partial A_{y}}{\partial z}\\[1mm] \frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{dx}\\[1mm] \frac{\partial A_{y}}{dx}-\frac{\partial A_{x}}{dy}\\[1mm] \end{pmatrix} \end{equation}

circulation le long d'un carré
Circulation le long d'un carré orienté d'arête \(a\).

Imaginons un contour carré, d'arête \(a\), centré en M(\(x,y,z\)) et orienté dans le sens trigonométrique. Disposons provisoirement le contour perpendiculairement à l'axe (O\(x\)). La circulation d'un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}\) le long de ce contour s'écrit

\begin{multline*} \Gamma=\int_{z-\frac{a}{2}}^{z+\frac{a}{2}}A_z\left(x,y+\frac{a}{2},z'\right)\,\mathrm{d}z'+ \int_{y+\frac{a}{2}}^{y-\frac{a}{2}}A_y\left(x,y',z+\frac{a}{2}\right)\,\mathrm{d}y'\\+ \int_{z+\frac{a}{2}}^{z-\frac{a}{2}}A_z\left(x,y-\frac{a}{2},z'\right)\,\mathrm{d}z'+ \int_{y-\frac{a}{2}}^{y+\frac{a}{2}}A_y\left(x,y',z-\frac{a}{2}\right)\,\mathrm{d}z' \end{multline*}

Faisons tendre \(a\to 0\). On peut alors considérer les intégrands constants et égaux à la valeur qu'ils prennent au milieu du domaine d'intégration : \begin{multline*} \Gamma\underset{a\to 0}{\longrightarrow}\mathrm{d}\Gamma= a\left[A_z\left(x,y+\frac{a}{2},z\right)-A_y\left(x,y,z+\frac{a}{2}\right)-A_z\left(x,y-\frac{a}{2},z\right)\right. \\ +\left. A_y\left(x,y,z-\frac{a}{2}\right) \right] \end{multline*} Comme \(a\) est un infiniment petit, on peut remplacer \[ \frac{A_z(x,y+a/2,z)-A_z(x,y-a/2,z)}{a} \quad\text{par}\quad \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y} \quad\text{etc}\ldots \] ce qui donne \[ \mathrm{d}\Gamma=a^2\left(\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y}-\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z}\right)= a^2 \left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right)\cdot \overrightarrow{u_x} \] Évidemment, si l'on avait choisi un contour perpendiculaire à l'axe (O\(y\)) on aurait trouvé \(a^2 \left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right)\cdot \overrightarrow{u_y}.\) De manière générale, pour un contour infinitésimal d'aire \(\mathrm{d}S\), on trouve \[ \mathrm{d}\Gamma= \left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \] où \(\overrightarrow{n}\) est le vecteur unitaire normal à la surface du contour infinitésimal, son sens étant relié à l'orientation du contour par la règle de la main droite ou du tire-bouchonUn tire-bouchon que l'on tourne dans le sens positif du contour orienté, se déplace dans la direction donnée par n⃗..

Deux contours adjacents
2 contours cote à côte.

Mettons dorénavant côte à côte deux contours infinitésimaux C\(_1\) et C\(_2\) orientés dans le même sens, et notons C le contour externe. Lorsque l'on somme les circulations du champ \(\overrightarrow{A}\) le long des deux contours C\(_1\) et C\(_2\), on s'aperçoit que les contributions dues aux côtés adjacents se compensent, car les vecteurs \( \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\) de ces côtés sont opposés. Ainsi la somme des circulations se réduit à la circulation de \(\overrightarrow{A}\) le long du bord extérieur C. Or, on peut toujours décomposer une surface finie S en une infinité de carrés adjacents, de sorte que si l'on somme les termes \(\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}\right)\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S\) on retrouve la circulation le long du contour C sur lequel s'appuie S. C'est le sens du théorème de Stokes.

Théorème de Stokes

Théorème de Stokes
La circulation le long de C d'un champ vectoriel peut se calculer à partir du flux de son rotationnel à travers une surface s'appuyant sur C.

Le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface S est égal à la circulation de ce champ le long du circuit fermé C qui délimite la surface S. \[ \oint_{\text{C}} \overrightarrow{A}\cdot\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}= \iint_{\text{S}}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \] où \(\overrightarrow{n}\) est un vecteur unitaire normal à la surface S, dont le sens est associé au sens de parcours du circuit via la règle du tire-bouchon.

Notez qu'une conséquence de ce théorème est que le flux de tout champ qui dérive d'un rotationnel \((\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A})\) ne dépend que de \(\overrightarrow{A}\) et du contour sur lequel s'appuie la surface. Cette propriété sera particulièrement intéressante dans l'étude du champ magnétique.

Équation de Maxwell-Faraday statique

Comme nous l'avons vu, le champ électrostatique est à circulation conservative. En vertu du théorème de Stokes, on peut écrire \[ \oint_\text{C} \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0 \quad\text{donc}\quad \iint_\text{S}\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S=0 \] La dernière relation devant être vérifiée pour toute surface, il faut nécessairement que \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}\) partout. Nous venons de trouver la deuxième équation de Maxwell relative au champ électrostatique.

Equation de Maxwell-Faraday statique

\[ \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}\quad\text{partout} \]

Cette propriété locale traduit le fait que le champ électrostatique est à circulation conservative. Associée à l'équation de Maxwell-Gauss elle permet de déterminer complètement le champ électrostatique.

Exercice

Soit un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}(\text{M})=\overrightarrow{B}\wedge \overrightarrow{\text{OM}}\) avec \(\overrightarrow{B}=B\, \overrightarrow{u_z}\). Ce champ peut-il être un champ électrostatique ?

Rép. Non car \(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{A}\neq \overrightarrow{0}\).

Continuité de la composante tangentielle du champ

Calcul de la discontinuité tangentielle
Contour rectangulaire coupant la surface chargée perpendiculairement.

Nous savons qu'à la traversée d'une nappe chargée, la composante normale du champ électrique subit une discontinuité donnée par la relation \eqref{eq:discontinuite_de_la_composante_normale_de_E}. Voyons maintenant ce qu'il en est pour la composante tangentielle. Pour cela, nous allons faire circuler le champ électrique le long d'un contour rectangulaire (ABCD) qui coupe perpendiculaire une surface S chargée avec une densité \(\sigma\).

Le caractère conservatif du champ se traduit par \begin{multline*} \oint_{(\text{ABCD})} \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} =\int_\text{[AB]}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} +\int_\text{[BC]}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} +\int_\text{[CD]}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}\\ +\int_\text{[DA]}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} =0 \end{multline*} Appelons \(h\) la largeur du rectangle et \(\ell\) sa longueur. Si l'on fait tendre \(h\to 0\), le deuxième et le quatrième terme disparaissent. Par ailleurs, choisissons \(\ell\) assez petit pour pouvoir considérer le champ électrique uniforme le long des tronçons rectilignes. On obtient alors l'équation \[ \overrightarrow{E_1}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{E_2}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}=0 \quad\text{soit}\quad \left(E_{t1}-E_{t2}\right)\ell=0 \] avec \(E_{t1}\) et \(E_{t2}\) les composantes tangentielles du champ de part et d'autre de la surface. On en déduit la continuité de la composante tangentielle du champ à la traversée d'une surface chargée. Finalement on retiendra la relation de passage pour le champ électrique.

Relation de passage du champ électrique

À la traversée d'une surface chargée, le champ électrique présente une continuité de sa composante tangentielle et une discontinuité de sa composante normale proportionnelle à la densité surfacique de charge \(\sigma\) : \begin{equation} \overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{E_1}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\overrightarrow{n_{12}} \label{eq:relation_de_passage_chemp_E} \end{equation}

Potentiel électrique

Définition

Nous venons de voir qu'une distribution stationnaire de charges crée un champ électrostatique qui a la propriété d'être irrotationel De rotationnel nul.. Or, on peut montrer que tout champ dérivant d'un gradient est irrotationnel, et réciproquement : \[ \overrightarrow{A}(\text{M})=\overrightarrow{\nabla}\varphi(\text{M}) \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{A}(\text{M})=\overrightarrow{0} \] où \(\varphi(\text{M})\) est le potentiel associé au champ vectoriel.

Exemple

Considérons un potentiel \(\varphi(x,y,z)=xy\) et vérifions que le champ vectoriel associé est effectivement irrotationnel. Le champ vectoriel \(\overrightarrow{A}\) vaut \[ \overrightarrow{A}=\overrightarrow{\nabla}\varphi= \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}\\ \frac{\partial \varphi}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y\\x\\0 \end{pmatrix} \] Calculons maintenant son rotationnel : \[ \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{A}= \begin{pmatrix} \frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z} \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} y\\x\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0\\1-1=0 \end{pmatrix} \] On a effectivement \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{0}\).

Dans le cas du champ électrostatique, le potentiel associé est appelé potentiel électrique et noté \(V(\text{M})\). Par définition, on a

Définition du potentiel électrique

\begin{equation} \overrightarrow{E}(\text{M})=-\overrightarrow{\nabla}V(\text{M}) \label{eq:definition_du_potentiel} \end{equation}

La présence du signe \(\circleddash\) est purement conventionnelle.

On a déjà introduit ce potentiel (cf. chapitre sur le potentiel électrique) à partir du travail de la force électrique. Rappelons ses propriétés :

Équation de Poisson

Considérons une région de l'espace qui présente une distribution stationnaire de charges électriques de densité volumique \(\rho(x,y,z)\). Désignons par \(\overrightarrow{E}(x,y,z)\) et \(V(x,y,z)\), le champ électrique et le potentiel en un point de coordonnées \((x,y,z)\). On a vu que le théorème de Gauss se traduit localement par \[ \text{div}\overrightarrow{E}(x,y,z)=\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_0} \] De plus, par définition \(\overrightarrow{E}(x,y,z)=-\overrightarrow{\nabla}V(x,y,z)\). En substituant, il vient \[ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{\nabla}V(x,y,z)=-\frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_0} \] Cette équation aux dérivées partielles fait intervenir un nouvel opérateur différentiel que l'on appelle laplacien et note \(\Delta\) : \[ \Delta\,f\triangleq \text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f) \quad\text{ou}\quad \Delta\, f=\overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{\nabla}\,f=\nabla^2\, f \] La dernière notation permet de retenir l'expression du laplacien en coordonnées cartésiennes : \[ \Delta\,f(x,y,z)= \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)+ \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)+ \frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \] Finalement, le potentiel électrostatique obéit à une équation aux dérivées partielles, que l'on appelle l'équation de Poisson :

Équation de Poisson

\begin{equation} \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}+\frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_0}=0 \quad\text{[Eq. de Poisson]} \label{eq:equation_de_Poisson} \end{equation}

La résolution de cette équation du second ordre introduit des constantes d'intégration que l'on détermine grâce aux conditions aux limites et à la propriété de continuité du potentiel.

Exemple - Potentiel créé par une boule chargée

Boule chargée
Boule de rayon \(a\), uniformément chargée.

Disposons dans le vide une boule de rayon \(a\), uniformément chargée avec une densité volumique \(\rho\) constante. À l'aide de l'équation de Poisson, déterminons le potentiel électrique qui règne en tout point de l'espace.

Compte tenu de la symétrie sphérique, on adopte les coordonnées sphériques et l'on sait que le potentiel ne dépend que de la coordonnée radiale \(r\). En coordonnées sphériques, le laplacien s'écrit \[ \Delta \,f(r,\theta,\varphi)= \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\dfrac{\partial f}{\partial r}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial f}{\partial\theta}\right) + \dfrac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}} \] de sorte que l'équation de Poisson s'écrit \[ \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2}\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}\right)= \begin{cases} 0 &\text{si }r>a\\ -\rho/\epsilon_0 &\text{sinon} \end{cases} \] Commençons par trouver la forme du potentiel à l'extérieur de la boule. En intégrant deux fois par rapport à \(r\) on trouve \[ V(r)=\frac{C_1}{r}+C_2 \quad\text{si}\quad r>a \] où \(C_1\) et \(C_2\) sont deux constantes d'intégration. Adoptons la convention habituelle \(V=0\) à l'infini. On en tire \(C_2=0\) et \[ V(r)=\frac{C_1}{r} \quad\text{si }r>a \] On peut déterminer \(C_1\) car l'on sait quel est le comportement asymptotique du potentiel. En effet, si l'on se place très loin de la boule chargée, on verra essentiellement une charge ponctuelle. On prévoit donc \[ V(r)\underset{r\to\infty}{\longrightarrow}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,r}=\frac{\rho a^3}{3\epsilon_0\,r} \] Par identification, on en déduit On retrouve l'idée qu'une boule à symétrie sphérique produit à l'extérieur les mêmes effets que si toute la charge était concentrée en son centre. \(C_1=\rho a^3/(3\epsilon_0)\).

À l'intérieur de la boule, l'équation de Poisson s'écrit \[ \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r^{2}\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}\right)=-\frac{\rho}{\epsilon_0} \] ce qui donne après une première intégration On exclut r = 0. Il suffira de prolonger V(r) par continuité. \(r^{2}\dfrac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} r}=-\rho\frac{r^3}{3\epsilon_0}+C_3\), puis en intégrant à nouveau : \[ V(r)=-\rho\frac{r^2}{6\epsilon_0}-\frac{C_3}{r}+C_4 \] Si \(C_3\) était non nul on verrait le potentiel et le champ électrique diverger en \(r=0\), ce qui est impossible D'une part le potentiel est fini, d'autre part le champ électrique est nul en r = 0, car le centre de la boule est un centre de symétrie.. Par conséquent, \(C_3\) est nécessairement nul.

Pour déterminer \(C_4\) utilisons la continuité du potentiel en \(r=a\) : \[ \lim_{r\to a^-}{V(r)}=\lim_{r\to a^+}{V(r)} \quad\text{soit}\quad -\rho\frac{a^2}{6\epsilon_0}+C_4=\rho \frac{a^2}{3\epsilon_0} \] Ce qui donne \(C_4=\rho a^2/(2\epsilon_0)\). Finalement, le potentiel s'écrit \begin{equation} V(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho a^3}{3\epsilon_0\,r}&\text{si }r>a\\ \dfrac{\rho}{6\epsilon_0}\left(3a^2-r^2\right) &\text{sinon} \end{cases} \label{eq:potentiel_D_une_boule_chargee} \end{equation}

Lorsque qu'une portion d'espace est exempte de charges électriques, l'équation de Poisson prend la forme simple suivante : \begin{equation} \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0 \quad\text{[Eq. de Laplace]} \label{eq:equation_de_Laplace} \end{equation} Il s'agit de l'équation de Laplace. L'ensemble des fonctions vérifiant cette équation aux dérivées partielles sont dites harmoniques.

Théorème d'unicité

Une stratégie pour résoudre un problème électrostatique consiste à résoudre l'équation de Poisson (ou Laplace) dans un certain domaine de l'espace. Ses bords imposent ce que l'on appelle des conditions aux limites :

On montre en mathématique que si l'équation de Poisson admet une solution Si le problème de physique est bien posé, l'équation de Poisson admet forcément une solution., celle-ci est unique. Plus précisément, dans un problème de Dirichlet, il existe un seul champ scalaire qui vérifie l'équation de Poisson et les conditions aux limites. Dans un problème de Von Neumann, le potentiel électrique est indéterminé à une constante additive près mais le champ électrique qui en dérive est unique. Ce théorème d'unicité rend de précieux services dans certains cas. Illustrons cela sur deux exemples.

Cavité dans un conducteur
Cavité dans un conducteur chargé à l'équilibre.
La cage de Faraday — Considérons un volume conducteur de forme quelconque présentant une cavité elle aussi de forme quelconque. Supposons cette cavité complètement vide, et le conducteur à l'équilibre et a priori chargé. Aucune hypothèse particulière n'est faite sur l'environnement extérieur au conducteur. Que sait-on du potentiel à l'intérieur de cette cavité ? Etant donné l'absence de charges électriques, la fonction \(V(x,y,z)\) obéit à l'équation de Laplace \[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}=0 \]

Avec comme condition aux bords de la cavité : \(V=V_0\) où \(V_0\) est le potentiel du conducteur qui —rapellons-le— est uniforme au sein d'un conducteur à l'équilibre. Or, il y a une solution évidente à ce problème. En effet la solution \(V(x,y,z)=V_0\) vérifie bien l'équation de Laplace et les conditions aux limites. En vertu du théorème d'unicité, nous avons donc trouvé la solution : \[ V(x,y,z)=V_0 \quad\text{et}\quad \overrightarrow{E}(x,y,z)=\overrightarrow{0} \quad\text{à l'intérieur de la cavité} \] Autrement dit, à l'intérieur d'une cavité conductrice, le champ électrique est nul, ceci quel que soit le champ à l'extérieur du conducteur. Le conducteur sert donc de protection électrostatique entre l'extérieur et l'intérieur de la cavité : c'est l'effet cage de Faraday.

Méthode des images électriques — Imaginons différents corps chargés produisant un potentiel électrique \(V(x,y,z)\) (Fig.19). Supposons que l'on ai pu déterminer la surface équipotentielle S\(_0\) correspondant à \(V=V_0\). Supprimons les corps situés à l'intérieur de S\(_0\) puis métallisons S\(_0\). Si l'on porte le conducteur ainsi formé au potentiel \(V_0\), un observateur extérieur à S\(_0\) ne s'est aperçu de rien : en effet, le potentiel obéit à la même équation de Poisson avec les mêmes conditions aux limites que précédemment. Autrement dit, ces deux problèmes sont interchangeables, si l'on se limite aux effets électriques produits à l'extérieur de S\(_0\). C'est cette équivalence qui est à la base de la méthode des images électriques.

Méthode des images électriques
Méthode des images électriques. Du point de vue d'un point situé à l'extérieur de S\(_0\), les deux problèmes sont équivalents.

Par exemple, considérons le problème suivant : on approche une charge ponctuelle \(q\) à la distance \(d\) d'une plaque conductrice reliée à la terre (au potentiel \(V=0\)). On cherche à déterminer la densité \(\sigma\) avec laquelle le conducteur se charge par influence. Pour cela il suffit de connaître le potentiel au voisinage du conducteur pour en tirer le champ électrique, puis \(\sigma\) à l'aide du théorème de Coulomb. On peut utiliser la méthode des images électriques ici. En effet, on sait que deux charges opposées \(q\) et \(-q\) situés en A et B produisent une équipotentielle \(V=0\) correspondant au plan médiateur du segment [AB]. C'est pourquoi, pour déterminer le champ et le potentiel électrique dans la portion \(z<0\) on peut remplacer le conducteur par son image électrique, à savoir une charge \(-q\) située en (0,0,\(-d\)). Aussi, on peut écrire que \[ V(\text{M})=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\, r_1}-\frac{q}{4\pi\epsilon_0\, r_2} \quad\text{si}\quad z>0 \]

Influence d'une charge sur une plaque
Influence d'une charge sur une plaque conductrice traitée par la méthode des images électriques.

Pour une résolution complète de ce problème, voir le recueil d'exercice d'électromagnétisme I

Théorème de la moyenne

Supposons un domaine \(\mathcal{D}\) de l'espace, vide de charge, où règne champ et potentiel électrostatiques. On peut penser à la région située entre des conducteurs chargés et à l'équilibre par exemple. Dans ce domaine, le potentiel \(V(x,y,z)\) obéit à l'équation de Laplace \(\Delta V=0\).

Entourons un point M\((x,y,z)\) d'une sphère S\(_\text{M}\) de rayon La sphère possède un rayon quelconque. La seule condition est qu'elle doit se trouver entièrement dans D \(r\). On définit la moyenne du potentiel sur la sphère par \[ \langle V \rangle=\frac{\iint_{\text{S}_\text{M}}V\, \mathrm{d}S}{4\pi r^2} \] On montre alors que cette moyenne donne immédiatement la valeur du potentiel au centre de la sphère. Autrement-dit: \[ V(\text{M})=\langle V \rangle \]

Cette propriété est mise à profit dans une méthode de résolution numérique, appelé méthode de relaxation. Cela consiste d'abord à produire un maillage de l'espace en le réduisant à un réseau discret. Ensuite, on fixe une valeur arbitraire aux nœuds du réseau sauf aux bords de la région où les conditions aux limites imposent une valeur précise On se place dans un problème de Dirichlet. L'algorithme consiste simplement à passer en revue tous les nœuds et à leur affecter une valeur correspondant à la moyenne des valeurs situées sur les nœuds voisins. En réitérant cette procédure, la valeur du potentiel en tout point converge vers la solution de l'équation de Laplace.

Énergie électrostatique

Rappels

Distribution de N charges
Distribution de \(N\) charges ponctuelles.

Considérons une distribution stationnaire de \(N\) charges électriques \(\{q_{i=1,\ldots,N}\}\). On note \(r_{ij}\) la distance qui sépare les charges \(q_i\) et \(q_j\). Par définition, l'énergie électrostatique d'interaction \(\mathcal{E}_\text{p int}\) d'un tel système représente le travail qu'un opérateur doit fournir pour amener, de façon quasi-statique et depuis l'infini, les charges dans leur position finale.

Comme on l'a déjà démontré [3], cette énergie ne dépend pas de la manière dont on s'y prend pour constituer le système, et il suffit de sommer autant de termes \(q_iq_j/(4\pi\epsilon_0\,r_{ij})\) qu'il y a de couples \((i,j)\) \begin{equation} \mathcal{E}_\text{p int}= \sum_{\text{couples }(i,j)} \frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}} = \sum_{i=1}^N \sum_{j< i} \frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}} \end{equation} On peut aussi reformuler en faisant intervenir le potentiel que subit la charge \(q_i\) \[ V_i= \sum_{j \neq i}\frac{q_j}{4\pi\epsilon_0\,r_{ij}} \] Cela donne \begin{equation} \mathcal{E}_\text{p int} = \sum_{i = 1}^N \sum_{j< i}\frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}}= \frac12\sum_{i,j\neq i}^N\frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}}= \frac12\sum_{i = 1}^N q_i \sum_{j\neq i} \frac{q_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}}= \frac12 \sum_{i = 1}^N q_iV_i \end{equation}

Cette dernière expression prend une forme intégrale pour une distribution continue de charges

Énergie d'une distribution continue de charges

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau \label{eq:energie_d'interaction_distribution_continue} \end{equation} où \(\mathcal{D}\) est une distribution volumique de charges.

Exemple - énergie d'une boule uniformément chargée

Reprenons l'exemple de la boule de rayon \(a\) uniformément chargée. La résolution de l'équation de Poisson a donné \[ \rho(r)= \begin{cases} 0&\text{si }r>a\\ \rho &\text{sinon} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad V(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho a^3}{3\epsilon_0\,r}&\text{si }r>a\\ \dfrac{\rho}{6\epsilon_0}\left(3a^2-r^2\right) &\text{sinon} \end{cases} \] L'énergie potentielle d'interaction vaut donc \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_{r\leq a}\frac{\rho^2}{6\epsilon_0}\left(3a^2-r^2\right)\, \mathrm{d}\tau \] avec \(\mathrm{d}\tau=r^2\sin\theta \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi\) en coordonnées sphériques. Après intégration sur \(\theta\) et \(\varphi\) on obtient l'intégrale simple \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \int_0^a\frac{\rho^2}{6\epsilon_0}\left(3a^2-r^2\right)\, 4\pi r^2\mathrm{d}r= \frac{4}{15}\pi \frac{\rho^2a^5}{\epsilon_0} \] Si l'on fait intervenir la charge totale \(Q=\rho\times \frac43 \pi a^3\) on aboutit au résultat \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac35 \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0\, a} \]

De manière générale, l'énergie propre d'un système chargé de charge totale \(Q\), confiné dans un volume de taille caractéristique \(a\) présente une énergie électrostatique \(\mathcal{E}_\text{p int}=\beta \frac{Q^2}{4\pi \epsilon_0\, a}\) avec \(\beta\) un coefficient adimensionné qui dépend de la façon dont les charges sont réparties dans le volume.

Densité d'énergie volumique

Il est possible de relier cette énergie uniquement au champ électrique. Pour cela il suffit de manipuler un peu l'équation \eqref{eq:energie_d'interaction_distribution_continue}. Commençons par remarquer que l'on peut intégrer \(\rho\, V\) sur tout l'espace, car dans le vide on a \(\rho=0\) : \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau \quad\text{où}\quad \mathcal{D}=\text{tout l'espace} \] Remplaçons maintenant \(\rho\) par \(\epsilon_0\text{div}\overrightarrow{E}\) en vertu de l'équation de Maxwell-Gauss : \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \epsilon_0V\,\text{div}\overrightarrow{E}\, \mathrm{d}\tau \] puis utilisons l'identité \[ \text{div}\left(V \overrightarrow{E}\right)= V\text{div}\overrightarrow{E}+\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\text{grad}}V= V\text{div}\overrightarrow{E}-E^2 \] Il vient donc \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12\epsilon_0 \iiint_\mathcal{D} \text{div}\left(V\overrightarrow{E}\right)\, \mathrm{d}\tau + \iiint_\mathcal{D} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau \] Le théorème de la divergence permet de transformer la première intégrale : \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12\epsilon_0 \oint_\text{S} V\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S + \iiint_\mathcal{D} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau \] où la surface S est une sphère de rayon \(r\to \infty\) de façon à pouvoir englober tout l'espace. Or nous savons que si l'on se place assez loin d'une distribution localisée, le potentiel et le champ électrique tendent vers 0 le premier en \(1/r\), le second \(1/r^2\). Comme l'aire de la surface d'intégration croît en \(r^2\) il vient immédiatement que l'intégrale de flux tend vers 0 Si la distribution est neutre, la convergence n'en sera que mieux assurée puisque V et E tendront vers 0 encore plus rapidement. quand \(r\to \infty\). Finalement, on aboutit a

Énergie d'une distribution continue de charges

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{p int}=\iiint_\mathcal{D} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau \quad\text{où}\quad\mathcal{D}=\text{tout l'espace} \label{eq:energie_de_champ_electrique} \end{equation}

Aussi surprenant que cela puisse paraître, cette dernière relation ne contient aucune référence explicite aux sources de champ. Tout se passe comme si l'énergie électrostatique d'une distribution de charges était localisée, non pas dans les charges, mais dans l'espace à raison de \(\frac12\epsilon_0E^2\) joules par mètre cube. On définit alors une énergie électrostatique volumique

\begin{equation} w_\text{E}=\frac12 \epsilon_0E^2\quad\mathrm{[J.m^{-3}]} \label{eq:densite_volumique_d_energie_electrostatique} \end{equation}

Exercice

Retrouver l'énergie d'une boule uniformément chargée à partir de l'expression du champ électrostatique.

Discussion

Pour terminer, attardons-nous un instant sur quelques questions que peuvent soulever les derniers résultats.

Tout d'abord, n'est-il pas troublant que l'expression \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau \] fasse intervenir le potentiel \(V(\text{M})\), fonction qui est indéterminée ? Est-ce à dire que l'énergie est indéterminée ? Rassurez-vous, l'énergie est bien définie ; mais l'expression ci-dessus ne fait pas intervenir n'importe quel potentiel. En effet dans l'expression \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \sum_i q_iV_i \] on a \(V_i=\sum q_i/(4\pi\epsilon_0\, r_{ij})\), c'est-à-dire le potentiel électrique qui prend la valeur nulle quand \(r_{ij}\to\infty\). On retiendra donc que l'expression de l'énergie fait intervenir un potentiel particulier celui pour lequel l'origine est fixée à l'infini.

D'autre part, nous avons montré que l'énergie potentielle électrostatique peut s'interpréter comme une énergie de champ \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau= \iiint_\mathcal{D} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau >0 \] Indubitablement, la dernière expression impose \(\mathcal{E}_\text{p int}>0\). Or, tout chimiste sait que l'énergie électrostatique d'un cristal ionique est négative, d'autant plus négatif que la cohésion est importante. Par exemple deux charges \(q\) et \(q'\) de signe opposé, et disposées à une distance \(r\) présentent une énergie \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_0\,r}<0 \] Il y a donc là une contradiction.

En fait, dans la formule \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau \] \(V\) désigne le potentiel créé par toutes les charges, sans exclusion de charge située au point M, alors que dans l'expression \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \sum_i q_iV_i \] \(V_i\) représente le potentiel créé par toutes les charges autres que \(q_i\). Aussi, la dernière expression n'inclut pas ce que l'on appelle l'énergie propre des charges.

Énergie mutuelle d'interaction
Distribution formée de deux corps chargés.

Pour éclaircir cet aspect, prenons deux distributions \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) de charge totale respective \(q_1\) et \(q_2\). Appelons \(\rho_1\) et \(\rho_2\) la densité de charge de chacune des distributions. L'énergie totale du système s'écrit \begin{multline*} \mathcal{E}_\text{p int}=\frac12 \iiint_\mathcal{D} \left[\rho_1(\text{M})+\rho_2(\text{M})\right]V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau \\ \quad\text{avec}\quad V(\text{M})=V_1(\text{M})+V_2(\text{M}) \end{multline*} \(V_1(\text{M})\) et \(V_2(\text{M})\) étant les potentiels créés par \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) en M. En développant on trouve \begin{multline*} \mathcal{E}_\text{p int}=\\ \underbrace{\frac12 \iiint_\mathcal{D_1} \rho_1V_1\, \mathrm{d}\tau}_{\text{énergie de }\mathcal{D}_1} +\underbrace{\frac12 \iiint_\mathcal{D_2} \rho_2V_2\, \mathrm{d}\tau}_{\text{énergie de }\mathcal{D}_2} +\underbrace{\frac12 \iiint_\mathcal{D_1}\rho_1V_2\,\mathrm{d}\tau +\frac12\iiint_\mathcal{D_2}\rho_2V_1\, \mathrm{d}\tau}_{\mathcal{E}_\text{p}^{12}} \end{multline*} Les deux premiers termes représentent les énergies propres à chaque distribution, et le terme \(\mathcal{E}_\text{p}^{12}\) est appelé énergie d'interaction mutuelle. Imaginez maintenant que l'on réduise le volume des distributions de façon à pouvoir les assimiler à deux charges ponctuelles. On trouve alors \[ \mathcal{E}_\text{p}^{12}\to \frac12 \left(V_2\iiint_\mathcal{D_1}\rho_1\,\mathrm{d}\tau +V_1\iiint_\mathcal{D_2}\rho_2\, \mathrm{d}\tau\right)=\frac12\left(q_1V_2+q_2V_1\right) \] On voit alors que l'énergie d'interaction mutuelle s'identifie à l'énergie électrostatique d'un système de charges ponctuelles.

En résumé

L'énergie électrostatique d'un système de charges ponctuelles \[ \mathcal{E}_\text{p int}=\sum_{i=1}^N\sum_{j < i}\frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0 \, r_{ij}}= \frac12 \sum_{i=1}^N q_iV_i \] n'intègre pas l'énergie propre de chaque charge contrairement à l'expression \[ \mathcal{E}_\text{p int} =\frac12 \iiint_\mathcal{D} \rho(\text{M})V(\text{M})\, \mathrm{d}\tau =\iiint_{\mathbb{R}^3} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau \]

Dans le cas d'une distribution de charges ponctuelles, l'énergie propre pose une difficulté majeure. En effet si l'on cherche par exemple à calculer l'énergie propre d'une charge ponctuelle on trouve \[ \iiint_{\mathbb{R}^3} \frac12 \epsilon_0 E^2\, \mathrm{d}\tau =\iiint_{\mathbb{R}^3} \frac12 \epsilon_0 \frac{q^2}{(4\pi\epsilon_0\, r^2)^2}\, \mathrm{d}\tau \to \infty \] Ce résultat dit simplement qu'il faut fournir une énergie infinie pour concentrer une charge avec une densité infinie en un point, ce qui n'est pas vraiment surprenant. En réalité, cela souligne que le concept de charge ponctuelle n'est pas satisfaisant dans le cadre le la théorie électromagnétique.

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Pour en savoir plus...

  1. S. DiGiannurio et al. A History of the Divergence, Green's, and Stokes' Theorems2005. Disponible sur christopherpruitt.wordpress.com
  2. L-C. Tu and J. Luo Experimental tests of Coulomb's Law and the photon rest mass Metrologiavol. 41, №5, p.S136, 2004.
  3. J. Roussel Potentiel et énergie électrique 2015. Disponible sur femto-physique.fr
  4. J. Roussel L'équation de Laplace et la méthode de relaxation 2014. Disponible sur femto-physique.fr
  5. H. Gié et J.P. Sarmant Electromagnétisme, volume 1 et 2Collection des sciences physiques, Technique et documentation, Lavoisier, 1985.
  6. E. M. Purcell Cours de physique de Berkeley, tome 2 : Électricité et magnétismeDunod, 1998.
  7. J. D. Jackson et al. Electrodynamique classique : cours et exercices d’électromagnétismeParis, Dunod, 2001.
  8. J. Péricart Cours d'électricité théorique, Tome 1 : Electrostatique - Electrocinétique1962.