MENUCours d'Électromagnétisme

Dans le chapitre sur les interactions magnétiques nous avons établi les lois qui régissent le comportement d'un dipôle magnétique stationnaire dans un champ magnétique extérieur. Nous proposons ici une autre démonstration, reposant sur le calcul direct de la résultante des forces de Laplace et de leur moment dans le cas particulier d'une boucle de courant circulaire dans un champ magnétique uniforme.

Considérons une spire de rayon \(R\) de centre O et d'axe (O\(z\)), parcourue par un courant d'intensité \(I\) en présence d'un champ magnétique uniforme \[ \overrightarrow{B}{}^\text{ext}= \begin{pmatrix} B_{x}\\ B_{y}\\ B_{z} \end{pmatrix} \] Il produit en un point P de la spire, une force de Laplace \(\overrightarrow{\mathrm{d}F}=I \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{B}{}^\text{ext}\).

Repérons P par son angle polaire \(\theta\). On a \[ \overrightarrow{\text{OP}}=\begin{pmatrix} R\cos\theta\\ R\sin\theta\\ 0 \end{pmatrix} \quad\text{d'où}\quad \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=\mathrm{d}\overrightarrow{\text{OP}}= \begin{pmatrix} -R\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\\ R\cos\theta\, \mathrm{d}\theta\\ 0 \end{pmatrix} \] La force de Laplace au point P vaut donc \[ \overrightarrow{\text{d}F}=IR \mathrm{d}\theta \begin{pmatrix} -\sin\theta\\ \cos\theta\\ 0 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} B_{x}\\ B_{y}\\ B_{z} \end{pmatrix} =IR \mathrm{d}\theta \begin{pmatrix} B_{z}\cos\theta\\ B_{z}\sin\theta\\ -\sin\theta B_{y}-\cos\theta B_{x} \end{pmatrix} \] On voit immédiatement qu'en intégrant cette force le long de la spire, on obtient une résultante nulle puisque \(\oint \sin\theta\,\mathrm{d}\theta=\oint \cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0\).

Calculons maintenant le moment \(\overrightarrow{\Gamma}\)Rappelons que l'on parle de couple lorsqu'un système de forces a une résultante nulle. On note traditionnellement \(\overrightarrow{\Gamma}\) le moment résultant, lequel ne dépend pas du point par rapport auquel on le calcule (voir [1]). des forces magnétiques. Une portion de spire subit un moment magnétique par rapport au centre de la spire qui vaut \[ \overrightarrow{\mathrm{d}\Gamma}= \overrightarrow{\text{OP}}\wedge\overrightarrow{\mathrm{d}F}= IR^{2} \mathrm{d}\theta \begin{pmatrix} -\sin^{2}\theta B_{y}-\sin\theta\cos\theta B_{x}\\ \cos^{2}\theta B_{x}+\sin\theta\cos\theta B_{y}\\ 0 \end{pmatrix} \] Il ne nous reste plus qu'à intégrer le long de la spire. En utilisant \(\oint\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0\) et \(\oint\sin^{2}\theta\, \mathrm{d}\theta=\oint\cos^{2}\theta\, \mathrm{d}\theta=\pi\), on obtient \[ \overrightarrow{\Gamma}=\left(\pi R^{2}\right)I \begin{pmatrix} -B_{y}\\ B_{x}\\ 0 \end{pmatrix} \] Or on a \[ \overrightarrow{u_z}\wedge\overrightarrow{B}{}^\text{ext}= \begin{pmatrix}-B_{y}\\ B_{x}\\0\end{pmatrix} \] On peut donc écrire le moment des forces magnétiques sur la spire par : \[ \overrightarrow{\Gamma}=I\left(\pi R^{2}\right)\overrightarrow{u_z}\wedge\overrightarrow{B}{}^\text{ext}= \overrightarrow{m}\wedge\overrightarrow{B}{}^\text{ext} \] OÙ \(\overrightarrow{m}\) est le moment magnétique de la spire.