Cours d'Électromagnétisme

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Ce cours aborde les propriétés électriques des conducteurs, aussi bien à l'équilibre que hors équilibre (phénomène de conduction). Ce sera l'occasion d'introduire les notions de capacité d'un condensateur et de résistance d'un conducteur ohmique utiles en électricité.

Conduction électrique

Un conducteur est un système macroscopique qui contient des porteurs de charge libres, susceptibles de se mettre en mouvement sous l'action d'une force extérieure.

Quelques exemples de conducteurs
ConducteurPorteurs de charge libres
Métal (Cu, Ag, Au, Al, ...)Électrons libres délocalisés
Semi conducteur dopé (Si, AsGa, ...)Paires électron - trou
Solution électrolytique (KOHaq, NaClaq,...)Ions dissous
Plasma (gaz ionisé)Protons, électrons

Courant électrique

Définition

Le courant électrique est le résultat d'un déplacement d'ensemble de particules chargées. Son intensité II est donnée par le flux (ou le débit) de charge qui traverse une section (S)(S). Plus précisément, la quantité de charge dq\mathrm{d}q qui passe au travers de (S)(S) entre tt et t+dtt+ \mathrm{d}t vaut dq=I(t)dt \mathrm{d}q=I(t)\, \mathrm{d}t L'intensité électrique s'exprime en ampère (symbole : A) en hommage à André-Marie Ampère. On a donc 1 A = 1 C.s-1.

On peut exprimer l'intensité du courant électrique en fonction des caractéristiques de l'écoulement des porteurs de charge, à savoir leur vitesse moyenne et leur densité volumique. Pour simplifier la démonstration, supposons un seul type de porteurs se déplaçant tous à la vitesse moyenne vv. Notons ρ\rho leur densité volumique de charge (en C.m3\mathrm{C.{m^{-3}}}). Considérons une section (S)(S) orientée par la normale n\overrightarrow{n} et calculons la quantité de charge la traversant pendant une durée dt\text{d}t.

Tous les porteurs de charge qui traversent l'élément infinitésimal dS\text{d}S de la section à l'instant t+dtt+\mathrm{d}t, se trouvaient entre les instants tt et t+dtt+\text{d}t dans un cylindre de base dS\text{d}S et de génératrice vdt\overrightarrow{v}\text{d}t, dont le volume s'écrit dτ=dSdtvn\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}S\,\mathrm{d}t \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}. Ainsi, la quantité de charge d2q\text{d}^{2}q qui traverse la section dS\text{d}S entre tt et t+dtt+\mathrm{d}t vaut d2q=ρdτ\text{d}^{2}q=\rho\,\mathrm{d}\tau. En intégrant sur toute la section, on trouve dq=dt(S)ρvndS \text{d}q=\text{d}t\iint_{(S)}\rho\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}\,\text{d}S Mathématiquement, l'intensité s'interprète donc comme le flux d'un vecteur j=ρv\overrightarrow{j} = \rho\overrightarrow{v} appelé densité de courant électrique:

densité de courant
Calcul du débit de charge traversant une section.

Densité de courant électrique

I(t)=(S)j.ndS[A]=[A.m2]×[m2] \begin{array}{lcl} I(t) & = &\displaystyle{\iint_{(S)}\overrightarrow{j}.\overrightarrow{n}\,\text{dS}}\\[3mm] \left[\mathrm{A}\right] & = & \left[\mathrm{A.m^{-2}}\right]\times\left[\mathrm{m^{2}}\right] \end{array}

Si le courant est réparti uniformément, le vecteur densité de courant est constant sur la section SS et l'intégrale se réduit à : I=j.nS I=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{n}S Dans le cas où plusieurs porteurs de charge transportent le courant il faut sommer toutes les contributions : j=iρivi \overrightarrow{j}=\sum_{i}\rho_{i}\overrightarrow{v_{i}}

Arrêtons nous un instant sur les ordres de grandeur. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs d'intensité que l'on rencontre dans le quotidien.

Quelques ordres de grandeur
Ordre de grandeurPhénomène
1 mAseuil de perception chez l'humain
75 mAseuil de fibrilisation cardiaque irréversible
1Afonctionnement d'une lampe halogène
10 Aradiateur électrique en fonctionnement
1 kAalimentation d'un moteur de locomotive
1-100 kAcourant de foudre

Essayons d'estimer la vitesse des porteurs de charge dans une installation domestique. Par exemple, un fil de cuivre de section s=s= 2,5 mm2 supporte un courant d'intensité Imax=I_{\text{max}}= 20 A (normes françaises). La densité de courant correspondante vaut j=Imaxs=8.106  A.m2 j=\frac{I_{\text{max}}}{s}=8.10^{6}\;\mathrm{A.m^{-2}} Le cuivre a pour densité d=d= 8,96 et une masse atomique m=m= 63,5 u.a. De plus, chaque atome de cuivre libère un électron libre. Ainsi, 1 m3 pèse 8,96.1038{,}96.10^3 kg ce qui correspond à 8,96.103/63,5.1038{,}96.10^3/63,5.10^{-3} mole de cuivre. La densité volumique des porteurs de charge vaut donc ρ=8,96.10363,5.103×6,02.1023×1,6.1019=1,4.1010  C.m3 \rho=\frac{8,96.10^{3}}{63,5.10^{-3}}\times 6,02.10^{23}\times 1,6.10^{-19}=1,4.10^{10}\;\mathrm{C.m^{-3}} la vitesse moyenne des électrons est alors donnée par v=j/ρ=0,6  mm.s1v=j/\rho=0,6\;\mathrm{mm.s^{-1}}. La vitesse moyenne correspondant au transport de l'électricité est très faible devant la vitesse d'agitation thermique qui est de l'ordre de 105  m.s110^{5}\;\mathrm{m.s^{-1}}. On peut aussi noter que si le fil est traversé par un courant alternatif de fréquence f=50  Hzf=50\;\mathrm{Hz} et d'intensité maximum 20 A, le déplacement moyen des électrons libres oscillera avec une amplitude A=v2πf=6.104100×π2  μm A=\frac{v}{2\pi f}=\frac{6.10^{-4}}{100\times\pi}\simeq 2\;\mathrm{\mu m}

Loi d'Ohm locale

Un conducteur soumis à un champ électrique E\overrightarrow{E} est le siège d'un courant électrique de densité de courant j=γE  \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{j}=\gamma\overrightarrow{E} \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}γ\gamma désigne la conductivité électrique et s'exprime en siemens par mètre (S.m-1). Elle dépend du conducteur, de la température et de la pression. Par exemple, dans les métaux, γ\gamma diminue quand la température augmente. Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de conductivités à 20°C. Notez le rapport d'échelle entre les isolants et les conducteurs.

Ordres de grandeur de conductivités électriques.
Bons conducteursMauvais conducteursIsolants
Substanceγ\gamma (S.m-1)Substanceγ\gamma (S.m-1)Substanceγ\gamma (S.m-1)
Argent6,1.107Eau de mer0,2Huile minérale2.10-11
Cuivre5,8.107Silicium4,3.10-4Verre Pyrex10-15
Or4,5.107Eau distillée2.10-4Quartz2.10-17

Modèle de Drude

En 1900, Paul Drude propose un modèle classique qui explique qualitativement la conduction électrique. Ce modèle repose sur les hypothèses suivantes.

  1. Approximation des électrons libres : les électrons de conduction forment un gaz parfait de particules chargées indépendantes (malgré la présence des ions métalliques). En l'absence de champ extérieur, ces électrons libres ne ressentent aucune force en moyenne et se déplacent en ligne droite du fait de l'agitation thermique.
  2. Les électrons sont diffusés par les défauts cristallins. Après chaque collision, la vitesse est redistribuée de façon aléatoire.
  3. Le temps de libre parcours moyen ou temps de relaxation τ\tau est la durée moyenne entre 2 collisions. τ\tau est indépendant de la vitesse des électrons. Son ordre de grandeur est 10-14 s.
Modèle de drude
Modèle de Drude

Dans ce modèle, entre deux collisions, la vitesse d'un électron soumis à un champ électrique extérieur E\overrightarrow{E}, vérifie la seconde loi de Newton (modèle classique) : medvdt=eEsoitv=eEmet+v0 m_{e}\frac{\text{d}\overrightarrow{v}}{\text{d}t}= -e\overrightarrow{E} \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{v}=-\frac{e\overrightarrow{E}}{m_{e}}t+\overrightarrow{v_{0}} v0\overrightarrow{v_{0}} désigne la vitesse après la dernière collision et tt le temps compté à partir de la dernière collision. Le courant étant lié au mouvement d'ensemble, il faut effectuer une moyenne sur l'ensemble des électrons au même instant. vmoy=eEmet+v0 \overrightarrow{v}_{\text{moy}}= -\frac{e\overrightarrow{E}}{m_{e}}\left\langle t\right\rangle +\left\langle \overrightarrow{v_{0}}\right\rangle Or, la vitesse étant redistribuée dans toutes les directions après chaque collision, ceci de façon aléatoire, on a v0=0\left\langle \overrightarrow{v_{0}}\right\rangle =\overrightarrow{0}. De plus, la moyenne t\left\langle t\right\rangle correspond à la moyenne des temps de collision c'est-à-dire τ\tau. Finalement, on obtient une vitesse d'ensemble vmoy=eτmeE \overrightarrow{v}_{\text{moy}}=-\frac{e\tau}{m_{e}}\overrightarrow{E} La vitesse d'ensemble est proportionnelle au champ électrique. Le coefficient de proportionnalité s'appelle la mobilité μ\mu : vmoy=μE \overrightarrow{v}_{\text{moy}}=\mu\overrightarrow{E} Si l'on note nn la densité d'électrons libres (en m3^{-3}), on voit que le vecteur densité de courant est proportionnel au champ électrique et s'écrit j=nevmoy=ne2τmeE\overrightarrow{j} = ne\overrightarrow{v}_{\text{moy}} = \frac{ne^{2}\tau}{m_{e}}\overrightarrow{E}. On retrouve donc la loi d'Ohm locale j=γEavecγ=ne2τme \overrightarrow{j}=\gamma\overrightarrow{E}\quad\text{avec}\quad\gamma=\frac{ne^{2}\tau}{m_{e}} Ce modèle permet d'expliquer, par exemple, pourquoi la conductivité des métaux diminue quand la température augmente. En effet, lorsque l'on chauffe un métal, les vibrations du réseau s'amplifient ce qui augmente la probabilité qu'il y ait collision et donc diminue le temps de relaxation.

Notion de résistance

Pour introduire la notion de résistance d'un conducteur, considérons un cylindre conducteur le longueur \ell, de diamètre dd et donc de section droite s=πd2/4s=\pi d^{2}/4, soumis à une tension électrique UU entre ses extrémités.
Faisons l'hypothèse que le courant électrique est uniforme sur la section et axial. La section étant constante, la densité de courant est constante le long du cylindre. De plus, la relation j=γEj=\gamma E implique que le champ électrique est axial et constant le long du conducteur. L'intensité électrique vaut alors I=js=γEsI=js=\gamma Es et la tension électrique entre les extrémités vaut U=Ed=EU=\int E\, \mathrm{d}\ell=E\ell. Le rapport des deux relations permet d'obtenir la loi d'Ohm pour un fil conducteur cylindrique :

Loi d'ohm
Cylindre conducteur.

Loi d'Ohm intégrale

U=RIavecR=1γs U=RI \quad\text{avec}\quad R=\frac{1}{\gamma}\frac{\ell}{s}

De manière générale, la loi U=RIU=RI constitue la loi d'Ohm intégrale et RR désigne la résistance du conducteur dont l'expression dépend de la conductivité et de la géométrie. La résistance s'exprime en ohm (symbole Ω\Omega) en hommage à Georg Ohm.

Application - La thermistance

L'inverse de la conductivité d'un métal, appelée résistivité, varie linéairement avec la température (1γ=ρ0+αT\frac{1}{\gamma}=\rho_{0}+\alpha T) de telle sorte que la résistance peut servir de thermomètre une fois étalonné. Le fil de platine est couramment utilisé ainsi : on parle de thermomètre à résistance de Platine.

Supraconduction

En 1911, Kamerlingh Onnes (Prix Nobel 1913), découvre le phénomène de supraconduction sur le mercure : en dessous d'une certaine température, dite température critique et notée TcT_{c}, certains métaux perdent complètement leur résistivité[2].

découverte de la supraconductivité

La supraconduction ouvre des perspectives de transport de l'électricité sans perte d'énergie (voir effet joule en électricité) à condition de trouver un supraconducteur de température critique située dans le domaine de température ambiante.

Depuis 1911, ce phénomène fut découvert dans de nombreux métaux et alliages avec des records de température critique qui progressèrent doucement. Un grand saut fut fait en 1986 avec la découverte d'une nouvelle famille de supraconducteurs : les cuprates, composés de couches d'oxyde de cuivre. Récemment, la barre des -100°C a été franchie puisqu'un matériau à base de sulfure d'hydrogène a conservé sa supraconductivité jusqu'à -73°C. Il reste donc encore du chemin à parcourir avant de trouver un matériau supraconducteur à température ambiante.

Conducteurs en équilibre électrostatique

On s'intéresse dorénavant à l'équilibre de conducteurs électrisés (chargés) placés dans le vide.

Propriétés des conducteurs en équilibre

À l'équilibre, un conducteur n'est soumis à aucun mouvement macroscopique. Notamment, Il n'y a pas de courant électrique macroscopique. Par conséquent, j=0 \overrightarrow{j}=\overrightarrow{0} Bien évidemment, à l'échelle de l'atome les électrons sont en mouvement, mais à l'échelle ces mouvements incessants se compensent en moyenne. Donc, selon la loi d'Ohm, il ne règne aucun champ électrique au sein du conducteur : Eint=0 \overrightarrow{E}_{\text{int}}=\overrightarrow{0} Insistons sur le fait qu'il s'agit ici du champ électrique local moyenné à l'échelle mésoscopique. Bien entendu, à l'échelle de l'atome, règne un champ électrique extrêmement important et fluctuant.

À l'intérieur du conducteur, le potentiel doit vérifier Eint=gradVint=0\overrightarrow{E_{\text{int}}} = -\overrightarrow{\text{grad}}V_{\text{int}} = \overrightarrow{0} soit Vint=Cte V_{\text{int}}=\mathrm{C^{te}} Le potentiel électrique est uniforme au sein du conducteur à l'équilibre. Autrement dit, le conducteur à l'équilibre est un volume équipotentiel. Les lignes de champ électrique étant perpendiculaires aux équipotentielles, on voit ici que le champ électrique au voisinage extérieur du conducteur est normal à la surface.

En vertu du théorème de Gauss, que nous verrons ultérieurement, le fait que le champ électrique soit nul à l'intérieur du conducteur implique que la densité de charge volumique est nulle partout (ρint=0\rho_{\text{int}}=0). Cela signifie que tout apport de charge à un conducteur va se répartir à la surface de celle-ci de façon à créer un champ électrique nul à l'intérieur. On caractérise alors le conducteur par sa distribution de charge surfacique σ\sigma(P) où P désigne un point de la surface du conducteur. Le champ électrique à la surface du conducteur dépend donc de la manière dont se répartissent les charges en surface.

En résumé

Un conducteur à l'équilibre électrostatique vérifie les propriétés suivantes : Eint=0Vint=Cteetρint=0 \overrightarrow{E}_{\text{int}}=\overrightarrow{0} \quad V_{\text{int}}=\mathrm{C^{te}} \quad\text{et}\quad\rho_{\text{int}}=0

Théorème de Coulomb

Plaçons-nous à l'extérieur d'un conducteur à l'équilibre tout en restant dans le voisinage immédiat d'un point P de sa surface. Dans ce cas, le champ électrique produit ne dépend que de la densité surfacique en ce point. C'est ce qu'énonce le théorème de Coulomb.

Théorème de Coulomb
Champ au voisinage de la surface d'un conducteur.

Pour le montrer, plaçons-nous en un point M au voisinage d'un conducteur. On peut considérer que le champ créé en M est le résultat de deux contributions : Eext(M)=E1(M)+E2(M) \overrightarrow{E}_{\text{ext}}(\text{M})=\overrightarrow{E_1}(\text{M})+\overrightarrow{E_2}(\text{M}) E1\overrightarrow{E_1} est le champ créé par une portion de conducteur suffisamment petite pour qu'on puisse l'assimiler à un plan tangent, et E2\overrightarrow{E_2} celui dû au reste du conducteur. On a vu qu'un plan infini uniformément chargé produit un champ électrique E=σ/2ϵ0n\overrightarrow{E}=\sigma/2\epsilon_0\,\overrightarrow{n}n\overrightarrow{n} est le vecteur normal au plan. Ce résultat reste valide pour un plan fini de taille caractéristique LL tant que l'on se place à une distance dLd\ll L du plan. Supposons donc M suffisamment proche du conducteur pour autoriser cette approximation puis notons n ⁣ext\overrightarrow{n}_{\!\text{ext}} le vecteur unitaire normal à la surface du conducteur et dirigé vers l'extérieur. On a donc E ⁣ext(M)=σ(P)2ϵ0n ⁣ext+E2(M) \overrightarrow{E}_{\!\text{ext}}(\text{M})= \frac{\sigma(\text{P})}{2\epsilon_{0}}\overrightarrow{n}_{\!\text{ext}}+\overrightarrow{E_2}(\text{M}) Par ailleurs, si l'on considère le point M' symétrique de M par la symétrie plane passant par P, on a également E ⁣int(M’)=σ(P)2ϵ0n ⁣ext+E2(M’) \overrightarrow{E}_{\!\text{int}}(\text{M'})= -\frac{\sigma(\text{P})}{2\epsilon_{0}}\overrightarrow{n}_{\!\mathrm{ext}}+ \overrightarrow{E_2}(\text{M'}) Nous savons qu'à l'intérieur du conducteur le champ électrique est nul ce qui implique E2(M’)=σ(P)/2ϵ0n ⁣ext\overrightarrow{E_2}(\text{M'})=\sigma(\text{P})/2\epsilon_0 \overrightarrow{n}_{\!\mathrm{ext}}. Or, par continuité, E2(M’)=E2(M)\overrightarrow{E_2}(\text{M'})=\overrightarrow{E_2}(\text{M}) puisque M et M' sont infiniment . Finalement, on trouve E ⁣ext(M)=σϵ0n ⁣ext\overrightarrow{E}_{\!\text{ext}}(\text{M})=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\overrightarrow{n}_{\!\text{ext}}.

Théorème de Coulomb

Dans un conducteur à l'équilibre, le champ électrique intérieur est nul, le potentiel électrique est uniforme et les charges se répartissent à la surface du conducteur. Il règne alors au voisinage immédiat de la surface chargée (et à l'extérieur) un champ électrique : E ⁣ext=σ(P)ϵ0n ⁣ext \overrightarrow{E}_{\!\mathrm{ext}}= \frac{\sigma(\text{P})}{\epsilon_{0}}\overrightarrow{n}_{\!\mathrm{ext}}

Le théorème de Gauss et ses conséquences

Le théorème de Gauss est un théorème très général qui relie le flux électrique et la quantité de charge électrique.

Par définition, le flux du champ électrique E\overrightarrow{E} à travers une surface fermée S vaut Φ=defSE(M)ndS  \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \Phi\stackrel{\text{def}}= \oiint_\text{S}\overrightarrow{E}(\text{M})\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}n\overrightarrow{n} désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à la surface en M et dirigé vers l'extérieur.

Pour introduire le théorème de Gauss, calculons le flux du champ électrique créé par une charge ponctuelle, à travers une sphère de rayon rr centrée sur la charge. Le champ électrique en un point M de la surface sphérique vaut E(M)=q4πϵ0r2ur \overrightarrow{E}(\text{M})=\frac{q}{4\pi \epsilon_0\,r^2}\overrightarrow{u_r} ur\overrightarrow{u_r} est le vecteur unitaire du système sphérique. La normale à la surface est également suivant ur\overrightarrow{u_r} de sorte que le flux s'écrit Φ=q4πϵ0r2ururdS=q4πϵ0r2dS=qϵ0 \Phi=∯\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}}\overrightarrow{u_{r}}\cdot\overrightarrow{u_r}\mathrm{d}S=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\,r^2} ∯ \mathrm{d}S=\frac{q}{\epsilon_{0}} Autrement dit, le flux est proportionnel à la quantité de charge enfermée par la sphère mais ne dépend pas de la taille de la sphère. On peut se demander ce que devient le flux lorsque la surface qui enferme la charge n'est plus sphérique. On trouve un résultat surprenant puisque le flux reste identique : tant que la surface englobe la charge, Φ=q/ϵ0\Phi=q/\epsilon_0. En revanche, si la surface n'englobe pas la charge, on obtient toujours Φ=0\Phi=0.

Calcul du flux du champ électrique que crée une charge ponctuelle à travers une sphère de rayon rr.

Si maintenant on envisage une distribution quelconque de charges et une surface fermée S\mathcal{S} englobant une partie des charges, seule la quantité de charge qintq_{\text{int}} intérieure à S\mathcal{S} contribue au flux : c'est le sens du théorème de Gauss.

Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée quelconque, est proportionnel à la quantité de charge enfermée par cette surface. La constante de proportionnalité vaut, dans le Système international, 1ϵ0\frac{1}{\epsilon_{0}}. Φ=SE(M)ndS=qintϵ0 \Phi= ∯_\text{S}\overrightarrow{E}(\text{M})\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S= \frac{q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}

On peut vérifier que le théorème de Gauss est bien compatible avec le théorème de Coulomb. Imaginons que la surface S englobe un conducteur quelconque de charge totale qq de façon à ce qu'elle soit infiniment proche de la surface du conducteur. D'après le théorème de Coulomb, E=σ(P)/ϵ0nE=\sigma(\text{P})/\epsilon_0 \overrightarrow{n} de sorte que ϕ=EndS=1ϵ0PSσ(P)dS=qϵ0 \phi=∯ \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S= \frac{1}{\epsilon_0}∯_{\text{P}\in\text{S}}\sigma(\text{P})\, \mathrm{d}S= \frac{q}{\epsilon_0} ce qui est bien conforme au théorème de Gauss.

Voyons maintenant quelques conséquences du théorème de Gauss.

  1. Isolons par la pensée un petit volume V situé à l'intérieur d'un conducteur à l'équilibre. Le champ électrique y étant nul, son flux à travers la surface qui délimite V est également nul. Par conséquent, la charge intérieure au volume est nulle. Ainsi, on peut affirmer que tout volume (mésoscopique) contient une charge nulle, ce qui revient à dire que la densité volumique de charge est partout nulle, à l'intérieur d'un conducteur ; ce qui démontre une des propriétés des conducteurs à l'équilibre.
  2. Considérons maintenant une sphère conductrice chargée (charge qq) de rayon RR. Par symétrie, la charge se répartie uniformément en surface d'où une densité surfacique constante σ=q/(4πR2)\sigma=q/(4\pi R^2). On connait le champ électrique au voisinage de la sphère, mais que vaut-il à une distance rr quelconque ? Pour cela il suffit d'appliquer le théorème de Gauss en choisissant pour surface fermée S la sphère de rayon rr et de même centre que le conducteur. On a ϕ=SEndS=SEdS \phi=∯_\text{S} \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S= ∯_\text{S} E\,\mathrm{d}S car E\overrightarrow{E} est colinéaire à n=ur\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u_r} compte tenu de la symétrie sphérique. Par ailleurs, l'invariance par rotation implique que le champ ne dépend que de rr. Ainsi, EE est constant le long de la surface sphérique d'intégration. Il vient alors ϕ=SEdS=ESdS=E4πr2 \phi=∯_\text{S} E\,\mathrm{d}S= E∯_\text{S}\mathrm{d}S= E\, 4\pi\,r^2 Du théorème de Gauss, il découle donc E=q4πϵ0r2ursir>R \overrightarrow{E}= \frac{q}{4\pi\epsilon_0\,r^2}\overrightarrow{u_r}\quad\text{si}\quad r>R Autrement dit, une boule conductrice de charge qq produit à l'extérieur le même champ qu'une charge ponctuelle qq située en son centre.
  3. Supposons maintenant un conducteur enfermant une cavité dans laquelle se trouve une charge ponctuelle qq. Le caractère ponctuel n'a pas d'importance ici ; il pourrait très bien s'agir d'un petit volume quelconque chargé. Cette charge a pour effet d'attirer ou de repousser (ça dépend de son signe) les électrons libres du conducteur de sorte que la surface interne du conducteur présente une distribution de charge qq'. Pour trouver qq', il suffit d'utiliser le théorème de Gauss en choisissant une surface fermée entourant la cavité et située dans le conducteur. Puisqu'en tout point de la surface de Gauss le champ électrique est nul, alors le flux électrique l'est également. Par conséquent, en vertu du théorème de Gauss, q+q=0q'+q=0 : la surface interne se remplit d'une charge opposée ; c'est ce qu'on appelle l'influence totale.
  4. Si maintenant on retire la charge qq, dans ce cas q=0q'=0. Il est facile de montrer que la densité de charge est partout nulle sur la surface interne du conducteur. En effet, si la surface interne présente une distribution de charge alors elle contient des charges + et - (puisque q=0q'=0). Les lignes de champ partiraient alors des charges + pour rejoindre les charges - (elles ne peuvent pas s'arrêter dans la cavité puisqu'il n y a pas de charges). Dans ce cas, on aurait des lignes de champ qui partiraient d'un point porté au même potentiel que le point d'arrivée. Or, par nature (E=gradV\overrightarrow{E}=- \overrightarrow{\text{grad}}V), une ligne de champ ne peut visiter que des points de potentiel décroissant, ce qui infirme l'hypothèse de départ. Finalement, dans une cavité vide de charge, la surface interne est également vide de charge ce qui implique un champ nul et un potentiel constant et égal à celui du conducteur. Cela signifie par exemple que tout perturbation électrique produite à l'extérieure du conducteur n'a strictement aucune action à l'intérieur de la cavité : c'est l'effet cage de faraday.

Notion de capacité

Capacité d'un conducteur

Portons un conducteur C\mathcal{C} au potentiel V0V_{0} et notons la charge Q0Q_{0} qui se répartit en surface. Ce conducteur produit à l'extérieur un potentiel V(M)=σdS4πϵ0r V(\text{M})=\iint\frac{\sigma\, \mathrm{d}S}{4\pi\epsilon_{0}\,r} en prenant comme convention V()=0V(\infty)=0. Les charges se répartissent donc de façon à ce que V(M)=V0V(\text{M})=V_0 pour tout point M C\in\mathcal{C}.

Définissons maintenant un potentiel V(M)=λV(M)V'(\text{M})=\lambda V(\text{M}) avec λ\lambda un nombre réel. Ce potentiel vérifie la condition aux limites V(MC)=λV0V'(\text{M}\in\mathcal{C})=\lambda V_{0}. C'est donc le potentiel produit par le conducteur mis au potentiel V0=λV0V'_{0}=\lambda V_{0}. Notons σ\sigma' la nouvelle distribution de charges. On a V(M)=σdS4πϵ0r=λV(M)=λσdS4πϵ0rM V'(\text{M})=\iint\frac{\sigma'\, \mathrm{d}S}{4\pi\epsilon_{0}\,r}=\lambda\,V(\text{M})= \lambda\iint\frac{\sigma\,\mathrm{d}S}{4\pi\epsilon_{0}\,r}\quad\forall M ce qui implique que σ=λσsoitQ0=λQ0 \sigma'=\lambda\sigma \quad\text{soit}\quad Q_{0}'=\lambda Q_{0}

Capacité d'un conducteur

Autrement dit, le rapport Q0V0=Q0V0=C>0 \frac{Q'_{0}}{V'_{0}}=\frac{Q_{0}}{V_{0}}=C >0 est une constante caractéristique de la géométrie du conducteur. CC désigne la capacité du conducteur seul. Elle mesure la capacité d'un conducteur à stocker une quantité de charge sous un potentiel électrique donné. La capacité se mesure en farad (F) en hommage à .

Exemple : capacité d'un conducteur sphérique

Lorsque l'on porte un conducteur sphérique au potentiel V0V_{0}, du fait de la symétrie sphérique, les charges se répartissent de façon uniforme : σ\sigma est constant. Le potentiel électrique VcV_{c} produit au centre de la boule se calcule aisément : Vc=σdS4πϵ0R=Q04πϵ0R V_{c}= \iint\frac{\sigma\text{d}S}{4\pi\epsilon_{0}R}= \frac{Q_{0}}{4\pi\epsilon_{0}R} La capacité d'un conducteur sphérique s'écrit donc C=Q0V0=Q0Vc=4πϵ0R C=\frac{Q_{0}}{V_{0}}=\frac{Q_{0}}{V_{c}}=4\pi\epsilon_{0}R La capacité d'une boule conductrice est proportionnelle à son rayon. Notez que si l'on prend un conducteur sphérique de rayon égal au rayon de la Terre, on trouve une capacité C=0,7mFC=0,7\,\mathrm{mF}, ce qui montre que le farad n'est pas une unité très adaptée ; aussi utilise-t-on ses sous multiples.

Effet de pointe

Lorsqu'on soumet un conducteur à un potentiel VV, les charges ne se répartissent pas toujours uniformément. L'exemple précédent montre que la charge varie comme le rayon de courbure et donc que la densité de charge varie comme l'inverse du rayon de courbure. C'est pourquoi, le champ électrique devient très important au voisinage des pointes conductrices, là où le rayon de courbure est petit.

Effet de pointe

La simulation ci-dessus illustre ce phénomène. Cet effet, dit effet de pointe, permet d'expliquer pourquoi la foudre tombe le plus souvent sur des corps pointus (clochers, arbres) et notamment sur les paratonnerres qui servent précisément à cela : près d'une pointe le champ électrique peut être suffisamment important pour ioniser localement l'air et produire un canal conducteur qui peut entrer en contact avec un canal conducteur descendant ; un éclair se produit alors.

Les condensateurs

Considérons deux conducteurs C1\mathcal{C}_{1} et C2\mathcal{C}_{2}. On électrise C1\mathcal{C}_1 en le portant au potentiel V1V_{1} : il s'entoure alors d'une charge Q1Q_1 (positivement pour fixer les idées). Quant à C2\mathcal{C}_{2}, il est neutre. Approchons maintenant le conducteur chargé vers le conducteur neutre : le champ électrique créé par C1\mathcal{C}_{1} éloigne alors les charges positives et attire les charges négatives. Ainsi, C2\mathcal{C}_{2} se recouvre d'une distribution de charge non uniforme telle que σdS=0\int\sigma\,\mathrm{d}S=0.

Inlfuence partielle
Influence partielle.

Si maintenant, le conducteur C2\mathcal{C}_{2} est mis à la Terre (V2=0V_{2}=0), les charges positives vont être neutralisées par des charges provenant de la Terre. Le résultat est que le conducteur C2\mathcal{C}_{2} se charge négativement : on dit que le conducteur s'est chargé par influence partielle. On a la relation Q2=C21V1 Q_{2}=C_{21}V_{1} C21<0C_{21}<0 désigne le coefficient d'influence.

Examinons maintenant le cas particulier où le conducteur C2\mathcal{C}_{2} entoure C1\mathcal{C}_{1}. Dans cette configuration, toutes les lignes de champ issues de C1\mathcal{C}_{1} arrivent nécessairement sur C2\mathcal{C}_{2}. La surface intérieure de C2\mathcal{C}_{2} se recouvre d'une charge Q2 intQ_{2\text{ int}} de signe opposé à celle que contient C1\mathcal{C}_{1}. Par ailleurs, en vertu du théorème de Gauss (faire le même raisonnement que dans l'exemple du § précédent) on a Q1=Q2 int Q_{1}=-Q_{2\text{ int}} On parle d'influence totale et l'ensemble des deux conducteur forme alors ce que l'on appelle un condensateur constitué de deux armatures conductrices.

La capacité d'un condensateur mesure l'aptitude à stocker une quantité de charge sur l'armature interne. En effet, on montre que si l'on soumet le condensateur à une tension U=V1V2U=V_{1}-V_{2}, l'armature interne se recouvre d'une charge Q1=CU  \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle Q_{1}=CU \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}CC mesure la capacité du condensateur et ne dépend que de sa géométrie. La capacité d'un condensateur se mesure, comme la capacité d'un conducteur, en farad (symbole : F). L'ordre de grandeur de CC est variable ; ça va grosso modo de 10-12 F à 10-3 F.

Capacité d'un condensateur plan

On forme un condensateur plan en approchant deux conducteurs plans soumis à une différence de potentiel. Sur l'animation ci-dessous, l'armature du bas est soumise à un potentiel positif V+V_+ et celle du haut à un potentiel VV_- de sorte que la tension qui règne entre les armatures vaut U=V+VU=V_+-V_-. Sur les faces en regard se condensent des charges de signe opposé : on a influence totale.

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Carte de champ d'un condensateur plan
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En revanche, sur les faces externes des armatures, la densité de charge est quasi nulle. En effet, comme on peut le voir sur la carte d'intensité du champ, le champ électrique est intense entre les armatures et quasi nul à l'extérieur. On remarque également qu'entre les armatures, les lignes de champ sont rectilignes ce qui signifie que le champ est uniforme comme on peut également le voir sur la carte d'intensité. Notez enfin ce qui se passe aux bords des armatures : les charges ont tendance à se concentrer sur les bords par effets de pointe, ce qui explique la valeur intense du champ près des bords. Le caractère uniforme du champ n'est donc valable qu'entre les armatures et tant qu'on reste éloigné des bords.

Calculons la capacité de ce condensateur en supposant les armatures suffisamment proches pour pouvoir utiliser le théorème de Coulomb. Le champ électrique qui règne entre les armatures vaut donc E=σ/ϵ0next\overrightarrow{E} = \sigma/\epsilon_0\overrightarrow{n}_{\text{ext}}. La tension qui règne entre les armatures s'obtient en intégrant ce champ le long d'une ligne de champ : U=V+V=A+AE.d=σϵ0e U=V_+-V_-=\int_{\text{A}_+}^{\text{A}_-}\overrightarrow{E}.\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}= \frac{\sigma}{\epsilon_0}e ee désigne l'espacement entre les armatures. De plus, si l'on néglige les effets de bord, on peut considérer que la répartition des charges est uniforme, d'où Q=σSQ=\sigma S avec SS l'aire de chaque face en regard et ±Q\pm Q les charges des faces en influence totale. Ainsi, on trouve Q=(ϵ0Se)U Q=\left(\frac{\epsilon_{0}S}{e}\right)U Un condensateur plan, possède donc une capacité C=ϵ0Se  \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle C=\frac{\epsilon_{0}S}{e} \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} La relation obtenue indique que plus l'espacement est petit, plus le phénomène de condensation est important.

Rôle du diélectrique — La formule précédente est valable si l'espace inter-armatures est vide. En pratique, on enroule deux rubans métalliques (aluminium ou étain) jouant le rôle des armatures, que l'on sépare par deux rubans isolants (papier paraffiné, plastique). La présence de cet isolant, dit diélectrique, a pour effet d'augmenter la capacité du condensateur formé suite au phénomène de polarisation électrique (voir cours Électromagnétisme II). On montre que la capacité s'écrit sous la forme C=ϵSdavecϵ=ϵ0×ϵr C=\frac{\epsilon\,S}{d} \quad\text{avec}\quad \epsilon=\epsilon_{0}\times \epsilon_{r} ϵr\epsilon_{r} désigne la permittivité diélectrique relative qui dépend du matériau diélectrique utilisé.

Condensateur
Fabrication d'un condensateur plan réel.
Permittivités diélectriques relatives de quelques matériaux.
DiélectriqueεrDiélectriqueεr
vide1Mica3-6
air1,0006Bois2,5-8
paraffine2,5-3,5Porcelaine6
huile4Glycérine56
verre5-10Eau Pure81

Énergie stockée par un condensateur

Par définition, l'énergie d'un condensateur chargé WEW_E est l'énergie qu'il est susceptible de libérer lors de sa décharge, c'est-à-dire lorsqu'on ramène sa tension à zéro en reliant les deux armatures par un fil conducteur, par exemple.

Considérons l'armature interne au potentiel VAV_{\text{A}} et portant une charge QQ. L'armature externe soumise au potentiel VBV_{\text{B}} porte, quant à elle, une charge interne Q-Q et une charge externe QQ' qui ne dépend que du potentiel VBV_{B}.

Lorsque le condensateur est chargé, l'énergie électrostatique du système de charge vaut : E1=12iqiVi=12(QVAQVB+QVB) \mathcal{E}_{1}=\frac{1}{2}\sum_{i}q_{i}V_{i}=\frac{1}{2}\left(QV_{\text{A}}-QV_{\text{B}}+Q'V_{\text{B}}\right) On décharge le condensateur en augmentant le potentiel VAV_{\text{A}} à la valeur VBV_{\text{B}} : il n' y a plus de charge en influence mais il reste éventuellement une charge QQ' sur la face externe de l'armature : E2=12iqiVi=12QVB \mathcal{E}_{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}q_{i}V_{i}=\frac{1}{2}Q'V_{\text{B}} Par définition, l'énergie électrostatique du condensateur WEW_{E} vaut

Énergie stockée par un condensateur

WE=E1E2=12QUAB=12CUAB2 W_{E}=\mathcal{E}_{1}-\mathcal{E}_{2}=\frac{1}{2}QU_{\text{AB}}=\frac{1}{2}C{U_{\text{AB}}}^{2}

Pour en savoir plus...

  1. J.D Jackson et al. Electrodynamique classique : cours et exercices d’électromagnétisme.Paris, Dunod, 2001.
  2. De Bruyn Ouboter, R. Kamerlingh Onnes découvre la supraconduction Pour la science№235, 1997.
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