MENUCours d'Électromagnétisme

La loi de Biot et Savart permet de relier le courant électrique aux effets magnétiques qu'il produit dans l'hypothèse où ce courant est stationnaire. Cette loi permet, d'une part de dégager les propriétés de symétrie du champ magnétostatique et d'autre part de le calculer analytiquement dans certains cas simples comme le fil infini et la spire. Enfin, le champ créé par un dipôle magnétique est traité ce qui permet d'aborder la question de l'origine du magnétisme des aimants.

Loi de Biot et Savart

Quelques faits historiques

1820 : expérience d'Œrsted

Lors d'un cours, le danois Hans Christian Œrsted découvre qu'un fil conducteur parcouru par un courant électriqueÀ l'époque, la pile de Volta est déjà inventée. fait dévier l'aiguille d'une boussole placée a proximité. Cette expérience prouve sans ambiguïté le lien entre courant électrique et champ magnétique. Par ailleurs, si on inverse le sens du courant, l'aiguille tourne de 180°. L'expérience d'Œrsted suscite un grand intérêt car c'est la première fois qu'on met en évidence une force qui n'est pas suivant la ligne joignant les deux corps en interaction.

1820 : les travaux d'Ampère et d'Arago

C'est François Arago qui, après avoir assisté à une démonstration de l'expérience d'Œrsted à Genève, la présente à l'Académie des sciences de Paris. Dans l'assemblée, AmpèreAndré-Marie Ampère (1775 - 1836) : physicien et chimiste français, considéré comme le Newton de l'électricité. Né à Polémieux-au-Mont-d'Or, près de Lyon, fils d'un juge de paix lyonnais guillotiné sous la Révolution, André-Marie Ampère mène une brillante carrière scientifique : titulaire de la chaire de mécanique à l'École Polytechnique en 1809, il est élu à l'Académie des Sciences en 1814, puis à la chaire de physique du Collège de France en 1824. Il publie en 1827 son dernier grand ouvrage Sur la théorie mathématique des phénomènes électrodynamiques uniquement déduite de l'expérience. Il termine sa vie en tant qu'inspecteur général de l'instruction publique et laissera son nom à l'unité de courant électrique, l'ampère. est enthousiaste et se lance dans un travail expérimentale et théorique. Ampère montre notamment que deux fils rectilignes parcourus par un courant s'attirent ou se repoussent selon que les courants sont dans le même sens ou pas. Il montre également qu'une spire parcourue par un courant se comporte comme un aimant. On peut associer à une spire un pôle nord et un pôle sud. Si l'on change le sens du courant, la polarité change. Par ailleurs, Arago qui collabore avec Ampère découvre que le courant électrique a la propriété d'aimanter le fer ce qui mènera à l'invention de l'électroaimant.

1876 : expérience de Rowland

Henry Rowland démontre, à l'aide d'un travail expérimental très soigné, qu'un disque chargé électriquement en rotation rapide produit un champ magnétique. Autrement dit, les charges électriques en déplacement produisent les mêmes effets magnétiques qu'un courant électrique ce qui suggère que le courant électrique est lié à un déplacement de charges électriques.

Énoncé

L'étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut réalisée par les physiciens Biot et Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d'une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu'elle varie en raison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu'on appelle aujourd'hui la loi de Biot et Savart.

Le champ magnétique que produit une distribution filiforme de courant peut s'obtenir en décomposant la distribution en petits éléments de courant. On considère que chaque élément de courant de longueur orientée \(\overrightarrow{\text{d}\ell}\) traversé par un courant d'intensité \(I\) produit un champ magnétique élémentaire en M : \[ \overrightarrow{\mathrm{d}B}(\text{M})=K\frac{I\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{u}}{r^{2}} \] où \(K\) est une constante, \(\overrightarrow{u}\) le vecteur unitaire joignant l'élément de courant à M, et \(r\) la distance entre M et la portion de circuit. Il faut voir \(\overrightarrow{\mathrm{d}B}\) comme un intermédiaire de calcul, seule la somme de toutes les contributions a un sens physique. Le champ magnétique résultant s'obtient donc en intégrant l'expression précédente, le point P parcourant tout le circuit : \[ \overrightarrow{B}(\text{M})=\oint \overrightarrow{\mathrm{d}B}=K\oint_{\text{circuit}}\frac{I \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{u}}{r^{2}} \] le symbole \(\oint\) signifiant que l'intégration s'effectue le long du circuit fermé.

La loi de Biot et Savart permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de courant stationnaire filiforme. Cela conduit au calcul de trois intégrales scalaires voire moins lorsque le problème présente suffisamment de symétries.

Il peut arriver que le calcul analytique s'avère ardu, il faut alors envisager une approche numérique.

Exemple de calcul : le fil rectiligne infini

Considérons un fil infini d'axe O\(z\), parcouru par un courant constant d'intensité \(I\) et cherchons le champ magnétique produit à la distance \(r\) du fil. À l'aide de la formule de Biot et Savart, on peut exprimer le champ magnétique \(\mathrm{d}B\) produit par la portion de longueur \(\mathrm{d}\ell\) : \[ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I \mathrm{d}\ell \cos\varphi}{\text{PM}^{2}} \] avec \(\varphi\) l'angle que fait la droite (MP) avec le plan médiateur passant par M. Choisissons la variable \(\varphi\) comme variable d'intégration. Sachant que \(\text{PM}=r/\cos\varphi\) et \(\ell=r\tan\varphi\) (d'où l'on tire \(\mathrm{d}\ell=r\frac{\mathrm{d}\varphi}{\cos^{2}\varphi}\)) on obtient \[ \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\cos\varphi}{r}\, \mathrm{d}\varphi \] Vu que tous les champs élémentaires sont colinéaires et dirigés suivant le vecteur orthoradial \(\overrightarrow{u_{\theta}}\), on peut ajouter les intensités des champs pour avoir le champ magnétique total \[ B(\text{M})=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r}\int_{\varphi=-\pi/2}^{\varphi=\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi= \frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r} \] Finalement, il règne dans l'espace un champ magnétique \[ \overrightarrow{B}(r,\theta,z)=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r}\overrightarrow{u_\theta} \]

Topographies - Symétries

Décrivons différentes situations afin de dégager les propriétés essentielles du champ magnétique.

Le fil infini

Comme on vient de le voir sur l'exemple précédent, le champ magnétique créé par un long fil rectiligne est orthoradial. Par conséquent, les lignes de champ sont des cercles. Contrairement au champ électrique, les lignes de champ magnétique se referment sur elle même. On peut noter que le champ magnétique tourne autour du fil dans un sens imposé par la règle du tire-bouchon : un tire bouchon tournant dans le sens du champ magnétique progresse dans le sens du courant.

La spire circulaire

La figure ci-dessous présente les lignes de champ magnétique que produit une spire circulaire alimentée par un courant électrique permanent. Ces lignes de champ sont dans des plans perpendiculaires à la spire et contenant son centre. On peut noter, là encore, la structure fermée de ces lignes. Comme on l'a déjà vu précédemment, on peut associer à cette spire un moment magnétique qui indique la direction sud-nord de l'aimant équivalent. Cela correspond également au sens du champ magnétique qui règne au centre de la spire.

Le solénoïde

Enroulons de façon jointive un fil conducteur sur un cylindre de longueur \(L\) : on obtient une bobine ou solénoïde. Cet enroulement est caractérisé par une densité linéique d'enroulement \(n=N/L\), avec \(N\) le nombre d'enroulements. Bien que cet enroulement soit légèrement hélicoïdal, on peut, dans une première approximation, assimiler le solénoïde à une superposition de spires très rapprochées. Dans ce cas, les lignes de champ sont des courbes planes situées dans un plan coupant en deux le solénoïde dans le sens de la longueur. La figure ci-dessous montre l'allure des lignes de champ. À l'intérieur de la bobine, les lignes sont quasiment parallèles ce qui traduit le caractère quasi uniforme du champ. On montre que lorsque \(L\to \infty\), le champ magnétique à l'intérieur est axial, uniforme et ne dépend que de l'intensité électrique et de la densité d'enroulement : \(B_\text{int}=\mu_{0}nI\).

Symétries

Le champ magnétique ne présente pas les mêmes propriétés de symétrie que le champ électrique. En effet, la formule de Biot et Savart montre que le champ magnétique se transforme comme un produit vectoriel. On dit que le champ magnétique est un vecteur axial ou pseudovecteur[7].

En présence d'un plan de symétrie, un vecteur normalOn dit également vecteur polaire. se transforme comme dans un miroir. En conséquence, le produit vectoriel de deux vecteurs normaux ne se transforme pas comme dans un miroir. Sur la figure, on voit que \(\overrightarrow{B}\) se transforme ainsi : \[ \text{M}\overset{\text{symétrie}}{\longrightarrow}\text{M'} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{B}(\text{M}) \overset{\text{symétrie}}{\longrightarrow} -\text{sym}\overrightarrow{B}(\text{M}) \] En vertu du principe de Curie, si la distribution de courant est invariante par symétrie, l'opération de la symétrie ne doit pas changer la valeur du champ magnétique. Par conséquent \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{B}(\text{M'})=-\text{sym}\overrightarrow{B}(\text{M}) \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Cette propriété implique que pour tout point M situé dans un plan de symétrie, le champ magnétique est obligatoirement perpendiculaire au plan de symétrie.

On dit que la distribution présente un plan d'anti-symétrie \(\mathcal{P'}\) lorsque la distribution de courant est invariante par l'opération de symétrie de plan \(\mathcal{P}'\) suivi de l'inversion du sens des courants. Dans ce cas, en un point M de l'espace, le champ magnétique ne doit pas varier lorsque l'on effectue cette transformation (principe de Curie). Détaillons la transformation \[ \begin{array}{ccccc} \text{M}& \overset{\text{symétrie}}{\longrightarrow}& \text{M'}& \overset{\text{inversion}}{\longrightarrow}& \text{M'}\\ \overrightarrow{B}(\text{M})& \overset{\text{symétrie}}{\longrightarrow}& -\text{sym} \overrightarrow{B}(\text{M})& \overset{\text{inversion}}{\longrightarrow} & \text{sym} \overrightarrow{B}(\text{M})\\ \end{array} \] On en déduit que \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{B}(\text{M'})=\text{sym}\overrightarrow{B}(\text{M}) \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Cette propriété implique que pour tout point M situé dans un plan d'anti-symétrie, le champ magnétique est obligatoirement contenu dans ce plan.

Exercice

Identifier les plans de symétrie et d'anti-symétrie d'un solénoide cylindrique (considéré comme un ensemble de spires parallèles) et en déduire les propriétés du champ magnétique.

Rép. — Tout plan contenant l'axe du solénoïde est un plan d'anti-symétrie. Les lignes de champ doivent donc appartenir à ces plans. En conséquence, l'axe du solénoïde est nécessairement une ligne de champ. Par ailleurs, le plan perpendiculaire à l'axe du solénoïde et passant par le milieu du solénoïde est un plan de symétrie. Les lignes de champ doivent traverser ce plan à angle droit.

Champ créé par un dipôle magnétique

On cherche à déterminer l'expression du champ magnétique créé par un dipôle magnétique c'est-à-dire une distribution localisée de courant auquel on peut associer un moment magnétique \(\overrightarrow{m}\). Nous verrons que loin du dipôle magnétique la structure du champ magnétique présente des analogies avec celui du champ électrique créé par un dipôle électrique.

Champ magnétique créé le long de l'axe d'une spire

Commençons par étudier le champ magnétique produit par une spire circulaire de rayon \(R\) parcouru par un courant permanent d'intensité \(I\). Dans le cas général, le calcul fait appel aux intégrales elliptiques ; on se contente ici d'étudier l'évolution du champ magnétique le long de l'axe (O\(z\)) de la spire.

Tout d'abord, appelons \(\theta\) le demi-angle au sommet du cône formé par la spire et un point M de l'axe. D'après la loi de Biot et Savart \[ \mathrm{d}\overrightarrow{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge \overrightarrow{u}}{r^2} \] le champ \(\overrightarrow{\mathrm{d}B}(\text{M})\), fait un angle \(\pi/2-\theta\) avec l'axe (O\(z\)).

Par ailleurs, tout plan contenant l'axe de la spire est un plan d'anti-symétrie (il y en a une infinité). Il en résulte que le champ magnétique est nécessairement le long de l'axe pour les points M de cet axe. Il suffit dès lors de sommer toutes les composantes verticales des champs élémentaires : \[ \mathrm{d}B_z=\mathrm{d}B\,\cos(\pi/2-\theta) \quad\text{avec}\quad \mathrm{d}B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\text{d}l}{r^{2}} \quad\text{soit}\quad \text{d}B_{z}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{\text{d}l\sin\theta}{r^{2}} \] Lorsque le point P décrit le circuit fermé, l'angle \(\theta\), la distance \(r\) et l'intensité \(I\) restent constants : \[ B_z=\frac{\mu_{0}I\sin\theta}{4\pi r^{2}}\oint\text{d}\ell=\frac{\mu_{0}I\, R\sin\theta}{2r^2} \] Finalement, compte tenu du fait que \(\sin\theta=R/r\), le champ magnétique créé par une spire le long de son axe s'écrit \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{B}(\text{M})=B_{\text{max}}\sin^{3}\theta\,\overrightarrow{u_{z}} \quad\text{avec}\quad B_{\text{max}}=\frac{\mu_{0}I}{2R} \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} \(B_{\text{max}}\) représente le champ créé au centre de la spire.

Approximation dipolaire

À partir du résultat précédent, regardons maintenant comment le champ magnétique varie loin de la boucle de courant. Sachant que \(\sin\theta=R/\sqrt{R^2+z^2}\), on peut écrire le résultat précédent en fonction uniquement de la variable \(z\) : \[ B(\text{M}\in Oz)=\frac{\mu_{0}IR^2}{2}\frac{1}{\left(R^{2}+z^{^{2}}\right)^{3/2}} \] Faisons intervenir le moment dipolaire de la spire, \(m=\pi R^2\,I\) : \[ B(\text{M}\in Oz)=\frac{\mu_{0}m}{2\pi}\frac{1}{\left(R^{2}+z^{^{2}}\right)^{3/2}} \] Expression qui, loin de la spire, devient (\(R^2+z^2\simeq z^2\)) \[ B(\text{M}\in Oz)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{2m}{z^{3}} \quad\text{si}\quad z\gg R \] Le champ magnétique décroît donc comme l'inverse du cube de la distance lorsque l'on se situe loin de la spire. Cette formule n'est pas sans rappeler l'évolution du champ électrique créé par un dipôle électrique le long de l'axe du dipôle. En effet, le champ créé par un dipôle électrique le long de son axe vaut, dans l'approximation dipolaire, \[ E_{\text{dipolaire}}(\text{M}\in Oz)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{2p}{z^{3}} \]

On retrouve l'analogie déjà rencontrée au chapitre précédent : \[ \left[\begin{array}{ccc} \overrightarrow{m} & \leftrightarrow & \overrightarrow{p}\\ \overrightarrow{B} & \leftrightarrow & \overrightarrow{E}\\ \dfrac{\mu_{0}}{4\pi} & \leftrightarrow & \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\end{array}\right] \] On peut montrer que cette analogie fonctionne dans l'approximation dipolaire, c'est-à-dire dès que l'on se trouve loin du dipôle magnétique. Le champ magnétique créé par un dipôle magnétique a la même structure que le champ électrique créé par un dipôle dès lors que l'on se place dans l'approximation dipolaire. On a \[ \overrightarrow{B}(\text{M})=\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\left[3(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{u_{r}})\,\overrightarrow{u_{r}}-\overrightarrow{m}\right] \]

Origines du magnétisme

Géomagnétisme

La Terre produit un champ magnétique de l'ordre de 10 µT. Ce champ est de nature dipolaire et peut s'interpréter comme lié à l'existence d'un dipôle magnétique au centre de la Terre de moment magnétique \(m\approx10^{23}\;\mathrm{A.m^{2}}\) et dont l'axe est quasi aligné avec l'axe des pôles. Le dipôle pointe vers le Sud géographique de telle sorte qu'une boussole à la surface de la Terre indiquera le Nord Géographique. Autrement dit, le Nord géographique est un pôle sud magnétique.

En réalité, l'axe nord-sud magnétique n'est pas confondu avec l'axe Sud-Nord géographique. Il est incliné de 11,5° et subit quelques fluctuations journalières. Ce fait reste encore énigmatique pour les théoriciens. Il est des astres où la configuration est encore plus exotique : par exemple, sur Neptune l'axe fait 90° avec l'axe de rotation !

L'étude de l'évolution du magnétisme terrestre (paléomagnétisme) soulève encore quelques énigmes. Par exemple l'inversion du champ magnétique terrestre ne se produit pas régulièrement (la dernière remonte à 800 000 ans) alors que le champ magnétique solaire s'inverse lui à une cadence régulière ; tous les 11 ans.

Le magnétisme des aimants

C'est Ampère qui, le premier, pressentit que le magnétisme des aimants tenait son origine dans l'existence de minuscules boucles de courants au sein des molécules de la matière. Il a fallut attendre les découvertes du XX^e siècle sur l'atome pour confirmer l'intuition d'Ampère. En effet, de nos jours, on sait que certains atomes (ou molécules) possèdent un moment dipolaire magnétique du fait de leur structure électronique. Dans un matériau non aimanté, les moments dipolaires sont orientés de façon aléatoires de sorte que les effets s'annihilent. C'est la situation que l'on rencontre quand le matériau est non aimanté ou trop chaud, l'agitation thermique étant alors responsable de ce désordre. En revanche, dans un aimant, les moments microscopiques tendent à s'aligner grâce à une interaction d'origine quantique (on parle de couplage ferromagnétique) et parce que l'agitation thermique n'est pas trop importante. Dans ce cas, l'aimant présente un moment magnétique macroscopique suffisamment important pour créer un fort champ magnétique. Bien entendu, lorsqu'on chauffe l'aimant au delà d'une certaine température (dite température critique), l'ordre ferromagnétique est rompu et l'aimant perd son aimantation.

Cette description permet de comprendre une expérience qui remonte au XIII^e siècle : l'expérience de l'aimant brisée. Si l'on coupe un aimant en deux, on se retrouve avec deux nouveaux aimants possédant chacun un pôle nord et un pôle sud. Autrement dit, il est impossible d'isoler un seul pôle magnétique.