Dans la première partie de ce cours, nous avons étudié les conducteurs en régime stationnaire ce qui nous a permis d'aborder la notion de capacité électrique. Ici, nous nous concentrons sur le comportement d'un conducteur vis à vis d'un champ électromagnétique variable. Pour cela, on s'appuie sur une description classique déjà rencontrée : le modèle de Drude.
L'état conducteur
Modèle de conductivité
Pour décrire les propriétés électromagnétiques dans les conducteurs, nous utilisons le modèle de Drude qui date de 1900, avant la révolution quantique, donc. Rappelons les hypothèses de ce modèle :
- Dans un métal, la conduction électrique est uniquement assurée par les électrons libres ; les cations du réseau étant considérés fixes. Ces électrons libres sont supposés indépendants, c'est-à-dire que nous les traitons comme un de particules chargées.
- Toutefois, il arrive que les électrons subissent des collisions avec le . La vitesse de l'électron est alors redistribuée de façon aléatoire après chaque collision.
- La durée moyenne entre deux collisions est notée \(\tau\).
Le modèle de Drude fournit une équation phénoménologique décrivant le comportement moyen de l'électron à l'échelle mésoscopique. On définit \(\overrightarrow{v}\) la vitesse d'ensemble des porteurs de charge dans un petit volume mésoscopique du conducteur. Celle-ci obéit à l'équation
\[ m_e \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t} = \overrightarrow{F}^\text{ext}-\frac{m_e}{\tau}\overrightarrow{v} \]Le dernier terme du second membre modélise l'effet moyen des collisions.
En présence d'un champ électrique statique et uniforme \(\overrightarrow{E}\), les électrons libres acquièrent rapidement une vitesse limite. En effet, la vitesse de dérive des électrons vérifie
\[ m_e \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t} = -e\overrightarrow{E}-\frac{m_e}{\tau}\overrightarrow{v} \]dont la solution, une fois le régime stationnaire atteint, s'écrit
\[ \overrightarrow{v} = -\frac{e\tau}{m_e}\overrightarrow{E} \quad\text{quand }t\gg\tau \]La vitesse de dérive est proportionnelle au . Le courant électrique transporté par ce mouvement d'ensemble vaut
La somme est effectuée sur les différents types de porteurs de charge, mais seuls les électrons participent au courant puisque les cations sont fixes, en moyenne.
où \(n^\star\) désigne la densité volumique en électrons libres. On en déduit la loi d'Ohm locale.
On retrouve la formule établie dans la Partie-I à partir d'un raisonnement statistique. Voir [1].
où \(\gamma_0\) désigne la conductivité électrique laquelle s'exprime en siemens par mètre (S.m-1 ou Ω-1.m-1).
Dans les conditions normales, pour les métaux, la conductivité est de l'ordre de 107 S.m-1 et la densité volumique des électrons de l'ordre de 1029 m-3. Le modèle de Drude prévoit donc un temps de relaxation
\[ \tau = \frac{m_e\gamma_0}{e^2 n^\star} \sim \frac{10^{-30}\times 10^{7}}{(10^{-19})^2\times 10^{29}} =10^{-14}\,\mathrm{s} \]Aux températures ordinaires, ce sont les vibrations du réseau cristallin qui conditionnent le temps de relaxation, alors qu'aux basses températures ce sont les défauts cristallins (impuretés, lacunes, dislocations, etc). Une règle assez bien vérifiée consiste à écrire
\[ 1/\tau = \underbrace{1/\tau_\text{d}}_\text{défauts}+\underbrace{1/\tau_\text{v}}_\text{vibrations} \]où le terme vibrationnel \(1/\tau_\text{v}\) augmente avec la température. De ce fait, la résistivité \(\rho=1/\gamma_0\) croît avec la température en suivant une loi du type
\[ \rho(T) = \rho_0+f(T) \quad\text{avec}\quad \lim_{T\to 0}f(T)=0 \]où \(\rho_0\) représente la proche du zéro absolue.
| Conductivités | |
|---|---|
| Métaux | à 20°C (S.m-1) |
| Argent | 6,2.107 |
| Cuivre | 5,9.107 |
| Or | 4,5.107 |
| Aluminium | 3,7.107 |
| Sodium | 2,1.107 |
| Tungstène | 1,9.107 |
| Fer | 1,0.107 |
| Platine | 0,96.107 |
| Plomb | 0,48.107 |
| Uranium | 0,39.107 |
| Mercure | 0,10.107 |
Dans un métal à température ordinaire, la longueur d'onde thermique de De Broglie \(\lambda_\text{th}=h/\sqrt{2\pi m_e k_BT}\) est de l'ordre de 1 nm alors que la distance inter-électronique est de l'ordre de 0,1 nm. Pour décrire fidèlement l'état conducteur il faut donc une description quantique. Ici nous nous contentons d'un modèle classique qui a le mérite de décrire assez correctement la conductivité. Pour une approche quantique, voir[2].
Conductivité complexe
Dans le modèle précédent, on a supposé le champ électrique stationnaire et uniforme. Soumettons maintenant le conducteur à un champ électromagnétique harmonique de pulsation \(\omega\). On suppose toutefois qu'à l'échelle mésoscopique, le champ électrique est homogène, ce qui suppose une longueur d'onde plus grande que le libre parcours moyen (de l'ordre de 10 nm).
En régime sinusoïdal, toutes les grandeurs oscillent à la pulsation \(\omega\). Adoptons la notation complexe :
\[ \overrightarrow{\underline{E}}= \overrightarrow{\underline{E_0}}\,\mathrm{e}^{i\omega t} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{\underline{v}}= \overrightarrow{\underline{v_0}}\,\mathrm{e}^{i\omega t} \]Le modèle de Drude donne
\[ m_e(i\omega\,\overrightarrow{\underline{v}}) = -e\overrightarrow{\underline{E}}-\frac{m_e}{\tau}\overrightarrow{\underline{v}} \]ce qui conduit à
En régime variable, le champ électrique est accompagné d'un champ magnétique qui produit une force largement négligeable, car \(v\ll c\).
et un courant électrique de densité
\[ \overrightarrow{\underline{j_e}}=-en^\star \; \overrightarrow{\underline{v}} = \underbrace{\frac{e^2 n^\star \tau}{m_e(1+i\omega \tau)}}_{\underline{\gamma}}\; \overrightarrow{\underline{E}} \]\(\underline{\gamma}\) désigne la conductivité complexe. Le fait que \(\underline{\gamma}\) soit complexe signifie qu'en régime alternatif, le courant électrique ne suit pas instantanément le champ électrique. Un certains retard dû à l'inertie de l'électron entraîne un certain déphasage entre le courant et le champ électrique. La conductivité complexe se met sous la forme
\[ \underline{\gamma}=\gamma_1-i\gamma_2 \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} \gamma_1&=&\gamma_0\dfrac{1}{1+(\omega \tau)^2}\\[3mm] \gamma_2&=&\gamma_0\dfrac{\omega \tau}{1+(\omega \tau)^2}\\ \end{array}\right. \]
En pratique, comme le montre la Fig.1, la conductivité se confond avec la conductivité statique \(\gamma_0\) dans le domaine des ondes radio et micro-ondes pour les métaux.
À retenir
Tant que \(\omega \ll 1/\tau\), un conducteur suit la loi d'Ohm statique
\[ \overrightarrow{j_e}=\gamma_0\, \overrightarrow{E} \]Dans les conditions normales, cette propriété est généralement respectée dans le domaine des ondes radio et des micro-ondes, voire de l'infrarouge lointain.
Dans ce cours on se limitera à cette situation qui correspond au régime dit de Hagen-Rubens.
Éq. de Maxwell dans les conducteurs
Dans le cadre que l'on s'impose (\(\omega \ll 1/\tau\)), on peut effectuer deux simplifications supplémentaires.
Le conducteur est localement neutre — En effet, pour un conducteur homogène régi par la loi d'Ohm statique \(\overrightarrow{j_e}=\gamma_0\, \overrightarrow{E}\), l'équation de Maxwell-Gauss donne
Ici, \(\rho_e\) désigne la densité volumique de charge en tenant compte des cations et des électrons libres.
Or, la conservation de la charge impose \(\text{div}\overrightarrow{j_e}+\partial \rho_e/\partial t=0\) ce qui mène à l'équation différentielle
\[ \frac{\gamma_0\rho_e}{\epsilon_0}+\frac{\partial \rho_e}{\partial t}=0 \]Plaçons-nous en régime harmonique pour lequel les solutions sont de la forme \(\underline{\rho_e} = \underline{A}\; \mathrm{e}^{i\omega t}\) en notation complexe. En substituant dans l'équation différentielle on aboutit à
\[ \left(\frac{\gamma_0}{\epsilon_0}+i\omega\right)\underline{\rho_e}=0 \quad\text{d'où}\quad\underline{\rho_e}=0 \]Le courant de déplacement est négligeable — Au sein d'un conducteur soumis à un champ électrique variable, il existe deux types de courant : le courant de conduction \(\overrightarrow{j_e}=\gamma_0 \, \overrightarrow{E}\) et le courant de déplacement \(\overrightarrow{j_\text{d}}=\epsilon_0\,\partial \overrightarrow{E}/\partial t\). En régime harmonique, on a
\[ \|\overrightarrow{j_\text{d}}\|=\epsilon_0\omega \|\overrightarrow{E}\| \quad\text{et}\quad \|\overrightarrow{j_e}\|=\gamma_0 \|\overrightarrow{E}\| \]de sorte que dans le cadre de notre étude (\(\omega \ll 1/\tau\)), le rapport de ces deux courants est donné par
\[ \frac{\|\overrightarrow{j_\text{d}}\|}{\|\overrightarrow{j_e}\|}=\frac{\epsilon_0\omega}{\gamma_0} \ll \frac{\epsilon_0}{\tau\gamma_0} \]Pour un bon métal, ce dernier rapport est de l'ordre de
\[ \frac{\|\overrightarrow{j_\text{d}}\|}{\|\overrightarrow{j_e}\|} \sim \frac{10^{-11}}{10^{-14}\times 10^{7}}=10^{-4} \]Le courant de déplacement est donc complètement négligeable devant le courant de conduction.
Finalement, dans un conducteur à basse fréquence, les équations de Maxwell se simplifient ainsi :
Équations de Maxwell dans un conducteur à basse fréquence
\[ \begin{array}{cc} \text{Maxwell-Gauss} & \text{Maxwell-Faraday}\\ \text{div}\overrightarrow{E}=0 & \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\[6mm] \text{Maxwell-Ampère} & \text{Maxwell-Thomson}\\ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0 \gamma_0\overrightarrow{E} & \text{div}\overrightarrow{B}=0 \\ \end{array} \]Propagation dans un conducteur
Équation de propagation
Comme pour le vide, établissons l'équation de propagation en calculant de deux manières \(\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\right)\). D'une part, on a
\[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\right) =\overrightarrow{\text{grad}}\left(\cancel{\text{div}\overrightarrow{E}}\right)-\Delta \overrightarrow{E} =-\Delta \overrightarrow{E} \]D'autre part,
\[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\right) =\overrightarrow{\text{rot}}\left(-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right) =-\frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}\right) =-\mu_0\gamma_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \]On en déduit
\begin{equation} \Delta \overrightarrow{E}-\mu_0\gamma_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=\overrightarrow{0} \end{equation}On laisse le lecteur vérifier que le champ magnétique est régi par la même équation aux dérivées partielles.
Notez que la relation(2)n'est pas une équation d'onde de D'Alembert mais une équation de diffusion. La présence d'une dérivée temporelle d'ordre un brise l'invariance vis à vis de l'inversion du temps, ce qui traduit un phénomène dissipatif irréversible, dont l'origine physique est l'effet Joule.
Relation de dispersion
Cherchons si des ondes planes peuvent se propager dans le métal en vérifiant si les champs du type
\[ \overrightarrow{\underline{E}}(\text{M},t) = \overrightarrow{\underline{E_0}}\; \mathrm{e}^{i(\omega t- \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{\text{OM}})} \]peuvent être solution de l'équation de propagation(2). Si oui, on déterminera la relation de dispersion \(\omega(\overrightarrow{k})\).
Par substitution dans l'équation de propagation(2), on obtient
\[ -k^2\; \overrightarrow{\underline{E}}-\mu_0\gamma_0(i\omega\;\overrightarrow{\underline{E}})=\overrightarrow{0} \]soit, si on exclut la solution triviale \(\overrightarrow{\underline{E}}=\overrightarrow{0}\),
\begin{equation} k^2=-i\mu_0\gamma_0\omega \end{equation}La relation de dispersion fait apparaître que \(k\) doit être complexe. Si l'on prend la racine carré, on trouve
\[ \underline{k}=\pm \mathrm{e}^{-i\pi/4}\sqrt{\mu_0\gamma_0\omega}=\pm \sqrt{\frac{\mu_0\gamma_0\omega}{2}}(1-i) \]Réécrivons la relation de dispersion précédente :
\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \underline{k}=\pm \frac{1-i}{\delta} \quad\text{avec}\quad \delta =\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma_0\omega}} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}On voit immédiatement que \(\delta\) est homogène à une longueur. Cette longueur caractéristique est appelée épaisseur de peau.
Cherchons à savoir comment une onde se propage dans un métal occupant tout le demi-espace \(x>0\), en imaginant une onde plane polarisée rectilignement de la forme \(\overrightarrow{\underline{E}}=\underline{E_0}\; \mathrm{e}^{i(\omega t -\underline{k}x)}\;\overrightarrow{u_y}\). Vu que l'on cherche une propagation dans le sens des \(x\) croissants, on utilisera \(\underline{k}=\frac{1-i}{\delta}\) pour laquelle la partie réelle est positive. Finalement, dans le conducteur, le champ électrique a la forme suivante :
\[ \overrightarrow{\underline{E}}= \underbrace{\;\underline{E_0}\,\mathrm{e}^{-x/\delta}\;}_\text{amortissement}\times \underbrace{\phantom{\underline{p}}\mathrm{e}^{i(\omega t-x/\delta)}\phantom{\underline{p}}}_\text{propagation} \;\overrightarrow{u_y} \]
Il s'agit d'une onde plane harmonique, dont l'amplitude décroît exponentiellement au cours de la propagation, sur une échelle caractéristique \(\delta\).
Le champ électrique pénètre dans le conducteur sur une épaisseur de l'ordre de quelques \(\delta\). C'est la dissipation par effet joule de l'énergie électromagnétique qui est responsable de cet amortissement.
Dans cette couche, l'onde se propage avec une vitesse de phase
\[ v_\varphi=\omega \delta=c\sqrt{\frac{2\epsilon_0\omega}{\gamma_0}} \]d'où une longueur d'onde dans le métal \(\lambda=v_\varphi T=2\pi \delta\). Enfin, on peut caractériser le métal par un indice de réfraction
Certains auteurs définissent l'indice complexe \(\underline{n}=\frac{c}{\omega/\underline{k}'}\). Ici, \(n\) est la partie réelle de \(\underline{n}\).
La dépendance en \(1/\sqrt{\omega}\) montre de surcroît que la propagation, en plus d'être dissipative, est aussi dispersive.
Exercice
Calculer la vitesse de phase d'une onde électromagnétique de 1,0 GHz dans l'or. En déduire l'indice de réfraction correspondant.
\(v_\varphi=15\,\mathrm{km.s^{-1}}\) et \(n=20\times 10^3\).
Effet de peau
Le résultat établi précédemment pour une onde électromagnétique est en fait plus général : on l'observe dès qu’un courant alternatif parcourt le conducteur. C'est cette propriété qui confère aux courants alternatifs une propension à circuler à la périphérie des conducteurs et que l'on appelle effet de peau.
Donnons quelques ordres de grandeur pour un bon métal comme le cuivre (\(\gamma_0 = 6\times 10^7\,\mathrm{S.m^{-1}}\)) :
- à la fréquence \(\nu=50\,\mathrm{Hz}\), on trouve \(\delta=\sqrt{\frac{2}{4\pi. 10^{-7}\times 6.10^7\times 2\pi\times 50}}=9\,\mathrm{mm}\). À cette fréquence, le champ électrique pénètre sans problème un fil de cuivre de diamètre 1 mm. Le courant électrique sera alors uniforme.
- à la fréquence \(\nu=10\,\mathrm{kHz}\), on obtient \(\delta=\sqrt{\frac{2}{4\pi. 10^{-7}\times 6.10^7\times 2\pi\times 10^3}}=0,2\,\mathrm{mm}\). Dans ce cas, le courant alternatif se concentre sur un pellicule d'épaisseur de quelques dixième de mm. Si l'on reprend le fil de cuivre précédent, on verra un courant électrique plus dense en périphérie qu'au centre ce qui induit une augmentation de la résistance électrique et donc un effet joule plus important. C'est pour cette raison qu'on emploie du fil très fin en électronique haute fréquence
- Enfin, dans le domaine des micro-ondes, disons pour \(\nu=1\,\mathrm{GHz}\), on trouve \(\delta=2\,\mathrm{\mu m}\). Ainsi, une feuille de cuivre de quelques microns d'épaisseur suffit à bloquer les ondes de la téléphonie mobile.
Réflexion en incidence normale
Position du problème
Plaçons dans le vide un métal semi infini occupant l'espace \(x>0\), et présentant une conductivité uniforme \(\gamma_0\).
Envoyons une onde électromagnétique sur un tel milieu. Lorsque celle-ci arrive à la surface du conducteur, la composante électrique du champ met en mouvement les électrons libres du métal ce qui engendre un courant localisé à la périphérie du conducteur sur une épaisseur de peau \(\delta\). Ce courant alternatif va a son tour produire une onde électromagnétique qui va se superposer à l'onde incidente. Ainsi, le conducteur se met à rayonner une onde électromagnétique que l'on désignera par .
On suppose une OPPH se propageant selon \(\overrightarrow{u_x}\), c'est-à-dire en incidence normale :
On choisit une onde polarisée rectilignement selon \(\overrightarrow{u_y}\) pour simplifier.
Quant au champ électrique réfléchi, il se met sous la forme
\[ \overrightarrow{\underline{E}}_\text{r}= \underline{A_\text{r}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t+kx)}\; \overrightarrow{u_y} \]Enfin, l'onde transmise se met sous la forme
\[ \overrightarrow{\underline{E}}_\text{t}= \underline{A_\text{t}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-\underline{k}'x)}\; \overrightarrow{u_y} \quad\text{avec}\quad \underline{k}'=\frac{1-i}{\delta} \]On définit les coefficients de réflexion et de transmission par les rapports d'amplitudes suivants :
\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \underline{r}\stackrel{\text{def}}=\frac{\underline{A_\text{r}}}{\underline{A_\text{i}}} \qquad\text{et}\qquad \underline{t}\stackrel{\text{def}}=\frac{\underline{A_\text{t}}}{\underline{A_\text{i}}} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}L'objectif consiste à déterminer \(\underline{r}\) et \(\underline{t}\) en fonction de \(\gamma_0\) et \(\omega\). Pour cela, nous allons traduire la des champs électrique et magnétique au niveau de l'interface \(x=0\).
Continuité du champ électrique
Commençons par appliquer la continuité du champ électrique :
\[ \lim_{x\to 0^-}\left(\overrightarrow{\underline{E}}_\text{i}+\overrightarrow{\underline{E}}_\text{r}\right)= \lim_{x\to 0^+}\overrightarrow{\underline{E}}_\text{t} \]soit
\[ \left(\underline{A_\text{i}}+\underline{A_\text{r}}\right)\,\mathrm{e}^{i(\omega t)}\;\overrightarrow{u_y}= \underline{A_\text{t}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t)}\;\overrightarrow{u_y} \]En divisant par \(\underline{A_\text{i}}\), on aboutit à
\begin{equation} 1+\underline{r}=\underline{t} \end{equation}Continuité du champ magnétique
La continuité du champ magnétique permet de trouver une deuxième relation entre \(\underline{r}\) et \(\underline{t}.\) On connaît la structure d'une OPPH dans le vide, ce qui nous permet d'exprimer le champ magnétique des ondes incidente et réfléchie :
\[ \overrightarrow{\underline{B}}_\text{i}= \frac{\underline{A_\text{i}}}{c}\,\mathrm{e}^{i(\omega t -kx)}\; \overrightarrow{u_z} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{\underline{B}}_\text{r}= -\frac{\underline{A_\text{r}}}{c}\,\mathrm{e}^{i(\omega t +kx)}\; \overrightarrow{u_z} \]Pour le champ magnétique transmis, il suffit d'utiliser l'équation de Maxwell-Faraday :
\[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\underline{E}}_\text{t}= -\frac{\partial \overrightarrow{\underline{B}}_\text{t}}{\partial t} \quad\text{soit}\quad -i\underline{k}'\underline{A_\text{t}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-\underline{k}'x)}\; \overrightarrow{u_z}= -\frac{\partial \overrightarrow{\underline{B}}_\text{t}}{\partial t} \]On en déduit après intégration
\[ \overrightarrow{\underline{B}}_\text{t} = \frac{\underline{k}'}{\omega}\underline{A_\text{t}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-\underline{k}'x)}\; \overrightarrow{u_z} \]La continuité du champ magnétique se traduit alors par
\[ \lim_{x\to 0^-}\left(\overrightarrow{\underline{B}}_\text{i}+\overrightarrow{\underline{B}}_\text{r}\right)= \lim_{x\to 0^+}\overrightarrow{\underline{B}}_\text{t} \]soit
\[ \left(\underline{A_\text{i}}-\underline{A_\text{r}}\right)\,\mathrm{e}^{i(\omega t)}\;\overrightarrow{u_z}= \frac{c\underline{k}'}{\omega}\underline{A_\text{t}}\,\mathrm{e}^{i(\omega t)}\;\overrightarrow{u_z} \]En divisant par \(\underline{A_\text{i}}\), on obtient
\begin{equation} 1-\underline{r}=\frac{c\underline{k}'}{\omega}\underline{t} \quad\text{avec}\quad \underline{k}'=\frac{1-i}{\delta} \end{equation}Réflectivité du métal
À partir des équations(6)et(7), déterminons les expressions de \(\underline{r}\) et \(\underline{t}\).
\[ \left\{\begin{array}{rcl} 1+\underline{r}&=&\underline{t}\\[4mm] 1-\underline{r}&=&\dfrac{c\underline{k}'}{\omega}\underline{t} \end{array}\right. \to \left\{\begin{array}{rcl} \underline{t}&=&\dfrac{2}{1+c\underline{k}'/\omega}\\[3mm] \underline{r}&=&\dfrac{1-c\underline{k}'/\omega}{1+c\underline{k}'/\omega} \end{array}\right. \]En remplaçant \(\underline{k}'\) par \((1-i)/\delta\), on obtient
\begin{equation} \underline{t}=\dfrac{2\omega\delta}{\omega\delta+c-ic} \quad\text{et}\quad \underline{r}=\dfrac{\omega\delta-c+ic}{\omega\delta+c-ic} \end{equation}Ces coefficients sont complexes et dépendent de la fréquence via l'épaisseur de peau. Voyons quelques cas particuliers.
Conducteur parfait — Un conducteur est dit parfait lorsque sa conductivité est infinie. Or, on peut vérifier que
\[ \lim_{\gamma_0\to\infty}\delta= \lim_{\gamma_0\to\infty}\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma_0\omega}}=0 \]Dans ce cas, on a \(\underline{r}=-1\). Ainsi l'onde est totalement réfléchie (en amplitude) et déphasée de \(\pi\). Le pouvoir de réflexion vaut alors
\[ R=|\underline{r}|^2=100\% \]Réflectivité d'un conducteur parfait
Un conducteur parfait réfléchit totalement les ondes électromagnétiques.
Bon conducteur — Pour les métaux normaux, la condition \(\omega \tau\ll 1\) impose généralement \(\omega \delta \ll c\).
Exercice
L'acier inoxydable présente une conductivité statique \(\gamma_0=1{,}4\times 10^6\,\mathrm{S.m^{-1}}\). Calculer le facteur \(\omega \delta/c\) à 1013 Hz.
\(\omega \delta/c=0{,}028\).
Un développement limité à l'ordre un de(8)donne alors
\[ \begin{split} R &= |\underline{r}|^2=\frac{1+(1-\omega\delta/c)^2}{1+(1+\omega\delta/c)^2}\\ &\simeq 1-2\frac{\omega \delta}{c} \\ R &\simeq 1-\sqrt{\frac{8\epsilon_0\omega}{\gamma_0}} \\ \end{split} \]Cette formule est la relation de Hagen-Rubens. À basse fréquence, la réflectivité d'un métal ne dépend que de sa conductivité statique et de la fréquence. On retrouve d'ailleurs le fait que \(R\to 1\) lorsque \(\gamma_0\to \infty\). Pour les métaux réels, la réflectivité reste très proche de l'unité. LaFig4montre des mesures réalisées sur l'inox (acier inoxydable) qui confirment la loi de Hagen-Rubens. La détermination de la conductivité électrique statique qui en découle est conforme avec les mesures directes de \(\gamma_0\).
Pression de radiation
Comme on vient de le voir, lors de la réflexion d'une onde électromagnétique, une partie superficielle du métal est le siège de courants électriques dont la densité s'écrit \(\overrightarrow{j_e} = \gamma_0 \, \overrightarrow{E}_\text{t}\). Le champ magnétique transporté par l'onde électromagnétique agit sur ces courants en transmettant une force de Laplace au métal. Chaque élément de volume \(\mathrm{d}\tau\) subit la force
\[ \mathrm{d}\overrightarrow{F}=\overrightarrow{j_e}\wedge \overrightarrow{B}_\text{t}\, \mathrm{d}\tau = \gamma_0 \overrightarrow{E}_\text{t}\wedge \overrightarrow{B}_\text{t}\, \mathrm{d}\tau \]On constate que cette force varie comme le vecteur de Poynting \(\overrightarrow{R}_\text{t}=(\overrightarrow{E}_\text{t}\wedge \overrightarrow{B}_\text{t})/\mu_0\) associé à l'onde électromagnétique transmise dans le conducteur : \(\mathrm{d}\overrightarrow{F}=\mu_0\gamma_0 \overrightarrow{R}_\text{t}\, \mathrm{d}\tau\). Calculons le vecteur de Poynting à l'aide des expressions réelles du champ électromagnétique. À partir des relations obtenues précédemment, on trouve
\[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{E}_\text{t} &=& |A_\text{t}|\,\,\mathrm{e}^{-x/\delta}\cos\big(\omega t-\dfrac{x}{\delta}+\varphi\big)\, \overrightarrow{u_y} \\ &\text{et}&\\[2mm] \overrightarrow{B}_\text{t} &=& \dfrac{|A_\text{t}|}{\omega \delta}\mathrm{e}^{-x/\delta} \left[\cos\big(\omega t-\dfrac{x}{\delta}+\varphi\big) + \sin(\omega t-\dfrac{x}{\delta}+\varphi)\right]\,\overrightarrow{u_z}\\ \end{array} \]où \(\varphi\) est l'argument de \(\underline{A}_\text{t}\). On en déduit le vecteur de Poynting
\[ \begin{split} \overrightarrow{R}_\text{t}&= \frac{|A_\text{t}|^2}{\omega \delta}\mathrm{e}^{-2x/\delta} \left[\cos^2\phi(x,t) + \sin\phi(x,t)\cos\phi(x,t)\right]\,\overrightarrow{u_x}\\ &\quad\text{avec}\quad \phi(x,t)=\omega t-\frac{x}{\delta}+\varphi \end{split} \]Le vecteur de Poynting oscille à la pulsation \(2\omega\) de sorte que la force oscille rapidement autour d'une valeur moyenne
\[ \big\langle \mathrm{d}\overrightarrow{F}\big\rangle= \mu_0\gamma_0 \big\langle\overrightarrow{R}_\text{t}\big\rangle\,\mathrm{d}\tau = \mu_0\gamma_0 \big\langle\overrightarrow{R}_\text{t}\big\rangle_{(x=0^+)} \mathrm{e}^{-2x/\delta}\,\mathrm{d}\tau \]Intégrons maintenant sur un tronçon métallique de section \(S\) :
\[ \big\langle \overrightarrow{F}\big\rangle= \mu_0\gamma_0 \big\langle\overrightarrow{R}_\text{t}\big\rangle_{(x=0^+)} \int_0^\infty \mathrm{e}^{-2x/\delta}\,S\mathrm{d}x =\frac{\mu_0\gamma_0 S\delta}{2}\big\langle\overrightarrow{R}_\text{t}\big\rangle_{(x=0^+)} \]Le vecteur de Poynting moyen transmis dans le métal est relié au vecteur de Poynting incident via le pouvoir de transmission (ou transmissivité) défini par
\[ T=\frac{\langle\overrightarrow{R}_\text{t}\rangle_{(x=0^+)}}{\langle\overrightarrow{R}_\text{i}\rangle} \]Par ailleurs, la conservation de l'énergie impose
\[ T=1-|\underline{r}|^2\simeq \frac{2\omega \delta}{c} \quad(\omega \delta \ll 1)\quad \]Finalement, on trouve
\[ \big\langle \overrightarrow{F}\big\rangle = \frac{\mu_0\gamma_0 S\delta}{2}\times\frac{2\omega \delta}{c}\big\langle\overrightarrow{R}_\text{i}\big\rangle = \frac{2\langle\|\overrightarrow{R}_\text{i}\|\rangle}{c} S\,\overrightarrow{u_x} \]Le métal subit une force électromagnétique perpendiculaire à la surface, proportionnelle à l'aire de la section éclairée et à l'éclairement \(I_\text{i}=\langle\|\overrightarrow{R}_\text{i}\|\rangle\) de l'onde incidente. Tout se passe comme si le rayonnement exerçait une pression sur la surface métallique
\[ p_\text{rad}=\frac{2I_\text{i}}{c} \]Histoire
L’existence de la pression radiative est introduite pour la première fois par Johanes Kepler en 1619. Intrigué par la queue des comètes, Kepler suggère que la lumière solaire est responsable d'une poussée mécanique sur les particules échappées d’une comète. La fuite des particules se fait en effet dans la direction opposée à la position du soleil.
En 1873, muni de sa nouvelle théorie, Maxwell explique l'origine de cette pression radiative et donne son expression théorique. C'est le physicien russe Piotr Nikolaïevitch Lebedev qui, en 1901, confirmera l'analyse de Maxwell en étudiant l'action mécanique de la lumière sur des surfaces platinées dans une enceinte vide [4].
Cette pression est appelée pression radiative. Nous avons vu dans le chapitre sur l'énergie que l'éclairement d'une OPPH d'amplitude \(E_0\) vaut \(I=\frac12\epsilon_0 c{E_0}^2=c\langle u_\text{em}\rangle\). On en déduit
\begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle p_\text{rad}=2\langle u_\text{em}\rangle_\text{i} \)\quad}\;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}Exercice
Calculer la pression radiative qu'exerce le rayonnement solaire sur une plaque métallique en incidence normale à la surface terrestre. On prendra un éclairement solaire \(I=10^{3}\,\mathrm{W.m^{-2}}\).
\(p_\text{rad}=7\times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}\).
Approche particulaire
Depuis les travaux d'ALbert Einstein sur l'effet photoélectrique, on sait que l'on peut décrire la lumière de façon corpusculaire : un faisceau de lumière monochromatique peut s'interpréter comme un flux de particules (les photons) transportant une énergie \(\epsilon=h\nu=\hbar \omega\) et une quantité de mouvement \(\overrightarrow{p}=\hbar \overrightarrow{k}\), avec \(\hbar=h/(2\pi)=1{,}055\times 10^{-34}\,\mathrm{J.s}\). Un métal parfaitement réfléchissant, recevant \(N\gg 1\) photons par seconde en incidence normale, reçoit en une seconde, une quantité de mouvement
\[ \overrightarrow{p}_\text{metal}=-\Delta \overrightarrow{p}_\text{photons}=N(2\hbar \overrightarrow{k}) \]ce qui représente la force mécanique qui agit sur le métal. On en déduit la pression qu'exerce ce flux de particules sur une section \(S\) du métal :
\[ p_\text{rad}=\frac{2N\hbar k}{S} \]L'énergie transportée par ces photons vaut \(N\hbar \omega\), laquelle se répartie dans un volume cylindrique de section \(S\) et de \(c\). Le rayonnement incident présente donc une densité d'énergie
\[ u_\text{em,i}=\frac{N\hbar \omega}{Sc}=\frac{N\hbar k}{S} \]On retrouve bien \(p_\text{rad}=2u_\text{em,i}\).
Pour en savoir plus...
- Conducteurs électriques[en ligne], 2016, disponible sur femto-physique.fr
- Introduction to solid state physics Eighth ed.John Wiley & Sons, 2005.
- Verifying the Drude response Annalen der Physik vol. 518, №7-8, p.535-544, 2006.
- First Experiments on Measuring Light Pressure I (Pyotr Nikolaevich Lebedev) In Quantum Photonics: Pioneering Advances and Emerging Applications Springer International Publishing, p.425-453, 2019.DOI:10.1007/978-3-319-98402-5_12
- Electromagnétisme, volume 1 et 2Collection des sciences physiques, Technique et documentation, Lavoisier, 1985.
- Électromagnétisme: fondements et applicationsvol. 4, Dunod, 2001.
- Propriétés électroniques des solides Bulletin de l'Union des Physiciensvol. 67, №550, p.277-335, 1972.