MENUCours D'introduction à l'analyse numérique

Ce cours aborde une méthode numérique simple à mettre en œuvre pour résoudre l'équation de Laplace : la méthode de relaxation.

L'ÉQUATION DE LAPLACE

Introduction

De nombreux problèmes physiques peuvent se ramener à la recherche d'un champ scalaireUn champ scalaire est un nombre qui prend différentes valeurs en différents points de l'espace. Par exemple l'intensité lumineuse de votre écran d'ordinateur est un champ scalaire fonction de la position de chaque pixel. - que nous appellerons Potentiel et que nous noterons \(V(x,y,z)\) - vérifiant l'équation aux dérivées partielles suivante : \[ \triangle V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0 \] Il s'agit de l'équation de Laplace ; l'opérateur \(\Delta\) s'appelle le Laplacien. L'ensemble des fonctions vérifiant l'équation de Laplace sont dites harmoniques. Donnons quelques exemples de problèmes physiques exigeant la résolution de l'équation de Laplace :

• En régime stationnaire, la température \(T(x,y,z)\) d'un milieu de conductivité thermique uniforme, soumis sur ses bords à des températures différentes, vérifie l'équation \(\Delta T(x,y,z)=0\).
• En régime statique, le potentiel électrique dans le vide vérifie aussi l'équation de Laplace.
• De la même manière, le potentiel gravitationnel entre les planètes, vérifie l'équation de Laplace.

Les conditions aux limites

En général, on cherche le potentiel dans une zone de l'espace que nous appellerons \(\Omega\). Les bords de \(\Omega\) que nous noterons \(\partial\Omega\) imposent des contraintes : On parle de conditions aux limites. On distingue généralement, deux types de conditions aux limites :

1. La valeur du potentiel est fixée sur \(\partial \Omega\). C'est par exemple le cas lorsque l'on étudie le potentiel électrique qui règne entre différents conducteurs électriques soumis à des tensions connues. On parle dans ce cas des conditions de Dirichlet.
2. La valeur de la dérivée normaleLa dérivée normale est la dérivée spatiale de V suivant un axe perpendiculaire à la frontière et dirigé vers l'extérieur. du potentiel est fixée. On parle alors des conditions de Von Neumann.

Par la suite, nous nous limitons au problème de Dirichlet.

Les propriétés du potentiel

On montre en mathématique que le potentiel harmonique vérifie quelques propriétés remarquables :

• Tout d'abord, si les conditions aux limites sont fixées et suffisamment régulières, la solution de l'équation de Laplace est UNIQUE !
• Théorème de la moyenne : Entourons le point M\((x,y,z)\) d'une sphèreLa sphère possède un rayon quelconque. La seule condition est qu'elle doit se trouver entièrement dans Ω. Notons P un point quelconque de la sphère. Si l'on fait la moyenne des valeurs du potentiel sur toute la sphère on obtient le potentiel en M. Autrement-dit : \[V(\text{M})=\overline{V(P)}\]
• Enfin, Les valeurs extrêmes du potentiel sont sur la frontière \(\partial\Omega\).

LA MÉTHODE DE RELAXATION

Il existe de nombreuses méthodes analytiques pour résoudre l'équation de Laplace. On peut affirmer que lorsque le problème est assez symétrique il sera facile de mener au bout un traitement analytique, cependant lorsque le problème est complexe, une résolution numérique sera à envisager. Nous allons ici expliquer une méthode de résolution numérique très simple à mettre en œuvre : la méthode de relaxation.

Pour simplifier nous nous limiterons à la résolution de l'équation de Laplace dans le plan \((xOy)\). La généralisation à l'espace tridimensionnelle est évidente.

Discrétisation

Cette méthode repose sur la discrétisation de l'espace et sur l'approximation du laplacien. On représente le plan par une grille carrée de pas \(h\) ; les nœuds du réseau sont indexés par le couple \((i,j)\). L'objectif est de calculer la valeur du potentiel en chaque noeud sachant que sur la frontière \(\partial \Omega\), le potentiel est fixé. Nous noterons \(V_{i,j}\) le potentiel au noeud \((i,j)\).

Approchons le laplacien à l'aide des différences finies : \[\frac{\partial^2V}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial x}\simeq \frac{1}{h^2}(V_{i+1,j}-V_{i,j}+V_{i-1,j}-V_{i,j}) \] \[\frac{\partial^2V}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}\simeq \frac{1}{h^2}(V_{i,j+1}-V_{i,j}+V_{i,j-1}-V_{i,j}) \] Ainsi on obtient comme approximation du laplacien : \[ \triangle V\simeq\frac{4(V_{\rm moy}-V_{i,j})}{h^2} \] où \(V_{\rm moy}\) représente la moyenne des 4 noeuds entourant le noeud \((i,j)\). Ainsi résoudre numériquement l'équation de Laplace c'est chercher les valeurs de \(V_{i,j}\) telles que : \[ V_{i,j}=V_{\rm moy} \]

Algorithmes

À partir du résultat précédent, il est facile de comprendre le principe de la méthode de relaxation dont voici l'algorithme :

Exemples

Considérons, par exemple, un disque conducteur au potentiel \(V_1=250\,\)V entouré par deux petits disques au potentiel \(V_2=-250\,\)V ; Le tout en dans une boite carrée de potentiel nul. On cherche le potentiel en tout point. Ci-dessous l'état initial et l'état final.

En cliquant sur l'applet vous verrez comment le schéma itératif de la méthode de relaxation tend vers la solution.

Précision

La précision du calcul, comme on l'a dit, est d'autant plus importante que \(\sigma\) est petit. Ce sont bien sûr les considérations sur le temps de calcul qui nous limitent dans le choix du seuil de précision. Cependant, on peut améliorer la précision du résultat sans toucher à \(\sigma\), mais simplement en changeant la façon de calculer la moyenne des potentiels voisins. Si l'on note \(V_{pp}\) la moyenne des quatre plus proches voisins et \(V_s\) la moyenne des 4 plus proches voisins suivants (qui se trouvent aux sommets du carré d'arête \(2h\)), Alors on gagne en précision en calculant la moyenne ainsi : \[ V_\text{moy}=0,8V_{pp}+0,2V_s \]