Cours de Mécanique des fluides

Dans ce cours, on s'intéresse au champ de pression au sein d'un fluide, notamment lorsqu'il est au repos en présence d'un champ de force extérieure.

Introduction

Le terme fluide désigne un comportement qui s'oppose au comportement élastique ou plastique associé aux solides. Par définition, on dit que la matière est fluide lorsqu'elle se déforme aussi longtemps que lui sont appliquées des contraintes tangentielles. En termes simples on peut dire qu'un fluide coule quand un solide se déforme.

Fondamentalement, le comportement fluide est lié, au niveau moléculaire, à l'absence d'ordre à longue portée (contrairement aux cristauxCertains systèmes présentent un ordre à longue portée suivant une seule direction. Ils ont alors un caractère cristallin selon cette direction et fluide selon les autres. On les désigne par le terme cristaux liquides.) et à l'existence d'un chaos moléculaire (contrairement aux solides). Ces propriétés se retrouvent notamment chez les gaz et les liquides.Plusieurs approches sont possibles pour décrire un fluide :

• L'approche Dynamique Moléculaire consiste à simuler le mouvement moléculaire en résolvant de façon numérique les équations mécaniques appliquées à un grand nombre de molécules.
• L'approche milieu continu est une description à une échelle où les grandeurs thermodynamiques ont un sens.
• L'approche statistique traite la dynamique moléculaire en adoptant un point de vue statistique.

La mécanique des fluides repose sur la deuxième approche. En effet, dans les situations courantes on peut, en général, distinguer trois échelles :

• L'échelle macroscopique \(L\). Par exemple, le diamètre d'un tuyau d'arrosage caractérise l'échelle macroscopique d'un tel système.
• L'échelle des collisions \(\ell\ll L\). Généralement on choisit le libre parcours moyen, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives. À cette échelle, les grandeurs varient de façon discontinue et imprévisible.
• L'échelle mésoscopique \(a\) telle que \(\ell\ll a\ll L\). À cette échelle, les fluctuations sont lissées de sorte que l'on peut définir des grandeurs locales continues.

Particule de fluide — On choisit alors comme échelle d'observation, l'échelle mésoscopique. On considère, autour d'un point M, un volume mésoscopique \(\delta\tau\). Typiquement un volume de 1 µm³ convient. Ce volume contient un grand nombre de particules ce qui permet de définir des grandeurs moyennes locales qui, elles, vont évoluer de façon continue : la masse volumique locale \(\rho(\textrm{M},t)\), la vitesse locale \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\)...

La pression

Origine de la pression

Le chaos moléculaire qui règne au sein d'un fluide est à l'origine de la pression cinétique. Les collisions sur un élément de surface mésoscopique ou macroscopique produisent une force moyenne qui présente les propriétés suivantes :

• cette force est orthogonale à l'élément de surface;
• son intensité est proportionnelle à l'aire de l'élément de surface.

Si l'on note \(\mathrm{d}F\) l'intensité de la force et \(\mathrm{d}S\) l'aire de l'élément de surface, on a \[ \mathrm{d}F=p_\text{c}\, \mathrm{d}S \] où \(p_\text{c}\) désigne la pression cinétiqueOn montre en théorie cinétique des gaz que \[p_\text{c}=\frac13 n^\star m \langle v^2\rangle\] où \(n^\star\) est la densité moléculaire (molécules par m³, \(m\) la masse d'une molécule et \(\langle v^2\rangle\) le carré moyen de la vitesse des particules..

L'interaction intermoléculaire est aussi responsable d'une pression moléculaire \(p_\text{m}\). Les interactions entre molécules peuvent amplifier (\(p_\text{m}>0\)) ou diminuer (\(p_\text{m}<0\)) cette pression cinétique. Les collisions inter-moléculaires l'augmentent alors que les interactions attractives de van der Waals la diminuent.

En résumé, dans un fluide tout élément de surface subit des forces pressantes qui s'écrivent \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \mathrm{d}\overrightarrow{F}=p\, \mathrm{d}S\,\overrightarrow{n} \quad\text{avec}\quad p=p_\text{c}+p_\text{m} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} \(p\) désigne la pression qui règne au point où se trouve l'élément de surface. La pression est donc un champ scalaire que nous noterons \(p(\text{M})\) avec M un point mésoscopique du fluide.

Unités

Dans le Système international d'unités, la pression s'exprime en pascal (symbole Pa), en hommage à Blaise PascalBlaise Pascal (1623-1662) : Mathématicien, physicien et philosophe français. Il contribua au développement des probabilités, de la philosophie (Les pensées) et de l'hydraulique. Il montra, avec la collaboration de son beau frère Perrier, que l'ascension du mercure dans l'expérience de Torricelli est due à la pression atmosphérique.. \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle 1\;\mathrm{Pa}= 1\;\mathrm{N.m^{-2}} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Il existe également d'autres unités encore très utilisées (Tab. 1).

Résultante des forces pressantes

Comme on vient de le voir, les forces pressantes sont des actions de contact (interactions de courte portée) qui agissent sur des surfaces. Si l'on considère une particule de fluide, son environnement produit à sa surface des forces pressantes dont on cherche à exprimer la résultante.

Considérons pour cela une particule de fluide en forme de parallélépipède située en \((x,y,z)\) de côtés \(\mathrm{d}x\), \(\mathrm{d}y\) et \(\mathrm{d}z\). Supposons dans un premier temps que la pression varie seulement avec \(x\). On voit alors par symétrie, que la résultante des forces est nécessairement selon \(\overrightarrow{u_x}\). Appelons \(\mathrm{d}\overrightarrow{F}\) cette résultante. On a \[ \mathrm{d}\overrightarrow{F}= p(x)\, \mathrm{d}y \mathrm{d}z\, \overrightarrow{u_x} - p(x+\mathrm{d}x)\, \mathrm{d}y \mathrm{d}z\, \overrightarrow{u_x} \] \(\mathrm{d}x\) caractérisant l'échelle mésoscopique, on peut utiliser le développement de Taylor d'ordre un : \[ p(x+\mathrm{d}x)=p(x)+\mathrm{d}x \frac{\partial p}{\partial x} \] On aboutit alors au résultat \[ \mathrm{d}\overrightarrow{F} = -\frac{\partial p}{\partial x}\,\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z\, \overrightarrow{u_x} \] Si l'on avait considéré une pression dépendant de la variable \(y\) nous aurions obtenu une force selon \(\overrightarrow{u_y}\) faisant intervenir la dérivée partielle \(\partial p/\partial y\), etc. Ainsi, dans le cas où la pression dépend des trois variables d'espace \(x,y,z\), on obtient \[ \mathrm{d}\overrightarrow{F}=-\underbrace{\left( \frac{\partial p}{\partial x}\, \overrightarrow{u_x} + \frac{\partial p}{\partial y}\, \overrightarrow{u_y} + \frac{\partial p}{\partial z}\, \overrightarrow{u_z} \right)}_{\overrightarrow{\text{grad}}p} \,\underbrace{\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z}_{\mathrm{d}\tau} \]

En sommant toutes ces forces sur un volume macroscopique V délimité par une surface S, on obtient la résultante des forces pressantes qui agit sur sa surface. On a donc deux moyens d'exprimer cette résultante : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{F}= \oiint_{\text{M}\in S}-p(\text{M})\,\mathrm{d}S\,\overrightarrow{n}^\text{ext} = \iiint_{\text{M}\in V}-\overrightarrow{\nabla}p(\text{M})\,\text{d}\tau \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Conséquences

• Comme on l'a vu, on peut définir une force volumique associée à la résultante des forces pressantes : \[ \overrightarrow{f_p} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{F}}{\mathrm{d}\tau} = -\overrightarrow{\text{grad}}(p) \] On constate donc que cette force volumique est une force conservative qui dérive d'une énergie potentielle volumique \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle e_p\quad(\mathrm{J.m^{-3}})=p\quad(\mathrm{Pa}) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} La mécanique nous enseigne alors que dans un fluide les forces de pression tendent à déplacer le fluide vers les zones de basse pression pour minimiser l'énergie potentielle de pression.
• Par ailleurs, l'une des propriétés du gradient d'une fonction \(f(x,y,z)\) est de donner un vecteur perpendiculaire à la surface de niveau définie par \(f(x,y,z)=\mathrm{C^{te}}\). Il en découle que les lignes de force de pression sont orthogonales aux isobares.
• Enfin, si la pression est uniforme on a \(\overrightarrow{\text{grad}}(p)=\overrightarrow{0}\) et donc \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \oiint p \mathrm{d}S\, \overrightarrow{n}^\text{ext} = \overrightarrow{0}\qquad\text{(pression uniforme)} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Fluide au repos dans le champ de pesanteur

Dans un fluide au repos par rapport à un référentiel, les forces internes se résument aux forces de pression. Voyons dans un premier temps comment le champ de pesanteur conditionne l'évolution de la pression au sein du fluide.

Liquide dans un champ de pesanteur

Pression dans un liquide incompressible — Considérons un liquide au repos dans le champ de pesanteur \(\overrightarrow{g}\). Isolons une particule de fluide de volume \(\mathrm{d}\tau\) et effectuons un bilan des forces :

• Pesanteur : \(\mathrm{d}\overrightarrow{P}=\rho \mathrm{d}\tau \,\overrightarrow{g}\);
• Pression du fluide environnant : \(\mathrm{d}\overrightarrow{F}=- \overrightarrow{\text{grad}}p\, \mathrm{d}\tau\)

La pression ne dépend que de \(z\) d'après les deux premières relations. En intégrant la dernière relation on aboutit à \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle p(z)=p_{0}+\rho\,g\,z \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} La pression augmente linéairement avec la profondeur. Le terme \(\rho gz\) représente la pression due au poids de la colonne de liquide qui surplombe un point à la profondeur z.

Conséquences —

Gaz dans un champ de pesanteur

L'équilibre mécanique se traduit par la même équation : \[ \rho \mathrm{d}\tau \,\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}p\,\mathrm{d}\tau = \overrightarrow{0} \] Là encore, la pression ne dépend que de \(z\), et la projection selon l'axe vertical donne l'équation \[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d} z}=-\rho g \] Ici \(\rho\) dépend de \(z\) car la pression en dépend. En utilisant l'équation d'état du gaz parfait, on obtient l'équation différentielle \begin{equation} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d} z}+\frac{M_\text{gaz}g}{RT_0}p=0 \end{equation} Cette équation différentielle d'ordre un sans second membre a pour solution: \begin{equation} p(z)=p_{0}\,\mathrm{e}^{-z/H} \quad\text{avec}\quad H=\frac{RT_0}{M_\text{gaz}g} \end{equation} où \(p_0\) est la pression en \(z=0\). La pression, comme la masse volumique décroît exponentiellement avec l'altitude \(z\).

• Appliquée à l'atmosphère isotherme elle donne la loi de nivellement barométrique. Si l'on prend une température moyenne de 15°C, la distance caractéristique \(H\) vaut alors (pour l'air \(M_\text{air}=29\,\mathrm{g.mol^{-1}}\)) \[ H = \frac{8{,}314\times 288}{29.10^{-3}\times 9{,}81} = 8{,}4\,\mathrm{km} \]
• Pour une petite variation d'altitude, la loi(10)donne \[ \frac{\delta p}{p}\simeq-\frac{\delta z}{H} \quad\Rightarrow\quad \frac{\delta p}{p}\sim-10^{-4}\quad \text{pour}\quad \delta z=1\,\mathrm{m} \] En conclusion, on peut négliger la pesanteur dans un gaz sur une échelle de quelques mètres.

Généralisation

Équation fondamentale de la statique

La démarche que nous avons suivi pour étudier l'équilibre d'un fluide dans un champ de pesanteur, peut se généraliser à un fluide dans un champ de force extérieure quelconque. L'équation que l'on obtient est l'équation fondamentale de la statique des fluides.

Supposons un fluide au repos dans un référentiel galiléen et soumis à un champ de force extérieure. Chaque parcelle de fluide de volume \(\mathrm{d}\tau\) subit, en plus des forces de pressions, une force \[ \overrightarrow{\mathrm{d}F}^\text{ext} = \overrightarrow{f}^\text{ext}\, \mathrm{d}\tau \] de sorte que l'équilibre se traduit par l'équation \[ \overrightarrow{f}^\text{ext}\, \mathrm{d}\tau-\overrightarrow{\text{grad}}p \,\mathrm{d}\tau = \overrightarrow{0} \] d'où l'on tire \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{f}^\text{ext}-\overrightarrow{\nabla}p=\overrightarrow{0} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Cette équation associée à l'équation d'état du fluide permet de déterminer l'évolution de la pression. La résolution de l'équation différentielle fait apparaître une constante d'intégration que l'on obtient à l'aide des conditions aux limites.

Liquide en translation accélérée

Imaginons un verre d'eau initialement au repos dans un train immobile. La surface libre de l'eau est alors horizontale. À partir de \(t=0\), le train adopte un mouvement uniformément accéléré, d'accélération \(\overrightarrow{a}=a\,\overrightarrow{u_x}\) où \(\overrightarrow{u_x}\) est horizontal. Après un court instant pendant lequel le liquide oscille, un état de repos est atteint. Cherchons comment la pression varie dans le verre d'eau.

Tout d'abord, raisonnons dans le référentiel lié au verre : ce dernier n'est pas galiléen puisqu'il est accéléré par rapport au référentiel terrestre. Dans ce référentiel, il faut alors tenir compte des forces d'inertie. Faisons le bilan des forces extérieures que subit un élément de fluide de volume \(\mathrm{d}\tau\) et de masse volumique \(\rho\).

• Pesanteur : \(\mathrm{d}\overrightarrow{P} = \rho \mathrm{d}\tau\, \overrightarrow{g}\quad\text{d'où}\quad\overrightarrow{f_g}=\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{P}}{\mathrm{d}\tau}=\rho\,\overrightarrow{g}\).
• Force d'inertie : \(\mathrm{d}\overrightarrow{F_\text{ie}} = -\rho \mathrm{d}\tau \overrightarrow{a}\quad\text{d'où}\quad\overrightarrow{f_\text{ie}} = \dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{F_\text{ie}}}{\mathrm{d}\tau} = -\rho \overrightarrow{a}\).

Appliquons l'équation fondamentale de la statique(12): \[ \rho\,\overrightarrow{g}-\rho \overrightarrow{a}-\overrightarrow{\nabla}p = \overrightarrow{0} \]

Puisque le gradient de pression a deux composantes, l'une selon la verticale (orientée selon \(\overrightarrow{u_z}\)) et l'autre selon l'horizontale (selon \(\overrightarrow{u_x}\)), on en déduit que la pression dépend des coordonnées \(x\) et \(z\). Projetons tout d'abord l'équation de la statique selon \(\overrightarrow{u_z}\) : \[ \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \quad\text{puis intégrons}\quad p(x,z)=-\rho g z+f(x) \] Dérivons la relation obtenue par rapport à \(x\) et comparons à ce que donne la projection de l'équation de la statique selon \(\overrightarrow{u_x}\) : \[ \frac{\partial p}{\partial x}=f'(x) \quad\text{et}\quad \frac{\partial p}{\partial x}=-\rho\, a \] ce qui mène à \(f'(x)=-\rho\,a\), soit \(f(x)=-\rho a x+ f(0)\). Finalement le champ de pression s'écrit \[ p(x,z)=-\rho g z-\rho a x+ p(0,0) \] Les surfaces isobares sont donc des plans d'équation \(-\rho g z-\rho a x=\mathrm{C^{te}}\). La surface libre étant une surface isobare particulière elle vérifie la même équation. On constate alors que la surface libre est inclinée par rapport à l'horizontal d'un angle \(\alpha\) donné par \[ \tan \alpha=-\frac{a}{g} \]

Liquide en rotation

Un flacon cylindrique ouvert, contient un liquide de masse volumique \(\rho\). On fait tourner le flacon autour de son axe à la vitesse angulaire \(\omega\). Ce liquide n'est donc pas au repos dans le référentiel du laboratoire. Cependant, après un régime transitoire qui dépend de la viscosité du liquide, celui-ci tourne de façon solide à la même vitesse angulaire que le cylindre. Ainsi, dans le référentiel lié au cylindre, le liquide est au repos. On raisonnera donc dans ce référentiel tournant (noté \(\mathcal{R}'\)) munis d'un système de coordonnées cylindriques.

Bilan des forces — Le référentiel n'étant pas galiléen, il faut tenir compte des forces d'inertie :

• Tout d'abord, la force de Coriolis \(\overrightarrow{f_{ic}} = -2\rho\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(\textrm{M}/\mathcal{R}')\) est nulle car, \(\overrightarrow{v}(\textrm{M}/\mathcal{R}') = \overrightarrow{0}\).
• La force d'entraînement (ou force centrifuge) vaut \(\overrightarrow{f_{ie}} = \rho r\omega^{2}\overrightarrow{u_r}\).
• La force volumique de pesanteur vaut \(\overrightarrow{f_{g}}=\rho\overrightarrow{g}\).

L'équation de la statique des fluides(12)donne donc \[ \rho r\omega^{2}\,\overrightarrow{u_r} + \rho\,\overrightarrow{g} - \overrightarrow{\nabla}p = \overrightarrow{0} \] ce qui donne \[ \left\{\begin{array}{ccccl} \dfrac{\partial p}{\partial r} &= &\rho r\omega^{2} &\rightarrow & p=1/2\rho\omega^{2}r^{2}+f(z)\\[3mm] \dfrac{\partial p}{r \partial\varphi} &= & 0 & & \downarrow\\[3mm] \dfrac{\partial p}{\partial z} &= & -\rho g & \textrm{et} & \dfrac{\partial p}{\partial z}=f'(z)\Rightarrow f(z)=-\rho g\,z+\mathrm{C^{te}} \end{array}\right. \] Finalement la pression dépend de la distance à l'axe \(r\) et de \(z\) : \[ p(r,z)=\dfrac{\rho r^{2}\omega^{2}}{2}-\rho g\,z+\mathrm{C^{te}} \] La surface libre étant une surface isobare, elle obéit à l'équation \[ z=z_{0}+\dfrac{\omega^{2}}{2g}r^{2} \] La surface libre adopte une forme parabolique d'axe de révolution \((\text{O}z)\).

Télescope à miroir liquide

Des équipes de l'Université Laval, de l'University of British Columbia et de l'Institut d'astrophysique de Paris, ont mis au point un télescope Nommé Large Zénith Télescope (LZT) dont le miroir primaire fait 6 mètres de diamètre. Contrairement aux télescopes conventionnels dont le miroir est fait de verre, le LZT a un miroir fait de liquide réfléchissant, du mercure plus précisément qui adopte une surface parabolique puisque mis en rotation dans une cuve. Le miroir parabolique obtenu permet de faire l'image d'une étoile au foyer de la parabole avec précision. Sa focale vaut \[ f=\frac{g}{2\omega^{2}} \] La principale limitation du LZT, et des autres miroirs liquides, est qu'on ne peut le pointer ailleurs qu'au zénith, sinon le liquide s'échappe de la cuvette. Au-dessus du miroir, une étroite bande de ciel défile à la vitesse de la rotation terrestre. Un astre donné met environ une minute à traverser le champ de vision du télescope.

Poussée d'Archimède

Imaginons un solide cubique d'arête \(a\) complètement immergé dans un liquide au repos dans le champ de pesanteur. Calculons la résultante des forces de pression \(\overrightarrow{\Pi}\) qui s'exercent sur le cube.

• Tout d'abord, la pression ne dépend que de la profondeur : \[ p(z)=p_0+\rho\,g\,z \]
• Par symétrie, les forces de pression horizontales se compensent, contrairement aux forces verticales du fait de la variation de pression avec la profondeur. \(\overrightarrow{\Pi}\) est donc suivant O\(z\) : \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\Pi} &= & p(z)\,a^2\,\overrightarrow{u}_z-p(z+a)\,a^2\, \overrightarrow{u}_z\\ &= &-\rho\,g\,a^3\,\overrightarrow{u}_z\\ \overrightarrow{\Pi} &= &-m_\text{d}\,\overrightarrow{g} \end{array} \] où \(m_\text{d}\) désigne la masse de liquide déplacé.

On obtient donc une force ascendante opposée au poids du volume de liquide déplacé.

Ce résultat particulier se généralise sans difficulté quelle que soit la forme du corps immergé et quel que soit le fluide. Appelons V\(_0\) le volume d'un solide et S\(_0\) l'aire de sa surface. Immergeons ce corps dans un fluide quelconque au repos dans un champ de pesanteur. La résultante des forces de pression qu'il subit s'écrit \[ \overrightarrow{\Pi}= \oiint_{\text{M}\in\mathrm{(S_0)}}-p(\textrm{M})\,\overrightarrow{n}{}^\text{ext}\,\text{d}S= \iiint_{\text{M}\in\mathrm{(V_0)}}-\overrightarrow{\nabla}p\,\text{d}\tau \] La deuxième intégrale étant issue du résultat mathématique(6). Il faut bien avoir conscience qu'il n y a pas, ici, de gradient de pression dans le volume \(V_0\) puisqu'il n y pas pas de fluide. \(\overrightarrow{\nabla}p\) représente le gradient de pression qui règnerait si le volume \(V_0\) était occupé par le fluide. Dans ce cas, on aurait \(\rho\,\overrightarrow{g} = \overrightarrow{\nabla}p(\text{M})\) puisque l'on suppose l'équilibre. On en déduit \[ \overrightarrow{\Pi} = \iiint_{\textrm{M}\in\mathrm{(V_0)}}-\rho(\textrm{M})\overrightarrow{g}\,\text{d}\tau = -m_\text{d}\,\overrightarrow{g} \] Cette force, opposée à la pesanteur, s'appelle la poussée d'Archimède.

Quelques applications :

• Flottaison des bateaux et autres corps flottants;
• Ascension des ballons sondes;
• Courants de convection etc.