MENUCours de Mécanique des fluides

Dans ce cours, nous étudions le fluide et son écoulement indépendamment des forces responsables de cet écoulement.

Le modèle continu

L’état fluide

Le terme fluide désigne un comportement qui s'oppose au comportement élastique ou plastique associé aux solides. Par définition, on dit que la matière est fluide lorsqu'elle se déforme aussi longtemps que lui sont appliquées des contraintes tangentielles. En termes simples on peut dire qu'un fluide coule quand un solide se déformeNous verrons plus tard qu’il existe des milieux qui présentent un comportement fluide lorsqu’on les observe sur de longues échelles de temps alors qu’ils ont un comportement élastique voire plastique sur de petites échelles de temps.

Fondamentalement, le comportement fluide est lié, au niveau moléculaire, à l'absence d’ordre à longue portéeCertains systèmes présentent un ordre à longue portée suivant une seule direction. Ils ont alors un caractère cristallin selon cette direction et fluide selon les autres. On les désigne par le terme cristaux liquides. (contrairement aux cristaux) et à l'existence d'un chaos moléculaire (contrairement aux solides). Ces propriétés se retrouvent notamment chez les gaz et les liquides.

Les liquides — Dans un liquide, les interactions (l'interaction de Van der Waals, la liaison hydrogène, l'interaction électrostatique dans une solution électrolytique etc ...) jouent un rôle clé. L'interaction est telle que les molécules sont quasi en contact ce qui explique le caractère quasi-incompressible des liquides : les liquides présentent un volume propre. Les variations du volume \(V\) ou de la masse volumique \(\rho\) avec la pression et la température se mesurent à l'aide du coefficient de dilatation \(\alpha\) et du coefficient de compressibilité \(\chi_{T}\) : \[ \chi_{T}=\left.\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial p}\right|_{T} \quad\text{et}\quad \alpha=\left.-\frac{1}{\rho}\frac{\partial\rho}{\partial T}\right|_{p} \] Pour l'eau, par exemple, la compressibilité vaut \(\chi_{T}\approx 4,4.10^{-10}\,\mathrm{Pa^{-1}}\) à 20°C. Cela signifie qu'il faut augmenter la pression de 227 bars pour voir la masse volumique augmenter de 1%. Les liquides ont également un coefficient de dilatation très faible.

Le gaz — Dans un gaz, les particules interagissent peu, l'énergie est avant tout cinétique. Les distances inter-atomiques sont grandes ce qui explique qu'à l'inverse des liquides, les gaz sont très compressibles. Pour un gaz, dans les conditions de pression et de température raisonnables et loin de tout point critique, le modèle du gaz parfait est tout à fait suffisant.

Le modèle continu

Plusieurs approches sont possibles pour décrire un fluide :

• L'approche Dynamique Moléculaire : On peut chercher le comportement de N molécules en résolvant de façon numérique les équations de la mécanique du point appliquées aux N corps. Bien entendu, la limitation des ordinateurs, impose \(N\) petit. À l’heure actuelle le record est de l'ordre de 100 milliards d'atomes.
• L'approche milieu continu : Lorsque le libre parcours moyen \(\ell\) est très petit devant l'échelle macroscopique, on choisit de décrire le fluide à une échelle intermédiaire entre l'échelle atomique et macroscopique : l'échelle mésoscopique.
• L'approche statistique : Lorsque le libre parcours moyen des molécules est du même ordre de grandeur que l'échelle macroscopique on utilise les équations de physique statistique (équation de Boltzmann) pour décrire le fluide.

La mécanique des fluides repose sur la deuxième approche. En effet, dans les situations courantes on peut, en général, distinguer trois échelles :

• L'échelle macroscopique \(L\). Par exemple \(L\) est le diamètre du tuyau quand on étudie l'écoulement dans un tuyau.
• L'échelle des collisions \(\ell\ll L\). \(\ell\) est le libre parcours moyen, c'est-à-dire la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives. À cette échelle, les grandeurs varient de façon discontinue et imprévisible.
• L'échelle mésoscopique \(a\) telle que \(\ell\ll a\ll L\). À cette échelle, les fluctuations sont lissées de sorte que l'on peut définir des grandeurs locales continues.

Particule de fluide — On choisit alors comme échelle d'observation, l'échelle mésoscopique. On considère, autour d'un point M, un volume mésoscopique \(\delta\tau\). Typiquement un volume de \(1\,\mathrm{\mu m^{3}}\) convient. Ce volume contient un grand nombre de particules ce qui permet de définir des grandeurs moyennes locales qui, elles, vont évoluer de façon continue : la masse volumique locale \(\rho(\textrm{M},t)\), la vitesse locale \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\)...On donne à ce sac de molécules le nom de particule de fluide qu'il ne faut pas confondre avec la notion de molécule.

Description d’un fluide en écoulement

Deux approches différentes existent. Le point de vue de Lagrange consiste à s'intéresser à la trajectoire des particules de fluide. Celle d'Euler se concentre sur l'évolution des propriétés du fluide en différents points et au cours du temps.

Notion de ligne d’écoulement

Adoptons l'approche d'Euler et supposons que l'on connaisse à chaque instant \(t\) le vecteur vitesse d'une particule de fluide située en M. Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) désigne alors un champ vectoriel.

Notion de ligne d'écoulement — Par définition, une ligne de courant ou ligne d'écoulement, est une ligne de champ du vecteur vitesse, c'est-à-dire une courbe \(\mathcal{C}\) telle qu'à un instant \(t\) fixé, pour tout point M \(\in\mathcal{C}\), \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en M. Lorsque le champ de vitesse ne dépend pas du temps, les lignes d'écoulement n'évoluent pas au cours du temps : on dit que le régime d'écoulement est stationnaire ou permanent.

Pour un problème à deux dimensions, l'équation \(f(x,y)=0\) d'une ligne d'écoulement s'obtient en résolvant l'équation différentielle \[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{v_y(x,y,t)}{v_{x}(x,y,t)}\quad\text{avec}\;t\;\text{fixe} \]

Visualisation des lignes d'écoulement — On utilise des particules réfléchissantes que l'on photographie avec un court temps de pose. On a accès ainsi à des segments brillants qui donnent le sens de la vitesse en différents points ce qui permet de reconstituer la carte du champ de vitesse.

Notion de trajectoire

Dans la description de Lagrange, on s'intéresse à l'histoire de chaque particule de fluide. Considérons une particule de fluide \(\mathcal{P}\) située en (\(x(t),y(t),z(t)\)) à l'instant \(t\). Par définition la trajectoire est la courbe paramétrique \(\mathcal{C}\) d'équation \[ \mathcal{C}\left\{\begin{aligned} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{aligned}\right. \quad\text{tel que}\quad \left\{\begin{aligned} \dot x &=& v_x(x(t),y(t),z(t),t)\\ \dot y &=& v_y(x(t),y(t),z(t),t)\\ \dot z &=& v_z(x(t),y(t),z(t),t)\\ \end{aligned}\right. \] La trajectoire retrace l'histoire d'une particule alors que la ligne d'écoulement est un instantanée du champ de vitesse. De ce fait, ces deux notions sont différentes. Par contre, lorsque que le régime d'écoulement est stationnaire, une particule suit nécessairement la ligne d'écoulement sur laquelle elle se trouve puisque celle-ci est fixe.

Visualisation d'une trajectoire — On utilise des traceurs (colorants ou fumées) et l'on prend une photo avec un long temps de pose.

Dérivée particulaire

Considérons une grandeur physique locale \(G(\text{M},t)\) attachée à une particule de fluide située en M à l'instant \(t\). On peut penser à la température, la pression, la densité etc. Cherchons à calculer le taux de variation de cette grandeur lorsque l'on suit la particule. On appelle cette grandeur la dérivée particulaire et on la note \(\frac{\textrm{D}G}{\textrm{D}t}\). \[ \begin{array}{rcl} \dfrac{\textrm{D}G}{\textrm{D}t} &=& \displaystyle{\lim_{\delta t\to 0}\dfrac{G(x+v_{x}\delta t,y+v_{y}\delta t,z+v_{z}\delta t,t+\delta t)-G(x,y,z,t)}{\delta t}} \\[4mm] &=& \displaystyle{\dfrac{G(x,y,z,t)+v_{x}\frac{\partial G}{\partial x}\delta t+v_{y}\frac{\partial G}{\partial y}\delta t+v_{z}\frac{\partial G}{\partial z}\delta t+\frac{\partial G}{\partial t}\delta t-G(x,y,z,t)}{\delta t}} \end{array} \] ce qui donne la formule que l'on retiendra :

Accélération d’une particule

Calculons l'accélération d'une particule de fluide à partir du champ de vitesse eulérien \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\). L'accélération est le taux de variation du champ de vitesse en suivant une particule de fluide. On a donc : \[ \overrightarrow{a}=\dfrac{\textrm{D}v_{x}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{x}}+\dfrac{\textrm{D}v_{y}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{y}}+\dfrac{\textrm{D}v_{z}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{z}} \] ce qui donne \[ \begin{aligned} a_{x} &=&\dfrac{\textrm{D}v_{x}}{\textrm{D}t}=\dfrac{\partial v_{x}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{x}\\ a_{y} &=&\dfrac{\textrm{D}v_{y}}{\textrm{D}t}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{y}\\ a_{z} &=&\dfrac{\textrm{D}v_{z}}{\textrm{D}t}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{z} \end{aligned} \] On pourra retenir le résultat sous forme compacte :

Le premier terme est lié au caractère non permanent de l'écoulement alors que le second au fait que la particule, en se déplaçant, visite des endroits où la vitesse change. On l'appelle le terme convectif.

Conservation de la masse

Vecteur densité de courant de masse

Un écoulement est un phénomène de transport puisqu'il s'agit d'un transfert de masse. C'est pourquoi il est naturel d'introduire la notion de vecteur densité de courant de masse.

Pour cela, cherchons à exprimer la masse qui traverse une section (S) lors d'un écoulement. Considérons une section infinitésimale \(\textrm{d}S\) autour d'un point M et calculons la masse \(\textrm{d}^2m\) de fluide traversant \(\textrm{d}S\) pendant \(\textrm{d}t\). Cette masse se trouve dans le prisme de base \(\textrm{d}S\) et de génératrice \(\overrightarrow{v}\,\textrm{d}t\). On a donc \[ \textrm{d}^2m=\rho(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\,\textrm{d}t\,\textrm{d}S \] où \(\overrightarrow{n}\) est le vecteur normal à la section \(\textrm{d}S\). En sommant toutes les contributions on obtient \[ \textrm{d}m=\left(\iint_{\textrm{M}\in (S)}\rho(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S\right)\textrm{d}t \] On en déduit le flux de matière ou débit massique \[ Q_{\textrm{m}}\stackrel{\text{def}}=\frac{\textrm{d}m}{\textrm{d}t}=\iint_{\textrm{M}\in (S)}\rho(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S \quad \textrm{en kg/s} \] Le débit massique est donc, au sens mathématique, le flux du vecteur \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}=\rho\overrightarrow{v}\) : \[ Q_{\textrm{m}}=\iint_{\textrm{M}\in(S)}\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S \quad\textrm{où}\quad \overrightarrow{J_{\textrm{m}}}(\textrm{M},t)=\rho(\textrm{M},t)\,\overrightarrow{v}(\textrm{M},t) \] Le vecteur \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}\) désigne le vecteur densité de courant de masse.

Équation de continuité

Établissons la première équation fondamentale de la mécanique des fluides. Il s'agit d'une contrainte imposée à \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) et \(\rho(\textrm{M},t)\) qui repose sur une loi de conservation, celle de la masse.

Prenons un volume de contrôle fixe \((V)\) dans un fluide, délimité par une surface fictive \((S)\). Soit \(m(t)\) la masse contenue à l'intérieur de la surface fermée à l'instant \(t\). Par définition de la masse volumique, \[ m(t)=\iiint_{\textrm{M}\in (V)}\rho(\textrm{M},t)\,\text{d}\tau \] Cette masse varie à cause du flux de matière à travers \((S)\) : \[ \frac{\textrm{d}m(t)}{\textrm{d}t}= -\iint_{\textrm{M}\in(S)}\rho\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}} \] où \(\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}\) est dirigé vers l'extérieur de la surface fermée \((S)\) ce qui explique l'origine du signe − devant l'intégrale. Or, on a également \[ \frac{\text{d}m(t)}{\text{d}t}=\iiint_{\textrm{M}\in V}\frac{\partial\rho(\textrm{M},t)}{\partial t}\;\text{d}\tau \]

D’après le théorème de la divergence on obtient : \[ \iiint_{\textrm{M}\in(V)}\left[\text{div}(\rho\overrightarrow{v})+\frac{\partial\rho}{\partial t}\right]\textrm{d}\tau=0 \quad\forall V \] d’où l’équation de conservation de la masse, dite aussi équation de continuité

Caractéristiques d’un écoulement

Interprétation de la divergence de la vitesse

La quantité \(\text{div}\overrightarrow{v}\) prend une signification bien précise en mécanique des fluides. Partons de la relation \[ \text{div}(f.\overrightarrow{A})=f\text{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}.\overrightarrow{\text{grad}}f \] Appliqué au vecteur densité de courant de matière \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}=\rho\overrightarrow{v}\) cela donne \[ \text{div}(\rho\overrightarrow{v})=\rho\text{div}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\rho \] En utilisant l'équation de continuité on obtient \[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\rho=-\rho\text{div}\overrightarrow{v} \] On reconnaît dans le terme de gauche, la dérivée particulaire de \(\rho\). \[ \text{div}\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\rho}\dfrac{\textrm{D}\rho}{\textrm{D}t} \] Si l'on note \(\delta m\) et \(\delta\tau\) la masse et le volume d'une particule de fluide en mouvement on peut écrire \[ -\frac{1}{\rho}\dfrac{\textrm{D}\rho}{\textrm{D}t}=-\frac{1}{\rho}\dfrac{\textrm{D}\left(\delta m/\delta \tau\right)}{\textrm{D}t} =\frac{\delta m}{\rho \delta \tau^2}\dfrac{\textrm{D}\delta\tau}{\textrm{D}t} =\frac{1}{\delta \tau}\dfrac{\textrm{D}\delta \tau}{\textrm{D}t} \] Finalement, on obtient

Exemple 1 - Écoulement unidimensionnel uniforme — Considérons l’écoulement décrit par le champ de vitesse \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=v\,\overrightarrow{u_x}\quad\textrm{avec}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Les lignes de courant sont des droites parallèles et l’écoulement est à divergence nulle. Les particules de fluide se déplacent sans se dilater comme le montre la simulation suivante.

Exemple 2 - Écoulement radial — Considérons l’écoulement décrit en coordonnées polaires par le champ de vitesse \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=v\,\overrightarrow{u_r}\quad\textrm{avec}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Les lignes de courant sont des droites issues de O et les particules de fluide se déplacent en se dilatant comme le montre la figure suivante ce qui prouve que l'écoulement est à divergence positive.

Ecoulement incompressible

Par conséquent, d'après la relation (1), un fluide en écoulement incompressible vérifie la relation \[ \text{div}\overrightarrow{v}=0\quad\Leftrightarrow\quad\iint_{(S)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}{}^{\textrm{ext}}=0 \] la vitesse est à flux conservatif.

Tube de courant — Toutes les lignes de courant qui s'appuient sur une courbe \(\mathcal{C}\) fermée constituent un tube de courant. Dans ce cas, la conservation du flux de vitesse s'exprime par \[ \iint_{(S_1)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}_1= \iint_{(S_2)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}S}_2 \quad\text{soit}\quad Q_{\text{V}1}=Q_{\textrm{V}2} \] Le débit volumique se conserve le long d'un tube de courant. Si l'on définit la vitesse moyenne dans le section S par :

On obtient \(\overline{v_1}S_1=\overline{v_2}S_2\). Autrement dit, dans un tube de courant, le resserrement des lignes de courant provoque une augmentation de la vitesse moyenne.

Interprétation du rotationnel de la vitesse

Commençons par l’étude de l’exemple suivant. Soit un écoulement bidimensionnel dont le champ de vitesse s’écrit \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=-k\,y\,\overrightarrow{u_{x}}+k\,x\,\overrightarrow{u_{y}}\quad \textrm{avec}\quad k=\mathrm{C^{te}} \]

1. Tout d’abord, on constate que \(\textrm{div}\,\overrightarrow {v}=\frac{\partial(-k\,y)}{\partial x}+\frac{\partial(k\,x)}{\partial y}=0\). L’écoulement est donc incompressible.
2. Le rotationnel de la vitesse vaut quant à lui \[ \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v}= \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}= \left(\frac{\partial(k\,x)}{\partial x}-\frac{\partial(-k\,y)}{\partial y}\right)\overrightarrow{u_z}=2k\,\overrightarrow{u_z} \]
3. Plaçons une portion triangulaire en O. Quel est son mouvement ?
   En utilisant la simulation ci-dessous vous devez constater que la particule de fluide ne se déforme pas (l'écoulement est donc bien incompressible) mais qu'elle subit un mouvement de rotation autour de son centre de gravité. On peut montrer que la particule tourne à la vitesse angulaire \(\omega=k\).

Vecteur tourbillon — L’exemple précédent montre que pour un écoulement rotationnel, les particules de fluide tournent à une vitesse angulaire égal à la moitié de la valeur du rotationnel. De manière générale, on définit le vecteur tourbillon \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} \] Lorsque \(\overrightarrow{\Omega}\neq 0\), l’écoulement est tourbillonnaire ce qui se traduit par l’existence d’un mouvement de rotation des particules lors de l’écoulement.

Écoulement potentiel — Lorsque \(\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{0}\), le champ de vitesse est nécessairement un gradient. \[ \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow v= \overrightarrow 0\quad\Rightarrow\quad\overrightarrow{v}= \overrightarrow{\nabla}\varphi \] où \(\varphi(M,t)\) désigne le potentiel des vitesses. Dans ce cas on parle d’écoulement irrotationnel ou potentiel. Un exemple d'écoulement potentiel est l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait autour d'un cylindre[1].