Ce complément donne une expression alternative de l'accélération faisant intervenir les opérateurs gradient et rotationnel.
Expression alternative de l'accélération
On a vu dans le Chapitre consacré à la cinématique des fluides, que l'accélération d'une particule de fluide située en M à l'instant \(t\) pouvait s'obtenir à l'aide du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t)=\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \] où le dernier terme désigne la partie convective de l'accélération.
Explicitons la composante suivant O\(x\) de ce terme en utilisant l'identité du double produit vectoriel : \[ \overrightarrow{A}\wedge\left(\overrightarrow{B}\wedge\overrightarrow{C}\right)= \left(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C}\right)\,\overrightarrow{B} -\left(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B}\right)\,\overrightarrow{C} \] Prenons \(\overrightarrow{A}=\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\nabla}v_{x}\) et \(\overrightarrow{C}=\overrightarrow{u}_{x}\) : \[ \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}v_x\wedge \overrightarrow{u_x}\right)= \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u_x}\right)\,\overrightarrow{\nabla}v_x- \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\nabla}v_x\right)\, \overrightarrow{u_x} \] Le premier membre s'écrit aussi \(\overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge v_x\overrightarrow{u_x}\right)\). Quant au premier terme du second membre, on a \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u_x}\right)\,\overrightarrow{\nabla}v_x =v_x\,\overrightarrow{\nabla}v_x =\frac12 \overrightarrow{\nabla}{v_x}^2 \] Enfin le dernier terme est équivalent à \(\left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\nabla}\right)v_x\, \overrightarrow{u_x}\). Ainsi on obtient \[ \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge v_x\overrightarrow{u_x}\right)= \frac12 \overrightarrow{\nabla}{v_x}^2- \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\nabla}\right)v_x\, \overrightarrow{u_x} \] En procédant de la même façon pour les deux autres composantes, on obtient, après avoir sommé les trois relations, \[ \overrightarrow{v}\wedge\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{v}\right)= \frac12 \overrightarrow{\nabla}\left({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2\right)- \left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \] où l'on reconnait \(v^2\) dans le gradient. En substituant dans l'expression de l'accélération, on aboutit à une nouvelle expression de l'accélération : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla}\left(\frac{v^2}{2}\right)+ \left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} \] L'opérateur \(\overrightarrow{\nabla}\wedge\) s'appelle le rotationnel; il s'applique à un champ vectoriel et retourne également un champ vectoriel. Il se note indifféremment \[ \overrightarrow{\text{rot}} \quad\text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}\wedge \] On voit ici que l'accélération fait intervenir le rotationnel de la vitesse, que l'on appelle vorticité en mécanique des fluides. Pour résumer, \begin{equation} \boxed{ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \overrightarrow{\text{grad}}\left(\frac{v^2}{2}\right)+ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} } \end{equation}