MENUCours de Mécanique des fluides

La dynamique des fluides relie l'écoulement d'un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Ce cours se limite aux écoulements pour lesquels les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans dissipation de chaleur. On parle alors de fluide parfait. On détaille particulièrement le cas des fluides au repos ainsi que celui des écoulements incompressibles et stationnaire.

Bilan des forces

Au sein d'un fluide parfait, on distingue deux types de forces :

• Les forces dont l'origine est extérieure au fluide comme la pesanteur ;
• Les forces de contact entre particules de fluide que l'on appelle forces internes.

Forces extérieures

Nous appelons forces extérieures les actions à distance qui agissent sur toutes les molécules du fluide de sorte qu'elles sont proportionnelles au volume de fluide considéré. Pour une particule de fluide de volume \(\mathrm{d}\tau\), la force extérieure se met sous la forme : \[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathrm{d}F}^\textrm{ext} & = & \overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}\,\text{d}\tau\\ \mathrm{[N]} & = & \mathrm{[N.m^{-3}]}\quad\mathrm{[m^{3}]} \end{array} \] La quantité \(\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}\) s'appelle force volumique extérieure. La résultante des forces extérieures sur un volume \((V)\) se calcule ainsi : \[ \overrightarrow{F}^\textrm{ext} =\iiint_{\text{M}\in(V)}\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}\,\text{d}\tau \]

La pesanteur — Pour un fluide plongé dans un champ de pesanteur, on a \(\overrightarrow{\mathrm{d}F}^\text{ext} = \text{d}m\overrightarrow{g\,} = \rho\overrightarrow{g\,}\mathrm{d}\tau\) d'où \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}=\rho\overrightarrow{g} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

La force électromagnétique — Pour un plasma baignant dans un champ électromagnétique on a \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext} = \rho_{\textrm{e}}(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] où \(\rho_{\textrm{e}}\) désigne la densité volumique de charges.

Les forces d'inertie — Si le référentiel d'étude n'est pas galiléen, il faut tenir compte des forces d'inertie. Une masse \(\mathrm{d} m\) de fluide subit une force d'inertie \[ \overrightarrow{\mathrm{d}F}^\textrm{ext}=-\mathrm{d} m\, \overrightarrow{a_e}-2\mathrm{d} m\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{v} \] d'où \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{f_\text{v}}^\text{ext} = -\rho(\overrightarrow{a_{e}}+2\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{v}) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

Forces de pression

Dans un fluide au repos, une particule de fluide est soumise de la part du fluide environnant à des actions dites internes au fluide. On admettra que :

• Ces forces sont proportionnelles à la surface sur laquelle elles s'exercent. En effet, microscopiquement, les actions inter-moléculaires sont de très courte portée (collision ou interaction de Van Der Walls) de sorte qu'elles concernent uniquement les molécules à la surface de la particule de fluide.
• Ces forces sont orientées perpendiculairement à la surface sur laquelle elles s'exercent.
• Le coefficient de proportionnalité s'appelle la pression.

Mathématiquement, on écrira \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\text{d}F}^\text{int} &=& -p(\textrm{M})\,\overrightarrow{\text{d}S}^{\,\textrm{ext}}\\[3mm] \mathrm{[N]} & = & \mathrm{[N.m^{-2}]}\mathrm{[m^{2}]} \end{array} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] où \(\overrightarrow{\text{d}S}^{\,\textrm{ext}}\) représente le vecteur élément de surface dirigé vers l'extérieur de la particule de fluide par convention.

Unités — Dans le Système International d'Unités, la pression s'exprime en pascal (symbole Pa), en hommage à Blaise Pascal Blaise Pascal (1623-1662) : Mathématicien, physicien et philosophe français, né à Clermont-Ferrand. Pascal contribua au développement des mathématiques (probabilités, invention du premier calculateur) de la philosophie (Les pensées) et de l'hydraulique (principe de Pascal). Il met fin au dogme aristotélicien selon lequel la nature a horreur du vide . En effet, il montre, avec la collaboration de son beau frère Perrier, que l'ascension du mercure dans l'expérience de Toricelli est due à la pression atmosphérique.. \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle 1\;\mathrm{Pa}= 1\;\mathrm{N.m^{-2}} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

Il existe également d'autres unités encore très utilisées (Tableau 1).

Force volumique pressante

Dans un fluide parfait, les forces internes sont normales : elles se résument aux forces de pression. Insistons sur le fait que les forces de pression sont des actions de contact (interactions de courte portée) et donc surfaciques. Ceci étant dit, montrons que la résultante des forces de pression sur une particule de fluide peut s'exprimer à l'aide d'une force volumique.

Dans un fluide, délimitons un volume (V) à l'aide d'une surface fermée \((S)\) et calculons la résultante des forces de pression qu'exerce le fluide extérieur sur ce volume. En un point M de la surface \((S)\), la force de pression vaut \[ \overrightarrow{F}=\iint_{\text{M}\in(S)}-p(\textrm{M})\,\overrightarrow{\text{d}S}{}^\text{ext} \] Munissons nous d'un repère cartésien et exprimons la force suivant l'axe Ox : \[ F_{x}=\iint_{\text{M}\in (S)}-p(\text{M})\overrightarrow{u}_{x}\cdot\overrightarrow{\text{d}S}{}^\text{ext} \] Le théorème de Green-Ostrogradsky donne alors : \[ F_{x}= \iiint_{\text{M}\in(V)}-\text{div}\left(p(\textrm{M})\overrightarrow{u}_{x}\right)\,\text{d}\tau=\iiint_{\text{M}\in(V)}-\frac{\partial p}{\partial x}\,\text{d}\tau \] Ainsi la résultante des forces de pression s'écrit : \[ \overrightarrow{F}=\iiint_{\text{M}\in(V)}-\left(\frac{\partial p}{\partial x}\overrightarrow{u}_{x}+\frac{\partial p}{\partial y}\overrightarrow{u}_{y}+\frac{\partial p}{\partial z}\overrightarrow{u}_{z}\right) \,\text{d}\tau=\iiint_{\text{M}\in(V)}-\overrightarrow{\nabla}p(\textrm{M})\,\text{d}\tau \] On peut donc définir une force volumique \(\overrightarrow{f_{p}}\) associée à la résultante des forces de pression :

Cette formule signifie que lorsque la pression est uniforme, la résultante des forces de pression sur un volume de fluide est nulle. Lorsque la pression n'est pas uniforme, la résultante des forces de pression sur une particule de fluide est opposée au gradient de pression c'est-à-dire orientée vers les valeurs décroissantes de pression : La force de pression tend donc à déplacer les particules de fluide vers les basses pressions.

Relation fondamentale de la dynamique des fluides parfaits

Équation d'Euler

Supposons un fluide parfait en écoulement dans un référentiel galiléen Si le référentiel n'est pas galiléen, il suffit d'ajouter dans le bilan des forces, les forces volumiques d'inertie.. Appliquons le Principe Fondamentale de la Dynamique à chaque particule de fluide :

• Système d'étude : une particule de fluide située en M à l'instant \(t\) de masse \(\text{d}m=\rho(\textrm{M},t)\,\text{d}\tau\)
• Bilan des forces : \[ \overrightarrow{\text{d}F}= \overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}\,\text{d}\tau+\overrightarrow{f}_{p}\,\text{d}\tau= \left(\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}-\overrightarrow{\nabla}p(\text{M},t)\right)\,\text{d}\tau \]
• 2nde loi de Newton \(\text{d}m\frac{\textrm{D}\overrightarrow{v}}{\textrm{D}t}=\overrightarrow{\text{d}F}\) d'où l'équation d'Euler \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \rho(\textrm{M},t)\left[\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t} + \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v}\right]= -\overrightarrow{\nabla}p(\textrm{M},t)+\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

Résolution de l'équation d'Euler

L'équation d'Euler est une équation aux dérivées partielles du premier ordre. On remarque qu'elle est non linéaire à cause de la présence du terme convectif \((\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v}\) ; c'est ce qui rend les problèmes de mécanique des fluides mathématiquement redoutables...

Regardons si nous disposons d'assez d'équations pour traiter un problème de mécanique des fluides parfaits.

Le fluide est incompressible — Dans ce cas la masse volumique est fixée. Le problème présente donc 4 inconnues scalaires : le champ de pression \(p(\textrm{M},t)\) et le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) (3 composantes). Il faut donc 4 équations scalaires ! L'équation d'Euler n'en donne que 3. La quatrième est donnée par l'équation de continuité \(\text{div}\overrightarrow{v}=0\)

Le fluide est compressible — La masse volumique peut varier sous l'effet de la pression mais aussi sous l'effet de la chaleur. En général le fluide possède une équation d'état locale \(\rho(p,T)\). Le problème présente donc 6 inconnues scalaires : le champ de pression \(p(\textrm{M},t)\), les trois composantes du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\), la masse volumique \(\rho(\textrm{M},t)\) et la température \(T(\textrm{M},t)\). Il faut donc 6 équations scalaires. L'équation d'Euler en donne 3, la quatrième est donnée par l'équation de continuité \(\text{div}(\rho\overrightarrow{v})+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\), la cinquième par l'équation d'état du fluide \(\rho(p,T)\) et la dernière par le premier principe de la thermodynamique. Dans ce cas une bonne modélisation des transferts thermiques est nécessaire ce qui rend le problème très ardu. Par exemple, étudier une étoile ou la combustion d'une flamme nécessite ces 6 équations et surtout de gros ordinateurs...

L'équation d'Euler et de continuité sont des équations différentielles du premier ordre ; leur intégration va donc produire une constante d'intégration par variable. On déterminera ces constantes d'intégration par les conditions aux interfaces (fluide1/fluide2 ou fluide/solide).

Statique des fluides

La statique des fluides étudie les fluides au repos. Il existe alors un référentiel dans lequel \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=\overrightarrow{0}\) partout et à chaque instant. Dans ce référentiel, l'équation d'Euler devient

Traitons quelques situations particulières.

Liquide dans un champ de pesanteur

Considérons un liquide au repos dans le champ de pesanteur.

• Supposons le liquide incompressible \(\quad\Rightarrow\quad \rho=\mathrm{C^{te}}\)
• Seule la pesanteur agit sur le fluide \(\quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}=\rho\,\overrightarrow{g}\)
• En projetant l'équation de la statique (axe z descendant !) on obtient
  \begin{equation} \dfrac{\partial p}{\partial x} =0 \quad \dfrac{\partial p}{\partial y} =0 \quad\text{et}\quad \dfrac{\partial p}{\partial z}=\rho g \end{equation}
  La pression ne dépend donc que de \(z\).
• Finalement, en intégrant la dernière relation \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\rho g\quad\Rightarrow\quad p(z)=p_{0}+\rho\,g\,z \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] La pression augmente linéairement avec la profondeur. Le terme \(\rho gz\) représente la pression due au poids de la colonne de liquide qui surplombe un point à la profondeur \(z\).

Conséquences —

• Les isobares sont horizontales, par conséquent la surface libre (isobare \(p=p_\text{ext})\) aussi.

• Mesure absolue de pression à l'aide du baromètre à mercure inventé par Evangelista TorricelliÉlève de Galilée, il découvre en 1644 le principe du baromètre à mercure. Le 19 septembre 1648, le beau-frère de Blaise Pascal, Florin Périer, montre que la hauteur du mercure dans le baromètre de Torricelli ne dépend que de la pression atmosphérique. Il obtient à Clermont Ferrand (460 m) h = 71,2 cm et sur le Puy de Dôme (1464m) h = 62,7 cm de mercure.. On a

  \begin{equation} p_{\text{atm}}=\rho gh \quad\Rightarrow\quad 1\,\mathrm{atm}=1,01325.10^5\,\mathrm{Pa} \rightarrow h\simeq 760\,\textrm{mm de Hg} \end{equation}

  avant 1954, la pression atmosphérique était définie à partir de la formule (4) : 1 atmosphère correspond à une hauteur de mercure de 76 cm pris à 0°C en un lieu de champ de pesanteur standard \(g=9,806650\,\mathrm{m.s^{-2}}\) ce qui donnait \(p_{\text{atm}}=1,013249.10^{5}\,\mathrm{Pa}\). À l'heure actuelle on a \(1\,\mathrm{atm}=1,01325.10^{5}\,\mathrm{Pa}\) par définition.

• Mesure relative de pression à l'aide d'un manomètre à liquide en U (Fig. 2) : \(\Delta p=\rho gh\).

Gaz dans un champ de pesanteur

Les gaz étant compressibles, il faut utiliser l'équation d'état ainsi que les principes de la thermodynamique pour résoudre le problème.

Modèle d'atmosphère isotherme — Considérons un gaz isotherme (\(T=T_{0}\)) en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre. L'équation d'état du gaz parfait donne : \[ \rho=\frac{Mp}{RT_0} \] En prenant l'axe \(z\) ascendant, l'équation (3) devient \[ \dfrac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=-\frac{Mp}{RT_{0}}g \]

équation différentielle linéaire d'ordre 1 dont la solution s'écrit

où \(p_0\) est la pression en \(z=0\). La pression, comme la masse volumique ou la densité de particules, décroît exponentiellement avec l'altitude \(z\) : c'est la loi de nivellement barométrique. La quantité \(H\) représente une distance caractéristique. Plus de 99% du gaz se retrouve sous l'altitude \(z=5\,H\).

Si l'altitude est petite devant \(H\), la loi (5) donne \[ \frac{\delta p}{p}\simeq-\frac{\delta z}{H} \quad\Rightarrow\quad \frac{\delta p}{p}\sim-10^{-4}\quad \text{pour}\quad z=1\,\mathrm{m} \] En conclusion, on peut négliger la pesanteur dans un gaz sur une échelle de quelques mètres.

Liquide en rotation

Un flacon cylindrique ouvert, contient un liquide de masse volumique \(\rho\). On fait tourner le flacon autour de son axe à la vitesse angulaire \(\omega\). Ce liquide n'est donc pas au repos dans le référentiel du laboratoire. Cependant, après un régime transitoire qui dépend de la viscosité du liquide, celui-ci tourne de façon solide à la même vitesse angulaire que le cylindre. Ainsi, dans le référentiel lié au cylindre, le liquide est au repos. On raisonnera donc dans ce référentiel tournant (noté \(\mathcal{R}'\)) munis d'un système de coordonnées cylindriques.

Bilan des forces — Le référentiel n'étant pas galiléen, il faut tenir compte des forces d'inertie :

• Tout d'abord, la force de Coriolis \(\overrightarrow{f_{ic}}=-2\rho\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}(\textrm{M}/\mathcal{R}')\) est nulle car, \(\overrightarrow{v}(\textrm{M}/\mathcal{R}')=\overrightarrow{0}\).
• La force d'entraînement (ou force centrifuge) vaut \(\overrightarrow{f_{ie}}=\rho r\omega^{2}\overrightarrow{u_r}\).
• La force volumique de pesanteur vaut \(\overrightarrow{f_{g}}=\rho\overrightarrow{g}\)

L'équation de la statique des fluides (2) donne donc \[ \rho r\omega^{2}\overrightarrow{u_r}+\rho\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\nabla}p=\overrightarrow{0} \] ce qui donne \[ \left\{ \begin{array}{ccccl} \dfrac{\partial p}{\partial r} &=&\rho r\omega^{2} &\rightarrow & p=1/2\rho\omega^{2}r^{2}+f(z)\\[2mm] \dfrac{\partial p}{r \partial\varphi} &=& 0 & & \downarrow\\[2mm] \dfrac{\partial p}{\partial z} &=& -\rho g & \textrm{et} & \dfrac{\partial p}{\partial z}=f'(z)\Rightarrow f(z)=-\rho g\,z+\mathrm{C^{te}} \end{array} \right. \] Finalement la pression dépend de la distance à l'axe \(r\) et de \(z\) : \[ p(r,z)=\dfrac{\rho r^{2}\omega^{2}}{2}-\rho g\,z+\mathrm{C^{te}} \] La surface libre étant une surface isobare, elle obéit à l'équation \[ z=z_{0}+\dfrac{\omega^{2}}{2g}^{2} \] La surface libre adopte une forme parabolique d'axe de révolution \((Oz)\).

Poussée d'Archimède

Imaginons un solide cubique d'arête \(a\) immergé dans un liquide au repos et calculons la résultante des forces de pression \(\overrightarrow{\Pi}\).

• Tout d'abord, la pression ne dépend que de la profondeur \(p(z)=p_0+\rho\,g\,z\) ;
• Par symétrie, les forces de pression horizontales se compensent, contrairement aux forces verticales du fait de la variation de pression avec la profondeur. \(\overrightarrow{\Pi}\) est donc suivant O\(z\) : \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\Pi} &=& p(z)\,a^2\overrightarrow{u}_z-p(z+a)\,a^2 \overrightarrow{u}_z\\ &=&-\rho\,g\,a^3\overrightarrow{u}_z\\ \overrightarrow{\Pi} &=&-m_d\,\overrightarrow{g} \end{array} \] où \(m_d\) désigne la masse de liquide déplacé.

On obtient donc une force ascendante égale au poids du volume de liquide déplacé.

Ce résultat particulier se généralise sans difficulté. Si l'on considère un solide de volume \(V\) immergé dans un fluide quelconque au repos dans un champ de pesanteur, la résultante des forces de pression s'écrit \[ \overrightarrow{\Pi}=\iint_{\text{M}\in(S)}-p(\textrm{M})\,\overrightarrow{\text{d}S}{}^{\textrm{ext}}= \iiint_{M\in(V)}-\overrightarrow{\nabla}p\,\text{d}\tau \] Or, à l'équilibre \(\rho\,\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\nabla}p(M)\) d'où \[ \overrightarrow{\Pi}=\iiint_{\textrm{M}\in(V)}-\rho(\textrm{M})\overrightarrow{g}\,\text{d}\tau= -m_{d}\,\overrightarrow{g} \] Cette force, opposée à la pesanteur, s'appelle la poussée d'Archimède.

Applications — Flottaison des bateaux ; ascension des ballons sondes ; courants de convection etc.

Écoulements permanents et incompressibles

Théorème de Bernoulli

Ce théorème énoncé en premier par Daniel Bernoulli, est une équation intégrale de l'équation d'Euler qui exprime la conservation de l'énergie.

Hypothèses — Le théorème de Bernoulli dans sa formulation classique ne s'applique qu'aux écoulements stationnaires incompressibles et sans viscosité. On a donc

• Fluide parfait : les champs de vitesse et de pression vérifient l'équation d'Euler.
• Écoulement permanent : \(\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}=\overrightarrow{0}\). Les trajectoires s'identifient aux lignes de courant.
• Écoulement incompressible : le long d'une trajectoire \(\rho\) reste constant.
• De plus, nous supposerons que les forces volumiques extérieures dérivent d'une énergie potentielle \(\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext}=-\overrightarrow{\nabla}e_p\). Par exemple, dans le champ de pesanteur on a \(e_p=\rho\,g\,z\) (axe ascendant).

L'équation d'Euler devient donc \[ \rho\left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v}= -\overrightarrow{\nabla}p+\overrightarrow{f_\textrm{v}}^\textrm{ext} \] or, le terme convectif peut aussi s'écrire [5] \[ \left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v}= \overrightarrow{\nabla}\frac{v^{2}}{2}+\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v} \] d'où l'équation : \[ \rho\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v}= -\overrightarrow{\nabla}p-\overrightarrow{\nabla}e_{p}-\rho\overrightarrow{\nabla}\frac{v^{2}}{2} \] Intégrons cette équation le long d'une ligne de courant entre deux points A et B : \[ \int_A^B\rho\left[\left(\overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v}\right]\cdot\overrightarrow{\mathrm{d} \ell}=-\int_A^B\overrightarrow{\nabla}\left(p+e_p+\rho\frac{v^2}{2}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d} \ell}= -\left[p+e_p+\rho\frac{v^2}{2}\right]_A^B \] Le premier terme est nul puisque \(\overrightarrow{\mathrm{d} \ell} \parallel \overrightarrow{v}\). In fine, \[ \Rightarrow p(A)+\rho\frac{v(A)^{2}}{2}+e_{p}(A)=p(B)+\rho\frac{v(B)^{2}}{2}+e_{p}(B) \]

La conservation de la quantité \(p+\rho\frac{v^{2}}{2}+\rho gz\) exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant :

• \(\rho\frac{v^{2}}{2}\) représente l'énergie cinétique volumique ;
• \(\rho gz\) l' énergie potentielle volumique de pesanteur ;
• et la pression \(p\) représente l'énergie potentielle volumique associée aux forces de pression.

Formule de Torricelli

Considérons un réservoir cylindrique rempli d'un liquide dans lequel on perce un orifice. La formule de Torricelli relie le débit d'écoulement avec la hauteur de liquide \(h\). On fera les hypothèses suivantes :

• La section \(S\) du cylindre est très grande devant la section de l'orifice : \(s\ll S\) ;
• On considère le liquide incompressible et parfait ;
• Enfin, on considère que l'écoulement est en régime stationnaire.

On cherche à calculer la vitesse d'écoulement \(v\) à la sortie du trou. L'application du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant donne : \[ p_{\textrm{atm}}+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}(\textrm{A},t)=p_{\textrm{atm}}+\frac{1}{2}\rho v^{2}(\textrm{B},t) \] Or, la conservation de la masse donne \(v(\textrm{A},t)\,S=v(\textrm{B},t)\,s\) d'où \(v(\textrm{A},t)\ll v(\textrm{B},t)\) car \(s\ll S\). Finalement \[ v(\textrm{B},t)=\sqrt{2gh(t)}\quad\text{[formule de Torricelli]} \] On remarquera que la vitesse a la même expression que celle de la chute libre d'un point matériel dans le champ de pesanteur. Le débit volumique d'écoulement vaut donc : \[ Q_{V}=s\,v=s\sqrt{2gh(t)} \] Pour connaître l'évolution de la hauteur d'eau, il faut relier \(v\) à \(h(t)\) : \[ v(\textrm{A},t)=-\frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{Q_V}{S}=\frac{s}{S}\sqrt{2gh} \] L'intégration de cette équation donne un temps de vidange \[ \tau=\frac{S}{s}\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}\quad\textrm{avec}\quad h_0=h(t=0) \]

Effet Venturi

Dans un tube horizontal de section \(S\) variable, l'écoulement d'un fluide en écoulement incompressible et permanent s'accompagne d'une dépression là où il y a rétrécissement : c'est l'effet Venturi.

Explications — Le long d'un tube horizontal, d'après le théorème de Bernoulli on a \[ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}\rho\,v^{2}+p &=& \mathrm{C^{te}}\\ v\,S &=& \mathrm{C^{te}} \end{array} \] Ainsi, la conservation du débit impose une augmentation de vitesse au niveau de l'étranglement et la relation de Bernoulli impose alors une dépression au même niveau. Cet effet peut être mis à profit pour les applications suivantes :

• Mesure de débit ou de vitesse ;
• Principe des trompes à eau montées sur les robinet des paillasses de chimie ;
• Douchette venturi produisant une économie d'eau ;
• Amélioration du tirage d'une cheminée, principe du carburateur, vaporisateur, etc.

Tube de Pitot

Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d'écoulement d'un gaz subsonique (\(v\ll c_{son}\)). On peut en effet le considérer incompressible dans ce cas. On pratique dans un tube un orifice de prise de pression en A et en B. Le point A est un point d'arrêt car la vitesse est nulle (il n' y a pas d'écoulement dans l'orifice , c'est juste une prise de pression). Loin du tube de Pitot l'écoulement est supposé uniforme de vitesse \(v_{\infty}\) et de pression \(p_{0}\). En B la pression vaut \(p_{0}\) car les lois de l'hydrostatique s'appliquent dans une direction perpendiculaire à un écoulement parallèle permanent incompressible.

En A (point d'arrêt), en utilisant la relation de Bernoulli, la pression vaut \[ p_{A}=p_{0}+\frac{1}{2}\rho v_{\infty}^{2} \] En B, \(p_{B}=p_{0}\). d'où \[ v_{\infty}=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}} \] avec \(\Delta p=p_{A}-p_{B}\) différence de pression mesurable à l'aide d'un manomètre.