Cours de Mécanique des fluides

La dynamique des fluides relie l'écoulement d'un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Ce chapitre se limite aux écoulements pour lesquels les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans dissipation de chaleur. On parle alors de fluide parfait. On détaille particulièrement le cas des écoulements incompressibles et stationnaires.

Équations dynamiques

Équation d'Euler

Supposons un fluide en écoulement dans un champ de forces extérieures que l'on sait exprimer. On admettra que :

• le fluide est en écoulement dans un référentiel galiléenSi le référentiel n'est pas galiléen, il suffit d'ajouter dans le bilan des forces, les forces d'inertie. ;
• le fluide est parfait : les forces internes se résument aux forces de pressionNous verrons dans le chapitre suivant qu'il y a en fait des forces de friction, dites forces de viscosité, que l'on néglige ici.

Appliquons le Principe fondamentale de la dynamique à une particule de fluide située en M à l'instant \(t\), et de masse \(\text{d}m=\rho(\textrm{M},t)\,\text{d}\tau\). Effectuons un bilan des forces.

• Forces extérieures : \(\overrightarrow{\text{d}F}{}^\text{ext} = \overrightarrow{f}^\text{ext}\,\text{d}\tau\) avec \(f^\text{ext}\) en N.m^-3.
• Forces pressantes internes : \(\overrightarrow{\text{d}F}{}^\text{int} = -\overrightarrow{\nabla}p(\text{M},t)\,\text{d}\tau\).

La 2nde loi de Newton \(\text{d}m\frac{\textrm{D}\overrightarrow{v}}{\textrm{D}t} = \overrightarrow{\text{d}F}{}^\text{ext}+\overrightarrow{\text{d}F}{}^\text{int}\) donne \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \rho(\textrm{M},t)\left[\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v}\right] =-\overrightarrow{\nabla}p(\textrm{M},t)+\overrightarrow{f}^\text{ext} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Cette relation est appelée équation d'Euler.

Résolution de l'équation d'Euler

La relation(1)est une équation aux dérivées partielles du premier ordre. On remarque qu'elle est non linéaire à cause de la présence du terme convectif \((\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v}\) ; c'est ce qui rend les problèmes de mécanique des fluides mathématiquement redoutables...

Regardons si nous disposons d'assez d'équations pour traiter un problème de mécanique des fluides parfaits.

Le fluide est incompressible — Dans ce cas la masse volumique est fixée. Le problème présente donc 4 inconnues scalaires : le champ de pression \(p(\textrm{M},t)\) et le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) (3 composantes). Il faut donc 4 équations scalaires ! L'équation d'Euler n'en donne que 3. La quatrième est donnée par l'équation de continuité \(\text{div}\overrightarrow{v}=0\)

Le fluide est compressible — La masse volumique peut varier sous l'effet de la pression mais aussi sous l'effet de la chaleur. En général le fluide possède une équation d'état locale \(\rho(p,T)\). Le problème présente donc 6 inconnues scalaires : le champ de pression \(p(\textrm{M},t)\), les trois composantes du champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\), la masse volumique \(\rho(\textrm{M},t)\) et la température \(T(\textrm{M},t)\). Il faut donc 6 équations scalaires. L'équation d'Euler en donne 3, la quatrième est donnée par l'équation de continuité \(\text{div}(\rho\overrightarrow{v})+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\), la cinquième par l'équation d'état du fluide \(\rho(p,T)\) et la dernière par le premier principe de la thermodynamique. Dans ce cas une bonne modélisation des transferts thermiques est nécessaire ce qui rend le problème très ardu. Par exemple, étudier une étoile ou la combustion d'une flamme nécessite ces 6 équations et surtout de gros ordinateurs...

L'équation d'Euler et de continuité sont des équations différentielles du premier ordre ; leur intégration va donc produire des constantes d'intégration. On déterminera ces constantes d'intégration par les conditions aux interfaces (fluide1/fluide2 ou fluide/solide).

Écoulements incompressibles stationnaires

Théorème de Bernoulli

Ce théorème fut énoncé en premier par Daniel BernoulliDaniel Bernoulli (1700 - 1782) : médecin, physicien et mathématicien suisse. Il publia en 1738 son ouvrage Hydrodynamica dans lequel il expose le théorème fondamental de la mécanique des fluides qui porte son nom., en 1738.

Hypothèses — Le théorème de Bernoulli dans sa formulation classique ne s'applique qu'aux écoulements stationnaires incompressibles et sans viscosité. Détaillons :

• Le fluide est parfait ; il obéit donc à l'équation d'Euler.
• L'écoulement est stationnaire. \(\dfrac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}=\overrightarrow{0}\) et les trajectoires s'identifient aux lignes de courant.
• L'écoulement est également incompressible. Le long d'une trajectoire \(\rho\) reste constant.
• De plus, nous supposerons que les forces volumiques extérieures se résument à la pesanteur. Si l'on munit l'espace d'un axe O\(z\) vertical ascendant, on a \[ \overrightarrow{f}^\text{ext}= \rho \,\overrightarrow{g}= -\rho g\, \overrightarrow{u_z}= -\rho \overrightarrow{\text{grad}}(g\,z) \]

Le premier membre est nul puisque \(\overrightarrow{\mathrm{d} \ell} \parallel \overrightarrow{v}\). Le second membre s'écrit \[ -\int_A^B \mathrm{d}\left(p+\rho gz+\rho\frac{v^2}{2}\right)= \left(p_\text{A}+\rho gz_\text{A}+\rho\frac{v_\text{A}^2}{2}\right)- \left(p_\text{B}+\rho gz_\text{B}+\rho\frac{v_\text{B}^2}{2}\right) \] In fine, on aboutit à la relation \[ p_\text{A}+\rho gz_\text{A}+\rho\frac{v_\text{A}^2}{2}= p_\text{B}+\rho gz_\text{B}+\rho\frac{v_\text{B}^2}{2} \]

Interprétation énergétique

La conservation de la quantité \(p+\rho\frac{v^{2}}{2}+\rho gz\) exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant.

• \(\rho\frac{v^{2}}{2}\) représente l'énergie cinétique volumique ;
• \(\rho gz\) l' énergie potentielle volumique de pesanteur ;
• et la pression \(p\) représente l'énergie potentielle volumique associée aux forces de pression.

Démonstration

Considérons un fluide incompressible en écoulement permanent plongé dans un champ de pesanteur. Considérons, un filet de fluide de section infinitésimale, et appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre deux instants voisins \(t\) et \(t+\mathrm{d}t\) : \[ \mathrm{d}\mathcal{E}_\text{c}=\delta W \]

À un instant \(t\) le système étudié est une portion du tube de courant compris entre les sections \(\mathrm{d}S_1(t)\) et \(\mathrm{d}S_2(t)\). À l’instant \(t + \mathrm{d}t\) la section \(\mathrm{d}S_1(t)\) s’est déplacée de \(v_1\,\mathrm{d}t\) et la section \(\mathrm{d}S_2(t)\) de \(v_2\, \mathrm{d}t\). Chaque surface balaye le même volume \(\mathrm{d}\tau\) car le fluide est incompressible : \[ \mathrm{d}\tau=v_1 \mathrm{d}S_1\, \mathrm{d}t=v_2 \mathrm{d}S_2\, \mathrm{d}t \] Commençons par exprimer l'énergie cinétique du système: \[ \mathcal{E}_\text{c}(t)=\frac12 \rho \mathrm{d}\tau {v_1}^2+\mathcal{E}^0_\text{c}(t) \] où \(\mathcal{E}^0_\text{c}(t)\) désigne l'énergie cinétique de la portion de fluide autre que le volume \(\mathrm{d}\tau\). De même, à l'instant \(t+\mathrm{d}t\), on a \[ \mathcal{E}_\text{c}(t+\mathrm{d}t) = \mathcal{E}^0_\text{c}(t+\mathrm{d}t)+\frac12 \rho \mathrm{d}\tau {v_2}^2 \] Supposons l'écoulement stationnaire. Dans ce cas \(\mathcal{E}^0_\text{c}(t) = \mathcal{E}^0_\text{c}(t + \mathrm{d}t)\) et l'on aboutit à \[ \mathrm{d}\mathcal{E}_\text{c} = \frac12 \rho \mathrm{d}\tau \left({v_2}^2-{v_1}^2\right) \] Quant au travail mécanique, il se résume à deux termes :

• le travail de pesanteur \(\delta W_g=-\mathrm{d}\mathcal{E}_\text{p}=-\rho \mathrm{d}\tau g(z_2-z_1)\).
• le travail des forces de pression \(\delta W_p = -p^\text{ext}\mathrm{d}V = (p_1-p_2)\mathrm{d}\tau\)

Notez qu'il n'y a pas de travail des forces internes pour deux raisons :

• au sein du système, les forces de pression ne peuvent ni dilater ni comprimer les particules de fluide car l'écoulement est incompressible ;
• les forces de friction dues à la viscosité sont négligés ici puisque l'on traite le cas d'un fluide parfait.

Le théorème de l'énergie cinétique donne finalement \[ \frac12 \rho {v_1}^2+\rho gz_1+p_1=\frac12 \rho {v_2}^2+\rho gz_2+p_2 \] On obtient la relation de Bernoulli, montrant ainsi qu'elle exprime tout simplement la conservation de l’énergie mécanique.

Effet Venturi

Dans un tube horizontal de section \(S\) variable, l'écoulement d'un fluide en écoulement incompressible et permanent s'accompagne d'une dépression là où il y a rétrécissement : c'est l'effet Venturi

Explications — Le long d'un tube horizontal, d'après la conservation du débit on a \[ D_V=v_\text{A}S_\text{A}=v_\text{B}S_\text{B} \] Ainsi, la conservation du débit impose une augmentation de vitesse là ou il y a rétrécissement. Le théorème de Bernoulli impose \[ \frac{1}{2}\rho\,{v_\text{A}}^{2}+p_\text{A}+\cancel{\rho g z_\text{A}} = \frac{1}{2}\rho\,{v_\text{B}}^{2}+p_\text{B}+\cancel{\rho g z_\text{B}} \] Il existe alors une dépression au niveau du rétrécissement donnée par \[ p_\text{B}-p_\text{A}=\frac12 \rho \left({v_\text{A}}^2-{v_\text{B}}^2\right)<0 \] Cet effet peut être mis à profit pour les applications suivantes :

• Mesure de débit (débitmètre à effet venturi) ;
• Principe des trompes à eau montées sur les robinet des paillasses de chimie ;
• Douchette venturi produisant une économie d'eau ;
• Amélioration du tirage d'une cheminée, principe du carburateur, vaporisateur, etc.

Formule de Torricelli

Considérons un réservoir cylindrique rempli d'un liquide dans lequel on perce un orifice. La formule de Torricelli relie le débit d'écoulement avec la hauteur de liquide \(h\). On fera les hypothèses suivantes :

• La section \(S\) du cylindre est très grande devant la section de l'orifice : \(s\ll S\) ;
• On considère le liquide incompressible et parfait ;
• Enfin, on considère que l'écoulement est en régime stationnaire.

On cherche à calculer la vitesse d'écoulement \(v(\text{B},t)\) à la sortie du trou. L'application du théorème de Bernoulli sur une ligne de courant donne : \[ p_{\textrm{atm}}+\rho gh+\frac{1}{2}\rho v^{2}(\textrm{A},t) = p_{\textrm{atm}}+\frac{1}{2}\rho v^{2}(\textrm{B},t) \]

Sonde de Pitot

La sonde de Pitot fut inventé en 1732 par l'ingénieur français Henri Pitot. Il s'agit d'un tubeOn parle souvent de tube de Pitot. destiné à mesurer la vitesse d'écoulement d'un fluide ; il est largement employé dans le génie chimique et en aéronautique sous une version améliorée que l'on appelle sonde de Prandtl.

La sonde est constituée d'un tube de diamètre \(d\) au bout arrondi et percée d'un trou cylindrique parallèle au tube. Sur la face latérale du tube à une distance de l'ordre de \(3d\) se situe une ou plusieurs prises de pression. On place cette sonde parallèlement à un écoulement de fluide et l'on mesure la différence de pression entre les pressions axiale et latérale.

ce qui conduit à \[ \Delta p=p_\text{A}-p_\text{B}=\frac12 \rho {v_\text{B'}}^2 \] La différence de pression indiquée par le manomètre permet de remonte à la vitesse en B'. De surcroît si l'on suppose que la section du tube de Pitot est suffisamment faible devant la section du tube de courant pour ne pas influencer la vitesse d'écoulement alors on a \(v_\text{B'}=v_\infty\).

Écoulements potentiels

Vorticité

On appelle vorticité le rotationnel de la vitesse. Il s'agit d'un vecteur qui se note \(\overrightarrow{\omega}\) : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{\omega}(\text{M},t)=\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{v}(\text{M},t)= \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{v}(\text{M},t) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} À l'instar des lignes de courant, on définit les lignes de vorticité comme les lignes du champ vectoriel \(\overrightarrow{\omega}(\text{M},t)\).

La vorticité a une signification cinématique simple : elle donne le double du vecteur rotation local des particules de fluide. Ce vecteur, noté \(\overrightarrow{\Omega}\), est parfois appelé vecteur tourbillon. \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac12 \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v} \]

Exemple

Reprenons l'exemple précédent et plaçons une particule carrée d'arête \(2a\) en O. Quel est son mouvement ?

On a vu qu'au cours de l'écoulement, cette particule conserve son aire puisque \(\text{div}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\). Sur la simulation ci-dessus on constate que les sommets sont animés d'une vitesse orthoradiale de sorte que la particule tourne autour de O. La vitesse d'un sommet vaut \(v=\sqrt{2}k,a\) d'où une vitesse angulaire de rotation \(\Omega=k=\frac12 \|\overrightarrow{\omega}\|\).

Si l'on prend le rotationnel de l'équation d'Euler, on obtient l'équation d'évolution de la vorticité. Dans le cas d'un fluide incompressible siège d'un champ de force extérieur conservatif, on aboutit à l'équation \[ \frac{\partial \overrightarrow{\omega}}{\partial t}= \overrightarrow{\nabla}\wedge \left(\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{\omega}\right) \] En conséquence, si un fluide parfait est irrotationnel à un instant donné (\(\overrightarrow{\omega}(\text{M},t_0,) = \overrightarrow{0}\) partout), alors il le reste aux instants ultérieurs (\(\partial \overrightarrow{\omega}/\partial t = \overrightarrow{0}\) pour \(t>t_0\)).

Écoulement potentiel

Le phénomène de viscosité — absent ici — est source de vorticité notamment dans le sillage des obstacles et dans une couche, dite couche limite. Mais en général, en dehors ce ces zones le fluide peut être traité comme un fluide parfait. Et si en plus l'écoulement est initialement irrotationnel, alors il le restera ultérieurement. C'est pourquoi ce type d'écoulement revêt une certaine importance en dynamique des fluides.

Lorsque \(\overrightarrow{\omega}=\overrightarrow{0}\), le champ de vitesse s'écrit nécessairement comme un gradient. On dit qu'il dérive d'un potentiel des vitesses \(\varphi(\text{M},t)\) : \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{v}(\text{M},t)=\overrightarrow{0} \quad\text{d'où}\quad \overrightarrow{v}(\text{M},t)=\overrightarrow{\text{grad}}\varphi(\text{M},t) \] C'est pourquoi, on parle dans ce cas d'écoulement irrotationnel ou potentiel. Dans ces conditions, l'équation d'Euler devient \[ \rho(\textrm{M},t)\left[\frac{\partial \overrightarrow{\text{grad}}\varphi}{\partial t} + \overrightarrow{\text{grad}}\left(\frac{v^2}{2}\right)\right] = -\overrightarrow{\nabla}p(\textrm{M},t)+\overrightarrow{f}^\text{ext} \] Si l'on suppose en plus le fluide incompressible dans un champ de force conservatif d'énergie potentielle volumique \(e_\text{p}^\text{ext}\), on aboutit à \[ \overrightarrow{\text{grad}}\left[ \rho \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac12 \rho v^2+e_\text{p}^\text{ext}+p \right]=\overrightarrow{0} \] soit, après intégration : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \rho \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac12 \rho v^2+e_\text{p}^\text{ext}+p=f(t) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} où \(f(t)\) est une fonction arbitraire du temps. Notons que le potentiel des vitesses est indéterminée : si \(\varphi(\text{M},t)\) convient, alors \(\varphi(\text{M},t)+g(t)\) convient aussi, de sorte que l'on peut toujours choisir le potentiel des vitesses de sorte que \(f(t)=0\).

Bien entendu, dans le cas d'un écoulement stationnaire, \(\varphi\) ne dépend plus explicitement du temps, et l'on retrouve la relation de Bernoulli : \[ \frac12 \rho v^2+e_\text{p}^\text{ext}+p=\mathrm{C^{te}} \] à une nuance près : la constante est la même pour toutes les lignes d'écoulement.