Cours de Mécanique des fluides

Nous abordons dans ce chapitre deux conséquences aux caractère visqueux de la plupart des fluides : l'existence de pertes de charge dans les canalisations et, la résistance au mouvement d'un corps dans un fluide.

Pertes de charge dans une conduite

Observations expérimentales

Expérience

Considérons un récipient de diamètre \(D\) dans lequel on branche un tube horizontal de diamètre \(d\ll D\). Ce tube dispose de 3 tubes verticaux en contact avec l'air.

Dans un premier temps, on bouche la sortie du tube horizontal et on remplit le récipient d'un fluide. On observe ceci :

Dans un deuxième temps, on ouvre le tube horizontal: le niveau d'eau descend lentement, mais la hauteur des colonnes d'eau diffère d'un tube à l'autre.

Analyse — Lorsque la sortie du tuyau est obturée, le liquide est en équilibre hydrostatique. La pression dans le tuyau est uniforme et vaut \(p_\text{atm}+\rho g h_0\). Lorsque le liquide coule, les colonnes d'eau verticales sont en quasi-équilibre (le niveau descend très lentement) de sorte que la hauteur d'eau nous renseigne sur la pression qui règne dans le tuyau. On en déduit que la pression diminue le long de la canalisation. On dit qu'il y a une perte de charge en ligne.

Ce résultat est en contradiction avec le théorème de Bernoulli. En effet, si on l'applique entre le point A situé à la surface libre du large récipient, et un point B situé dans la canalisation, on obtient \[ p_\text{B} = p_\text{atm} + \underbrace{\frac12 \rho\left({v_\text{A}}^2 - {v_\text{B}}^2\right)+\rho g h(t)}_{f(t)} \] On prévoit donc que la pression en B dépend du temps mais pas de sa position, puisque \(h\), \(v_\text{A}=-\dot h\) et \(v_\text{B}=v_\text{A}(d^2/D^2)\) ne dépendent que du temps. Ce qui est en contradiction avec nos observations. On en déduit que l'on ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli, car l'on ne peut pas considérer le fluide parfait : c'est la viscosité du fluide qui explique le phénomène de perte de charge.

Écoulement de Poiseuille

Cherchons tout d'abord à caractériser l'écoulement qui s'établit le long d'une conduite cylindrique horizontale dans laquelle s'écoule un fluide newtonien de viscosité \(\eta\). On note \(d\) le diamètre du tuyau, \(R\) son rayon et \(L\) sa longueur.

Hypothèses de travail —

• L'écoulement est supposé stationnaire, d'où \(\partial \overrightarrow{v}/\partial t=\overrightarrow{0}\).
• L'écoulement est laminaire, parallèle à O\(z\) et invariant par rotation autour de l'axe Oz, d'où \(\overrightarrow{v}=v(r,z)\,\overrightarrow{u}_z\).
• Le fluide est incompressible.
• Enfin, la pesanteur est négligeable sur l'épaisseur de la conduite.

Commençons par écrire l'équation de continuité : \[ \text{div}\overrightarrow{v} = \dfrac{\partial(rv_{r})}{r\partial r} + \dfrac{\partial(v_{\theta})}{r\partial\theta} + \dfrac{\partial v_{z}}{\partial z} = 0 = \dfrac{\partial v_{z}}{\partial z} \quad\Rightarrow \quad \overrightarrow{v} = v(r)\,\overrightarrow{u_z} \] La vitesse ne dépend que de \(r\). Calculons l'accélération : \[ \overrightarrow{a}(\text{M},t) = \dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + v\frac{\partial}{\partial z}\left(v(r)\,\overrightarrow{u_z}\right) = \overrightarrow{0} \] L'accélération est nulle. En effet, les lignes de courant sont des droites horizontales et se confondent avec la trajectoire des particules (régime stationnaire). Or, si la vitesse ne dépend pas de z cela signifie que les particules de fluide se déplacent avec une vitesse constante en direction et en intensité. L'accélération est donc nulle. On peut aussi ajouter que chaque particule de fluide est soumise à deux forces qui se compensent : les forces de pression et les forces de viscosité. Sans force de pression, c'est-à-dire sans différence de pression, il ne peut pas avoir d'écoulement stationnaire.

L'équation de Navier-Stokes se réduit à \(\overrightarrow{\nabla}p=\eta\Delta \overrightarrow{v}\). Projetons cette relation dans la base cylindrique : \[ \left| \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial p}{\partial r} & = & 0\\[3mm] \dfrac{\partial p}{r\partial \theta} & = & 0\\[3mm] \dfrac{\partial p}{\partial z} & = & \eta\dfrac{1}{r}\dfrac{\text{d}}{\text{d}r}\left(r\dfrac{\text{d}v}{\text{d}r}\right) \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad \dfrac{\text{d}p}{\text{d}z} = \eta\frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}r}(r\frac{\text{d}v}{\text{d}r}) \] Ainsi, la pression ne dépend que de \(z\). Le terme de gauche de la dernière équation ne dépend donc que de \(z\) alors que celui de droite ne dépend que de \(r\). Cette relation apparemment paradoxale se résout si les deux termes sont constants. \[ \dfrac{\text{d}p}{\text{d}z}=K \qquad\text{et}\qquad \eta\dfrac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left(r\frac{\text{d}v}{\text{d}r}\right)=K \] Intéressons-nous au champ de vitesse. En intégrant deux fois on obtient \[ v(r)=\frac{K}{4\eta}r^{2}+C_{1}\ln r+C_{2} \] où \(C_{1}\) et \(C_{2}\) sont deux constantes d'intégration. La vitesse doit être définie en \(r=0\) ce qui implique \(C_{1}=0\). Enfin, les conditions aux limites imposent \(v(R)=0\) d'où \[ v(r)=\frac{-K}{4\eta}(R^{2}-r^{2})=v_\text{max}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right] \]

Le profil des vitesses est parabolique et l'écoulement est le plus rapide le long de l'axe O\(z\).

Loi de Poiseuille

Revenons sur la relation relative à la pression \[ \dfrac{\text{d}p}{\text{d}z}=K \quad\text{avec}\quad K < 0 \] où le signe de \(K\) est dicté par le sens de l'écoulement (ici selon O\(z\)). On en déduit \[ p(z)=p(0)+Kz \] La pression diminue linéairement le long de la conduite comme on l'a observé expérimentalement.

Ici la perte de charge s'écrit \[ \Delta p=p(0)-p(L)=-KL >0 \] Déterminons maintenant la relation entre la perte de charge et le débit volumique. Le débit volumique est le flux du vecteur vitesse à travers une section de la canalisation : \[ D_{V}=\iint \overrightarrow{v}\cdot\text{d}\overrightarrow{S} = \int_{0}^{R}v(r)\,2\pi r\,\text{d}r = -\dfrac{K\pi R^{4}}{8\eta} \] En remplaçant \(K\) par \(-\Delta p/L\) on aboutit à la loi de Poiseuille : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \Delta p=\frac{8\eta L}{\pi R^{4}}D_{V} \qquad \text{[Loi de Poiseuille]} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} On note que la perte de charge double quand la longueur de tuyau double. En revanche, elle est très sensible au diamètre puisqu'elle est divisée par 16 dans le diamètre double.

Analogie électrique

On peut faire une analogie avec la conduction électrique et définir une résistance hydraulique \(R_{H}\) analogue de la résistance électrique :

Formule générale

La formule de Poiseuille est valable tant que l'écoulement est laminaire. L'expérience montre qu'il faut pour cela que le nombre de Reynolds ne dépasse pas 2.10³ : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \Delta p=\frac{8\eta L}{\pi R^{4}}D_{V} \quad\text{si}\quad R\text{e}=\frac{\rho \langle v\rangle d}{\eta}< 2\cdot 10^3 \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Dans le cas contraire, l'écoulement est instable et la turbulence se développe soit de façon intermittente soit de façon totale. Il faut alors utiliser des lois empiriques. Ces lois reposent dans un premier temps sur une analyse dimensionnelle.

Admettons que la perte de charge dépende seulement de la longueur \(L\) de la conduite, de son diamètre \(d\), de la viscosité \(\eta\) du fluide, de sa masse volumique \(\rho\) ainsi que de la vitesse moyenne \(\langle v \rangle\) d'écoulement. Avec ces 5 grandeurs, on peut former deux nombres sans dimensions :

• le nombre de Reynolds \(R\text{e}=\rho \langle v\rangle d/\eta\) ;
• le rapport \(x=L/d\).

Par ailleurs, l'expérience montre que la perte de charge en ligne est proportionnelle à \(L\), donc proportionnelle à \(x\). C'est pourquoi l'expression de la perte de charge peut se mettre sous la forme \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \Delta p=\lambda(R_\text{e})\frac{1}{2}\rho{\langle v\rangle}^2\frac{L}{d} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Cette relation est appelée équation de Darcy-Weisbach. Le facteur adimensionné \(\lambda\) désigne le coefficient de perte de charge régulière et ne dépend que du nombre de Reynolds pour une canalisation lisse.

Dans le cas d'une canalisation rugueuse, un troisième nombre sans dimension intervient : la rugosité relative \(\epsilon/d\) qui mesure le rapport de la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne de la conduite sur son diamètre interne. Il suffit donc de réaliser des expériences avec des écoulement de différents nombre de Reynolds et des tuyaux de différentes rugosité pour déterminer de façon empirique la relation \(\lambda(R_\text{e},\epsilon/d)\). Les résultats empiriques se lisent sur le diagramme de Moody (Fig.3). Quelques remarques sur ce diagramme :

• Il s'agit d'un diagramme logarithmique. Pour le lire, on détermine la rugosité relative pour savoir quelle courbe il faut sélectionner (axe de droite). Ensuite, il suffit de suivre la courbe sélectionnée jusqu'à la valeur du nombre de Reynolds désirée, puis de lire à gauche la valeur du coefficient de perte de charge.
• En régime laminaire les pertes de charge sont données par la loi de Poiseuille qui correspond à un coefficient de pertes de charge \[ \lambda = \frac{64}{R_\text{e}} \quad\text{pour}\quad R_\text{e}< 2\cdot 10^3 \] Cette loi se matérialise par une droite décroissante dans le diagramme de Moody (laminar flow)

Pertes de charge singulière

Les pertes de charges en ligne étudiées jusqu'ici sont appelées pertes de charge régulières.

Lorsque dans une conduite, l'écoulement subit de brusques variations de section ou de direction, il se produit des pertes de charges dites singulières. Elles sont données par la formule \[ \Delta p_\text{s}\;\text{(en Pa)}=K\frac12\rho {\langle v_\text{avant}\rangle}^2 \] où \(\langle v_\text{avant}\rangle\) est la vitesse d'écoulement avant le passage de l'obstacle, et \(K\) le coefficient de perte de charge singulière. Ce dernier dépend de la nature de l'obstacle (Fig.4).

Théorème de Bernoulli généralisé

Nous avons vu dans le chapitre consacré aux fluides parfaits, que dans le champ de pesanteur, un fluide incompressible en écoulement stationnaire voit la quantité \(\frac{1}{2}\rho v^{2}+p+\rho gz\) se conserver le long d'une ligne de courant ce qui traduit la conservation de l'énergie. Voyons comment s'exprime le bilan d'énergie dans le cas d'un fluide réel en écoulement stationnaire dans une conduite en tenant compte des échanges mécaniques avec des machines hydrauliques.

Considérons un fluide en écoulement stationnaire et incompressible dans un système de conduites où il traverse des machines hydrauliques avec lesquelles il peut échanger de l'énergie :

• des pompes donneront de l'énergie mécanique au fluide ;
• des turbines recevront de la part du fluide de l'énergie mécanique.

Si l'on note \(\mathcal{P}\) la puissance échangée avec le fluide, on a \(\mathcal{P}>0\) pour les pompes et \(\mathcal{P}<0\) pour les turbines.

Bilan d'énergie cinétique — Considérons comme système, le fluide situé dans la conduite entre A et B à l'instant \(t\) et entre A' et B' à l'instant \(t+\text{d}t\). Pendant \(\text{d}t\), la masse transférée est \[ \text{d}m=D_{m}\,\text{d}t=\rho D_V\,\text{d}t \] Rappelons que le débit volumique est uniforme le long de la canalisation puisque le fluide est incompressible.

Pour simplifier on considère que les grandeurs physiques sont uniformes sur la section droite de la conduite. Le théorème de l'énergie cinétique donne \[ \text{d}\mathcal{E}_\text{c} = \mathcal{E}_\text{c}(t+\text{d}t)-\mathcal{E}_\text{c}(t)=\delta W \] avec \(\delta W\) le travail de toutes les forces (extérieures et intérieures) s'exerçant sur le système.

Tout d'abord, le régime étant permanent, la portion de fluide située entre A' et B conserve son énergie cinétique de sorte que \[ \mathcal{E}_\text{c}(t+\text{d}t)-\mathcal{E}_\text{c}(t) = \mathcal{E}_\text{c}^{\text{BB'}}-\mathcal{E}_\text{c}^{\text{AA'}} = \frac{1}{2}D_{m}\,\text{d}t\left(v_{B}^{2}-v_{A}^{2}\right) \] Par ailleurs, les forces de pesanteur travaillent d'où le transfert mécanique \[ \text{d}W_{g} = -D_{m}\,\text{d}t\,g\left(z_{B}-z_{A}\right)\quad\text{[axe ascendant]} \] Les machines hydrauliques fournissent une puissance mécanique \(\mathcal{P}\) de sorte que le transfert mécanique effectué pendant la durée \(\text{d}t\) s'écrit \[ \delta W_{\text{méca}}=\mathcal{P}\,\text{d}t \] Quant aux forces de pression, leur travail s'exprime par \[ \delta W_{p}=-p^{\text{ext}}\,\text{d}V=p_{A}\,D_V\text{d}t-p_{B}\,D_V\text{d}t \] Le fluide est également le siège de forces intérieures. Or, l'écoulement étant incompressible, les particules de fluide se déforment sans changer de volume ce qui explique que les forces de pression interne ne travaillent pas. Par contre, le fluide est le siège d'un travail résistant \(\delta W_{\eta}\) des forces visqueuses. Par définition, la perte de charge exprimée en Pa correspond au travail des forces visqueuses par unité de volume : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \delta W_{\eta}=-D_V\text{d}t\times \Delta p \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Finalement le théorème de l'énergie cinétique donne la relation de Bernoulli généralisée \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \frac{1}{2}\rho\,v_{B}^{2}+\rho\,g\,z_{B}+p_{B} = \frac{1}{2}\rho\,v_{A}^{2}+\rho\,g\,z_{A}+p_{A}+\mathcal{P}/Q_V-\Delta\,p \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Notons au passage que l'on retrouve la relation de Bernoulli vu au Chap.4 à condition de faire \(\mathcal{P}=0\) et \(\Delta p=0\).

Résistance au mouvement dans les fluides

Si l'on met de coté la poussée d’Archimède, la force que ressent un solide plongé dans un écoulement stationnaire tridimensionnelle est nulle si le fluide n’est pas visqueux. En revanche, l’écoulement visqueux autour d’un obstacle solide produit une force qui présente deux composantes : la composante dans le sens de l’écoulement est appelée force de traînée, la composante perpendiculaire est la force de portance.

Formule de Stokes

Stokes s'est intéressé à la force de traînée qu'un écoulement visqueux produit autour d'une sphère. Il s'est placé dans le cas où l'écoulement est gouverné par la viscosité c'est-à-dire pour les petits nombres de Reynolds.
La résolution complète est assez longue et nous allons nous contenter de la solution sans chercher à la justifier.

Stokes obtient qu'une sphère de rayon \(r\), immobile, soumise à un écoulement permanent incompressible et visqueux, ressent une force de traînée \(\overrightarrow{F}\) proportionnelle à la vitesse d'écoulement et à la taille de la sphère. \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{F}=6\pi\eta r\,\overrightarrow{v_{\infty}} \quad\text{pour}\quad R_\text{e}\ll1 \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} où \(\overrightarrow{v_{\infty}}\) représente la vitesse de l'écoulement par rapport à la sphère et loin de la sphère. Cette force de traînée est liée d'une part à un champ de pression plus important en avant de la sphère et d'autre part aux forces visqueuses. Si l'on étudie la chute d'une bille sphérique dans un fluide visqueux au repos (loin de la bille), il faut écrire \[ \overrightarrow{F}=-6\pi\eta r\overrightarrow{v} \] où \(\overrightarrow{v}\) représente la vitesse de la bille dans le référentiel du laboratoire. Cette loi est vérifiée avec une précision meilleure que 1% pour \(R_\text{e}<0,3\).

Coefficient de traînée Cx

L'analyse précédente n'est valable qu'à petit nombre de Reynolds et pour un corps sphérique.

Pour un corps de géométrie différente, la force qu'exerce un fluide en écoulement stationnaire unidirectionnel présente deux composantes.

• Une composante parallèle à \(\overrightarrow{v_{\infty}}\) : c'est la traînée (on dit aussi résistance) \(\overrightarrow{F_\parallel}\).
• Une composante perpendiculaire : c'est la portance \(\overrightarrow{F_\perp}\).

Le traitement analytique est possible pour des géométries simples et pour des valeurs faibles de \(R_\text{e}\) comme nous venons de le voir. Pour des grands nombres de Reynolds, on procède en général à des expériences sur maquette en soufflerie pour avoir accès à la force. Montrons par une analyse dimensionnelle quelle forme doit prendre cette force \(F\).

Admettons que la force dépende de la vitesse \(v_{\infty}\), de la densité \(\rho\) du fluide, de sa viscosité \(\eta\) et d'une longueur caractéristique \(\ell\) associé à la taille du corps\sidenote{Pour une sphère on choisit généralement son diamètre, pour une aile d'avion sa corde.}. Avec ces 4 grandeurs indépendantes, on peut construire un nombre sans dimension, à savoir le nombre de Reynolds \[ R_\text{e}=\frac{\rho v_\infty \ell}{\eta} \] On choisit alors d'exprimer la force en fonction de \(R_\text{e}\), \(\rho\), \(v_\infty\) et \(\ell\) : \[ F=f(R_\text{e})\rho^\alpha\,{v_\infty}^\beta\, \ell^\gamma \] L'analyse dimensionnelle aboutit à \[ F=f(R_\text{e})\rho\,{v_\infty}^2\, \ell^2 \] On définit alors deux coefficients de frottement — le \(C_{x}\) et le \(C_{z}\) — associés respectivement à la résistance et à la portance : \[ F_\parallel=\frac{1}{2}\rho v_{\infty}^{\,2}S\, C_{x}(R_\text{e}) \quad\text{et}\quad F_\perp=\frac{1}{2}\rho v_{\infty}^{\,2}S\, C_{z}(R_\text{e}) \] où \(S\) désigne une surface caractéristique de référence. On choisit généralement la surface projetée dans le plan \((yz)\) pour la force de traînée, et dans le plan \((xy)\) pour la force de portance. Ainsi, il suffit de mesurer les forces aérodynamiques en soufflerie sur une maquette en échelle réduite pour différentes valeurs de nombre de Reynolds pour prévoir les forces en échelle réelle.

Dans le cas d'une sphère (sans rotation propre) de rayon \(r\), on obtient \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle F=F_\parallel=\frac{\pi r^2}{2}\rho v_{\infty}^{\,2} C_{x}(R_\text{e}) \quad\text{avec}\quad R_\text{e}=\frac{\rho v_\infty (2r)}{\eta} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

En général, on constate que le \(C_{x}\) est quasi constant en régime turbulent ce qui correspond aux situations courantes de l'aéronautisme, le nautisme, le cyclisme etc. Pour \(R_\text{e}\ll 1\) on a \(C_x=24/R_\text{e}\) et l'on retrouve la loi de Stokes(6).