Le théorème de la divergence relie le flux d'un champ vectoriel à travers une surface fermée S, à la somme d'un scalaire en tout point du volume enfermé par S. Ce théorème fait appel à l'opérateur divergence, d'où son nom.
La divergence est un opérateur qui s'applique à un champ vectoriel et retourne un champ scalaire. Il se note \[ \text{div}\overrightarrow{A} \qquad\text{ou}\qquad \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{A} \] La dernière notation permet de retrouver son expression en coordonnées cartésiennes : \[ \overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{A}(x,y,z)= \begin{pmatrix} \partial /\partial x\\ \partial / \partial y\\ \partial /\partial z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A_x(x,y,z)\\A_y(x,y,z)\\A_z(x,y,z) \end{pmatrix} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \]
Imaginons un petit cube d'arête \(a\) centré en M(\(x,y,z)\), et dont les faces sont des plans cartésiens. Voyons comment s'écrit le flux d'un champ vectoriel \(\overrightarrow{A}\) à travers ce cube.
Commençons par exprimer le flux \(\phi_1\) à travers la face (1) perpendiculaire à l'axe (O\(y\)) et située en \(y+a/2\) : \[ \phi_1=\iint_{(1)}\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{u_y}\,\mathrm{d}S = \iint_{(1)}A_y(x',y+a/2,z')\,\mathrm{d}x' \mathrm{d}z' \] De même, le à travers la face située en \(y-a/2\) vaut \[ \phi_2=\iint_{(2)}\overrightarrow{A}\cdot (-\overrightarrow{u_y})\,\mathrm{d}S= \iint_{(2)}-A_y(x',y-a/2,z')\,\mathrm{d}x' \mathrm{d}z' \] Appelons \(\phi_y\) le flux à travers ces deux faces, et faisons tendre \(a\to 0\).
On peut alors considérer l'intégrand constant et égale à sa valeur au centre de la face : \[ \phi_y=\phi_1+\phi_2=\left[A_y(x,y+a/2,z)-A_y(x,y-a/2,z)\right]a^2 \] \(a\) étant un infiniment petit, on peut légitimement remplacer \[ \frac{A_y(x,y+a/2,z)-A_y(x,y-a/2,z)}{a} \quad\text{par}\quad \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} \] ce qui donne \(\phi_y=\dfrac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}a^3\). Ce même raisonnement réitéré sur les faces perpendiculaires aux axes (O\(x\)) et (O\(z\)) aboutit à \[ \phi_x=\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}a^3 \quad\text{et}\quad \phi_z=\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}a^3 \] Finalement, le flux \(\phi\) du champ vectoriel \(\overrightarrow{A}\) à travers un cube infinitésimal centré en \((x,y,z)\) de volume infinitésimal \(\mathrm{d}\tau=a^3\) vaut \[ \phi=\left( \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}+ \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}+ \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z} \right)\, \mathrm{d}\tau=\text{div}\overrightarrow{A}\; \mathrm{d}\tau \]
Mettons dorénavant côte à côte deux cubes infinitésimaux.
Lorsque l'on calcule le flux à travers ces deux cubes réunis, on s'aperçoit que la contribution due aux surfaces adjacentes se compensent, car les normales à ces faces sont opposées. Aussi, le flux total se réduit-il au flux à travers la surface frontière.
Dès lors, on conçoit qu'en empilant de tels cubes en nombre infini, on puisse reconstituer un volume fini, de sorte que le flux à travers la surface frontière soit égal à la somme des flux élémentaires produits à travers chaque petit cube constituant le volume. C'est le sens du théorème de la divergence.
Théorème de la divergence
L'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume V est égal au flux de ce champ à travers la surface fermée qui délimite le volume. \[ \oiint_{\text{M}\in\text{S}}\overrightarrow{A}(\text{M})\cdot\overrightarrow{n}\,\mathrm{d}S = \iiint_{\text{M}\in\text{V}}\text{div}\overrightarrow{A}(\text{M})\,\mathrm{d}\tau \] Ce théorème est aussi appelé théorème de Green-Ostrogradsky