MENUCours de Mécanique classique

Isaac Newton (1642-1727) — physicien et mathématicien anglais — fut le théoricien le plus respecté du 17ème siècle. Il publie en 1687 son ouvrage phare Naturalis Philosophiae principia mathematica dans lequel il jette les bases mathématiques de sa mécanique : il réussit le tour de force d’unifier les lois de la mécanique terrestre (chute des corps) avec les lois de la mécanique céleste. Son traitement du mouvement des planètes en accord avec les lois de Kepler, transformera cette théorie en un véritable pilier de la physique moderne pendant plus de deux siècles, jusqu’à l’arrivée d’un certain Albert Einstein... Newton fonde sa théorie sur trois principes que nous allons détailler. Insistons sur le fait que ces trois principes forment un tout indissociable et cohérent.

Lois de Newton

Notion de point matériel

La mécanique newtonienne repose sur un concept clé : le point matériel. En effet, on admet que tout système mécanique peut, à partir d’une certaine échelle, se décomposer en points matériels, sans structure interne (on peut penser aux atomes mais ce n’est pas nécessaire) qui interagissent les avec sur les autres via des forces qu’il s’agit de modéliser.

La connaissance des lois qui régissent le mouvement d’un point matériel permet de décrire l’évolution de tout système matériel. La mécanique céleste, la mécanique des solides et la mécanique des fluides reposent sur cette approche réductionniste.

Nous verrons plus tard qu’il est possible, dans certaines conditions, d’assimiler un système macroscopique à un point matériel. Pour l’instant il suffit d’admettre qu’il existe une échelle à partir de laquelle ce réductionnisme est possible.

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement d’un système de points se construit en sommant les contributions de chaque point matériels. Ainsi, la quantité de mouvement d'un système mécanique \(\mathcal{S}\) formé de \(N\) points matériels M\(_{i,\,i\in \{1,\ldots,N\}}\) de masse \(m_{i,\, i\in \{1,\ldots,N\}}\) s'écrit \[ \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}=\sum_{i=1}^{N}m_{i} \overrightarrow{v}_{\!\rm{M}_{i}} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\textrm{OM}_{i}}}{\mathrm{d} t} \] Si maintenant nous définissons le centre d'inertie G comme étant le barycentre des masses inertes : \[ m\,\overrightarrow{\rm OG}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}\,\overrightarrow{\textrm{OM}_{i}} \qquad\text{avec}\qquad m=\sum_i m_{i} \] il vient alors, par dérivation : \[ m\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\rm OG}}{\mathrm{d} t}= \sum_{i=1}^{N}m_{i}\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\textrm{OM}_i}}{\mathrm{d} t} \]

Principe d’inertie

Le principe d’inertie est un des piliers de la mécanique newtonienne. C’est Galilée qui en eût l’intuition et Newton qui le formalisa dans ses Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. L’idée sous-jacente du principe d’inertie est l’homogénéité de l’espace : un corps isolé n’a aucune raison d’aller plus à droite qu’à gauche ni plus vers l’arrière que vers l’avant ; le mouvement naturel est le mouvement rectiligne uniforme.

Insistons sur le fait que ce principe définit la notion de référentiel galiléen. On montre dans le chapitre sur les référentiels non galiléens[1], que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même galiléen. C’est pourquoi, il suffit de trouver un référentiel galiléen pour en trouver une infinité. Cependant, le caractère galiléen étant lié à la validité du principe d’inertie, il est tributaire de la précision avec laquelle on procède à cette vérification. Ainsi, nous ne connaissons pas de référentiels absolument galiléens mais seulement des référentiels approximativement galiléens sur une certaine échelle de temps. Nous montrerons ultérieurement que le référentiel terrestre n’est pas galiléen mais que les manifestations de son caractère non galiléen sont, en première approximation, négligeables. Par conséquent, sauf avis contraire, le référentiel terrestre sera considéré galiléen.

Principe fondamental de la dynamique

Nous venons de voir que dans certains référentiels, si les actions exercées sur un point matériel M se compensent, sa quantité de mouvement se conserve. Ainsi, toute variation de quantité de mouvement est la signature d'une action non compensée de l'environnement que l'on modélise à l'aide du concept de vecteur force. La deuxième loi de Newton —dite aussi principe fondamental de la dynamique— postule simplement que l'action d'une force est de faire varier la quantité de mouvement de façon proportionnelle :

Détaillons certains aspects de ce postulat :

• Tout d'abord on voit ici que la masse \(m\) mesure l'inertie du point matériel dans le sens où plus sa masse est importante plus il sera difficile de modifier son vecteur vitesse. Par ailleurs, la mécanique newtonienne suppose l'invariance de la masse par changement de référentiel.
• La grandeur \(\overrightarrow{f}\) est un vecteur qui décrit l'action de l'environnement extérieur sur le point M. La force présente un point d'application (ici M), une direction, un sens et une intensité. Notez bien, que la seconde loi de Newton n'est pas une définition de la force mais bien un principe d'évolution qui dit comment la nature se comporte. C'est en associant ce postulat aux lois d'interaction que l'on peut prévoir les mouvements. De même que pour la masse, la force est invariante par changement de référentiel en mécanique classique.
• L'équation du mouvement est une équation vectorielle qui peut s'écrire comme trois équations différentielles de la forme \[ m\ddot x=f_x(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,t)\quad\;\quad m\ddot y=f_y(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,t)\quad\;\quad m\ddot z=f_z(x,y,z,\dot x,\dot y,\dot z,t) \] On peut montrer que, moyennant quelques hypothèses mathématiques peu restrictives, la solution existe et est unique à condition de connaître la position et la vitesse du point M à l'instant initial.

Dans le Système international d'unités, une force se mesure en newtons (symbole N) en hommage à Isaac Newton. L'analyse dimensionnelle de l'équation du mouvement permet de relier le newton aux autres unités de base du SI : \[ [f]=\mathrm{MLT^{-2}} \qquad\Longrightarrow\qquad 1\;\mathrm{N}=1\;\mathrm{kg.m.s^{-2}} \]

Conditions de validité — La seconde loi de Newton est valide tant que les vitesses envisagées sont petites devant \(c\simeq3,0.10^{8}\text{ m/s}\). Dans le cas contraire le problème relève de la Relativité Restreinte (Einstein 1905). Notez cependant que le principe d’inertie et le principe fondamental de la dynamique sont conservés en relativité restreinte à condition de redéfinir la quantité de mouvement.

Théorème du centre d’inertie

Newton ajoute enfin un troisième principe.

Ce principe permet d’établir le théorème du centre d’inertie. Considérons un système \(\mathcal{S}\) de \(N\) points matériels \(\textrm{M}_{i,\,i\in\{1,\ldots,N\}}\). Ce système est le siège d’actions extérieures \(\overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}}\) (pesanteur par exemple) et d’actions internes \(\overrightarrow{f_{ji}}\) du point M\(_{j}\) sur le point M\(_{i}\).

Lorsque l’on applique le PFD à chaque particule M\(_{i}\) on obtient, dans le référentiel d’étude supposé galiléen, \[ \frac{{\rm d}\overrightarrow{p_{i}}}{{\rm d}t}=\overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}}+\sum_{j\neq i}\overrightarrow{f_{ji}} \] Par ailleurs, en vertu du principe des actions réciproques, les forces internes se compensent deux à deux. Aussi, sommons toutes les équations du mouvement de chaque particule de façon à annuler les actions internes : \[ \sum_i\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p_{i}}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}}{\mathrm{d}t}=\sum_i \overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}} \] Et compte tenu de la relation (1), on obtient le théorème du centre d'inertie.

Le théorème du centre d'inertie signifie donc que le mouvement du centre d’inertie ne dépend que de la connaissance des actions extérieures au système. Cependant il ne signifie pas que l’on peut assimiler un système matériel à un point matériel (ici G affecté de la masse \(m\)) au sens où la résultante des forces extérieures peut ne pas dépendre exclusivement des coordonnées de G mais d’autres variables liées à la structure interne du système. Pour s’en convaincre il suffit de faire dévaler à un œuf une pente : suivant que l’œuf est cuit ou pas, on observera deux mouvements différentsDans cet exemple on peut montrer que la force de frottement solide dépend de la structure interne de l’œuf..

En revanche, si le système n’est pas trop grand par rapport aux corps avec lesquels il interagit et suffisamment éloigné d’eux, alors la résultante des forces ne dépend que de la position (et éventuellement de la vitesse) du centre d’inertie G. Par ailleurs, si le système est rigide et en translation (éventuellement associée à une rotation uniforme), alors la dynamique du corps ne dépend que des coordonnées du centre d’inertie. Dans ce cas, on peut assimiler le système à un point matériel de masse, la masse totale et de position celle du centre d’inertie. Par exemple, le mouvement orbital de la Terre peut être assimilé à celui d’une masse ponctuelle située en son centre liée par gravitation avec les autres astres (notamment le Soleil) de l’Univers. En effet, d’une part les distances qui séparent les astres sont très grandes devant le diamètre terrestre (environ 13 000 km) et d’autre part la Terre est une boule relativement rigide en rotation quasi uniforme. Il faut cependant avoir à l’esprit qu’il s’agit bien d’une idéalisation car si l’on y regarde d’un peu plus près, notre planète est constituée de parties déformables (un noyau liquide, des océans et une atmosphère) qui ont une influence sur la rotation propre de la Terre ainsi que sur son orbite. La Lune qui est l’astre le plus proche exerce une action légèrement différente sur les océans et sur le centre de la Terre de sorte que cela modifie le mouvement relatifDans un système planète-Lune, les mouvements de marée dissipent progressivement l’énergie ce qui engendre une circularisation des orbites ainsi qu’une synchronisation des rotations propres. Dans le cas de la Terre, la puissance dissipée est de l’ordre de 4 TW ce qui produit une augmentation de la durée du jour d’environ 2 ms par siècle et un éloignement de la Lune d’environ 4 cm par an. On voit donc, qu’à l’échelle de l’année ces phénomènes sont totalement négligeables. des différentes parties[3].

Interactions fondamentales

Généralités

Les quatre interactions fondamentales

Dans l’état actuel de nos connaissances, l’étude de la matière depuis l’échelle subatomique jusqu’à l’échelle cosmique permet de postuler l’existence de seulement quatre interactions fondamentales permettant d’expliquer tous les phénomènes de la Nature. Ces interactions se caractérisent par des intensités et des échelles d’action très différentes.

L’interaction gravitationnelle est l’interaction la plus faible dans la nature et paradoxalement la première décrite. Cette interaction est responsable de la pesanteur, des forces de marée et des phénomènes astrophysiques. Pendant plus de deux siècles, la description newtonienne a prédominé jusqu’au début du XX^e siècle où Albert Einstein interpréta la gravitation en termes géométriques, comme une déformation de l’espace-temps, nouveau concept issu de la théorie de la relativité restreinte inventée quelques années auparavant.

Du fait de l’électroneutralité de la matière macroscopique, l’interaction électromagnétique fut correctement modélisée plus tardivement puisqu’il a fallu attendre le début du XIX^e siècle et les travaux de Coulomb, Biot, Savart, Laplace, Ampère, etc. L’interaction électromagnétique est à l’origine de la plupart des phénomènes de notre quotidien : électricité, magnétisme, forces de contact, réactions chimiques, propagation de la lumière, transport de l’information, cohésion des atomes... Les travaux de Faraday sur l’induction magnétique ont permis de faire un pas décisif vers l’unification du magnétisme et de l’électricité. C’est James Clerk Maxwell qui, en 1864, réalise cette unification en proposant une nouvelle théorie dite théorie électromagnétique dont l’une des conséquences est l’existence d’ondes électromagnétiques. Il faudra attendre 1887, huit ans après la mort de J. C. Maxwell, pour que Hertz confirme cette prédiction. Après le succès de la mécanique quantique au début du XX^e siècle, on a cherché à décrire l’interaction électromagnétique en termes de champs quantiques. Cette entreprise, qui débuta par les travaux de Dirac (1928), aboutit à la naissance de l’électrodynamique quantique (Quantum Electrodynamics - Feynman et al.).

L’interaction forte, confinée à l’échelle subatomique, est à l’origine de la cohésion des noyaux atomiques, de la fusion et de la fission nucléaires. C’est Hideki Yukawa qui élabore la première théorie de l’interaction forte en 1935 mais il faudra attendre les années 1970 pour qu’une théorie plus fiable se fasse jour : la chromodynamique quantique, c’est son nom, décrit correctement l’interaction forte à condition de postuler l’existence de nouvelles particules appelées quarks, qui, entre 1967 et 1995, furent toutes découvertes.

L’interaction faible, malgré ses conséquences vitales pour l’espèce humaineSans l’interaction faible, le Soleil ne pourrait pas briller..., opère sur des échelles subnucléaires (10^-18 m) avec une intensité relativement faible. Elle est à l’origine de l’instabilité du neutron et explique notamment la radioactivité bêta.

Unification des théories

C’est Isaac Newton qui le premier unifia la mécanique céleste avec la mécanique terrestre en postulant l’existence d’une interaction attractive entre tous les corps matériels. Cette volonté de simplifier se poursuivit avec les travaux de Maxwell qui procéda à la seconde unification de la physique en inventant l’interaction électromagnétique. Depuis, l'unification de toutes les interactions résiste aux tentatives des physiciens. En effet, à l’heure actuelle, les quatre interactions fondamentales sont décrites séparément mais trois d’entre elles (les interactions faible, électromagnétique et forte) le sont en termes de champs quantiques dans un même formalisme mathématique : le modèle standard dont le succès s’est traduit récemment par la découverte du boson de Higgs en 2013 au CERN de Genève. La gravitation quant à elle s’explique très bien dans le cadre de la théorie de la Relativité Générale qui n’est pas une théorie quantique. De nombreux physiciens pensent que la quantification de la gravitation est la clé qui ouvrira les portes à une Physique Unifiée. L’avenir nous le dira...

Gravitation

La gravitation est une interaction attractive qui concerne toute la matière. Deux masses ponctuelles s’attirent proportionnellement au produit de leur masse et à l’inverse du carré de la distance qui les sépare. Formellement, la force \(\overrightarrow{f_{12}}\) qu’exerce une masse ponctuelle \(m_{1}\) sur une masse ponctuelle \(m_{2}\) s’écrit

La dépendance en \(1/r^2\) a été vérifiée expérimentalement sur une échelle allant de 100 µm jusqu’aux dimensions du système solaire. Dans le Système international d’unités, les masses, dites masses graves, s’expriment en kilogrammes comme la masse inerte en vertu du Principe d'Equivalence (Chap.3- Problèmes de chute) et la constante de gravitation universelle vaut \[\mathcal{G}\simeq 6,67.10^{-11}\;\mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}\]

Champ de gravitation

Lorsqu’on approche un point matériel M de masse \(m\) près d’un système matériel \(\mathcal{S}\) ce dernier exerce sur M une force de gravitation qui dépend de la répartition de la matière au sein de \(\mathcal{S}\). Si l’on décompose le système en un ensemble de \(N\) points matériels \(\textrm{P}_i \) de masse \(m_{i}\), et en supposant que la force de gravitation obéit au principe de superposition Le principe de superposition est une conséquence de la linéarité des équations qui régissent le champ de force. Si un système S₁ produit, seul, une force f₁ sur un point matériel et qu'un système S₂ produit une force f₂ sur ce même point, alors le principe de superposition stipule que les deux systèmes, agissant simultanément, produiront une force f₁+f₂. En toute rigueur, les équations de la relativité générale n’étant pas linéaires, la gravitation ne respecte pas le principe de superposition. Cependant, il s’agit d’une bonne approximation si les champs de gravitation sont faibles ce qui est le cas pour tous les corps du système solaire. on pourra écrire que le système \(\mathcal{S}\) exerce sur M une force \[\overrightarrow{F}=m\sum_{i=1}^{N}-\frac{\mathcal{G} m_{i}}{r_{i}^{2}}\overrightarrow{u_{i}}=m\overrightarrow{g}(\text{M})\] où \(\overrightarrow{u_i}\) est un vecteur unitaire orienté de P_i vers M. Par définition, \(\overrightarrow{g}(\text{M})\) désigne le champ de gravitation au point M.

Une des propriétés étonnantes des interactions en \(1/r^{2}\) est que lorsque la distribution de masse présente une symétrie sphériqueIl existe alors un centre O d’où la répartition de la matière est identique quelle que soit la direction dans laquelle on regarde., le champ de gravitation en M ne dépend que de la distance OM et de la masse contenue dans la sphère de rayon OM.

Sur Terre, la force de pesanteur \(\overrightarrow{P}\), ou poids, à l’origine de la chute des corps est essentiellement due à la force de gravitation terrestre (cf. [4] pour une étude détaillée de la pesanteur terrestre) et l’on peut écrire \[\overrightarrow{P}\simeq m \overrightarrow{g}\] Au voisinage du sol, \(\overrightarrow{g}\) est uniforme et a pour intensité \(g\simeq 9,8\;\mathrm{N.kg^{-1}}\). Tant que la dimension du corps reste faible devant le rayon terrestre, on montre que le poids s'applique au barycentre des masses et ne dépend que de la position du centre d'inertie. C'est pourquoi lorsque l'on étudie la chute des corps on assimile ces derniers à des points matériels.

Interaction électromagnétique

L’interaction électromagnétique possède deux aspects : la force électrique et la force magnétique. La force électrique entre deux particules électriquement chargées est soit attractive soit répulsive. L’état électrique des particules est caractérisé par leur charge électrique \(q\), scalaire positif ou négatif. Deux charges ponctuelles de même signe subissent des forces répulsives opposées et coaxiales en accord avec le principe des actions réciproques. Lorsque les deux charges électriques sont de signes opposés, les forces sont attractives :

En 1785, Charles-Augustin Coulomb met en évidence, à l’aide d’une balance de torsion qu’il a réalisée lui-même, la loi qui porte désormais son nom. La force électrique — dite aussi force coulombienne — entre deux charges ponctuelles immobiles dans le vide varie comme l’inverse du carré de la distance qui les sépare et dépend de leur quantité de charge :

Dans le Système international d’unités, les charges s’expriment en coulombs (symbole : C) et la constante \(K\) vaut \[K=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\simeq 9,0.10^{9}\;\mathrm{m.F^{-1}}\] où \(\varepsilon_{0}\) désigne la permittivité diélectrique du vide.

Considérons une distribution de charges ponctuelles \(q_{i,\, i\in\{1,\ldots,N\}}\) placées en \(\mathrm{P}_{i}\) et une charge test \(q\) placée en M. Cherchons à exprimer la force électrique qu’exerce cet ensemble de charges sur la charge test. D’après le principe de superpositionLes équations qui régissent les effets électromagnétiques étant linéaires, les forces électromagnétiques obéissent au principe de superposition. les forces qu’exercent chacune des charges \(q_{i}\) sur la charge \(q\) ont pour résultante : \[ \overrightarrow{F}=q\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{r_{i}^{2}} = q\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{\textrm{P}_{i}\textrm{M}}}{\textrm{P}_{i}\textrm{M}^3}=q\overrightarrow{E}(\rm M) \] où \(\overrightarrow{E}(\rm M)\) désigne le champ électrique créé en M par la distribution de charges. Notez que la force électrique et la force de gravitation sont mathématiquement analogues : la masse et le champ de gravitation sont à la force de gravitation ce que sont la charge et le champ électrique à la force électrique.

Mises en mouvement, ces charges font apparaître une composante supplémentaire dite force magnétique. Par exemple si l’on considère deux charges électriques \(q_{1}\) et \(q_{2}\) animées de vitesses respectives \(\overrightarrow{v_{1}}\) et \(\overrightarrow{v_{2}}\), la force électromagnétique que produit \(q_{1}\) sur \(q_{2}\) s’écrit sous la forme

Notez que la force magnétique \(q_{2}\overrightarrow{v_{2}}\wedge \overrightarrow{B_{1}}\) est toujours orthogonale à \(\overrightarrow{v_{2}}\) et de ce fait viole le principe des actions réciproques puisqu’elle n’est pas nécessairement portée par la droite qui joint les deux charges.

Les champs magnétiques sont produits à l’aide de courants électriques ou de matériaux aimantés et se mesurent en teslas (symbole : T) dans le Système international d’unités.

Les interactions nucléaires

Les interactions faible et forte ont la particularité d’être des interactions de très courte portée : elles agissent sur une distance caractéristique de l’ordre du fermi (1 fermi = 1 femtomètre = 10 ^-15 m). À cette échelle, la physique newtonienne n’opère plus et une description quantique est nécessaire. C’est pourquoi nous n’envisagerons que les interactions électromagnétique et gravitationnelle par la suite.

Interactions phénoménologiques

Lorsque deux corps entrent en contact, dans un premier temps, ce sont les atomes en surface qui interagissent via des interactions de courte portée de nature électromagnétique, lesquelles seront responsables de l’apparition, à l’échelle macroscopique, de ce que l’on appelle les forces de contact. Dans un deuxième temps, si ces actions de contact sont suffisamment importantes, elles peuvent avoir un effet au sein même du solide et perturber la cohésion du corps ce qui provoque une déformation macroscopique. Nous donnons ici quelques lois phénoménologiquesLoi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. Une loi phénoménologique n’est pas fondamentale. associées à ces actions, sans chercher à les justifier par des modèles atomiques.

Contact solide-solide

Le contact entre deux solides fait apparaître deux forces : une force \(\overrightarrow{N}\) normale au support et une force \(\overrightarrow{T}\) tangentielle au support, dite force de frottement solide qui s’oppose au glissement.

Amontons (1699) et Coulomb (1785) ont établi les lois comportementales du frottement solide que l’on peut résumer ainsi :

1. En l’absence de frottement, \(T=0\).
2. En présence de frottement on distingue deux cas de figure.
   1. Il y a adhérence et donc absence de glissement tant que \(T<\mu_{s}N\) où \(\mu_{s}\) désigne le coefficient de frottement statique.
   2. Lorsque la condition ci-dessus ne peut plus être respectée, il y a glissement avec frottement. La force de frottement est opposée à la vitesse de glissementLa vitesse de glissement est la vitesse d’un point M du solide au voisinage de la surface de contact par rapport au support. \(\overrightarrow{v_{g}}\) et \(T=\mu_{d}N\) où \(\mu_{d}\) désigne le coefficient de frottement dynamique. Les coefficients \(\mu_{s}\) et \(\mu_{d}\) sont assez proches et en général on a \(\mu_{s}>\mu_{d}\). Le Tableau suivant donne quelques valeurs de \(\mu_{s}\).

Contact fluide-solide

Considérons un obstacle solide plongé dans un fluide de masse volumique \(\rho_\text{f}\). Nous distinguerons deux cas suivant qu’il y a écoulement ou non autour du solide.

Le fluide est au repos

Lorsque le fluide est à l’équilibre dans le référentiel lié au solide, les seules forces à considérer sont des forces de pression. La poussée d’Archimède \(\overrightarrow{\Pi}\) désigne la résultante de ces forces dans le cas courant où le fluide est à l’équilibre dans le champ de pesanteur. On retiendra l’énoncé suivant.

Le fluide est en mouvement

Supposons un solide plongé dans un fluide en écoulement permanent de vitesse \(\overrightarrow{v}\) loin de l’obstacle. L’écoulement autour de l’obstacle fait apparaître, en plus de la poussée d’Archimède, des forces de friction, dites forces de viscosité dont la résultante se décompose en deux actions.

• La traînée \(\overrightarrow{F_{\rm t}}\) de même sens que \(\overrightarrow{v}\) et donc opposée à la vitesse relative du solide par rapport au fluide, est toujours présente dans un fluide visqueux ; cette force est responsable de la résistance au déplacement dans un fluide.
• La portance \(\overrightarrow{F_{\rm p}}\), perpendiculaire à la vitesse, est responsable du maintien en vol des avions (quand elle est opposée au poids) ou du maintien au sol de certains véhicules de course (elle est dans ce cas dirigée vers le sol).

Lorsque que l’obstacle présente un axe de symétrie de même direction que \(\overrightarrow{v}\), la portance disparaît. C’est pourquoi, un obstacle sphérique, quelque soit la direction dans laquelle il se déplace, ne subit pas de portanceUne portance apparaît cependant lorsque l’obstacle sphérique est en rotation sur lui-même : c’est l’effet Magnus..

Une analyse dimensionnelle montre que ces forces peuvent s’exprimer ainsi : \[\begin{array}{ccc} F_{\rm t} & = & \frac{1}{2}\rho_\text{f}\,S\,C_{x}\, v^{2}\\[3mm] F_{\rm p} & = & \frac{1}{2}\rho_\text{f}\,S\,C_{z}\, v^{2} \end{array}\] où \(C_{x}\) et \(C_{z}\) désignent les coefficients de traînée et de portance, \(\rho_\text{f}\) la masse volumique du fluide, \(v\) la vitesse d’écoulement et \(S\) une section droite de l’obstacle. Les coefficients \(C_{x}\) et \(C_{z}\) sont sans dimension et dépendent de façon complexe du régime d’écoulement. Pour simplifier, on retiendra les deux cas limites suivants.

• À grande vitesseEn mécanique des fluides, le régime d’écoulement est caractérisé par le nombre de Reynolds. Ce nombre sans dimension vaut R_e=ρ_f v d/η où d désigne une dimension caractéristique de l’obstacle et η la viscosité du fluide. On entend par “grande vitesse”, un régime d’écoulement à fort nombre de Reynolds (typiquement 100 000) et par “faible vitesse” un régime à faible nombre de Reynolds (< 1). ces coefficients sont quasi constants et les forces varient alors de façon quadratique avec la vitesse. On donne ci-dessous quelques valeurs de \(C_{x}\) à grande vitesse pour quelques obstacles.

  Obstacle	Sphère	Plaque	Voiture moyenne	Obstacle profilé
  \(C_{x}\)	0,41	1,2	0,35	~0,1

• À faible vitesse, les coefficients \(C_{x}\) et \(C_{z}\) varient comme l'inverse de la vitesse de sorte que les forces de friction varient proportionnellement à la vitesse. Dans le cas particulier d'un corps en mouvement lent suivant son axe de symétrie, la force de frottement fluide qu'il subit s'écrit \[F_{\rm t}=\alpha v \qquad\text{avec}\qquad \alpha=\mathrm{C^{te}}\]

Tension

Lorsque l'on tire sur un fil extensible (élastique) ou un ressort celui-ci s'allonge, dans un premier temps, proportionnellement à la force appliquée. On dit que le comportement est élastique. Ce comportement est caractéristique de la matière solide et est réversible. En revanche, lorsque la force dépasse une valeur seuil, le comportement n'est plus réversible ; on obtient alors un comportement plastique qui prévient en général la rupture.

Considérons le cas du ressort à spires non jointives : lorsque l'on étire légèrement un ressort d'une longueur \(\Delta \ell\), il produit sur l'agent qui le déforme une force, dite tension élastique, proportionnelle à \(\Delta \ell\) dans une direction opposée à l'étirement. De même si l'on comprime un peu le ressort d'une quantité \(\Delta \ell\), ce dernier produit une force identique mais dans la direction opposée. Formellement, en définissant le vecteur unitaire \(\overrightarrow{u_x}\) orienté de l'extrémité fixe vers l'extrémité mobile du ressort, cela donne  :

avec \(\ell_{0}\) la longueur au repos, \(\ell\) sa longueur et \(k\) la constante de raideur. La constante de raideur est une donnée phénoménologique qui mesure la résistance à l'allongement et qui s'exprime en \(\mathrm{N.m^{-1}}\). Notez que pour un élastique, la tension n'existe que si le fil est tendu, c'est-à-dire si \(\ell \geq \ell_{0}\). Par contre, un ressort peut être comprimé ou étiré de telle sorte que la loi (2) est valable quel que soit le signe de l'allongement \(x=\ell-\ell_{0}\).

Interrogeons-nous maintenant sur la façon dont la tension est transmise le long d'un fil tendu. Supposons que l'on tende un fil en appliquant à son extrémité une force de tension \(\overrightarrow{T_\text{a}}\), le fil étant éventuellement en contact avec un surface (gorge d'une poulie par exemple). Isolons par la pensée une portion de fil située entre \(s\) et \(s+\mathrm{d}s\) où \(s\) désigne l'abscisse curviligne le long du fil. Cette portion de masse \(\mathrm{d}m\) est soumise à quatre forces :

• une force de cohésion \(\overrightarrow{T}(s+\mathrm{d}s)\) due à la partie se trouvant à droite du système ;
• une force de cohésion \(\overrightarrow{T}(s)\) exercée de l'autre côté ;
• une force de contact \(\mathrm{d}\overrightarrow{f}\) ;
• et la pesanteur \(\mathrm{d}\overrightarrow{P}=\mathrm{d}m \overrightarrow{g}\).

Si l'on note \(\overrightarrow{a}(s)\) l'accélération au point de coordonnée \(s\), le principe fondamental de la dynamique impose \[\mathrm{d}m \overrightarrow{a}(s)= \overrightarrow{T}(s)+\overrightarrow{T}(s+\mathrm{d}s)+\mathrm{d}\overrightarrow{f}+\mathrm{d}m \overrightarrow{g}\] Ainsi cette relation associée aux lois sur le frottement et aux lois de l'élasticité permet d'étudier la dynamique du fil. On peut retenir un résultat particulièrement simple concernant les fils sans masse glissant sans frottement. En effet dans ce cas \[ T(s)=T(s+\mathrm{d}s)\qquad\Longrightarrow\qquad T(s)=\mathrm{C^{te}} \] La tension est donc uniforme le long du fil. Par continuité on déduit que \(T=T_{\rm a}\).