Cours de Mécanique classique

Lois de conservation

Position du problème

Il existe des situations dans lesquelles des corps matériels interagissent entre eux seulement lorsqu'ils sont très proches. Par ailleurs, il arrive souvent que cette interaction soit difficile à expliciter. Dans ce cas, le point de vue le plus simple consiste à dire que les particules subissent un choc : on suppose alors qu'ils n'interagissent pas avant ni après et que l'interaction se produit sur une durée très courte.

Définition

On dit qu'il y a collision ou choc entre deux ou plusieurs particules quand ces objets subissent une interaction mutuelle de courte durée et de courte portée. Le choc est localisé dans le temps et l'espace. En règle générale, les forces d'interaction sont négligeables quand les particules sont suffisamment éloignées. On peut donc distinguer un avant et un après la collision.

Grandeurs conservées

Malgré notre connaissance partielle du problème, on peut obtenir certaines informations grâce aux lois de conservation et/ou de symétrie. Désignons par \(\mathcal{S}\) le système mécanique formé par l'ensemble des particules. On considère ce système isolé de l'extérieur (\(\overrightarrow{F}{}^\text{ext}=\overrightarrow{0}\)). Enfin, l'analyse est effectuée dans un référentiel galiléen.

Conservation de la quantité de mouvement du système — D'après le théorème du centre d'inertie on a \[ \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{p}_{\mathcal{S}}}{\mathrm{d}t} = \overrightarrow{F}{}^\text{ext}=\overrightarrow{0} \] La quantité de mouvement du système se conserve donc : \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}^{\text{avant}}=\overrightarrow{p}_{\mathcal{S}}^{\text{après}} \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Conservation de l'énergie — Si les forces d'interaction dérivent d'une énergie potentielle d'interaction \(\mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}\), alors l'énergie totale du système s'écrit : \[ \mathcal{E}= \mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S}) + \mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}(\mathcal{S}) + \sum_{\text{particules}} U_{i} \] où \(\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})\) représente l'énergie cinétique macroscopique du système, \(\mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}(\mathcal{S})\) l'énergie d'interaction entre les particules et \(U_{i}\) l'énergie interne de chaque particule.

Le système étant isolé de l'extérieur, l'énergie totale se conserve. De plus, avant et après le choc, on considère que les particules n'interagissent pas entre elles. On peut donc écrire, si l'on note \(N_{1}\) le nombre de particules avant le choc et \(N_{2}\) celui après le choc :

Dans la suite on se limite aux collisions mobilisant seulement deux points matériels.

Collisions élastiques

Définition

On dit qu'il y a collision élastique lorsque le nombre de particules reste constant et que l'énergie interne de chaque particule reste inchangée avant et après le choc. En d'autres termes, les particules ne se déforment pas ni ne changent de nature. Les lois de conservation sont donc

Citons quelques exemples :

• collision entre boules de pétanque (boules dures indéformables) ;
• diffusion de Rutherford (diffusion d'un noyau \(_2^4\mathsf{He}^{2+}\) par un noyau positif).

Collision unidimensionnelle

Traitons l'exemple d'une collision frontale élastique entre deux corps assimilables à deux points matériels. Notons \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v_2}\) les vitesses avant le choc et \(\overrightarrow{v_1}'\), \(\overrightarrow{v_2}'\) les vitesses après le choc. On se place dans le cas où toutes les vitesses sont colinéaires. Le problème est donc à une dimension et présente deux inconnues (\({v_1}'\) et \({v_2}'\)). Ainsi, les deux lois de conservation devraient suffire à décrire complètement le système après le choc.

Écrivons les deux relations de conservation (conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique) \[ \left\{\begin{array}{ccc} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} &=& m_{1}{v_1}'+m_{2}{v_2}'\\[2mm] m_{1}{v_1}^2+m_{2}{v_2}^2 &=& m_{1}({v_1}')^2+m_2({v_2}')^2 \end{array}\right. \] où les vitesses \(v_i\) et \({v_i}'\) sont des vitesses algébriques. Cela donne \[ \left\{\begin{array}{lcr} m_{1}({v_1}'-v_1) &=& m_2(v_2-{v_2}')\\[2mm] m_{1}(({v_1}')^2-{v_1}^2) &=& m_2({v_2}^2-({v_2}')^2) \end{array}\right. \] En divisant la deuxième relation par la première on obtient \({v_1}'+v_{1}={v_2}'+v_{2}\), et, par substitution, on trouve les vitesses finales en fonction des vitesses initiales : \[\begin{array}{ccc} {v_1}' & = & \dfrac{2\,m_2v_2+(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}\\[3mm] {v_2}' & = & \dfrac{(m_2-m_1)v_2+2\,m_1v_1}{m_1+m_2} \end{array} \] Notez la symétrie de la solution ; il y a invariance par échange des indices \(1\leftrightarrow2\).

Intéressons-nous au cas où la cible est immobile. Dans ce cas, \(v_2=0\) d'où \[ \begin{array}{ccc} {v_{1}}' & = & \dfrac{(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}v_1\\[3mm] {v_2}' & = & \dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_1 \end{array} \] On note que si la cible est plus lourde que le projectile, ce dernier rebondit en changeant de sens \(({v_1}' < 0)\). Dans tous les cas, la vitesse du projectile diminue en valeur absolue. On peut vérifier que l'énergie cinétique perdue par le projectile vaut

Voyons maintenant quelques cas particuliers.

• Si le projectile est beaucoup plus léger que la cible \((m_{1}\ll m_{2})\) on a \[ v'_{1} \simeq -v_{1} \quad\text{et}\quad v'_{2} \simeq 0 \] Il y a rebond avec inversion du sens de la vitesse. Ayant une grande inertie, la cible ne bouge pas. C'est ce que l'on obtient lorsqu'on laisse tomber une boule indéformable par terre sur un sol parfaitement rigide.
• À l'inverse, si \(m_{1}\gg m_{2}\) on obtient \[ v'_{1} \simeq v_{1} \quad\text{et}\quad v'_{2} \simeq 2v_{1} \] c'est ce qui se passe quand on tape dans une balle avec une raquette par exemple.
• Si projectile et cible ont même masse, on obtient \[ v'_{1} = 0 \quad\text{et}\quad v'_{2} = v_{1} \] il y a échange des vitesses. C'est ce phénomène qui est à l'origine des oscillations du pendule de Newton par exemple.

Collision à 3 dimensions

Considérons la collision élastique entre un point matériel de masse \(m_1\) animé d'une vitesse \(\overrightarrow{v_1}\) et un point matériel de masse \(m_2\) initialement au repos.

Les lois de conservation donnent \[ \left\{\begin{array}{ccc} m_{1}\overrightarrow{v_{1}} &=& m_{1}{\overrightarrow{v_1}}'+m_{2}{\overrightarrow{v_2}}'\\[2mm] m_{1}{v_1}^2 &=& m_{1}{v_1}'^2+m_2{v_2}'^2 \end{array}\right. \] Ce système présente quatre équations scalaires pour six inconnues (\({\overrightarrow{v_1}}'\) et \({\overrightarrow{v_2}}'\)). Il reste donc deux paramètres indéterminés si on se limite aux lois de conservation. Par exemple, la première relation nous dit que le mouvement se fait dans un plan contenant \(\overrightarrow{v_1}\). Il nous suffit d'un paramètre (un angle par exemple) pour fixer ce plan. Ensuite si l'on connait la déviation entre les particules, alors les autres paramètres sont accessibles. Notez que seule une étude complète faisant intervenir l'interaction permet d'accéder à toutes les informations.

Cas où \(\boldsymbol{m_1=m_2}\) — Cette situation se rencontre par exemple au billard si l'on n'oublie les effets produits par la rotation de la bille. Le système d'équations précédent donne \[ \left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{v_{1}} &=& {\overrightarrow{v_1}}'+{\overrightarrow{v_2}}'\\[2mm] {v_1}^2 &=& {v_1}'^2+{v_2}'^2 \end{array}\right. \] Si on élève la première équation au carré, on trouve \({v_1}^2 = {v_1}'^2+{v_2}'^2+2{\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'\). En la soustrayant à la deuxième, on obtient \[ {\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'=0 \] Les deux vecteurs vitesses forment un angle droit. Autrement dit, on a \(\theta_1-\theta_2=\pi/2\).

Continuons en multipliant la première relation par \({\overrightarrow{v_1}}'\) : \[ {\overrightarrow{v_1}}'\cdot{\overrightarrow{v_1}} = {\overrightarrow{v_1}}'^2+{\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'={\overrightarrow{v_1}}'^2 \] soit \[ v_1 v_1'\cos\theta_1=v_1'^2 \quad\Longrightarrow\quad v_1'=v_1\cos\theta_1 \] De la même façon, en multipliant la première relation par \({\overrightarrow{v_2}}'\) on obtient \(v_2'=v_1\cos\theta_2\). En résumé on a \[ v_1' = v_1\cos\theta_1 \quad\text{et}\quad v_2'=v_1\cos\theta_2 \quad\text{et}\quad \theta_1-\theta_2=\pi/2 \] Par conséquent, si l'on connait \(\theta_1\) et \(v_1\) on peut calculer \(v_1'\), puis \(\theta_2\) et \(v_2'\).

Dans le cas du billard, l'angle \(\theta_1\) ne dépend que d'une grandeur : le paramètre d'impact \(b\). On montre que \[ \cos\theta_1=\frac{b}{2R} \] où \(R\) représente le rayon des billes. En visée pleine bille, \(b=0\) et \(\theta_2=0\). Dans ce cas, on obtient \(v_1'=0\) et \(v_2'=v_1\) : on retrouve la collision directe de deux masses identiques. En visée demi-bille, \(b=R/2\) d'où \(\theta_1=\) 60°, \(\theta_2=\) -30°, \(v_1'=v_1/2\) et \(v_2'=v_1\,\sqrt{3}/2\). Dans le cas où la bille frôle la cible (on parle de visée finesse) on a \(b\to 2R\), \(\theta_2\to \pi/2\) et \(v_2'\simeq 0\) : la cible est dévié de 90° par rapport à la ligne de visée avec une vitesse cependant faible.

Collisions inélastiques

Définition

On dit qu'une collision est inélastique lorsqu'une partie de l'énergie cinétique initiale du système s'est transformée en d'autres formes d'énergie. La collision s'accompagne alors d'une variation d'énergie interne et/ou d'une modification du nombre de particules, certaines pouvant être créées par fragmentation ou par équivalence masse-énergie. Les exemples sont nombreux :

• Lorsqu'on laisse tomber une boule en pâte à modeler, celle-ci ne rebondit pas : toute l'énergie cinétique acquise par la boule avant l'impact est convertie en énergie interne d'où une déformation et un échauffement du projectile.
• Les réactions chimiques sont en fait le résultat d'une ou plusieurs collisions inélastiques. Par exemple, le processus élémentaire bi-moléculaire A+B\(\longrightarrow\)C+D est un choc inélastique puisque les particules après la collision sont différentes des particules avant.
• Les réactions nucléaires (désintégration, fusion et fission) sont également des processus inélastiques. En général, ces réactions dégagent une énergie considérable.

Le caractère inélastique de la collision est mesurée par la quantité d'énergie \[ Q=\mathcal{E}_\text{c}(S)^{\text{après}}-\mathcal{E}_\text{c}(S)^{\text{avant}}= \left[\sum_{{i=1..N_{2}}}U_{i}\right]^{\textrm{avant}}-\left[\sum_{{i=1..N_{1}}}U_{i}\right]^{\text{après}} \] De l'énergie est libérée si \(Q>0\) et dissipée si \(Q<0\).

Choc mou

Supposons qu'une particule de masse \(m_1\) se déplaçant à la vitesse \(\overrightarrow{v}\), heurte une cible immobile de masse \(m_2\), puis qu'elle se lie à elle. On parle alors de choc mou. Après la collision, l'ensemble se déplace à la vitesse \(\overrightarrow{v}'\). Quelle est alors la perte d'énergie ?

Les lois de conservation s'écrivent \[ m_1 \overrightarrow{v}=(m_1+m_2)\overrightarrow{v}' \quad\text{et}\quad \frac12 m_1 v^2+Q=\frac12(m_1+m_2){v'}^2 \] Ainsi \(\overrightarrow{v}'\) est colinéaire à \(\overrightarrow{v}\) : le problème est unidimensionnel. On trouve \[ v'=\frac{m_1}{m_1+m_2}v \quad\text{et}\quad Q=-\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}v^2 \]

La proportion d'énergie dissipée vaut \[ \frac{|Q|}{\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})}=\frac{m_2}{m_1+m_2} \] Autrement dit, si \(m_2\gg m_1\), quasiment toute l'énergie cinétique du projectile est dissipée.

Coefficient de restitution

Laissons tomber une balle B sur une surface S rigide : on constate qu'elle rebondit mais la hauteur des rebonds ne cesse de décroître au cours du temps, ce qui traduit une dissipation d'énergie cinétique au moment de l'impact. En effet, lors de l'impact une partie de l'énergie cinétique s'est convertie en énergie interne (échauffement et déformation). L'analyse d'un rebond étant très complexe, on adopte une approche phénoménologique en définissant un coefficient de restitution pour exprimer cette perte. Ce coefficient, noté \(e\) vaut, par définition, \[ e\stackrel{\text{def}} = \frac{{v_{\text{B/S}}}^{\text{après}}}{{v_{\text{B/S}}}^{\text{avant}}} \] où avant et après désignent les moments juste avant le choc et juste après. Ce coefficient, généralement compris entre 0 et 1, dépend de la constitution des corps qui entrent en collision.

De manière générale, pour une collision inélastique directe, on définit le coefficient de restitution à partir du rapport des vitesses relatives : \[ e = \dfrac{v'_2-v'_1}{v_1-v_2} \]

Désintégration d'une particule au repos

Considérons un noyau X au repos qui se désintègre spontanément en deux noyaux X₁ et X₂ de masse \(m_1\) et \(m_2\). Appelons \(Q\) l'énergie libérée par la réaction nucléaire. Rappelons que dans ces réactions il existe une infime différence entre la masse \(m\) du noyau X et celle \(m_1+m_2\) des produits. Cette différence \(\Delta m=m-(m_1+m_2)\) est responsable, par équivalence énergie-masse, de l'énergie libérée \(Q=\Delta mc^2\).

Appliquons les lois de conservation : \[ Q=\mathcal{E}_\text{c1}+\mathcal{E}_\text{c2} \quad\text{et}\quad m_1 {\overrightarrow{v_1}}'+m_2 {\overrightarrow{v_2}}'=\overrightarrow{0} \] avec \(\mathcal{E}_\text{ci}\) l'énergie cinétique des noyaux fils. Comme \((m_1 {\overrightarrow{v_i}}')^2=2m_i\mathcal{E}_\text{ci}\), il vient \[ Q=\mathcal{E}_\text{c1}+\mathcal{E}_\text{c2} \quad\text{et}\quad m_1 \mathcal{E}_\text{c1}=m_2\mathcal{E}_\text{c2} \] Finalement, on trouve

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{c1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}Q \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_\text{c2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}Q \end{equation} Ainsi, la particule la plus légère emporte la quasi-totalité de l'énergie de réaction.