La cinématique étudie le mouvement du point indépendamment des causes qui lui donnent naissance. Elle repose sur une description euclidienne de l’espace et d’un temps absolu. Dans ce cours, on illustre les notions de vitesse et d'accélération en se limitant aux mouvements dans le plan.
Temps et Espace
Le temps
Nous sommes tous familiers avec cette machine
qui réactualise constamment le présent, qu'on appelle le temps et que l'on réduit souvent à ces quelques attributs : chronologie, durée, flèche du temps... Pourtant, les philosophes le savent bien, la question du temps est difficile et toute tentative de définition mène au mieux à des métaphores[1].
Quelques métaphores du temps
Le temps est l’image mobile de l’éternité immobile. (Platon)
Le temps, c’est ce qui passe quand rien ne se passe. (Giono)
Le temps est un fleuve fait d’événements. (Marc Aurèle)
Cela explique sans doute pourquoi l’introduction du temps en physique n’allait pas de soi. En effet, il a fallu attendre le XVIIe siècle avant que le temps devienne un concept fondamental en physique. On s’accorde en général sur le fait que la physique moderne est née suite à l’introduction du temps mathématique par Galilée lors de ses travaux sur la chute . La course du temps est en général représentée par un axe orienté qui indique le futur. Cet axe est linéaire et non circulaire pour respecter un principe fondamental de physique qui, jusqu’ici, n’a jamais été infirmé : le Principe de Causalité.
Principe de Causalité
La cause est, pour tout observateur, antérieure à l’effet qu’elle produit. De manière plus générale, la chronologie de deux événements reliés causalement est toujours la même, quel que soit l’observateur.
Autrement dit, : il n’est pas permis de remonter son passé. Enfin, cette course du temps produit de la durée, grandeur qui mesure l’éloignement dans le temps de deux événements. Si la date \(t_{A}\) repère l’événement A et \(t_{B}\) l’événement B, la durée \[\Delta t=t_{B}-t_{A}\] est indépendante de l’observateur et du choix arbitraire de l’origine des temps. La mesure des durées s'effectue grâce à une horloge et nécessite la définition d'une unité de temps : la seconde du Système international.
L’étalon seconde
La seconde est aujourd’hui réalisée avec une exactitude relative de 10-14, à l’aide d’une horloge atomique, matérialisant la période de transition dans l’atome de césium :
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondante à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’atome 133Cs.
Remarque
Initialement la seconde était définie à partir du jour solaire moyen J par la relation J = 86 400 s. Aujourd’hui, avec la définition de l’étalon seconde, on a J = 86 400,003 s.
Cependant, il ne faut pas s’y tromper, même si la mécanique newtonienne avec son temps absolu a remporté un succès durant près de deux siècles, la question du temps refit surface avec la théorie de la relativité restreinte (Einstein 1905) dans laquelle la durée, la simultanéité et la chronologie deviennent des grandeurs relatives à chaque observateur : le temps absolu disparaît. Aujourd’hui, certains théoriciens pensent qu’il faut examiner à nouveau la question du temps physique et que le prix à payer pour aboutir à une théorie enfin unifiée de la Physique sera peut-être l’abandon du temps comme concept fondamental. Le temps pourrait n’être qu’une illusion, une propriété émergente. L’introduction du temps annonça la naissance de la physique moderne, sa disparition annoncera peut-être sa maturité...
L’espace
L’expérience montre que le mouvement possède un caractère relatif. En d’autres termes, on ne peut pas dire qu’un corps est “en mouvement” (ou “au repos”) sans préciser par rapport à quoi. Pour décrire le mouvement il est donc nécessaire de préciser un système d’axes qui nous permette de repérer la position d’un point : c’est le repère d’espace constitué de trois axes orientés munis d’une origine arbitraire et d’une échelle spatiale permettant de faire des mesures de longueur. Dans le cadre de la mécanique newtonienne, l’espace est supposé à trois dimensions, euclidien (obéissant à la géométrie d’Euclide), homogène et isotrope. Cet espace est absolu et ses propriétés sont indépendantes de la matière qui s’y trouve. Armés des lois de la géométrie euclidienne, nous pouvons alors mesurer la distance entre deux points ainsi que l’orientation de n’importe quel axe à condition de définir une unité de longueur : le mètre du Système international.
L’étalon mètre
Le mètre a connu en deux siècles quatre définitions successives : d’abord lié à un système supposé invariable, la longueur du méridien terrestre (1795), le mètre devient en 1889 associé à un bloc particulier en platine iridié; les progrès de la spectroscopie et de la physique quantique conduisent à retenir en 1960 un multiple de la longueur d’onde d’une radiation émise lors d’une transition électronique dans l’atome de krypton. Enfin, depuis 1983 le mètre est défini à partir du phénomène de propagation de la lumière dans le vide. La distance parcourue par la lumière dans le vide pendant 1 seconde vaut, par définition du mètre, \[L = 299\,792\,458\;\mathrm{m}\] L’étalon mètre est donc relié à l’étalon seconde.
Remarque
Initialement, le mètre était défini à partir de la longueur du méridien terrestre : \(L = 40\,000\;\mathrm{km}\). Aujourd’hui, avec l’étalon mètre actuel (lié à l’étalon seconde) \(L = 40\,008, 08\;\mathrm{km}\) ; la différence est donc imperceptible pour les utilisateurs courants.
Pour décrire le mouvement d’un corps matériel il est nécessaire de préciser par rapport à quel repère d’espace on fait les mesures de distance et par rapport à quelle horloge on mesure le temps. Le repère d’espace associé à un repère temporel forme un référentiel. En général, on précise uniquement le repère d’espace puisque le temps newtonien est absolu. Insistons sur le fait que parler d’un mouvement sans définir le référentiel n’a aucun sens!
Remarque
La théorie de la Relativité Générale inventée par A. Einstein en 1915 est une théorie relativiste de la gravitation. Cette théorie remet en cause l’idée d’un espace euclidien inerte et indépendant de son contenu matériel. Par exemple, au voisinage de la Terre, les lois d’Euclide ne sont pas rigoureusement vérifiées ; on observe des écarts relatifs de l’ordre de 10-9[2].
Repérage d’un point
Considérons un point M décrivant une trajectoire au cours de son mouvement par rapport à un référentiel \(\mathcal{R}\). L’équation horaire est l’équation qui permet de repérer le point M à chaque instant \(t\) dans le référentiel \(\mathcal{R}\). Par souci de simplicité on se limitera aux mouvements dans le plan sachant que la généralisation à trois dimensions ne pose pas de difficulté particulière.
Vecteur position
Par définition, le vecteur position est le vecteur \(\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{\text{OM}}(t)\).
Si l'on munit le plan d'un repère d'origine O (fixe dans le référentiel \(\mathcal{R}\)) et de deux directions indépendantes définies par la base \((\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\), on peut toujours exprimer le vecteur position en fonction de ces deux vecteurs de base : \[ \overrightarrow{r}(t)=c_1(t)\overrightarrow{u_1}+c_2(t)\overrightarrow{u_2} \] On obtient alors l'équation horaire exprimée dans la base \((\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\) ; les coefficients \(c_1\) et \(c_2\) désignent les coordonnées de M dans cette base. Il est pratique d'utiliser une base orthonormée c'est-à-dire un ensemble de vecteurs tel que \[ \overrightarrow{u_i}\cdot \overrightarrow{u_j}= \left\{\begin{array}{rl} 0 &\text{si }i\neq j \\ 1 &\text{sinon} \end{array}\right. \] De sorte que la coordonnée \(c_i\) s'obtient simplement à l'aide d'un produit scalaire \[ c_i=\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{u_i} \] La base cartésienne \((\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y})\) fait partie de cette classe avec pour particularité que les vecteurs unitaires sont fixes dans \(\mathcal{R}\). Il est alors traditionnel de noter \(x\) et \(y\) les coordonnées de M.
Exemple
Considérons un point M décrivant un mouvement plan muni d'un repère \((\text{O};\,\overrightarrow{u_{x}},\,\overrightarrow{u_{y}})\) d'équation paramétrique cartésienne : \[ \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad\omega=\mathrm{C^{te}} \] M décrit une courbe fermée de façon périodique puisque \[x(0)=x(2\,k\pi/\omega)\quad\text{et}\quad y(0)=y(2\,k\pi/\omega) \quad\text{avec}\quad k\in \mathbb{Z}\] Par ailleurs, \(\text{OM}^2=x^{2}+y^{2}=R^{2}\) pour tout \(t\). M décrit donc un cercle de centre O, de rayon \(R\), à la fréquence \[\nu=\frac{\omega}{2\pi}\]
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Abscisse curviligne
Supposons que l’on connaisse la courbe sur laquelle se déplace le point M. Dans ce cas, la connaissance de la distance à laquelle se trouve M d’un point particulier de la courbe suffit à repérer ce point. Pour cela, on commence par orienter la courbe, c’est-à-dire que l’on définit arbitrairement un sens positif. Ensuite, on choisit un point particulier sur la courbe que nous noterons \(\text{M}_{0}\). Enfin, on définit la distance curviligne \(s(t)\) comme étant la mesure algébrique de la distance d’arc \(\overset{\displaystyle\frown}{\mathrm{M_{0}M}}(t)\) le long de la trajectoire. Munis de \(\text{M}_{0}\), de la courbe et de \(s(t)\), nous sommes capables de repérer le point M à chaque instant \(t\).
Exemple
Reprenons le cas précédent d'un point M décrivant une trajectoire d'équation paramétrique cartésienne : \[ \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} \] Nous avons vu que le point M décrit un cercle. Si l'on fixe une origine en M\(_{0}=(R,0)\), alors l'abscisse curviligne est liée à l'angle \(\theta(t)=\omega t\) : \[ s(t)=R\theta(t)=R\omega t \] La distance algébrique parcourue croît linéairement avec le temps. On dit que le mouvement est uniforme.
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Vitesse d’un point
Définition
La vitesse est une grandeur qui mesure l'évolution de la position par rapport au temps. Par ailleurs, cette grandeur est vectorielle car le mouvement d'un point se caractérise par une direction et un sens, attributs des vecteurs d'espace. Si l'on note M, la position d'un point à l'instant \(t\) et M' sa position à l'instant \(t+\Delta t\), alors on peut définir un vecteur vitesse correspondant au trajet MM': \[ \overrightarrow{v}_{\rm MM'}=\frac{\overrightarrow{\text{MM'}}}{\Delta t} \] Cette grandeur désigne le vecteur vitesse moyenne entre deux instants. Cependant, cette quantité possède l'inconvénient de ne pas donner d'information sur le mouvement entre \(t\) et \(t+\Delta t\). C'est pourquoi on fait tendre la durée \(\Delta t\) vers 0 pour définir le vecteur vitesse instantanée du point M.
Définition
On appelle vecteur vitesse instantanée du point M par rapport au référentiel \(\mathcal{R}\) le vecteur \[ \overrightarrow{v}_{\rm M}\stackrel{\text{def}}= \lim_{\Delta t\to 0}\overrightarrow{v}_{\rm MM'} = \lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\overrightarrow{\text{OM}}(t+\Delta t) - \overrightarrow{\text{OM}}(t)}{\Delta t} = \dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{\text{OM}}}{\mathrm{d} t} \] Le vecteur vitesse est donc la dérivée du vecteur position. Il en résulte que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire. La norme du vecteur vitesse, que nous appellerons vitesse, se mesure en \(\mathrm{m.s^{-1}}\).
Insistons sur le fait que la vitesse est une notion relative à un référentiel d’observation. Une fois le référentiel choisi, la vitesse d’un point ne prend qu’une valeur à un instant \(t\). Cependant il existe différentes façons d’exprimer le vecteur vitesse puisque l’on peut choisir différentes bases de projection. Dans tous les cas, la vitesse scalaire ne dépend pas de la base choisie. Le choix de la base est en général guidé par la symétrie du problème.
Remarques
- Il est des situations où il importe de préciser le point en mouvement et le référentiel d'étude. On adopte alors la notation \(\overrightarrow{v}_{\!\text{M}/\mathcal{R}}\) pour désigner le vecteur vitesse du point M par rapport au référentiel \(\mathcal{R}\).
- De façon générale, la vitesse \(\left\Vert \overrightarrow{v}_{\rm M}\right\Vert =\left\Vert \mathrm{d} \overrightarrow{\text{OM}}/\mathrm{d} t\right\Vert \neq \mathrm{d}\text{OM}/\mathrm{d} t\). Par exemple, un point M en mouvement circulaire de centre O garde une distance OM constante alors que sa vitesse est non nulle.
Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
Considérons un point M en mouvement dans un plan muni d’un repère cartésien d’origine O et de base orthonormée (\(\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{u_y}\)). Les vecteurs unitaires de la base cartésienne sont fixes par rapport au référentiel d’étude \(\mathcal{R}\).
Le vecteur position s’écrit \[\overrightarrow{\text{OM}}=x\,\overrightarrow{u_x}+y\,\overrightarrow{u_y}\] où \(x\) et \(y\) sont les coordonnées du point M en mouvement dans le référentiel \(\mathcal{R}\). Le vecteur vitesse du point M s’obtient en dérivant son vecteur position par rapport au temps : \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{u_x} + x\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_x}}{\mathrm{d} t} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}\,\overrightarrow{u_y} +y\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_y}}{\mathrm{d} t}\] Les vecteurs unitaires étant fixes dans \(\mathcal{R}\), on \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_x}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_y}}{\mathrm{d} t}=\overrightarrow{0}\). Finalement, les composantes de la vitesse sont simplement les dérivées temporelles des coordonnées de M. Si l’on note \(\dot{x}=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d} t}\) et \(\dot{y}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d} t}\) on a
Vitesse en coordonnées cartésiennes
\begin{equation} \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left|\begin{array}{c} \dot{x}=v_{x}\\ \dot{y}=v_{y} \end{array}\right. \end{equation}
Exemple
Considérons le mouvement plan d'équation paramétrique cartésienne : \[\text{M}\left\{ \begin{array}{ccc} x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} \] On a déjà vu que la trajectoire est un cercle de centre O et de rayon \(R\). Le vecteur vitesse s'écrit \[ \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left(\begin{array}{rcl} \dot x & = & -R \omega \sin(\omega t) \\ \dot y &=&R\omega\cos(\omega t) \end{array} \right) \] On constate que le mouvement s'effectue à vitesse constante puisque \[ v_{\rm M}=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=R\omega \] Il s'agit donc d'un mouvement circulaire uniforme.
Expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires
Dans le plan on peut aussi repérer un point à l’aide d’une distance et d’un angle orienté. Dans le système polaire on définit \[r=\text{OM}\qquad\text{et}\qquad \theta=\widehat{\overrightarrow{u_x},\overrightarrow{r}}\] On associe à ces coordonnées deux vecteurs unitaires \(\overrightarrow{u_r}\) et \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). Ces deux vecteurs forment une base orthonormée.
Ainsi le vecteur position s’écrit dans la base polaire \[\overrightarrow{r}=r\,\overrightarrow{u_r} \qquad\Longrightarrow\qquad \overrightarrow{v}_{\!\rm M}= \dot{r}\,\overrightarrow{u_r}+r\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\mathrm{d}t} \] La base cartésienne étant fixe dans \(\mathcal{R}\), la base polaire ne l’est donc pas. Or la direction \(\overrightarrow{u_r}\) dépend du temps par l’intermédiaire de l’angle \(\theta(t)\). Par conséquent, on a \[\frac{\textrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\textrm{d}t} = \frac{\textrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\textrm{d}\theta}\times\frac{\textrm{d}\theta}{\textrm{d}t} \] La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à l’angle qui définit sa direction s’obtient en utilisant la règle suivante :
À savoir
La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à l’angle qui définit sa direction, est le vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire.
Lorsque l’on effectue une rotation dans le sens direct de \(\pi/2\) du vecteur \(\overrightarrow{u_r}\), on obtient \(\overrightarrow{u_\theta}\). Ainsi
Exemple
Reprenons le mouvement circulaire d'équation paramétrique cartésienne \[ \text{M}\left\{ \begin{array}{ccc} x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} \] Si l'on décrit ce mouvement à l'aide des coordonnées polaires on obtient \[ \text{M}\left\{ \begin{array}{ccc} r(t) & = & R\\ \theta(t) & = & \omega t\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad \omega=\mathrm{C^{te}} \] L'application de la formule (2) donne \[ \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left|\begin{array}{rcl} v_{r} &=& \dot r=0\\ v_{\theta} &=&r\dot{\theta}=R\omega \end{array}\right. \] D'une part, le vecteur vitesse est bien tangent au cercle puisque selon \(\overrightarrow{u_{\theta}}\). On retrouve d'autre part le fait que la vitesse est constante et égale à \(v=R\omega\).
Expression du vecteur vitesse dans la base de Frenet
Le repère de a pour origine le point M(\(t\)) et pour base orthonormée (\(\overrightarrow{t},\,\overrightarrow{n}\)). Cette base mobile est construite de la façon suivante :
- on définit arbitrairement, un sens positif le long de la trajectoire ;
- le vecteur unitaire \(\overrightarrow{t}\), dit vecteur tangent est, comme son nom l’indique, tangent à la trajectoire et orienté dans le sens positif ;
- le vecteur unitaire \(\overrightarrow{n}\), dit vecteur normal, est quant à lui perpendiculaire à \(\overrightarrow{t}\) et orienté vers le centre du cercle localement tangent à la trajectoire dit (voir la simulation ci-dessous).
Simulation
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Le repère de Frenet. À chaque instant, le vecteur \(\overrightarrow{n}\) pointe en direction du centre de du cercle osculateur.
Sélectionner dans le menu déroulant la trajectoire de votre choix.
M est la position du point matériel à l’instant \(t\) et M’ celle pour l’instant \(t+\Delta t\). Quand \(\Delta t\to 0\) la corde qui relie les points M et M’ tend vers la longueur d’arc \(\overset{\displaystyle\frown}{\rm MM}{}'\) de sorte que \[ \overrightarrow{v}_{\rm M} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{\rm MM'}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overline{\rm MM'}}{\Delta t} \overrightarrow{t} = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t} \] On retiendra que la donnée de l’abscisse curviligne \(s(t)\) ainsi que la trajectoire permettent de connaître la position du point M, la direction du vecteur tangent ainsi que le vecteur vitesse via
Vitesse dans la base de Frenet
\begin{equation} \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}\overrightarrow{t} \end{equation}
Exemple
Reprenons le mouvement circulaire qui nous sert de fil rouge pour ce chapitre. On peut le décrire à l'aide de l'équation horaire \[ s(t)=R\omega\,t \qquad\Longrightarrow\qquad \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t} = R\omega\,\overrightarrow{t} \]
Supposons que le mouvement soit toujours dans le même sens et que l'on oriente la trajectoire dans le sens du mouvement. Dans ce cas \(s(t)\) s'interprète comme la distance parcourue à partir de l'origine \(\text{M}_{0}\). Cette grandeur s'obtient par intégration de la vitesse : \[ v=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\qquad\Longrightarrow\qquad s(t)-s(0)=\int_0^t v(t')\, \mathrm{d}t' \] Notez que si la vitesse est constante, on dit que le mouvement est uniforme et l'on a \(s(t)=vt+s(0)\).
La distance parcourue \(d_{12}\) entre les instants \(t_1\) et \(t_2>t_1\) s'écrit \[ d_{12}=s(t_2)-s(t_1)=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\, \mathrm{d}t \] Relation qui reste valable si le mouvement change de sens.
À savoir
La distance parcourue \(d_{12}\) entre les instants \(t_1\) et \(t_2>t_1\) s'interprète comme l'aire sous la courbe donnant la vitesse au cours du temps, entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) : \[ d_{12}=\int_{t_1}^{t_2} \left\Vert\overrightarrow{v}\right\Vert\, \mathrm{d}t \]
Accélération d’un point
Vecteur accélération
Le vecteur accélération est une grandeur d’évolution qui mesure la variation du vecteur vitesse, en norme et en direction.
Définition
On appelle vecteur accélération instantanée du point M par rapport au référentiel \(\mathcal{R}\) le vecteur \[ \overrightarrow{a}_{\!\rm M} \stackrel{\text{def}}= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{v}_{\!\rm M}(t+\Delta t)-\overrightarrow{v}_{\!\rm M}(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}_{\!\rm M}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} ^{2}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^{2}} \] La norme du vecteur accélération, que nous appellerons accélération et que nous noterons \(a\), se mesure en \(\mathrm{m.s^{-2}}\).
Notez qu’un mouvement rectiligne uniforme se caractérise par un vecteur accélération nul puisque le vecteur vitesse garde une norme et une direction constantes. Autrement dit, le vecteur accélération peut être vu comme une mesure d’un écart au mouvement rectiligne uniforme.
L'expression du vecteur accélération s'obtient donc en dérivant le vecteur vitesse. Donnons son expression dans différents systèmes de coordonnées.
Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes
Les vecteurs unitaires étant fixes par rapport au référentiel d’étude, il suffit de dériver les composantes de la vitesse (on note \(\ddot{x}=\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\) etc.)
Accélération en coordonnées cartésiennes
\[ \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\left|\begin{array}{c} \dot{x}=v_{x}\\ \dot{y}=v_{y}\\ \end{array}\right. \qquad\Longrightarrow\qquad \overrightarrow{a}_{\!\rm M}=\left|\begin{array}{c} \ddot{x}=a_{x}\\ \ddot{y}=a_{y}\\ \end{array}\right. \]Exercice
Un point M décrit le mouvement plan d'équation paramétrique cartésienne : \[ \text{M}\left\{\begin{array}{ccc} x(t) & = & R\cos(\omega t)\\ y(t) & = & R\sin(\omega t)\end{array}\right. \qquad\text{avec}\qquad\omega=\mathrm{C^{te}} \] Montrer que l'accélération est toujours dirigée vers le même point que l'on identifiera.
Le vecteur accélération s'écrit \[\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{ccc} \ddot x&=&-R\omega^{2}\cos(\omega t)\\ \ddot y &=&-R\omega^{2}\sin(\omega t) \end{array}\right)= -\omega^{2}\,\overrightarrow{\rm OM}\] Il est donc centripète, c'est-à-dire dirigé vers le centre O du cercle.
Expression du vecteur accélération en coordonnées polaires
Nous avons montré que la vitesse d’un point M repéré par ses coordonnées polaires s’écrit \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\dot{r}\,\overrightarrow{u_r}+ r\dot{\theta}\,\overrightarrow{u_{\theta}}\] Pour obtenir l’accélération il faut dériver à nouveau par rapport au temps : \[\overrightarrow{a}_{\!\rm M} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}_{\!\rm M}}{\mathrm{d}t} = \ddot{r}\, \overrightarrow{u_r} +\dot{r}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\mathrm{d}t} + \dot{r}\dot{\theta}\, \overrightarrow{u_{\theta}}+ r\ddot{\theta}\,\overrightarrow{u_{\theta}} + r\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_{\theta}}}{\mathrm{d}t} \] On a déjà vu que \[\frac{\textrm{d}\overrightarrow{u_r}}{\textrm{d}t}=\dot{\theta}\,\overrightarrow{u_\theta}\] Si l’on applique à cette relation, la transformation \(\theta \mapsto \theta+\pi/2\) on obtient \[\overrightarrow{u_r}\mapsto \overrightarrow{u_{\theta}} \qquad \overrightarrow{u_{\theta}}\mapsto -\overrightarrow{u_r} \qquad\text{et}\qquad \frac{\textrm{d}\overrightarrow{u_{\theta}}}{\textrm{d}t}=-\dot \theta \overrightarrow{u_r}\] Finalement l’accélération s’écrit
Exercice
Un point M décrit un mouvement circulaire d'équation polaire \(r(t)=R\) et \(\theta=\omega t\) avec \(\omega=\mathrm{C^{te}}\). Montrer que l'accélération vaut \(v^2/R\).
Les formules (2) et (4) donnent \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M} = \left|\begin{array}{rcl} \dot{r} &=& 0\\ r\dot{\theta} &=& R\omega \end{array}\right. \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{a}_{\!\rm M}= \left|\begin{array}{rcc} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2 &=& -R\omega^2\\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta} &=& 0 \end{array}\right.\] soit \(v=R\omega\) et \(a=R\omega^2\). On en déduit que \(a=v^2/R\).
Remarque
De la même manière que les composantes du vecteur vitesse ne sont pas obtenues en dérivant les composantes du vecteur position, les composantes du vecteur accélération ne sont pas non plus obtenues en dérivant simplement les composantes du vecteur vitesse.
Expression du vecteur accélération dans la base de Frenet
Il est intéressant de montrer que l’accélération présente deux aspects : c’est non seulement une mesure du caractère non uniforme de la trajectoire mais aussi de son caractère non rectiligne. La formule de Frenet résume parfaitement cette idée.
Partons de l’expression (3) et dérivons-la par rapport au temps : \[ \overrightarrow{a}_{\!\text{M}}=\frac{\text{d}^{2}s}{\text{d}t^{2}}\overrightarrow{t} + \frac{\text{d}s}{\text{d}t}\frac{\text{d}\overrightarrow{t}}{\text{d}t} \] Or, le vecteur unitaire \(\overrightarrow{t}\) change de direction au cours du temps puisqu’il est lié au mouvement de M. Par définition du rayon de courbure local \(R\) on a \[ \frac{\text{d}\overrightarrow{t}}{\text{d}t}=\frac{v_{t}}{R}\overrightarrow{n} \qquad\text{avec}\qquad v_t=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \]
En substituant dans l’expression de l’accélération, on trouve les formules de Frenet :
Formules de Frenet
\[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{v}_{\!\rm M} &=& v_t\,\overrightarrow{t}\\[3mm] \overrightarrow{a}_{\!\rm M} &=& a_t\,\overrightarrow{t}+a_n\,\overrightarrow{n} \end{array} \qquad\text{avec}\qquad \left\|\begin{array}{rcl} v_t &=& \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \\[3mm] a_t &=& \dfrac{\mathrm{d}v_t}{\mathrm{d}t} \\[3mm] a_n &=& \dfrac{{v_t}^{2}}{R} \end{array}\right. \]Le vecteur accélération possède donc deux composantes :
- une composante tangentielle liée au caractère non uniforme de la trajectoire ;
- une composante normale liée à la courbure de la trajectoire. Notez que le rayon de courbure au point M varie, a priori, au cours du temps.
À partir des formules de Frenet, nous constatons que le produit scalaire \(\overrightarrow{v}_{\!\rm M}\cdot\overrightarrow{a}_{\!\rm M}\) s’écrit \[ \overrightarrow{v}_{\!\rm M}\cdot\overrightarrow{a}_{\!\rm M} = v_t\frac{\textrm{d}v_t}{\textrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\textrm{d}{v_t}^{2}}{\textrm{d}t} \] Ainsi, le signe de ce produit scalaire nous renseigne sur le caractère ralenti (\(|v_t|\) diminue au cours du temps) ou accéléré (\(|v_t|\) augmente) du mouvement. On retiendra la règle suivante :
Soit \(P\) le produit scalaire \(\overrightarrow{v}_{\!\rm M}\cdot\overrightarrow{a}_{\!\rm M}\).
- si \(P>0\), le mouvement est accéléré ;
- si \(P<0\), le mouvement est freiné ;
- si \(P=0\), le mouvement est uniforme.
Quelques mouvements simples
Le mouvement rectiligne
Considérons un point M en mouvement sur une droite orientée et appelons \(s(t)=\overset{\displaystyle\frown}{\text{OM}}(t)\) l’abscisse curviligne algébrique par rapport à un point O de la droite.
Le trajet étant rectiligne, la courbure \(1/R\) est nulle. On a, d’après les formules de Frenet \[\overrightarrow{v}_{\!\rm M} = \dfrac{\textrm{d}s}{\textrm{d}t}\overrightarrow{t} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{a}_{\!\rm M} = \dfrac{\textrm{d}^{2}s}{\textrm{d}t^{2}}\overrightarrow{t}\] Les vecteurs vitesse et accélération sont dirigés suivant la trajectoire.
Le mouvement rectiligne uniforme
On dit que le mouvement est rectiligne uniforme lorsque le vecteur vitesse est uniforme. Dans ce cas, l’accélération est nulle et l’équation horaire s’écrit \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle s(t)=v_t\,t+s_{0} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]
Entre deux instants, le trajet augmente proportionnellement à la durée : \(\Delta s=v_t\Delta t\).
Le mouvement rectiligne uniformément accéléré
Il s’agit d’un mouvement rectiligne pour lequel l’accélération est constante. Dans ce cas, en intégrant deux fois l'accélération, on obtient \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle s(t)=\frac{1}{2}a_t\,t^{2}+v_{0}\,t+s_{0} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] où \(v_{0}\) et \(s_{0}\) sont respectivement la vitesse algébrique et l’abscisse curviligne à l’instant \(t=0\).
Remarque
Entre deux instants \(t_{1}\) et \(t_{2}\) on a \(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2a(s_{2}-s_{1})\).
Le mouvement circulaire
Considérons un point M décrivant un cercle de rayon \(R\) et notons \(\theta\) l’angle formé par l’axe (O\(x\)) et le rayon vecteur \(\overrightarrow{\text{OM}}\).
Mouvement circulaire uniforme — Le mouvement est uniforme quand \(\theta\) augmente linéairement avec le temps : \[\theta=\omega t\] \(\omega\) représente donc une vitesse angulaire et s’exprime en \(\mathrm{rad.s^{-1}}\). Ici, le cercle est décrit à vitesse angulaire constante ce qui est caractéristique du mouvement circulaire uniforme. Ainsi le point M fait un tour au bout d’une durée constante \(T\) appelée période : \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] Le nombre de tours effectués en 1 seconde s’appelle la fréquence \(\nu\) et se mesure en hertz en hommage à Heinrich Rudolf (Symbole Hz) : \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \nu=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]
Comme nous l’avons déjà montré, la vitesse est constante et l’accélération centripète. On retiendra
À retenir
\[ \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=R\omega\,\overrightarrow{t} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{a}_{\! \rm M}=R\omega^{2}\overrightarrow{n}=\frac{v^{2}}{R}\overrightarrow{n} \]Mouvement circulaire non uniforme — Supposons maintenant que \(\theta(t)\) varie de façon quelconque. Par définition de l’angle exprimé en radians, l’abscisse curviligne s’écrit \(s(t)=\overset{\displaystyle\frown}{\mathrm{M_{0}M}}(t)=R\theta(t)\) d’où la vitesse \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{v}_{\!\rm M}=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t}=R\omega(t)\,\overrightarrow{t} \qquad\text{avec}\qquad \omega(t)\stackrel{\text{def}}= \dot{\theta}(t) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \] où \(\omega\) désigne la vitesse angulaire instantanée.
Le vecteur accélération s’écrit grâce à la formule de Frenet \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{a}_{\!\rm M}= R\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{t}+R\omega^{2}\overrightarrow{n} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]
Pour en savoir plus...
- Les tactiques de ChronosParis, Flammarion, 2004.
- Relativité Encyclopædia Universalis1995.
- La relativité générale [en ligne, consulté le 2012-03-05]. Disponible sur www.canal-u.tv