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MENUCours d'Électrocinétique

Jusqu’à présent, pour expliciter les lois de l'électricité en régime continu, nous avons introduit des dipôles linéaires dont la caractéristique est de type affine. Il existe d'autres dipôles linéaires dont la caractéristique est de type intégro-différentielle ; le condensateur et la bobine inductive en sont les représentants.

Condensateur électrique

Le condensateur idéal

On a vu en électromagnétisme [1] qu'un condensateur est l'association de deux conducteurs en influence totale, appelés armatures. Soumis à une tension électrique constante $U$, le condensateur accumule au niveau de ses armatures des charges électriques de signe opposé ($Q$ et $-Q$) telles que $Q=CU$. On admettra cette relation également vérifiée en régime variable.

Capacité d'un condensateur

Condensateurs idéal.
Schéma électrique du condensateur idéal.

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, un condensateur idéal répond à la caractéristique \begin{equation} q(t)=C u(t) \end{equation} où \(C\) est la capacité du condensateur. Celle-ci s'exprime en farad (F) ; elle dépend de la géométrie du condensateur et de la nature de l'isolant placé entre les armatures.

On a donc en convention récepteur

\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{ i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t}=C\frac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}\quad\text{[Convention récepteur]} } \label{condensateurs_et_bobines_eq1} \end{equation}

Le comportement du condensateur idéal obéit au principe de superposition. En effet, si \(i_1\) est la réponse à la tension \(u_1\) et \(i_2\) celle à la tension \(u_2\), alors \(i_1+i_2\) est la réponse à la tension \(u(t)=u_1(t)+u_2(t)\). En ce sens, le condensateur est un dipôle linéaire.

Exercice

Soit un condensateur avec les conventions électriques suivantes : ecrire la caracteristiqu ede ce dipoleDonner les relations entre \(u\) et \(q\), \(i\) et \(q\) ainsi que \(u\) et \(i\).

En régime continu, toutes les grandeurs étant stationnaires, la loi \eqref{condensateurs_et_bobines_eq1} devient \(i=0\). Par conséquent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en régime continu.

Exemple

exemmple
Montage étudié.

Soit le montage ci-contre. À \(t=0\) on ferme l'interrupteur K pour permettre à la source de tension de charger le condensateur. Que vaut la charge capacitive une fois le régime continu établi ? Pour répondre à la question il suffit de remplacer le condensateur par un interrupteur ouvert.

exemmple

On obtient alors un montage diviseur de tension. La tension aux bornes du condensateur vaut \[ U_c=E\times \frac{R}{R+R}=\frac{E}{2} \] ce qui donne une charge capacitive \(q=CE/2\).

Énergie emmagasinée dans un condensateur

On rappelle qu'un condensateur idéal stocke une énergie électrique

\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{ W_E=\frac{1}{2}C\,u^{2}=\frac{q^2}{2C}} \label{condensateurs_et_bobines_eq2} \end{equation}

Le condensateur chargé agit comme un réservoir d'énergie qu'il peut fournir au reste du circuit. La puissance que reçoit un condensateur idéal s'écrit \[ \mathcal{P}=u\,i=C\,u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}W_E}{\mathrm{d}t} \] Lorsque l'énergie stockée décroit, $\mathcal{P}<0$ : le condensateur se décharge en fournissant de l'énergie au reste du circuit, agissant ainsi comme un générateur.

Exercice

Calculer l’énergie emmagasinée dans un condensateur de capacité \(C = 1\,\mu\mathrm{F}\) chargé sous la tension constante \(U = 30\,\mathrm{V}\).

Rép. — \(W_E=0{,}45\,\mathrm{mJ}\).

Le fait que le condensateur stocke une énergie sous forme électromagnétique a une conséquence importante en électrocinétique. Vu que l'énergie d'un système ne peut peut pas varier de façon discontinue, la charge et la tension d'un condensateur doivent varier continûment.

À retenir

La charge électrique d'une armature de condensateur évolue de façon continue au cours du temps. Cette propriété est aussi vérifiée par la tension aux bornes du condensateur.

Association de condensateurs

Association en parallèle — Soient deux condensateurs de capacité $C_1$ et $C_2$ montés en parallèle. On suppose que ces condensateurs sont suffisamment éloignés pour pouvoir négliger toute influence mutuelle (ce qui est fréquemment réalisé).

Deux condensateurs associés en parallèle.
Deux condensateurs associés en parallèle.

Exprimons l'énergie emmagasinée : \[ W_E=\frac12 C_1 u^2+\frac12 C_2 u^2=\frac12 (C_1 + C_2) u^2 \] Par conséquent, l'ensemble est équivalent à un condensateur de capacité $C_\text{eq}=C_1+C_2$ soumis à la tension commune $u$. Cette propriété se généralise aisément : $N$ condensateurs montés en parallèle et sans influence mutuelle équivalent à un condensateur de capacité  :

Mise en parallèle de \(N\) condensateurs

\begin{equation} C_\text{eq}=\sum_{i=1}^N C_i \label{eq:condensateurs_en_parallele} \end{equation}

Association en série — Considérons deux condensateurs de capacité $C_1$ et $C_2$ montés en série.

Condensateurs montés en série
Condensateurs montés en série.

Appelons $i$ l'intensité du courant qui les traverse. La conservation de la charge implique que \[ i=\frac{\mathrm{d}q_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q_2}{\mathrm{d}t} \quad\Longrightarrow\quad q_2-q_1=\mathrm{C^{te}} \] la quantité de charge $q_2-q_1$ représente la charge répartie sur la liaison conductrice entre les deux condensateurs. Supposons la liaison initialement neutre : $q_1=q_2=q$. Dans ce cas, l'ensemble est équivalent à un condensateur portant une charge $q$ et une capacité $C_\text{eq}$. En effet, l'énergie de l'association s'écrit \[ W_E=\frac12\frac{q^2}{C_1}+\frac12\frac{q^2}{C_2}=\frac12\frac{q^2}{C_\text{eq}} \quad\text{avec}\quad \frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \] On peut étendre cette démonstration à un nombre quelconque de condensateurs. Ainsi, $N$ condensateurs associés en série, sans influence mutuelle et tels que les liaisons inter-armatures soient neutres, se comportent comme un condensateur de capacité

Mise en série de \(N\) condensateurs

\begin{equation} \frac{1}{C_\text{eq}}=\sum_{i=1}^N\frac{1}{C_i} \label{eq:condensateurs_en_serie} \end{equation}

Condensateur réel

Condensateur
Fabrication d'un condensateur plan réel.

Pour réaliser un condensateur peu encombrant, on enroule généralement deux rubans métalliques (aluminium ou étain) jouant le rôle des armatures, que l'on sépare par deux rubans isolants (papier paraffiné, plastique). La présence de cet isolant, dit diélectrique, a pour effet d'augmenter la capacité du condensateur formé suite au phénomène de polarisation électrique. En revanche, le comportement d'un tel condensateur s'écarte un peu de l'idéalité pour deux raisons essentielles.

  1. La tension est en général limitée. En effet, il existe un champ électrique qu'il ne faut pas dépasser au risque de détruire le diélectrique placée entre les armatures du condensateur (existence d'un champ disruptif).
  2. Il existe un courant de fuite à travers le diélectrique du fait de la conductivité finie de ce dernier. Par exemple, lorsqu'un condensateur chargé est abandonné en circuit ouvert, on constate que sa charge diminue au cours du temps.
Modélisation d'un condensateur réel
Modélisation d'un condensateur réel.

Pour modéliser cette fuite, on introduit la notion de résistance de fuite. Aussi on représente un condensateur réel par l’association en parallèle d’un condensateur parfait de capacité \(C\) avec une résistance de fuite $R_\text{f}$.

Son ordre de grandeur varie entre le M$\Omega$ et la centaine de M$\Omega$.

Bobine d'induction

Introduction à l'induction magnétique

Le phénomène d'induction électromagnétique, découvert par Faraday en 1831, a une grande portée industrielle puisqu'il permet de convertir une énergie mécanique en une énergie électrique et vice-versa. Décrivons le principe à l'aide de l'expérience suivante.

Phénomène d'induction

Expérience

Mettons en mouvement un aimant au voisinage d'un cadre conducteur reliée à un galvanomètre (détecteur de courant).

On observe l'existence d'un courant induit par le mouvement de l'aimant. Plus précisément, on constate que l'intensité du courant dépend de la façon dont on déplace l'aimant.

Répétons la même expérience en remplaçant l'ampèremètre par un voltmètre. Dans ce cas, on note que le mouvement de l'aimant induit également une tension d'autant plus importante que le mouvement de l'aimant est rapide. La polarité de la tension induite dépend du sens de l'orientation de l'aimant.

La première expérience montre que la spire se comporte comme un aimant dont l'action sur l'aimant consiste à le freiner dans son mouvement. On en tire la loi de modération suivante :

Loi de Lenz

Dans un circuit fermé, la variation de flux magnétique produit un courant induit dont les effets s'opposent aux causes qui lui ont donné naissance.

Dans la deuxième expérience, le circuit ouvert n'est plus le siège d'un courant mais voit apparaître à ses bornes, une tension électrique. Le circuit se comporte alors comme une source de tension de f.é.m $e$, dite force électromotrice induite. Quantitativement, on montre que

Loi de Faraday

\begin{equation} e=-\frac{\text{d}\phi_B}{\text{d}t} \label{eq:loi_dE_faraday} \end{equation}

Cette loi, dite loi de Faraday, fait intervenir le flux magnétique $\phi_B$ à travers le circuit. Rappelons que \[ \phi_B=\iint_{S}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{n}\text{d}S\qquad[\text{Wb}] \] Sa valeur, exprimée en weber (Wb), dépend de la forme du circuit et du champ magnétique mais en aucune manière il ne dépend du choix de la surface $S$ s'appuyant sur le circuit. Comme d'habitude, $\overrightarrow{n}$ est le vecteur unitaire localement normal à la surface $S$ et dont le sens est lié au sens positif du circuit via la règle du tire-bouchon.

Auto-induction

On parle d'auto-induction quand la source de champ magnétique à l'origine du phénomène d'induction dans un circuit est produit par le circuit même.

Phénomène d'induction
Représentation d'une bobine idéale.
Joseph Henry Smillie Photo 1874
Joseph Henry (1797 - 1878).

Considérons une bobine, c'est-à-dire un enroulement de fil électrique. Lorsque cette bobine est traversée par un courant électrique, celui-ci produit un champ magnétique ainsi qu'un flux magnétique $\phi_B$, dit flux propre, à travers la bobine. Étant donné que le champ magnétique créé est proportionnel à l'intensité $i$ du courant (d'après la loi de Biot et Savart), on peut écrire \[ \phi_B=Li \] où $L$ désigne le coefficient d'auto-inductance (On dit aussi inductance propre).

La grandeur $L$ s'exprime en henry (symbole : H) en hommage à Joseph Henry. Lorsque le courant varie au cours du temps, la bobine se comporte comme une source de f.é.m $e=-L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}$ en convention générateur. Ainsi, la caractéristique d'une bobine idéale s'écrit, en convention récepteur :

\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{ u_L=L\frac{di}{dt}\quad\text{[convention récepteur]} } \label{condensateurs_et_bobines_eq6} \end{equation}

Pour les mêmes raisons que le condensateur, la bobine inductive respecte le principe de superposition, et de ce fait est un dipôle linéaire.

Notez qu'en régime continu, le courant étant stationnaire, la caractéristique \eqref{condensateurs_et_bobines_eq6} aboutit à $u_L=0$. Autrement-dit, la bobine peut être remplacée par un fil conducteur parfait une fois le régime continu atteint.

Remarque

Rigoureusement, tout montage électrique présente une auto-inductance, ne serait-ce que parce qu'il faut former une boucle pour refermer le circuit.

Énergie emmagasinée dans une bobine

La puissance électrique que reçoit une bobine parcourue par un courant électrique s'écrit \[ \mathcal{P}=ui=iL\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac12 Li^2) \] Par définition, l'énergie stockée par une bobine idéale $W_B$ est l'énergie qu'elle est susceptible de libérer lorsque l'on coupe son alimentation ($i=0$). \[ W_B=-\int \mathcal{P}\, \mathrm{d}t=-\int_{i'=i}^{0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac12 L{i'}^2)\, \mathrm{d}t=\frac12 Li^2 \] Cette énergie ne dépend pas de la façon dont on coupe l'alimentation. Ainsi, on dira qu'une bobine idéale alimentée par un courant électrique emmagasine une énergie sous forme magnétique qui vaut

Énergie magnétique d'une bobine

\begin{equation} W_B=\frac12 Li^2 \label{eq:energie_bobine} \end{equation}

Comme pour le condensateur, l'énergie qu'emmagasine la bobine ne peut pas évoluer par saut. Aussi l'intensité du courant doit varier continûment.

À retenir

L'intensité du courant qui traverse une bobine évolue de façon continue au cours du temps.

Bobine réelle

Dans la pratique, le fil formant la bobine est résistive. C'est pourquoi, on modélise une bobine réelle en ajoutant en série une résistance \(r\), appelée résistance interne de la bobine. Généralement, cette représentation convient à basse fréquence.

Modélisations d'une bobine
Modélisations d'une bobine.

À moyenne et haute fréquence, deux phénomènes parasites apparaissent :

  1. en régime variable, le courant ne se distribue plus de façon uniforme dans le conducteur : c'est l'effet de peau. Ce phénomène produit une augmentation de la résistance \(r\) avec la fréquence On peut montrer que r augmente avec le carré de la fréquence..
  2. un effet capacitif se produit entre les différentes spires de la bobine. On modélise ce phénomène en ajoutant un condensateur en parallèle (Fig. 9).

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Pour en savoir plus...

  1. J. Roussel Conducteurs électriques[en ligne], 2016, disponible sur femto-physique.fr
  2. J. Roussel Induction électromagnétique[en ligne], 2021, disponible sur femto-physique.fr