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MENUCours d'Électrocinétique

Comment courants et potentiels électriques se répartissent au sein d'un circuit électrique ? C'est à cette question que ce cours entend répondre, sachant qu'on limitera notre propos aux réseaux électriques linéaires en régime continu. En effet, ces réseaux ont le bon goût de mener à des équations simples à résoudre.

Lois de l'électrocinétique

Les lois de l'électrocinétique ou lois de Kirchhoff Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) : physicien allemand qui énonça les lois relatives au courant électrique dans les circuits alors qu'il était encore étudiant. On lui doit surtout des avancées en spectroscopie. se résument en deux lois : la loi des nœuds et la loi des mailles.

Introduction

Un réseau électrique (ou circuit électrique) est un ensemble d'éléments présentant des propriétés électriques, reliés entre eux par des conducteurs que l'on considérera parfaits (conductivité infini). Les lois de l'électricité permettent de trouver la façon dont les courants et les potentiels électriques se répartissent au sein de ce circuit.

Lorsque les grandeurs électriques (tensions et intensités électriques) ne varient pas dans le temps, on parle de régime continu ; le régime variable désigne la situation contraire.

En régime variable, les fluctuations de courant se propagent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Pour des circuits de taille raisonnable, la durée de propagation $\tau$ est très petite devant le temps caractéristique $T$ des fluctuations (période du signal s'il est périodique). Il est alors légitime de négliger $\tau$ devant $T$ ; c'est ce qu'on appelle l'approximation des régimes quasi stationnaires.

Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS)

Nous admettrons que les lois des régimes permanents restent valables en régime variable si l'on peut considérer les phénomènes de propagation négligeables. Notamment, dans une branche d'un circuit, à un instant donné, le courant a la même intensité en tout point.

Un dipôle électrocinétique est une partie d'un circuit qui peut être reliée au reste du circuit par deux fils. On décrit le comportement d'un dipôle par sa relation courant-tension ($i=f(u)$) dans une convention précisée. Il en existe deux :

Différentes conventions
Les deux conventions.

Dans ce chapitre nous limitons notre propos à l'étude de dipôles électrocinétiques dont la relation entre \(u\) et \(i\) est, soit linéaire, soit affine ($i=a\times u+b$). En effet, l'objectif est avant-tout de se familiariser avec les méthodes de résolutions.

Loi des nœuds

Dans chaque branche d'un réseau électrique, on définit un sens positif (le choix est arbitraire !) du courant et une intensité algébrique $i$ . Si $i>0$ , le courant circule dans le sens positif ; si $i<0$ , le courant circule dans le sens opposé.

Un nœud est la rencontre d'au moins trois conducteurs électriques. Considérons $n$ branches de conducteurs liées par un nœud N. Définissons $i_{k}$, l'intensité algébrique du courant de la $k$-ème branche. La loi des nœuds traduit la conservation de la charge en régime stationnaire et exprime le fait que la charge ne peut pas s'accumuler en N : le courant électrique qui arrive en N doit être compensé par le courant qui sort. Cette loi, rigoureusement vérifiée en régime continu, est admise en régime variable dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires.

Loi des nœuds

En chaque nœud d'un circuit, on a \begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\epsilon_k\,i_{k}=0 \label{eq:loi_des_noeuds} \end{equation} où $\epsilon_{k}=+1$ quand le courant est entrant et où $\epsilon_{k}=-1$ dans le cas contraire.

Exemple

Exemple loi des noeuds

On considère le schéma ci-contre.

la loi des nœuds \eqref{eq:loi_des_noeuds} exprimée en N donne \[ i_{1}+i_{2}+i_{3}-i_{4}=0\quad\text{soit}\quad i_{4}=i_{1}+i_{2}+i_{3} \] ce qui traduit bien le fait que le courant qui arrive en N est égale au courant qui en sort.

Loi des mailles

Le transport électrique est assuré grâce aux forces électrostatiques. On peut dès lors définir un potentiel électrique en chaque point du circuit. Lorsque le potentiel électrique est le même partout, le réseau est à l'équilibre et n'est le siège d'aucun courant électrique. En revanche, lorsque le potentiel électrique n'est plus uniforme, le conducteur n'est plus à l'équilibre ce qui génère un courant électrique (qui tente de rétablir l'équilibre).

représentation d'une tension
Représentation d'une tension.

Aux extrémités d'une branche il existe alors une tension qui dépend du courant électrique et de la nature du dipôle traversé par ce courant. Il est traditionnel de représenter une tension $u_{\text{AB}}=V_A-V_B$ par une flèche allant de B vers A.

Les tensions qui règnent dans un circuit obéissent à quelques contraintes physiques. En effet, si l'on parcourt un circuit fermé (on parle de maille) en partant d'un nœud N pour revenir à ce même nœud, on doit trouver une tension nulle en vertu du caractère conservatif du champ électrique ($\oint\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=0$). Autrement dit, si l'on décompose le circuit $\mathcal{C}$ en $n$ branches adjacentes on aura : \[ \sum_{k=1}^{n}u_{k}=0 \] où $u_{k}$ est la tension qui règne aux extrémités de la $k$-ième branche. Cette loi est à appliquer si toutes les tensions sont orientées dans le même sens, ce qui n'est pas toujours la cas à cause des différentes conventions choisies pour les dipôles, c'est pourquoi on retiendra la règle suivante :

Loi des mailles

Prenons une maille et choisissons arbitrairement un sens de parcours. Visitons toutes les branches de la maille et associons un coefficient $\epsilon_k=+1$ à la tension rencontrée lorsqu'elle est orientée (sa flèche représentative) dans le sens de parcours et un coefficient $\epsilon_k=-1$ lorsque la tension rencontrée est orientée dans l'autre sens. La loi des mailles se traduit alors par \begin{equation} \sum_{k=1}^n \epsilon_{k}\,u_{k}=0 \label{eq:loi_des_mailles} \end{equation}

Exemple

exemple loi des mailles

Dans le circuit ci-contre, appliquons la loi des mailles en parcourant la maille dans le sens indiqué. On trouve \[ 1\times u_\text{BC}+1\times u_\text{AB}-1\times u_\text{AC}=0 \] soit \[ u_\text{AC}=u_\text{AB}+u_\text{BC} \] On retrouve d'ailleurs une loi identique à celle de Chasles propre aux vecteurs.

Remarques

masse et terre

Puissance reçue par un dipôle électrocinétique

On appelle $\mathcal{P}(t)$ la puissance électrique reçue à l'instant $t$ par un dipôle électrocinétique. La puissance électrique se mesure en watt (symbole : W) en hommage à James Watt James Watt (1736-1819) : ingénieur britannique, dont les améliorations sur la machine à vapeur furent une étape clé dans la révolution industrielle. et on rappelle que \[ 1\;\mathrm{W}\triangleq 1\;\mathrm{J.s^{-1}} \] Entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$, la quantité de charge $\mathrm{d}q=i(t)\, \mathrm{d}t$ arrive en une extrémité du dipôle (point A) pendant que la même quantité — nous sommes en régime stationnaire ou quasi stationnaire — en sort par l'autre extrémité (point B). Cette quantité de charge possède une énergie électrique $\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{A})=\mathrm{d}qV_{\text{A}}$ en A et $\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{B})=\mathrm{d}qV_{\text{B}}$ en B. Remarquons qu'entre A et B l'énergie des charges n'a pas changé du fait que la distribution des charges et du potentiel est la même entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$. Autrement dit, d'un point de vue énergétique, tout se passe comme si l'on avait transporté la charge $\mathrm{d}q$ de A en B. Pendant ce transport la charge perd une énergie potentielle $\mathrm{d}qV_{\text{A}}-\mathrm{d}qV_{\text{B}}$ qu'elle cède intégralement au dipôle. Celui-ci reçoit donc une quantité d'énergie \[ \delta W=\mathrm{d}qV_{\text{A}}-\mathrm{d}qV_{\text{B}}=i(t)\,u_{AB}(t)\,\mathrm{d}t \]

Puissance électrique reçue par un dipôle

La puissance électrocinétique reçue (l'énergie reçue par unité de temps) par un dipôle D à l'instant $t$, soumis à une tension $u(t)$ et traversé par un courant d'intensité $i(t)$ vaut, en convention récepteur, \begin{equation} \mathcal{P}(t)=u(t)\,i(t) \label{eq:loi_puissance_electrocinetique} \end{equation}

Si $\mathcal{P}(t)>0$, le dipôle absorbe effectivement, à l'instant $t$, de l'énergie électrique. On dit que le dipôle a un caractère récepteur. Cette énergie reçue par le dipôle est soit stockée, soit convertie sous une autre forme (effet Joule dans une résistance, énergie mécanique dans un moteur).

Si $\mathcal{P}(t)<0$, le dipôle fournit effectivement de l'énergie électrique ; on dit que le dipôle à un caractère générateur (ex : batterie).

Ordres de grandeur
électroniquelampe de poche consommation des français en hivercentrale électriquemoteur TGV
μW-mWW100 GWGWMW

Phénomènes résistifs

Loi d'ohm - effet Joule

Comme on l'a vu en électromagnétisme[1], un conducteur ohmique obéit à la loi d'Ohm

Loi d'Ohm

\[u(t)=R\,i(t)\quad \text{[Convention récepteur]}\] où $R$ désigne la résistance du conducteur ohmique dont la valeur dépend de la géométrie et de la conductivité du matériau conducteur.

Rappelons que $R$ s'exprime en ohm (symbole $\Omega$).

La caractéristique $i=f(u)$ est donc une droite passant par l'origine. Un circuit uniquement composé de résistances ne peut pas produire de courant. On dit que le conducteur ohmique est un dipôle linéaire passif.

Schéma et caractéristique d'un conducteur ohmique.
Schéma et caractéristique d'un conducteur ohmique.
Réseau constitué de deux résistances
Réseau constitué de deux résistances.

Par exemple, si l'on branche deux résistances ensemble, la loi des mailles donne \[ u_1+u_2=0 \quad\text{soit}\quad R_1\,i+R_2\,i=0 \quad\Longrightarrow\quad i=0 \] Aucun courant ne circule et par conséquent tous les conducteurs sont au même potentiel. On retrouve une des propriétés des conducteurs à l'équilibre.

La puissance reçue par un conducteur ohmique vaut

\begin{equation} \mathcal{P}=u\,i=R\,i^{2}>0 \label{eq:puissance_effet_joule} \end{equation}

Le conducteur ne peut que recevoir de l'énergie électrique, sans pouvoir en fournir. On parle alors de récepteur électrique. En revanche, cette énergie électrique est convertie essentiellement sous forme de chaleur si le conducteur n'est pas thermiquement isolé. En effet, si le conducteur est maintenu à température et pression constantes, le premier principe de la thermodynamique donne, pendant la durée $\tau:$ \[ \Delta H=Q_{P}+W_{\text{elec}}=Q_{\text{P}}+\int Ri^{2}\, \mathrm{d}t=0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{p}=-\int Ri^{2}\, \mathrm{d}t \] Cette dissipation de l'énergie électrique sous forme de chaleur porte le nom d'effet Joule. Cet effet est mis à profit dans les bouilloires électriques par exemple.

Remarque

Notez qu'en général le conducteur voit sa température varier, ce qui fait augmenter son enthalpie ($\Delta H=\int mc_{p}\, \mathrm{d}T$). Dans ce cas, une partie de l'énergie électrique sert à augmenter l'énergie interne du conducteur et à le dilater.

Association de résistances

Tout dipôle constitué uniquement de résistances équivaut à une résistance équivalente $R_\text{eq}$. Intéressons-nous à deux configurations simples.

Résistances en série

Conducteurs ohmiques en série.
Conducteurs ohmiques en série.

On dit que des résistances sont en série lorsqu'elles sont traversées par le même courant électrique. Appelons $i$ l'intensité du courant. On a \[ u=R_{\text{eq}}\,i=\sum_{k=1}^N u_k=i\sum_{k=1}^N R_k \] Par conséquent, on obtient

Mise en série de \(N\) résistances

\begin{equation} R_\text{eq}=\sum_{k=1}^NR_{k} \label{eq:resistance_en_serie} \end{equation}

Résistances en parallèle

Conducteurs ohmiques en parallèle.
Conducteurs ohmiques en parallèle.

On dit que des résistances sont associées en parallèle lorsqu'elles sont soumises à la même tension. Appelons $u$ la tension commune. On a \[ i=\frac{u}{R_\text{eq}}=\sum_{k=1}^N i_k=u\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k} \] On trouve donc

Mise en parallèle de \(N\) résistances

\begin{equation} \frac{1}{R_\text{eq}}=\sum_{k}\frac{1}{R_{k}} \label{eq:resistance_en_parallele} \end{equation}

On pourra retenir par exemple que :

Ponts diviseurs

Pont diviseur de tension
Pont diviseur de tension.

Considérons deux résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ en série soumises à une tension globale $u$. En vertu de la loi des mailles, on a $u=u_1+u_2=(R_1+R_2)i$. La tension aux bornes de chaque résistance $u_k=R_k i$ est alors une fraction de la tension $u$

Diviseur de tension

\begin{equation} u_{k}=\dfrac{R_{k}}{R_{1}+R_{2}}u\qquad k=1\text{ ou }2 \label{eq:pont_diviseur_tension} \end{equation}

On parle alors de montage diviseur de tension.

Pont diviseur de courant
Pont diviseur de courant.

On considère maintenant deux résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ en parallèle alimentées par un courant global $i$. Définissons les conductances $G_k=1/R_k$, exprimées en siemens (symbole : S). Le courant traversant chacune des résistances a pour intensité $i_k=G_k u$ et $u=(G_1+G_2)i$. En conséquence, on obtient

Diviseur de courant

\begin{equation} i_{k}=\frac{G_{k}}{G_{1}+G_{2}}i\qquad k=1\text{ ou }2 \label{eq:pont_diviseur_courant} \end{equation}

Le courant se répartie au prorata des conductances et l'on parle de montage diviseur de courant.

Exercice

exercice sur les ponts diviseurs

On considère le montage ci-contre.
Calculer l'intensité du courant $i$.

Rép. — Les deux résistances en parallèle sont équivalentes à une résistance de valeur $R/2$. La tension qui règne aux bornes de ces deux résistances est donnée par la formule du diviseur de tension : \[ u'=\frac{R/2}{R/2+R}u=\frac13 u \] On en déduit le courant $i$ à partir de la loi d'ohm : $u'=Ri$ soit $i=u/(3R)$.

Modélisation linéaire d'un dipôle actif

Contrairement aux dipôles passifs, les dipôles actifs produisent une tension en circuit ouvert. On distingue les sources (piles, alimentation stabilisée, batteries en utilisation,...) et les récepteurs (électrolyseurs, batteries en charge, moteurs électriques).

Source de tension

Une source de tension permet aux charges de remonter le potentiel grâce à l'existence d'un champ électromoteur au sein de la source. Ce champ électromoteur produit une tension, dite force électromotrice (f.é.m) que nous noterons $e$.

La caractéristique d'une source de tension idéale s'écrit en convention générateur : \[ u=e\qquad\forall i \] où $e$ est la force électromotrice (f.é.m) de la source de tension.

Source idéale de tension: schéma et caractéristique
Source idéale de tension: schéma et caractéristique.

Pour tenir compte des pertes par effet Joule d'une source de tension, on modélise la source par une source idéale en série avec une résistance $r$ dite résistance interne. La caractéristique s'écrit alors :

Caractéristique linéarisée d'une source de tension

\begin{equation} u=e-ri \label{eq:caracteristique_source_tension_reelle} \end{equation}

Source réelle de tension : schéma et modélisation linéaire.
Source réelle de tension : schéma et modélisation linéaire.

Il ressort de cette caractéristique que la source de tension acquiert un comportement quasi idéal à la condition que $ri \ll e$ : le courant débité par la source doit rester faible. C'est ce que l'on obtient lorsque que l'on branche un voltmètre aux bornes de la source : la résistance interne du voltmètre étant très grande, le courant débitée est quasi nul de sorte que le voltmètre indique la f.é.m de la source. Par ailleurs, lorsque l'on court-circuite la source en reliant ses deux bornes ($u=0$), on trouve un courant de court-circuit \[ i_\text{cc}=e/r \]

Puissance fournie en fonction du courant
Puissance fournie en fonction du courant.

Du point de vue énergétique, la puissance délivrée par la source de tension vaut $\mathcal{P}=u\,i=ei-ri^{2}$. Ainsi, la puissance atteint une valeur maximale lorsque $i=e/2r$. Une source réelle de tension délivre donc une puissance maximale \[ \mathcal{P}_\text{max}=\frac{e^2}{4r} \]

Source de courant

Le rôle d'une source de courant est d'imposer un courant constant indépendamment de la tension qui règne à ses bornes.

Source de courant idéale : schéma et caractéristique.
Source de courant idéale : schéma et caractéristique.

Une source de courant idéale aura la caractéristique suivante : \[ i=i_{0}\qquad\forall u \] où $i_{0}$ désigne le courant électromoteur (c.é.m).

Pour tenir compte des pertes par effet Joule d'une source de courant réelle, on la modélise par une source idéale en parallèle avec une conductance interne $g$.

Source réelle de courant: schéma et caractéristique.
Source réelle de courant : schéma et caractéristique.

La caractéristique s'écrit alors : \[ i=i_{0}-g\,u \quad\text{avec}\quad g=\frac{1}{r} \] où $g$ est la conductance interne ($r$ la résistance interne). On notera qu'une source de courant se rapproche d'une source de courant idéale quand sa conductance interne $g\rightarrow 0$ ($r\to \infty$).

puissance d'une source de courant
Puissance d'une source de courant.

La puissance fournie par une source de courant réelle vaut $\mathcal{P}=ui=ui_0-gu^{2}$. Suivant le dipôle que charge la source de courant, la tension et donc la puissance délivrée varie. La courbe ci-contre montre que lorsque $u=i_0/2g$ la puissance atteint une valeur maximale \[ \mathcal{P}_\text{max}=\frac{{i_0}^2}{4g} \]

Représentations de Thévenin et Norton

Considérons une source de tension réelle dont la modélisation linéaire est donnée par $u=e-ri$. Cette caractéristique peut se ré-écrire $i=e/r-gu$ avec $g=1/r$. En d'autres termes, une source de tension réelle peut s'interpréter comme une source de courant de c.é.m $i_{0}=e/r$ et de conductance $g=1/r$. Ainsi, toute source linéaire présente deux représentations possibles :

On passe d'une représentation à une autre en retenant l'équivalence Thévenin-Norton suivante :

Thevenin-norton
Équivalence Thévenin-Norton.

Récepteur actif

Étudions le cas d'une batterie chimique. On distingue deux comportements : la décharge ou la charge. Lorsque la batterie se décharge, elle est alors source d'énergie et est modélisée par une source de tension de f.é.m $e$ et de résistance interne $r$. On a en convention générateur \[ u=e-ri \quad\text{et}\quad \mathcal{P}=ei-ri^2>0 \] En fonctionnement générateur, la puissance fournie est positive et le sens du courant est dictée par la polarité de la source.

Batterie en charge.
Batterie en charge.

En revanche, lorsque la batterie est en charge, le courant est dans l'autre sens. Dans ce cas, le dipôle reçoit de la puissance : on dit qu'il s'agit d'un récepteur actif et $e$ est désigné par le terme force contre-électromotrice (f.c.é.m).

En convention récepteur, on écrira donc \[ u=e+ri \] et la puissance fournie à la batterie vaut \[ \mathcal{P}=ei+ri^2 \] Une partie de cette puissance ($ri^2$) est dissipée par effet joule et l'autre partie ($e\,i$) est convertie en énergie chimique. On peut d'ailleurs définir un rendement de conversion \[ \eta=\frac{\mathcal{P}_\text{convertie}}{\mathcal{P}_\text{fournie}}=\frac{e}{e+ri} \] Finalement, une batterie est une source de tension qui peut fonctionner, soit en générateur, soit en récepteur, la polarité étant fixé par la borne + de la batterie. On parle alors de récepteur réversible. Les accumulateurs, les électrolyseurs ont ce comportement.

Il existe cependant des dipôles actifs dont le comportement est toujours récepteur quel que soit le sens du courant. La polarité de la f.c.é.m est toujours orientée à contre sens du courant. On parle de récepteur non réversibles (ou non polarisés). Le moteur à courant continu en est un exemple.

récepteur actif
Récepteur actif.

Loi de Pouillet

Imaginons une maille constituée de dipôles actifs (en représentation de Thévenin) et de résistances. Appelons $R$ la somme de toutes les résistances (résistances internes inclues). Imposons un sens positif du courant et notons $i$ l'intensité algébrique du courant qui circule dans la maille. Notons $e_k$ les f.é.m (orientées dans le sens positif) et $e'_k$ les f.c.é.m (orientés dans le sens contraire). La loi des mailles permet d'écrire \[ \sum_k e_k-\sum e'_k-Ri=0 \] Ce qui donne la loi connue sous le nom de loi de Pouillet :

Loi de Pouillet

\begin{equation} i=\dfrac{\displaystyle{\sum_{k}e_{k}-\sum_{k'}e'_{k}}}{R} \label{eq:loi_de_pouillet} \end{equation}

Exercice

exo pouillet

Une source de tension continue, de f.é.m $e=$ 15 V, charge une batterie de f.c.é.m $e'=$ 12 V. Déterminer le courant de charge $i$ à l'aide de la loi de Pouillet.

Rép. — La loi de Pouillet donne \[ i=\frac{e-e'}{R} \quad\text{soit}\quad i=\frac{15-12}{50+5+5}=50\,\mathrm{mA} \]

Méthodes de résolution

Utilisation de la loi des mailles

Dans un réseau constitué de $b$ branches et $n$ nœuds, il y a $N=b-n+1$ courants indépendants. En effet, les $b$ courants circulant dans les $b$ branches vérifient $n-1$ relations (lois des nœuds). Il nous faut donc $N$ relations pour déterminer ces inconnues. Ces relations sont obtenues en appliquant la loi des mailles dans $N$ mailles indépendantes associées aux caractéristiques des dipôles. On obtient alors un système d'équations à résoudre.

Méthodologie

Cette méthode présente l'avantage de déterminer toutes les grandeurs électriques et s'applique à tous les réseaux électriques. Si le circuit contient uniquement des dipôles linéaires, le système d'équations obtenu est alors linéaire, ce qui facilite sa résolution.

Exemple

exemple
Circuit étudié

À l'aide des lois de Kirchhoff, déterminons l'intensité du courant $i$ dans le circuit (Fig.18).

solution

Commençons par définir tous les courants. Appelons $i_1$ le courant qui traverse le dipôle (20 V, 5 Ω). En parcourant tout le réseau, on s'aperçoit qu'il n'y a que deux courants inconnues : $i$ et $i_1$ (notez qu'il y a une source de courant qui impose la valeur de l'intensité du courant dans une branche).

Il suffit donc de deux relations pour les déterminer. On choisira les mailles représentées en couleur sur la figure. La loi des mailles donne alors \[ \left\{\begin{array}{ccccccc} 20&-&5i_1&-&5i&=&0\\ 5&-&5(i-i_1-1)&-&5i&=&0 \end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ccccc} 5i_1&+&5i&=&20\\ -5i_1&+&10i&=&10 \end{array}\right. \] En sommant les deux relations, on trouve $15i=30$, soit $i=2$ A.

Équivalence Thévenin-Norton

L'inconvénient majeur de la méthode précédente est qu'elle nécessite de résoudre un système de $N$ équations, même si l'on ne cherche qu'une seule grandeur électrique ; le risque d'erreur de calcul peut devenir important.

Pour remédier à ce défaut, on peut utiliser de façon judicieuse l'équivalence électrique entre une source de tension réelle et une source de courant réelle. En associant les résistances quand c'est possible et en répétant plusieurs fois la transformation Thévenin⇆Norton, on peut simplifier une partie du réseau électrique étudié, et donc diminuer le nombre de mailles. Quand le but est de calculer les grandeurs électriques relatives à une branche particulière, cette méthode est à envisager.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent en remplaçant les sources de tension par leur représentation de Norton.

exemple thevenin noton

En associant les sources de courant ainsi que les résistances, on aboutit à un simple diviseur de courant. La formule du diviseur donne alors \[ i=\frac{1/5}{2/5+1/5}\times6=2\,\mathrm{A} \]

Théorème de superposition

Imaginons un circuit constitué de \(n\) sources de tension de f.é.m \(e_k\) et de \(m\) sources de courant de c.é.m \(i_{0k}\). Si les autres dipôles sont passifs, ce sont ces sources actives qui sont responsables de l'apparition de courants et tensions électriques au sein du réseau. On peut dire en toute généralité que l'intensité \(i\) d'une branche s'écrit \[ i=f(e_1,\ldots,e_n,i_{01},\ldots,i_{0m}) \quad\text{avec}\quad f(0,0,\ldots,0)=0 \]

Par ailleurs, si tous les dipôles sont linéaires, alors la fonction \(f\) vérifie la propriété de linéarité suivante : \begin{multline*} f(e_1,\ldots,e_n,i_{01},\ldots,i_{0m})=f(e_1,0,\ldots,0,)+f(0,e_2,0,\ldots,0,)\\ +\ldots+f(0,0,\ldots,0,i_{0m}) \end{multline*} Autrement dit, il suffit d'allumer une seule source, calculer l'effet produit dans la branche étudiée, puis recommencer en changeant de source, etc. La somme des effets donne alors l'effet obtenu lorsque toutes les sources agissent simultanément.

Théorème de superposition

Dans un circuit constitué de dipôles linéaires, l'intensité circulant dans une branche (resp. la tension d'une branche) est égale à la somme algébrique des intensités (resp. tensions) produites par chaque source supposée seule active, les autres étant éteintes.

Pour éteindre les sources on procédera ainsi.

Exemple

circuit étudié
Circuit étudié

Reprenons l'exemple qui nous sert de fil rouge dans cette partie, et appliquons le théorème de superposition afin de calculer l'intensité $i$.

circuit étudié

Commençons par allumer seulement la source de courant. On obtient un diviseur de courant. La formule du diviseur donne immédiatement l'intensité que l'on recherche : \[ i_1=\frac{1/5}{1/5+1/5+1/5}\times 1=\frac13 \,\mathrm{A} \]

Éteignons la source de courant et allumons la première source de tension. Les deux résistances en parallèle étant identiques, elles sont traversées par le même courant (noté \(i_2\)). La source débite donc un courant d'intensité \(2i_2\) et la loi des mailles donne \[ U_2=5-5(2i_2)=5i_2 \quad\text{soit}\quad i_2=\frac13 \,\mathrm{A} \]

Enfin, allumons seulement la dernière source. Pour les mêmes raisons que précédemment, la source débite un courant double de celui qui traverse les résistances en parallèle. La loi des mailles donne \[ U_3=20-5(2i_3)=5i_3 \quad\text{soit}\quad i_3=\frac43 \,\mathrm{A} \] Finalement, le courant produit lorsque toutes les sources sont allumées vaut \[ i=i_1+i_2+i_3=2\,\mathrm{A} \]

Le théorème de superposition exige de pouvoir allumer une seule source, ce qui suppose que les sources sont indépendantes.

Théorème de Millman

Le théorème de Millman permet d'exprimer le potentiel du nœud N en fonction des potentiels
Le théorème de Millman permet d'exprimer le potentiel du nœud N en fonction des potentiels \(V_k\).

Considérons un nœud N auquel sont reliés \(n\) conducteurs ohmiques de résistances \(R_k (k=1\ldots n)\). On choisit un potentiel de référence (\(V=0\)) et l'on note \(V_k\) le potentiel électrique de l'autre borne de \(R_k\).

Théorème de Millman

Le théorème de Millman exprime le potentiel \(V_\text{N}\) en fonction des \(V_k\) et des conductances \(G_k=1/R_k\) de chaque branche : \begin{equation} V_\text{N}=\dfrac{\sum_{k=1}^n G_kV_k}{\sum_{k=1}^{n}G_k} \end{equation} Si une branche (\(k=1\) par exemple) est traversée par un courant d'intensité \(i_1\) connue, on écrira \begin{equation} V_\text{N}=\dfrac{i_1+\sum_{k=2}^n G_kV_k}{\sum_{k=2}^{n}G_k} \end{equation}

Exemple

Circuit étudié
Circuit étudié.

Appliquons le théorème de Millman afin de déterminer l'intensité \(i\) de la figure ci-contre. Pour cela, fixons la masse (potentiel nul) au niveau de la borne − des sources de tension, et plaçons N au nœud commun aux trois résistances.

Le théorème de Millman donne immédiatement \[ V_\text{N}=\frac{1/5\times 0+1/5\times 20+1/5\times 5+1}{1/5+1/5+1/5}=10\,\mathrm{V} \] La loi d'Ohm donne immédiatement \[ i=\frac{V_\text{N}}{5}=2\,\mathrm{A} \]

Ce théorème, que l'on doit à Jacob Millman, est assez utile dans les circuits présentant des amplificateurs linéaires intégrés.

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Pour en savoir plus...

  1. J. Roussel Conducteurs électriques[en ligne], 2016, disponible sur femto-physique.fr