MENUCours d'Électrocinétique

Jusqu'ici nous avons étudié des circuits électriques en régime continu, pour lesquels toutes les grandeurs électriques restent stationnaires. Mais que se passe-t-il lorsque l'on passe d'un régime continu à un autre ? Ce chapitre répond à la question.

Généralités

Régime transitoire

Imaginons par exemple un circuit constitué d'une source de tension continue et d'une résistance. Ajoutons un interrupteur. Ce dernier étant initialement ouvert, on décide de le fermer à l'instant \(t=t_0\). Que prévoient les lois de Kirchhoff, et qu'observe-t-on en réalité ?

Lorsque l'interrupteur est ouvert, le courant ne peut pas circuler : \[ i=0 \quad \forall t>t_0 \] La fermeture de l'interrupteur autorise le courant à circuler, et les lois de Kirchhoff imposent \[ e-Ri=0 \quad\text{soit}\quad i=\frac{e}{R}\quad \forall t>t_0 \] Le courant passe donc brutalement de la valeur nulle à la valeur \(e/R\).

Or, une observation attentive montre que la transition entre les deux régimes continus n'est pas instantanée, et suit une certaine évolution. Ce régime est appelé régime transitoire. La durée caractéristique de ce régime est appelé temps de relaxation et sera noté \(\tau\). Dans l'exemple discuté ici, l'origine du régime transitoire est lié au fait que le circuit présente une auto-inductance que l'on a négligé dans la mise en équation. Nous verrons plus loin que lorsque l'on tient compte de cette self-inductance, les lois de Kirchhoff rendent bien compte de l'existence de ce régime transitoire.

Aspects mathématiques

Considérons un dipôle électrique passif et linéairePar exemple constitué de conducteurs ohmiques, condensateurs et bobines. alimenté par une source de tension ou de courant variable.

Imaginons que l'on suive l'évolution d'une grandeur électriqueUne tension, une intensité, une charge électrique... que nous décidons de noter \(y(t)\). Dans le cadre de l'ARQS, les lois de Kirchhoff permettent d'obtenir une équation différentielle de la forme \[ a_0y(t)+a_1 \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d} t}+\ldots+a_n \frac{\mathrm{d}^n y(t)}{\mathrm{d} t}=f(t) \] où \(f(t)\) et les coefficients \(a_k\) sont connues. Cette équation présente deux termes.

• Le terme de gauche est caractéristique des éléments qui composent le dipôle. Si \(a_n\neq 0\), on dit que le dipôle est d'ordre \(\boldsymbol{n}\).
• Le terme de droite est lié à la présence du générateur. On parle de terme d'excitation.

On établit en mathématique que la solution de l'équation différentielle est la somme \[ y(t)=y_0(t)+y_\text{p}(t) \]

• \(y_\text{p}(t)\) est une solution particulièreQue l'on trouve généralement en recherchant une solution de la même forme que f(t). de l'équation complète qui représente le régime forcé.
• \(y_0(t)\) est la solution générale de l'équation homogène \[ a_0y(t)+a_1 \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d} t}+\ldots+a_n \frac{\mathrm{d}^n y(t)}{\mathrm{d} t}=0 \] \(y_0(t)\) représente le régime libre, c'est-à-dire la réponse du circuit en l'absence d'excitation

Le régime libre se met sous la forme \(y_0(t)=A\,\mathrm{e}^{rt}\) où \(r\) est un nombre réel ou complexe solution de l'équation caractéristique \[ a_0+a_1r+a_2r^2+\ldots+a_n r^n=0 \] Si les \(n\) racines sont distinctesSi l'équation caractéristique admet une racine multiple \(r_0\) d'ordre \(p\), la solution contient un terme de la forme \(P(t)\,\mathrm{e}^{r_0 t}\) où \(P(t)\) est un polynôme de degré \(p-1\)., le régime libre s'écrit \[ y_0(t)=\sum_{k=1}^nA_k\,\mathrm{e}^{r_k t} \] On détermine les \(n\) constantes d'intégration \(A_k\) en imposant les conditions initiales à la solution complète \(y(t)\). Celles-ci doivent respecter les règles de continuité que l'on rappelle :

Du fait des effets dissipatifs toujours présents dans un dipôle passif réel, le régime libre s'amortit. On définit alors le temps de réponse \(T_\text{r}\) du dipôle comme le tempsSa valeur dépend du critère que l'on choisit pour décider que le régime libre devient négligeable. à partir duquel le régime forcé est établi: \[ |y_0(t)|\ll |y_\text{p}(t)| \quad \forall t>T_\text{r} \]

Par la suite, on illustre avec trois exemples ; deux dipôles du premier ordre et un du second ordre.

Décharge d'un condensateur

Montage étudié

Considérons un circuit constitué d'une source réelle de f.é.m \(e_0\), d'un condensateur de capacité \(C\), d'un conducteur ohmique de résistance \(R\) et d'un inverseur K. On commence par charger le condensateur en basculant K de manière à mettre en contact la source de tension et le condensateur. Le condensateur se trouve alors chargé et stocke ainsi la quantité de charge \[ q_0=Ce_0 \] À \(t=0\), on bascule K. Le condensateur se décharge alors dans la résistance. Avant d'étudier le régime transitoire, analysons les conditions aux limites de ce problème.

• Juste après l'inversion de K, il y a continuité de la tension capacitive. On en déduit \[ u_C(0^+)=u_C(0^-)=e_0 \quad\text{et}\quad i(0^+)=\frac{u_C(0^+)}{R}=\frac{e_0}{R} \]
• Une fois le régime forcé (ici continu) établi, toutes les grandeurs sont stationnaires. On a donc \[ q(t)=\mathrm{C^{te}} \quad\Rightarrow\quad i(t)=0 \quad\text{et}\quad u_C(t)=0 \quad\text{quand }t\to \infty \]

Régime transitoire

Cherchons l'évolution de la tension capacitive \(u_C(t)\) et du courant de décharge \(i(t)\).

Lorsque l'on a basculé l'interrupteur, le circuit obéit à la loi des mailles : \[ u_{C}(t)-Ri(t) =0 \quad\text{avec}\quad i(t)=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=-C\frac{\text{d}u_{C}}{\text{d}t} \] La tension \(u_C\) vérifie donc l'équation différentielle du premier ordre suivante : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\text{d}u_{C}}{\text{d}t}+\frac{u_{C}}{\tau}=0 \quad\text{avec}\quad \tau=RC \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} On voit immédiatement, par analyse dimensionnelle de l'équation différentielle, que \(\tau\) représente une durée. Les solutions sont de la forme \(u_C(t)=A \mathrm{e}^{-t/\tau}\). On détermine \(A\) grâce à la condition initiale \(u_C(0)=e_0\), ce qui donne \(A=e_0\). Finalement, la tension \(u_C\) évolue au cours du temps suivant la loi \[ u_{C}(t)=e_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad\text{et}\quad i(t)=-C\frac{\text{d}u_{C}}{\text{d}t} =\frac{e_0}{R}\mathrm{e}^{-t/\tau} \] La tension capacitive décroît exponentiellement jusqu'à s'annuler au bout d'un certain temps conformément à ce que l'on avait prévu dans l'analyse des conditions aux limites.

Le temps caractéristique de cette décharge peut s'obtenir en prenant l'intersection de la tangente à l'origine avec la valeur finale \(u_C=0\). Il est facile de montrer que cette intersection a lieu lorsque \(t=\tau\). La durée \(\tau=RC\) donne ainsi un ordre de grandeur de la durée de la décharge.

On voit donc qu'une grande résistance ralentit le temps de décharge du condensateur.

Le courant de décharge, quant à lui, n'est pas constant lors de ce processus. Maximum à \(t=0^{+}\) \((i_\text{max}=e_0/R)\), il décroit avec le même temps de relaxation que la tension. Notez que le courant n'est pas une fonction continue puisqu'il subit une discontinuité entre \(t=0^-\) et \(t=0^+\). En effet, en basculant l'interrupteur K sur la branche contenant la résistance, on met brutalement la résistance sous tension \((e_0)\) ce qui impose un courant initial \(e_0/R\).

Bilan d'énergie

D'un point de vue énergétique, l'énergie stockée sous forme électrique \(W_E=\frac{1}{2}C{u_C}^2\) décroît avec un temps de relaxation \(\tau_{E}=\tau/2\). En effet, la conservation de l'énergie se traduit par \[ \underbrace{\frac{\mathrm{d}(1/2C{u_C}^2)}{\mathrm{d} t}}_\text{puissance stockée}+ \underbrace{\quad\frac{{u_C}^2}{R}\quad}_\text{puissance dissipée} =0 \] En remplaçant \({u_C}^2\) par \(2W_E/C\) on trouve l'équation donnant l'évolution de l'énergie emmagasinée par le condensateur : \[ \frac{\mathrm{d}W_E}{\mathrm{d} t}+\frac{2}{\tau}W_E=0 \quad\Rightarrow\quad W_E=W_{E,i}\,\mathrm{e}^{-t/\tau_E} \] L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur est complètement dissipée par effet Joule après une durée de l'ordre de \(5\tau_E\). On peut le vérifier par un calcul direct de l'énergie dissipée : \[ \int_{0}^{\infty}Ri^{2}(t)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\frac{{e_0}^2}{R}\mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}C{e_0}^{2} \]

Circuit RL

Montage étudié

Considérons un circuit constitué d'une source de f.é.m \(e_0\) en série avec une résistance \(r_0\) (si la source présente une résistance interne alors celle-ci est incluse dans \(r_0\)) qui, dans un premier temps alimente une bobine idéale. Au bout d'un certain temps, un courant permanent s'établit. Dès lors, la bobine se comportant comme un fil, on voit immédiatement que le courant s'établit à la valeur \(i_0=e_0/r_0\).

À l'instant \(t=0\), on bascule un interrupteur K de sorte que la bobine se trouve en contact avec une résistance de charge \(R\). On oriente le courant dans le sens qui correspond au sens réel du courant \(i_0\).

La continuité du courant qui traverse la bobine impose \[ i(0^+)=\frac{e_0}{r_0} \quad\text{d'où}\quad u_L(0^+)=-Ri(0^+)=-\frac{R}{r_0}e_0 \]

Lorsque le régime permanent est établi, toutes les grandeurs sont stationnaires et la bobine se comporte comme un fil. On a donc \[ u_L(t)=0 \quad\text{et}\quad i(t)=0 \quad\text{quand }t\to \infty \] On prévoit donc un régime transitoire durant lequel la tension augmente et le courant diminue.

Régime transitoire

Cherchons l'évolution du courant et de la tension inductive \(u_{L}(t)\) à partir de \(t=0\). La loi des mailles implique \[ u_{L}(t)+Ri(t) =0 \quad\text{avec}\quad u_{L}(t)=L\frac{\text{d}i}{\text{d}t} \] ce qui donne, en posant \(\tau=L/R\),

Les solutions de cette équation différentielle du premier ordre sont de la forme \(i=A\mathrm{e}^{-t/\tau}\). On détermine la constante d'intégration à l'aide de la condition initiale \(i(0^+)=e_0/r_0\). Il en sort \[ i(t)=\frac{e_0}{r_0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad\text{et}\quad u_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\frac{Re_0}{r_0}\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \] Tension et courant relaxent exponentiellement avec une constante de temps \(\tau=L/R\). La mesure de ce temps caractéristique peut permettre de mesurer la self-inductance d'une bobine par exemple.

Contrairement au courant, la tension inductive subit une discontinuité au moment du basculement de l'interrupteur. Cette surtension peut devenir relativement importante si \(R\gg r_0\).

Bilan énergétique

Comme pour le dipôle RC, l'énergie magnétique stockée initialement dans la bobine \(W_{B}=\frac{1}{2}Li^{2}\) décroît avec un temps de relaxation \(\tau_{E}=\tau/2\). La conservation de l'énergie électrique s'écrit \[ \underbrace{\frac{\mathrm{d}(1/2Li^2)}{\mathrm{d} t}}_\text{puissance stockée}+ \underbrace{\quad Ri^2\quad}_\text{puissance dissipée} =0 \] En remplaçant \(i^2\) par \(2W_{B}/L\) on aboutit à l'équation décrivant l'évolution de l'énergie magnétique stockée dans la bobine : \[ \frac{\mathrm{d}W_{B}}{\mathrm{d} t}+\frac{2}{\tau}W_{B}=0 \quad\Rightarrow W_{B}=W_{M,i}\,\mathrm{e}^{-t/\tau_E} \] Là aussi, l'énergie stockée est complètement dissipée par effet Joule puisque \[ \int_{0}^{\infty}Ri^{2}(t)\,\text{d}t=\int_{0}^{\infty}\frac{R{e_0}^2}{{r_0}^2}\mathrm{e}^{-2t/\tau}\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}Li_{0}^{2} \]

Oscillateur RLC

Montage RLC série

Alimentons un circuit constitué d'une bobine d'induction d'auto-inductance \(L\) en série avec un condensateur de capacité \(C\) et d'un conducteur ohmique de résistance \(R\). Un interrupteur permet de mettre en contact la source continue de f.é.m \(e_0\) avec le dipôle RLC. Nous supposons qu'avant de fermer l'interrupteur, le condensateur est déchargé.

Quelles sont les conditions aux limites du problème ?

• Juste après la fermeture de l'interrupteur, la continuité de la tension capacitive et du courant traversant la bobine, impose \[ i(0^+)=0 \quad\text{et}\quad u_C(0^+)=0 \]
• Une fois le régime permanent établi, les grandeurs électriques sont stationnaires, et l'on peut remplacer la bobine par un fil. On a alors pour \(t\to \infty\) \[ q(t)=\mathrm{C^{te}} \quad \Rightarrow i(t)=0 \quad\text{et}\quad u_C(t)=e_0 \]

Mise en équation

La loi des mailles donne pour \(t>0\) \begin{equation} e_0=Ri+L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d} t}+u_C \quad\text{avec}\quad i=C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d} t} \end{equation} Choisissons d'étudier la tension capacitive \(u_C(t)\). Celle-ci obéit donc à l'équation-différentielle \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2u_C}{\mathrm{d}t^2 }+2\lambda \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d} t}+{\omega_0}^2 u_C={\omega_0}^2 e_0 \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} 2\lambda&=&\frac{R}{L}\\ \omega_0&=&\frac{1}{\sqrt{LC}} \end{array}\right. \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} équation canonique d'un oscillateur harmonique amorti de pulsation propre \(\omega_0\) et de coefficient d'amortissement \(\lambda\), soumis à une excitation constante.

Avant d'expliciter la forme des solutions, remarquons que le comportement de cet oscillateur ne dépend que de deux paramètres : \(\lambda\) et \(\omega_0\) qui sont homogènes à l'inverse d'un temps. On peut donc former deux temps caractéristiques \[ \tau_1=\frac{1}{\omega_0}=\sqrt{LC} \quad\text{et}\quad \tau_2=\frac{1}{\lambda}=\frac{2L}{R} \] Une solution particulière est \(u_C(t)=e_0\), et les solutions de l'équation homogène se mettent sous la forme \(u_C(t)=A\,\mathrm{e}^{r\,t}\) avec \(r\) solution de l'équation caractéristique du second degré \[ r^{2}+2\lambda\, r+{\omega_0}^2=0 \] Le discriminant \(\Delta=4\left(\lambda^2-{\omega_0}^2\right)\) a son signe qui dépend de la valeur de la résistance. En effet, si l'on définit \(R_\text{c}=2\sqrt{L/C}\), on a \[ \Delta \leq 0 \quad\text{si}\quad R\leq R_\text{c} \quad\text{et}\quad \Delta \geq 0 \quad\text{si}\quad R\geq R_\text{c} \] \(R_\text{c}\) est la résistance critique de l'oscillateur RLC série.

Régimes transitoires

Suivant le signe du discriminant, et donc la valeur de la résistance, on distingue trois régimes transitoires différents.

Régime pseudo-périodique : \(R<R_\text{c}\) — Dans ce cas, le discriminant de l'équation caractéristique est négatif et les racines sont complexes : \[ r=-\lambda \pm i\omega \qquad\text{avec}\qquad \omega^2={\omega_0}^2-\lambda^2 \] La solution réelle est de la forme \[ u_C(t)=A\mathrm{e}^{-\lambda\,t}\,\cos\left(\omega t+\varphi\right)+e_0 \] La tension capacitive oscille donc avant de se stabiliser à sa valeur imposée par le générateur. L'amortissement des oscillations est caractérisée par la constante de temps \(\tau_{2}=2L/R\). Plus la résistance est faible, plus longue est la durée du régime transitoire. Dans ce régime, c'est la bobine qui impose son temps de réponse au système.

Les oscillations amorties se caractérisent également par une pseudo-période \(T\), durée entre deux maxima successifs, qui est aussi la période de \(\cos(\omega t+\varphi)\) : \[ T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{{\omega_0}^2-\lambda^2}} \]

Régime apériodique : \(R>R_\text{c}\) — Le discriminant de l'équation caractéristique est positif et les solutions sont réelles : \[ r_\pm=-\lambda\pm \sqrt{\lambda^2-{\omega_0}^2} \] La solution s'écrit \[ u_C(t)=A\,\mathrm{e}^{r_+ t}+B\,\mathrm{e}^{r_- t}+e_0 \quad\text{avec}\quad r_\pm <0 \] Les deux racines étant négatives, chaque exponentielle tend vers 0 lorsque \(t\to \infty\) : l'oscillateur atteint l'équilibre sans osciller et d'autant plus lentement que l'amortissement est fort. L'exponentielle la plus lente impose son temps de relaxation. On montre que si l'amortissement est fort, c'est le condensateur qui impose son temps de réponse.

Régime critique : \(R=R_\text{c}\) — Le discriminant de l'équation caractéristique est nulle et la racine est double : \(r=-\omega_0\). La solution s'écrit alors \[ u_C(t)=(A+Bt)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}+e_0 \] L'oscillateur atteint l'équilibre sans osciller (on dit qu'il n' y a pas dépassement). Dans ce cas, les deux constantes de temps \(\tau_1\) et \(\tau_2\) sont identiques et correspondent au temps de relaxation du dipôle. On montre que le régime critique permet d'atteindre le régime forcé le plus rapidement possible sans dépassement. Autrement dit le temps de relaxation d'un circuit RLC est minimum en régime critique et vaut \[ \tau_\text{min}=\frac{1}{\omega_0}=\sqrt{LC} \]

Aspects énergétiques

Multiplions par \(i(t)\) la loi des mailles (1) : \[ e_0\, i(t)=R{i(t)}^2+L \frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d} t}i(t)+u_Ci(t) \quad\text{avec}\quad i(t)=C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d} t} \] Faisons intervenir l'énergie emmagasinée sous forme électromagnétique \(W_{EB}=\frac12 Li^2+\frac12 C{u_C}^2\) : \[ e_0\,i(t)=R{i(t)}^2+\frac{\mathrm{d}W_{EB}}{\mathrm{d} t} \] équation qui traduit la conservation de l'énergie. En effet, la puissance fournie par la source de tension \((e_0i)\) est pour une part dissipée par la résistance \((Ri^2)\) et pour une autre stockée dans la bobine et le condensateur \((\mathrm{d}W_{EB}/\mathrm{d}t)\).

L'énergie totale fournie par la source pendant le régime transitoire vaut \[ W_\text{f}=\int_0^\infty e_0\,i(t)\, \mathrm{d}t=e_0\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}q(t)}{\mathrm{d} t}\, \mathrm{d}t= e_0\left[q(\infty)-q(0)\right]=C{e_0}^2 \] À la fin, une partie de cette énergie se retrouve stockée (notamment dans le condensateur) : \[ W_{EB}=\frac12 L{i(\infty)}^2+\frac12 C{u_C(\infty)}^2=\frac12 C{e_0}^2 \] Autrement dit, l'énergie dissipée par effet Joule vaut \[ W_\text{diss}=W_\text{f}-W_{EB}=\frac12 C{e_0}^2 \] 50% de l'énergie fournie par la source est irrémédiablement perdue, ceci quelle que soit la durée du régime transitoire.