MENUCours d'Optique

Cette fiche de cours porte sur les lentilles minces. L'approche est essentiellement descriptive et repose sur la maîtrise de la construction des rayons lumineux.

Propriétés des lentilles minces

Description

Une lentille mince est formée par l’association de deux dioptres sphériques de grand rayon de courbure par rapport à l’épaisseur de la lentille. Plus précisément, si l'on note \(R_{1}\), \(R_{2}\) les rayons de courbure, \(\mathrm{C_{1}}\), \(\mathrm{C_{2}}\) les centres de courbure et \(e\) l'épaisseur de la lentille, on a \[e \ll R_{1}\qquad e \ll R_{2}\qquad \text{et}\quad e\ll C_{1}C_{2}\] Dans l’approximation des lentilles minces, les sommets \(\mathrm{S_{1}}\) et \(\mathrm{S_{2}}\) sont considérés confondus en un point O appelé centre optique. On considèrera que les lentilles sont plongées dans l'air d'indice \(n'\simeq 1\). On distingue deux types de lentilles :

• les lentilles à bords minces qui sont convergentes,
• les lentilles à bords épais qui sont divergentes.

Aberrations géométriques

La lentille n’est pas un système rigoureusement stigmatique. On dit que la lentille présente des aberrations géométriques. La figure ci-dessous montre qu'une lentille plan-convexe donne d'un point à l'infini sur l'axe une image ponctuelle à condition que son épaisseur soit faible devant son rayon de courbure ou, ce qui est équivalent, que les rayons considérés soient peu éloignés de l'axe optique. On pourrait montrer qu'il faut également que l'inclinaison des rayons soit faible.

Aberrations chromatiques

L’indice variant avec la longueur d’onde (phénomène de dispersion), la lumière rouge n’aura pas le même comportement que la lumière bleue. Ainsi, en lumière polychromatique, l’image que donne une lentille sera iriséeQui a les couleurs de l’arc-en-ciel.. On parle alors d’aberrations chromatiques. On lutte contre ce défaut en ajoutant des lentilles qui permettent de compenser la dispersion chromatique (cf. §2.4-Lentilles-accolées ).

Notion de foyers

Dans le cadre de l’approximation de Gauss, l’image d’un point est un point. Deux points jouent un rôle particulier dans les lentilles : il s’agit des foyers objet et image.

Foyer image — Par définition, l’image d’un point à l’infini sur l’axe est le foyer image F’. Dans le cas d’une lentille convergente, le foyer image est réel alors qu’il a le statut d’image virtuelle pour une lentille divergente.

On définit la distance focale image \[f' \stackrel{\text{def}}= \overline{\text{OF'}}\]

Foyer objet — Par définition, un objet lumineux placé au foyer objet F aura pour image un point à l'infini sur l'axe. Dans le cas d'une lentille convergente, le foyer objet est réel alors qu'il a le statut d'objet virtuel pour une lentille divergente. De façon analogue, on définit la distance focale objet \[f \stackrel{\text{def}}= \overline{\text{OF}}\]

Cette relation est évidente pour les lentilles symétriques (principe du retour inverse de la lumière) ; dans ce cas O est le centre de symétrie de la lentille. Elle est valable pour les lentilles asymétriques parce que l'on se place dans l'approximation des lentilles infiniment minces. On montre également que dans ce cas, tout rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié.

Pour quantifier la capacité à faire converger les rayons on définit la vergence \(V\) d'une lentille par

Il s'agit donc d'une quantité algébrique qui a la dimension de l'inverse d'une longueur. Dans le SI, on l'exprime en dioptrie (δ) : 1 δ = 1 m^-1.

• Si \(V>0\) la lentille est convergente et F' est à droite de O.
• Si \(V<0\) la lentille est divergente et F' est à gauche de O

Plans focaux

On appelle plan focal image, le plan perpendiculaire à l'axe optique passant par F'. De même, on appelle plan focal objet, celui perpendiculaire à l'axe optique et passant par F.

Du fait de l'aplanétisme supposé des lentilles minces, on peut affirmer que l'image d'un point à l'infini se situe dans le plan focal image. Il découle de la même façon que toute objet situé dans le plan focal objet a son image située à l'infini (pas nécessairement sur l'axe optique).

Formation des images

Construction des rayons lumineux

Pour construire l’image d’un objet étendu on obéira à ces quelques principes :

• On se placera dans l’approximation de Gauss : il y a donc stigmatisme approché et aplanétisme approché. Pour trouver l’image d’un point il suffit de considérer deux rayons issus de ce point ; tous les autres issus du même point passeront par le point image. De plus, l’image d’un point sur l’axe optique étant sur l’axe optique, pour trouver l’image d’un objet droit vertical AB (A est sur l’axe optique et B est l’extrémité de l’objet) il suffit de trouver B’ l’image de B ; on sait alors que l’image est A’B’ avec A’ situé sur l’axe optique tel que A’B’ est perpendiculaire à l’axe optique.
• Avant toute chose il faut placer l’objet. Si l’objet AB est réel, il est forcément à gauche de la lentille et les rayons sont issus de chaque point de l’objet. Si l’objet est virtuel, il se situe à droite de la lentille et les rayons “objets” se dirigent vers l’objet mais sont réfractés avant d’atteindre l’objet.
• Pour trouver l’image d’un point il faut choisir des rayons dont on connait le comportement.
  • un rayon horizontal arrivant sur une lentille convergera en F’ si elle est convergente et divergera en semblant provenir de F’ si la lentille est divergente.
  • un rayon passant ou se prolongeant en F ressortira horizontalement.
  • un rayon passant par O n’est pas dévié (Propriété valable si les milieux extrêmes sont identiques, ce que l'on supposera dans nos constructions).
• Une fois les rayons tracés on détermine si l’image est réelle ou virtuelle. Si les rayons issus de B se coupent effectivement en B’, alors B’ est une image réelle. On peut la capturer sur un écran. Si les rayons issus de B divergent après réfraction en semblant provenir de B’, alors B’ est une image virtuelle visible à l’œil nu mais que l’on ne peut pas capturer directement sur un écran.

Formules de conjugaison

La formule de conjugaison d'une lentille mince s'établit rigoureusement à l'aide des lois de Descartes, mais on peut l'obtenir à partir de la notion de foyers (une fois leur existence postulée). Pour cela, comme avec les miroirs, il suffit d'exprimer le grandissement de différentes manières à l'aide des lois de Thales.

À partir des deux triangles grisés de la Fig.8 on déduit \[ \gamma=\frac{\overline{\rm A'B'}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\overline{\text{F'A'}}}{\overline{\text{F'O}}} \]

À partir des deux triangles grisés de la Fig.9 on trouve une autre expression du grandissement : \[ \gamma=\frac{\overline{\rm A'B'}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\overline{\text{FO}}}{\overline{\text{FA}}} \] Si l'on pose \(f'=\overline{\text{OF'}}\) et \(f=\overline{\text{OF}}\), les deux relations précédentes permettent d'obtenir la relation de conjugaison avec origine aux foyers (dite formule de Newton) :

On peut aussi préférer une relation qui exprime les positions de l'image et de l'objet par rapport au centre. Partant de la relation précédente on peut écrire \[ (\overline{\text{F'O}}+\overline{\text{OA'}})(\overline{\text{FO}}+\overline{\text{OA}})=ff' \] Si les milieux extrêmes sont identiques on a \(f=-f'=\overline{\text{OF}}=-\overline{\text{OF'}}\) de sorte que la relation devient \[ (\overline{\text{OA'}}-f')(\overline{\text{OA}}+f')=-f'^2 \] Développons puis divisons par \(f'\overline{\text{OA'}}\,\overline{\text{OA}}\). On trouve

Relation avec origine au centre (dite loi de Descartes). Notez que cette relation est moins générale que la relation de Newton puisqu'elle suppose \(f'=-f\). Notez également que dans ce cas, le rayon passant par O n'est pas dévié ce qui permet de relier le grandissement aux positions relatives de A et A' via la relation \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \gamma=\frac{\overline{\rm A'B'}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\overline{\text{OA'}}}{\overline{\text{OA}}} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

Projection d’une image

Il est courant de vouloir agrandir un objet pour en apprécier les détails en projetant l’objet réel sur un écran. Les constructions géométriques précédentes montrent que la relation \(\text{objet réel} \xrightarrow{\mathcal{L}}\text{image réelle}\) n’est possible qu’avec une lentille convergente. La technique de projection consiste alors à éclairer un objet réel puis à placer une lentille convergente et enfin à placer un écran pour recueillir l’image réelle. Notons \(D\) la distance objet–écran, \(x\) la distance objet–lentille et \(f'\) la distance focale image de la lentille. D’après la formule de conjugaison on a \[\frac{1}{D-x}+\frac{1}{x}=\frac{1}{f'}\] ce qui donne l’équation du second degré suivante \[x^2−D\,x+f'\,D = 0\] équation qui a deux solutions réelles à condition que le discriminant soit positif : \[\Delta=D^{2}-4f'D\geq0\Rightarrow D\geq4f'\] Il faut donc une distance objet–écran supérieure à 4 fois la distance focale de la lentille.

• Lorsque \(D=4f'\) la racine est double et vaut \(x=D/2\) : la lentille est donc au milieu entre l’objet et l’écran. On parle d’un montage 2f-2f. Dans ce cas le grandissement vaut -1 ; l’image est donc simplement renversée.
• Lorsque \(D>4f'\) il y a deux positions possibles : \(x_{\pm}=\frac{D}{2}\left(1\pm\sqrt{1-4f'/D}\right)\). Lorsque la lentille est proche de l'objet (\(x=x_{-}\)), le grandissement \(\gamma_{-}\) est -en valeur absolue- supérieur à 1 : l'image est renversée et agrandie. Lorsque la lentille est placée loin de l'objet (\(x=x_{+}\)), le grandissement \(\gamma_{+}\) est -en valeur absolue- inférieur à 1 : l'image est renversée et rétrécie. Il est facile de montrer que \[\gamma_{-}\gamma_{+}=1\]

Lentilles accolées

Considérons deux lentilles \(\mathcal{L}_{1}\) et \(\mathcal{L}_{2}\), de vergence \(V_{1}\) et \(V_{2}\) et montrons qu'en les accolant on constitue un système optique qui se comporte comme une lentille mince.

Considérons un point lumineux A sur l'axe optique. La lentille \(\mathcal{L}_{1}\) en donne une image \(A_{1}\) qui devient objet pour \(\mathcal{L}_{2}\) laquelle en donne une image finale A'.

Relions la position de A' avec celle de A par rapport au centre optique commun, appelé O. On a \[ \frac{1}{\overline{\mathrm{OA_{1}}}}-\frac{1}{\overline{\text{OA}}}=V_{1} \quad\text{et}\quad \frac{1}{\overline{\text{OA'}}}-\frac{1}{\overline{\mathrm{OA_{1}}}}=V_{2} \] d'où l'on déduit en sommant ces relations : \[\frac{1}{\overline{\text{OA'}}}-\frac{1}{\overline{\text{OA}}}=V_{1}+V_{2}\]