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MENUCours d'Optique

Ce phénomème d'éparpillement des ondes par les bords que l'on appelle diffraction, concerne aussi bien les ondes électromagnétiques que les ondes mécaniques (ondes sonores, ondes à la surface de l'eau ...). Bien que découvert au XVIIe siècle pour la lumière, il faudra attendre les travaux minutieux de Fresnel au début du XIXe siècle pour obtenir une première théorie quantitative, la théorie d'Huygens-Fresnel.
Au XVIIIe siècle, l'idée défendue par Newton selon laquelle la lumière serait constituée de corpuscules plus ou moins déviés par des forces agissant aux voisinages des obstacles, est assez répandue dans la communauté scientifique. Il faut dire que le phénomène d'aberration des étoiles (découvert par Bradley en 1729) se prête assez bien à une explication balistique. Et quand au début du XIXe siècle, Thomas Young apportent des éléments en faveur d'une description ondulatoire de la lumière, nombreux encore sont les tenants de la théorie corpusculaire qui restent sur leur position. C'est véritablement Fresnel qui, à travers sa théorie de la diffraction, apportera une pièce majeure à cette nouvelle théorie de la lumière en train de naître. Ce chapitre en expose les concepts.

Principe d'Huygens-Fresnel

Phénomène de diffraction

Le terme diffraction apparaît la première fois dans l'ouvrage du père jésuite GrimaldiFrancesco Maria Grimaldi (1618-1663), est un astronome et physicien italien. Il établit notamment la première carte de la Lune avec une précision telle qu'elle est encore utilisée de nos jours., intitulée Physico-Mathesis de Lumine, Coloribus et Iride et publiée à titre posthume en 1665. Grimaldi constate qu'au contour des obstacles ou au bord d'un trou la lumière subit un éparpillement, qui ne peut pas s'expliquer par les lois de l'optique géométrique, et appelle ce phénomène, diffraction. Ses expériences consistent à réaliser un petit trou dans un de ses volets laissant passer ainsi un faisceau conique de lumière blanche, puis à présenter dans le trajet un obstacle opaque. En observant l'ombre projeté sur un écran placé plus loin, il remarque:

Phénomène de diffraction

Tout écart à la propagation rectiligne de la lumière, qui ne peut s'expliquer ni par une réflexion, ni par une réfraction, consiste en de la diffraction.

Tache de Poisson-Arago
Diffraction par une bille. Notez l'existence de franges équidistantes dans la zone d'ombre, de franges non équidistantes en dehors, ainsi que d'une tache centrale, la tache de Poisson. © Doc Institut Optique

L'étude de ces phénomènes demande beaucoup de soin. De nos jours, leur observation est grandement facilitée grâce à la démocratisation des lasers, sources d'une grande cohérence temporelle et spatiale (cf. Fig 1).

Principe d'Huygens

En 1690, Christian Huygens présente dans son Traité de la lumière, une description ondulatoire de la lumière. Il propose le principe suivant :

Énoncé du principe d'Huygens

Chaque point d’une surface d’onde $(S_0)$ atteinte par la lumière à l’instant $t_0$ peut être considéré comme une source secondaire produisant des ondelettes sphériques. À l’instant $t$ postérieur à $t_0$, la surface d’onde $(S)$ est l’enveloppe des surfaces d’ondes émises par les sources secondaires convenablement réparties sur $(S_0)$. Ainsi, de proche en proche, l'onde se propage.

Principe d'Huygens
Principe d'Huygens

À partir de ce principe, Huygens justifie les lois de l'optique géométrique. Il retrouve la loi des sinus relative à la réfraction \[ \frac{\sin i_2}{\sin i_1}=\frac{v_2}{v_1} \] et interprète l'indice de réfraction comme l'inverse de la vitesse de propagation. À l'instar de Fermat avec son principe de moindre temps[7], Huygens conclut que la lumière se propage moins vite dans les milieux réfringents. Il faudra attendre 1849 pour confirmer ce résultat.

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Construction d'Huygens expliquant la réfraction.

Huygens n'aborde pas la diffraction dans son ouvrage bien qu'il ait eu connaissance des travaux de Grimaldi. Peut-être a-t-il pris conscience que sa théorie ne permettait pas d'expliquer complètement le phénomène. En effet, la construction d'Huygens permet de comprendre comment la lumière peut s'accumuler derrière un obstacle, mais sa théorie souffre de deux inconvénients majeurs.

  1. Elle ne permet pas d'accéder à l'intensité lumineuse, mais juste au front d'onde vue comme enveloppe des ondelettes.
  2. De surcroît elle ne fait pas intervenir la longueur d'onde. D'ailleurs Huygens voit la lumière plus comme des ondes de choc que comme une vibration. Aussi, la forme de la surface d'onde obtenue par la construction d'Huygens derrière un obstacle est-elle identique quelle que soit la taille de l'obstacle, ce que contredisent clairement les faits.

L'époque d'Huygens est largement dominée par une vision mécaniste du monde. Newton, à la fin de son ouvrage Optiks (1704), évoque l'hypothèse que la lumière soit une pluie de particules subissant des forces lors de la rencontre avec un milieu matériel. Cette théorie balistique aura une grande influence sur les physiciens du XVIIIe siècle. Ainsi, les idées d'Huygens restèrent inexploitées pendant plus d'un siècle. Il faudra attendre les travaux de Fresnel pour donner au principe d'Huygens un caractère prédictif en très bon accord avec la réalité.

Le principe d'Huygens-Fresnel

En 1817, Afin de trancher la question de la nature de la lumière, l'Académie des Sciences de Paris lance un concours sur le thème de la diffraction de la lumière. Augustin Fresnel, un jeune polytechnicien, dépose in extremis un mémoire issu d'expériences et de réflexions qu'il mène depuis 1815. Dans ce travail, Fresnel démonte les différents arguments des tenants de la théorie balistique. Fresnel montre notamment :

Ces observations, dont certaines avaient déjà été relevées par Young quelques années plus tôt, contredisent clairement la théorie balistique. Adoptant un point de vue ondulatoire, il reprend le principe d'Huygens et introduit le concept d'interférence d'Young ce qui lui permet de calculer le champ diffracté de manière remarquablement juste. Plus précisément, Fresnel découpe le front d'onde en éléments de surface $\mathrm{d}S$ agissant comme des sources secondaires et émettant des ondes sphériques harmoniques, de la forme \[ \frac{A}{r}\,\mathrm{e}^{i(\omega t-kr)} \quad\text{avec}\quad k=\frac{2\pi}{\lambda} \] Fresnel suppose que ces ondelettes vibrent de façon synchrone et en phase avec l'onde directe, leur amplitude $A$ étant proportionnelle à $\mathrm{d}S$. Ces ondelettes, en nombre infini, se superposent -c'est-à-dire interfèrent- au point M où l'on calcule l'onde résultante. Là où Huygens considérait seulement l'enveloppe des ondelettes, Fresnel obtient l'onde diffractée par un calcul d'une somme intégrale d'ondelettes.

Principe d'Huygens-Fresnel

Tout point P atteint par la lumière issue d'une source primaire, peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique. L'état vibratoire de cette source secondaire est proportionnel à celui de l'onde incidente en P et à l'élément de surface $\mathrm{d}S$ entourant le point P. Les vibrations issues des différentes sources secondaires interfèrent entre elles. Si $\underline{\psi}(\text{M})$ désigne l'amplitude complexe de l'onde produite en M et $\underline{\psi}(\text{P})$ l'état vibratoire de la source secondaire située en P, on a \[ \underline{\psi}(\text{M})=\iint_{(S)}\mathrm{d}\underline{\psi} \quad\text{avec}\quad \mathrm{d}\underline{\psi}=K\,\underline{\psi}(\text{P})\frac{\mathrm{e}^{-ikr}}{r}\,\text{d}S \] où $r=\text{PM}$ et $K$ est une constante homogène à l'inverse d'une distance.

La constante de proportionnalité $K$ est en réalité fonction de la direction $\theta$ dans laquelle l'onde est émise : Fresnel ne précise pas l'expression de $K(\theta)$ mais admet que l'ondelette ne perturbe pas le front d'onde d'où elle est émise ($K=0$ pour $\theta=\pi/2$). Par ailleurs, Fresnel se place dans les conditions paraxiales de sorte que les angles de diffraction restent suffisamment proches de zéro pour pouvoir considérer $K$ comme une constante.

À partir de ce principe, Fresnel est capable de prédire avec précision la position et la taille des franges de diffraction produites par différents obstacles. Son mémoire est un véritable traité d'optique ondulatoire d'une qualité remarquable ce qui lui vaut de remporter le prix de l'Académie en 1819.

Justification du principe d'Huygens-Fresnel

Cette partie peut être omise lors d'une première lecture.

La lumière étant une onde électromagnétique, le phénomène de diffraction relève de la théorie électromagnétique de Maxwell. C'est Arnold Sommerfeld qui, le premier, effectua un calcul exactSommerfeld a résolu le problème de la diffraction d'une onde plane par un plan semi-infini opaque et conducteur. de diffraction dans la cadre de la théorie de Maxwell. Hélas, en général, les calculs sont vite insurmontables, et seul un petit nombre de cas est parfaitement résolu.

A côté, la formulation d'Huygens-Fresnel est beaucoup plus simple et relativement efficace. Toutefois, pour donner du crédit à cette formulation il est légitime d'essayer de la justifier à partir de la théorie de Maxwell. C'est Kirchhoff qui proposa en 1882 une telle explication.

La méthode de Kirchhoff consiste à partir de l'équation d'onde vérifiée par une composante du champ électromagnétique que nous noterons $\psi(\text{M},t)$: \[ \triangle \psi(\text{M},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\mathrm{d}^2\psi(\text{M},t)}{\mathrm{d}t^2}=0 \] ce qui mène, si l'on se restreint à l'étude des ondes monochromatiques de la forme (en notation complexe) $\underline{\psi}(\text{M},t)=\underline{\psi}(\text{M})\,\mathrm{e}^{i\,\omega t}$, à l'équation de Helmholtz: \[ \triangle \underline{\psi}(\text{M})+k^2\underline{\psi}(\text{M})=0 \quad\text{avec}\quad k=\frac{2\pi}{\lambda} \] À partir de cette relation et des théorèmes mathématiques relatifs à l'intégration, il est possible de calculer le champ électrique en un point M, si l'on connait sa valeur en tout point d'une surface l'entourant. Plus précisément, si l'on considère un écran opaque infini dans lequel est percé une ouverture $(S)$, alors le champ en un point M s'écrit \begin{equation} \underline{\psi}(\text{M})=\frac{1}{4\pi}\iint_{(S)} \left[\frac{\mathrm{e}^{-i\, kr}}{r} \overrightarrow{\nabla}\underline{\psi}(\text{P})- \underline{\psi}(\text{P})\,\overrightarrow{\nabla}(\mathrm{e}^{-i\, kr}/r)\right]\mathrm{d}S\,\overrightarrow{n} \quad\text{avec}\quad r=\text{MP} \label{phenomene_de_diffraction:eq3} \end{equation} Dans l'intégrale, P parcourt la surface de l'ouverture et $\overrightarrow{n}$ désigne le vecteur unitaire normal à $(S)$ et orienté vers la gauche. La relation \eqref{phenomene_de_diffraction:eq3} constitue le théorème de Helmholtz-Kirchhoff.

Paramétrisation du problème de diffraction
Paramétrisation du problème de diffraction. Les surfaces d'onde sont représentées en bleu.

D'après ce théorème, on peut calculer le champ électrique en M si l'on connait sa valeur et son gradient en tout point de l'ouverture diffractante. Plaçons-nous dans le cas où l'écran opaque est plan et définissons l'axe O$z$ perpendiculaire au plan, de sorte que $\overrightarrow{n}=-\overrightarrow{u_z}$ (cf. Fig 4). Dans la relation \eqref{phenomene_de_diffraction:eq3}, le premier terme de l'intégrale s'écrit \[ \frac{\mathrm{e}^{-i\, kr}}{r} \overrightarrow{\nabla}\underline{\psi}(\text{P})\cdot \overrightarrow{n}= -\frac{\mathrm{e}^{-i\, kr}}{r} \frac{\partial \underline{\psi}}{\partial z}(\text{P}) \] et le second terme vaut \[ \underline{\psi}(\text{P}) \overrightarrow{\nabla}(\mathrm{e}^{-i\, kr}/r)\cdot\overrightarrow{n}=-\underline{\psi}(\text{P}) \frac{\partial \mathrm{e}^{-i\, kr}/r}{\partial r}\, \overrightarrow{u_r}\cdot \overrightarrow{u_z}= \underline{\psi}(\text{P})\left(\frac{-ikr-1}{r^2}\right)\mathrm{e}^{-i\, kr}\,\cos\theta \] Pour simplifier, supposons une onde incidente plane arrivant en incidence normale. À partir de là, procédons à deux approximations.

  1. L'onde incidente est peu modifiée au niveau de l'ouverture diffractante. \[ \underline{\psi}_\text{incident}=f(x,y)\mathrm{e}^{-ikz} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial \underline{\psi}}{\partial z}(\text{P})=-ik\, \underline{\psi}(\text{P}) \]
  2. le point M est placé à une distance $r$ grande devant la longueur d'onde de sorte que $kr\gg 1$.

Dans ce contexte, on aboutit à l'approximation suivante: \begin{equation} \boxed{ \underline{\psi}(\text{M})\simeq\frac{i}{\lambda}\iint_{(S)}\left(\frac{1+\cos\theta}{2}\right)\underline{\psi}(\text{P})\frac{\mathrm{e}^{-i\, kr}}{r} \mathrm{d}S } \label{phenomene_de_diffraction:eq4} \end{equation} On retrouve la formulation d'Huygens-Fresnel avec, en prime, l'expression du facteur $K$ qui se révèle non constant. On trouve \[ K=\frac{i}{\lambda}\frac{1+\cos\theta}{2} \] L'émission des ondelettes n'est donc pas isotrope : elle est maximum quand $\theta=0$ et décroit quand $|\theta|$ croît comme l'avait suggéré Fresnel. En revanche, contrairement à ce que pensait Fresnel, les ondelettes secondaires vibrent en quadrature de phase avec l'onde incidente puisque $K$ est imaginaire pure. Cependant, cet aspect n'a aucune importance si l'on ne s'intéresse qu'à la répartition de l'intensité lumineuse.

Finalement on retiendra que la formule d'Huygens-Fresnel est une bonne approximation à condition de supposer que l'onde incidente est peu perturbée par les bords de l'ouverture (ce qui suppose que l'ouverture soit grande devant $\lambda$) et que l'on se place à des distances d'observation grandes devant $\lambda$. Si en plus on s'impose des conditions paraxiales, on a $\theta$ petit d'où $K\simeq i/\lambda=\mathrm{C^{te}}$. Ces conditions sont en général réunies en optique.

Diffraction de Fresnel

Diffraction par un trou le long de l'axe

Cherchons l'intensité de l'onde diffractée par une pupille circulaire éclairée par une onde plane, et intéressons-nous plus particulièrement au champ diffracté le long de l'axe de la pupille. Considérons un écran opaque percé d'un trou circulaire de diamètre $d$ éclairé par une onde plane monochromatique en incidence normale.

Diffraction par une pupille
Position du problème

L'obstacle est placé dans le plan $z=0$ de sorte que l'état ondulatoire de l'onde dans le plan $z=0^+$ est donné par \[ \underline{\psi}(\text{P})= \begin{cases} \underline{\psi_0} &\text{ si }\rho <d/2\\ 0 &\text{ sinon} \end{cases} \] En l'absence d'obstacle, l'onde incidente présente une intensité uniforme $I_0=\frac12|\underline{\psi_0}|^2$. En vertu du principe d'Huygens-Fresnel, l'onde diffractée en M s'écrit \[ \underline{\psi}(\text{M})= \iint_{(S)}K\,\underline{\psi}(\text{P})\frac{\mathrm{e}^{-ikr}}{r}\,\text{d}S =K\underline{\psi_0}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{d/2}\frac{\mathrm{e}^{-ik\sqrt{\rho^2+z^2}}}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\, \rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \] où l'on a choisi le système polaire $(\rho,\theta)$ pour repérer le point P. Le calcul de l'intégrale double se découple en un produit de deux intégrales simples (théorème de Fubini) : \[ \underline{\psi}(\text{M})= K\underline{\psi_0}\,2\pi\int_{\rho=0}^{d/2}\frac{\mathrm{e}^{-ik\sqrt{\rho^2+z^2}}}{\sqrt{\rho^2+z^2}}\, \rho\mathrm{d}\rho=K\underline{\psi_0}\,2\pi\left[\frac{i}{k}\mathrm{e}^{-ik\sqrt{\rho^2+z^2}}\right]_0^{d/2} \] Finalement, l'amplitude complexe du champ diffracté en M vaut \[ \underline{\psi}(\text{M})= \frac{i\,2\pi\,K}{k}\left[\underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-ik\sqrt{(d/2)^2+z^2}}-\underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-ikz}\right] \] Si l'on utilise la valeur du facteur d'inclinaison $K$ donnée par la théorie de Fresnel-Kirchhoff, soit $K=\frac{i}{\lambda}$ ici, on trouve

\begin{equation} \underline{\psi}(\text{M})= \underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-ikz}-\underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-ik\sqrt{(d/2)^2+z^2}} \label{phenomene_de_diffraction:eq5} \end{equation}

Résultat qui s'interprète simplement: le premier terme correspond à l'onde incidente (en $\mathrm{e}^{i(\omega t-kz)}$), et le deuxième à une onde issue du bord du trou, émis avec un retard de $\pi$ (du fait de la présence du signe -) et parcourant un chemin optique égal à $\sqrt{(d/2)^2+z^2}$. Un résultat inattendu est que l'onde déviée par le bord présente en M la même amplitude que l'onde incidente. En conséquence, cette superposition peut produire des interférences complètement destructives. En effet, le calcul de l'intensité lumineuse en M, donne \begin{equation} I=\frac12 \underline{\psi}\underline{\psi}^\star=2I_0\left[1-\cos\left(k\sqrt{z^2+(d/2)^2}-kz\right)\right] \label{phenomene_de_diffraction:eq1} \end{equation} Le graphe de l'intensité en fonction de $z$ (cf. Fig. 6) montre clairement l'existence de minima nuls résultant de l'interférence destructive entre l'onde incidente et l'onde diffractée par les bords. Les minima vérifient la condition \[ \sqrt{z^2+(d/2)^2}-z=p\lambda \quad\text{avec}\quad p\in \mathbb{N}^\star \]

Intensité de la lumière diffractée le long de l'axe d'une pupille circulaire
Intensité de la lumière diffractée le long de l'axe d'une pupille circulaire de diamètre $d=20\lambda$.

Comme on le voit, ces modulations d'intensité apparaissent lorsque l'on est proche de l'obstacle diffractant et leur nombre est de l'ordre de $d/2\lambda$. Ces modulations rapides d'intensité sont caractéristiques de la diffraction en champ proche. En revanche, lorsque \[ \sqrt{z^2+(d/2)^2}-z < \frac{\lambda}{2} \quad\text{soit}\quad z>\frac{d^2-\lambda^2}{4\lambda} \] L'intensité lumineuse décroît de façon monotone jusqu'à s'annuler à l'infini. Plus précisément, l'intensité décroît comme $1/z^2$ lorsque $z\gg\frac{d^2-\lambda^2}{4\lambda}$. Cette diminution d'intensité le long de l'axe est directement liée à une dispersion angulaire de l'énergie lumineuse ; c'est une des caractéristiques de la diffraction en champ lointain, et qui fait l'objet du chapitre suivant.

Le calcul précédent suppose un facteur d'inclinaison $K$ constant. En réalité comme on l'a déjà vu, l'émission des ondelettes sphériques n'est pas isotrope. Lorsque l'on tient compte de cet effet, on trouve[5] la relation \begin{equation} I=I_0\left[1+\frac{z^2}{z^2+(d/2)^2}-\frac{2z}{\sqrt{z^2+(d/2)^2}}\cos\left(k\sqrt{z^2+(d/2)^2}-kz)\right)\right] \label{phenomene_de_diffraction:eq2} \end{equation} On retrouve les modulations d'intensité, mais leur amplitude décroît lorsque $z\to 0$. Ainsi $I\to I_0$ quand on se rapproche du plan de la pupille circulaire, conformément à l'hypothèse selon laquelle l'onde incidente n'est pas perturbée dans le plan $z=0$.

Diffraction par un trou hors de l'axe

Le calcul du champ diffracté par une ouverture circulaire en un point M situé hors de l'axe présente plus de difficultés que le calcul précédent. Tout d'abord, la symétrie cylindrique du problème invite à repérer le point M par ses coordonnées cylindriques $(\rho',\theta',z)$. Comme précédemment, on repère le point P par ses coordonnées polaires ($\rho,\theta$).

Diffraction par une pupille
Paramétrisation du problème.

D'après la formule de Fresnel, le champ diffracté s'écrit \[ \underline{\psi}(\text{M})= \iint_{(S)}K\,\underline{\psi}(\text{P})\frac{\mathrm{e}^{-ikr}}{r}\,\text{d}S \quad\text{avec}\quad r=\text{PM}=(\rho^2+z^2+{\rho'}^2-2\rho\rho'\cos(\theta'-\theta))^{1/2} \] L'invariance par rotation d'axe O$z$ entraîne une indépendance de l'onde avec $\theta'$. Par conséquent, on peut choisir $\theta'=0$. On obtient \[ \underline{\psi}(\text{M})=K\underline{\psi_0} \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{d/2} \frac{\mathrm{e}^{-ik\sqrt{\rho^2+z^2+{\rho'}^2-2\rho\rho'\cos\theta}}}{\sqrt{\rho^2+z^2+{\rho'}^2-2\rho\rho'\cos\theta}} \,\rho\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta \] Nous n'entrerons pas dans le détail de ce calcul trop technique par rapport à notre propos, et l'on renvoie le lecteur aux références [4] et [3] pour plus d'informations.

Pupille90 1000 Pupille80 1000 Pupille70 1000 Pupille60 1000 Pupille50 1000 Pupille30 1000 Pupille15 1000 Pupille10 1000
Intensité reçue sur un capteur situé à $z=1000\lambda$ d'une pupille diffractante de rayon $R$ (simulation). La sensibilité est fixée de sorte le nombre de photons captés reste constant. Le cercle blanc indique les bords de l'image géométrique.

Intéressons nous plutôt aux propriétés du champ diffracté obtenu en résolvant numériquement l'intégrale précédente. La figure 7 montre l'évolution de l'intensité reçue par un capteur situé à $z=1000\,\lambda$ de la pupille dont le rayon varie entre 10 et 90$\lambda$. On peut faire les observations suivantes.

Tache de Poisson-Arago

Lorsqu'en 1818 Augustin Fresnel présente ses travaux à l'Académie des Sciences de Paris, il laisse certains scientifiques sceptiquesPrécisons que le jury chargé de remettre le prix de l'Académie des Sciences est constitué de trois newtoniens convaincus : Pierre-Simon Laplace (dit le "Newton français"), Jean-Baptiste Biot (l'inventeur de la polarimétrie) et Siméon Poisson.. L'un d'entre eux, Siméon Poisson, remarque que sa formule prévoit l'existence d'une concentration de lumière derrière un obstacle circulaire, au centre de l'ombre géométrique. En effet, toutes les ondelettes arrivent nécessairement en phase au centre de l'ombre, entraînant une accumulation de lumière.

Détaillons le calcul de Poisson. Considérons un disque opaque de diamètre $d$ éclairée par une onde plane en incidence normale. La relation d'Huygens-Fresnel permet assez facilement de calculer la distribution de l'intensité lumineuse derrière le disque (dans l'ombre géométrique) en tout point de l'axe du disque. On a \[ \psi(\text{M})=K\iint_{(S)}\underline{\psi}(\text{P})\frac{\mathrm{e}^{-ikr}}{r}\,\text{d}S \quad\text{avec}\quad \underline{\psi}(\text{P})= \begin{cases} \underline{\psi_0} &\text{ si }\rho>d/2\\ 0 &\text{ sinon} \end{cases} \] Comme on le voit, l'état ondulatoire $\underline{\psi}(\text{P})$ est complémentaire de celui pour un trou : \[ \underline{\psi}^\text{disque}(\text{P})+\underline{\psi}^\text{trou}(\text{P})=\underline{\psi_0} \quad \forall{\text{P}} \] Notons $\underline{\psi}^\text{disque}(\text{M})$ et $\underline{\psi}^\text{trou}(\text{M})$ les ondes diffractées respectivement par un disque et un trou. On a \[ \underline{\psi}^\text{disque}(\text{M})+\underline{\psi}^\text{trou}(\text{M})= \underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-i\, kz} \] En effet, lorsque l'on superpose les deux obstacles complémentaires tout se passe comme s'il n'y avait pas d'écran diffractant. Par conséquent, l'amplitude diffractée par un disque de diamètre $d$ le long de son axe, s'obtient à partir de la relation \eqref{phenomene_de_diffraction:eq5}. \[ \underline{\psi}^\mathrm{disque}(\mathrm{M})=\underline{\psi_0}\mathrm{e}^{-ik\sqrt{(d/2)^2+z^2}} \] d'où il découle une intensité \[ I(\text{M})=\frac12\left|\underline{\psi}^\mathrm{disque}\right|^2=I_0 \] Quel que soit l'endroit ou l'on place l'écran, on doit observer une tache centrale d'intensité constanteEn réalité, en tenant compte du facteur d'obliquité, on trouve I=I0/(1+d2/4z2). égale à l'intensité du faisceau incident. Ce résultat semblait tellement absurde pour Poisson que ça invalidait -selon lui- la théorie de Fresnel. Arago, un membre de l'Académie enthousiaste par les idées de Fresnel, fit l'expérience et confirma la prévision de Fresnel : il y a effectivement une tache lumineuse au centre de l'ombre géométrique, appelé depuis tâche de Poisson-Arago (cf. Fig. 1).

Cette confirmation sera décisive dans le succès de la théorie de Fresnel et plus généralement dans la reconnaissance de la nature ondulatoire de la lumière. La théorie corpusculaire vit alors ces dernières heures. Le coup de grâce sera rendu en 1849 quand Léon Foucault et Hippolyte Fizeau mesurèrent indépendamment la vitesse de la lumière dans l'eau. En montrant que la lumière s'y propage moins vite que dans l'air, ils confirmèrent une fois de plus la théorie ondulatoire.

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Pour en savoir plus...

Sur les aspects théoriques et expérimentales

  1. BORN, M. et al.Principles of optics : electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light. 2000.
  2. PEATROSS, J. et al. Physics of Light and Optics, 2015 edition. Disponible sur optics.byu.edu
  3. TAILLET, R.Optique physique, propagation de la lumière, DeBoeck supérieur, 2015.
  4. HENRY, M. et al.La lumière du laser, Masson, 1994.
  5. DUBRA, A. et al. Diffracted field by an arbitrary aperture American Journal of Physics, 1999, vol.67, №1, p. 87–92.
  6. HEALD, M-A. Computation of Fresnel diffraction American Journal of Physics, 1986, vol.54, №11.
  7. ROUSSEL, J. Principe de Fermat[en ligne], 2016. Disponible sur femto-physique.fr
  8. Sur les aspects historiques

  9. BASDEVANT, J-L. Le Mémoire de Fresnel sur la diffraction de la lumière[en ligne, consulté le 09 février 2018], 2009. Disponible sur journals.openedition.org/bibnum/
  10. Les Cahiers de Science et Vie, Comment la lumière est devenue une onde, №65, octobre 2001.
  11. LEQUEUX, J. François Arago, un savant généreux, Paris, EDP sciences, 2012.