Cours d'électrocinétique

L'amplificateur linéaire intégré (ALI), ou amplificateur opérationnel, est un composé actif largement utilisé en électronique analogique.

Présentation de l'ALI

Description

L'ALI est un composant couramment utilisé dans les circuits électroniques, car il permet de réaliser de nombreuses opérations de façon performante.

Il s'agit d'un assemblage complexe de transistors et d'éléments passifs réunis dans un unique boitier comportant 8 broches.

• 2 broches reçoivent les potentiels \(+V_\text{cc}\) et \(-V_\text{cc}\) d'une alimentation continue. Par la suite, nous supposerons que \(V_\text{cc}=15\;\mathrm{V}\).
• 2 broches reçoivent les potentiels d'entrée \(V_\oplus\) et \(V_\circleddash\) aux entrées dites non-inverseuse et inverseuse. La tension \(\varepsilon=V_\oplus-V_\circleddash\) qui règne entre ces bornes est appelée tension différentielle.
• 1 broche donne le potentiel de sortie, noté \(s\).
• 1 broche est reliée à la masse de l'alimentation et sert de référence de potentiel.

On représente l'ALI à l'aide du schéma de laFig2. Par la suite, on ne fera plus apparaître l'alimentation des ALI dans les montages.

Fondamentalement, l'ALI est un amplificateur de différence présentant un fort taux de réjection en mode commun, dont la caractéristique en boucle ouverte peut être modélisée par \[ s=\begin{cases} A_\text{d}(V_\oplus-V_\circleddash) = A_\text{d}\varepsilon&\text{tant que }|s|<V_\text{sat}\\ \pm V_\text{sat} & \text{sinon} \end{cases} \] où \(V_\text{sat}\) est la tension de saturation. Celle-ci est très proche de \(V_\text{cc}\), et pour simplifier nous prendrons \[ V_\text{sat}\simeq V_\text{cc}=15\;\mathrm{V} \] Lorsque \(|s|<V_\text{sat}\), l'ALI fonctionne en régime linéaire car la relation entrée différentielle/sortie est linéaire.

L'ALI idéal

Modes de fonctionnement

En général, l'ALI ne fonctionne pas seul ; il est inséré dans un montage qui prélève une partie de la tension de sortie pour l'injecter sur les entrées différentielles. On parle de rétroaction. Selon la rétroaction, l'amplificateur fonctionne en régime linéaire ou en régime saturé. On admettra la règle suivante :

Régime adopté par un ALI

Si la rétroaction a lieu sur :

• la seule entrée inverseuse \(\circleddash\), alors le régime linéaire est stable;
• la seule entrée non-inverseuse \(\oplus\), alors le régime saturé est stable (\(s=\pm V_\text{sat}\));
• les deux entrées, il faut alors faire une analyse de stabilité pour savoir quel régime adopte l'ALI.

Techniques de calcul

Résoudre un montage avec ALI consiste généralement à déterminer la relation entre la tension de sortie et la(les) tension(s) d'entrée. Pour cela, on peut bien sûr appliquer les lois de Kirchhoff.

Il existe toutefois un théorème qui permet souvent d'obtenir le résultat recherché avec un minimum de calculs : le théorème de Millman.

Considérons un nœud N dont on cherche le potentiel sachant que \(n\) impédances \(\underline{Z}_k (k=1\ldots n)\) se rejoignent en N. On choisit un potentiel de référence (\(V=0\)) et l'on note \(\underline{V}_k\) les potentiels (en notation complexe) aux extrémités des impédances.

Théorème de Millman

Si les \(n\) potentiels \(\underline{V}_k\) et les \(n\) impédances \(\underline{Z}_k\) sont connus, alors le potentiel en N vaut \begin{equation} \underline{V}_\text{N}=\dfrac{\sum_{k=1}^n \underline{V}_k/\underline{Z}_k}{\sum_{k=1}^{n}1/\underline{Z}_k} \end{equation} Si une branche (\(k=1\) par exemple) est traversée par un courant d'intensité \(i_1\) connue, on écrira \begin{equation} \underline{V}_\text{N}=\dfrac{\underline{i}_1+\sum_{k=2}^n \underline{V}_k/\underline{Z}_k}{\sum_{k=1}^{n}1/\underline{Z}_k} \end{equation}

Exercice

Soit le montage ci-dessous contenant un ALI idéal. Établir la fonction de transfert \(\underline{H}=\underline{s}/\underline{e}\) en appliquant le théorème de Millman en N.

\(\underline{H}=1+\dfrac{R_2}{R_1}\).

Montages courants en régime linéaire

Montage suiveur

Le montage suiveur consiste à brancher sur l'entrée non inverseuse une source de tension, et à relier l'entrée inverseuse à la sortie. Cette rétroaction stabilise donc le régime linéaire tant que \(|s|<V_\text{sat}\). La loi des mailles conduit à \[ e(t)-\varepsilon-s(t)=0 \] Si l'ALI est idéal, \(\varepsilon=0\) d'où \begin{equation} \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle s(t)=e(t) \quad\forall i_\text{s} \quad\text{tant que } |s(t)|\lt V_\text{sat} \)\quad} \;\color{#FF9D00}{\heartsuit} \end{equation}

Au premier abord, on peut se demander à quoi peut bien servir un tel montage puisqu'il ne modifie pas la tension délivrée par une source. Ce montage a en fait la vertu de ne prélever aucune puissance sur l'entrée, et ainsi de ne pas perturber la source. Il force la source à fonctionner en boucle ouverte ; la puissance de sortie est alors fournie par l'alimentation de l'ALI.

Rappelons que toute source réelle présente une impédance interne (impédance de sortie). Lorsqu'on branche une telle source sur une résistance de charge \(R_\text{c}\), la tension qu'on recueille vaut, \[ \underline{s}(t)= \frac{R_\text{c}}{R_\text{c}+\underline{Z}_\text{s}}\underline{e} \] on constate donc que la résistance de charge influence la tension délivrée par la source. En effet, plus la résistance de charge est faible et plus le courant débité est important ce qui diminue la tension délivrée \((\underline{s} = \underline{e} - \underline{Z}_\text{s} \, \underline{i})\). En revanche si \(\underline{Z}_\text{s}\to 0\) alors \(\underline{s}(t) = \underline{e}(t)\) quelle que soit la résistance de charge. C'est exactement ce que réalise le montage suiveur !

Amplificateur inverseur

Considérons le montage de la Fig.9 constitué de deux conducteurs ohmiques. Appliquons le théorème de Millman en N. On obtient \[ V_\text{N}=\frac{e(t)/R_1+s(t)/R_2}{1/R_1+1/R_2}=-\varepsilon \] La boucle de rétroaction arrive sur l'entrée inverseuse de sorte que l'ALI fonctionne en régime linéaire. Par conséquent \(\varepsilon=0\) puisque l'ALI est idéal. On aboutit ainsi à \[ \boxed{s(t)=-\frac{R_2}{R_1}\,e(t)} \] D'une part le signal est inversé du fait de la présence du signe −, d'autre part le signal peut être amplifié si \(R_2>R_1\): on parle de montage amplificateur inverseur.

Intérêt — Ce montage permet par exemple d'amplifier des signaux faibles sur une grande gamme de fréquences.

Soustracteur

Considérons le montage de la Fig.10 où deux signaux sont envoyés sur les entrées inverseuse et non inverseuse de l'ALI. On admettra que l'ALI fonctionne en régime linéaire.
Appliquons le théorème de Millman aux nœuds N et P : \[ V_\text{N}=\frac{e_1/R+s/R}{1/R+1/R} \quad\text{et}\quad V_\text{P}=\frac{e_2/R+0/R}{1/R+1/R} \] Exprimons le fait que l'ALI est idéal et fonctionne en régime linéaire :

\[ \varepsilon=V_\text{P}-V_\text{N}=0=\frac{e_2}{2}-\frac{e_1+s}{2} \] On en déduit \[ \boxed{s(t)=e_2(t)-e_1(t)} \] Ce montage permet donc de soustraire deux signaux ; on l'appelle soustracteur.

Intérêt — Il peut servir à décaler une tension. Par exemple, si un capteur produit une tension comprise entre 15 et 20 V et que l'on désire ramener la tension entre 0 et 5 V, il suffit d'utiliser un soustracteur pour obtenir \(s=e_1-15\).
Le montage soustracteur peut également être utile dans les boucles d'asservissement pour comparer une grandeur de commande à la valeur atteinte par le système.

Intégrateur

Branchons un conducteur ohmique sur l'entrée inverseuse et un condensateur entre celle-ci et la sortie. Mettons l'entrée non inverseuse à la masse et envoyons un signal entre le conducteur et la masse. La rétroaction ayant lieu sur l'entrée inverseuse, le régime linéaire est stable. Calculons la fonctions de transfert \(\underline{H}=\underline{s}/\underline{e}\) en utilisant le théorème de Millman. On a \[ \underline{V}_\text{N} = \frac{\underline{e}/R+j\omega C\underline{s}}{1/R+jC\omega} = -\underline{\varepsilon} \]

L'ALI étant idéal, on a \(\underline{\varepsilon}=0\) ce qui mène à \[ \underline{e}=-jRC\omega\,\underline{s} \xrightarrow[\text{temporelle}]{\text{représentation}} e(t)=-RC \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d} t} \] Autrement dit, si l'on intègre la relation : \[ \boxed{s(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t e(t)\, \mathrm{d}t+s(0)} \] Le signal d'entrée est donc intégré.

Autre démonstration

On peut bien-sûr obtenir la relation entrée/sortie à l'aide de la loi des mailles.

L'additivité des tensions le long des parcours représentés ci-dessus, donne \[ e-Ri+\varepsilon=0 \quad\text{et}\quad s+\frac{q}{C}+\varepsilon=0 \] Vu que l'ALI est idéal, on en déduit \[ i=\frac{e}{R} \quad\text{et}\quad q=-Cs \] La loi des nœuds donne \[ \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d} t}=i-i_\circleddash=i \] En remplaçant \(i\) et \(q\) par les expressions précédentes, on aboutit à \[ -C \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d} t}=\frac{e}{R} \quad\text{soit}\quad s(t)=-\frac{1}{RC}\int_0^t s(t)\, \mathrm{d}t+s(0) \]

Dérivateur

À partir du montage intégrateur Fig.11, intervertissons le condensateur et la résistance, puis procédons de la même manière pour déterminer la relation entrée/sortie en régime harmonique : \[ \underline{V}_\text{N} = \frac{j\omega C\underline{e} + \underline{s}/R}{jC\omega+1/R} = -\underline{\varepsilon} = 0 \] On en tire la relation simple \[ \underline{s}=-jRC\omega \underline{e} \xrightarrow[\text{temporelle}]{\text{représentation}} s(t)=-RC \frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d} t} \]

Le montage est dit dérivateur. Il permet par exemple de transformer un signal triangulaire en un signal carré.

Filtrage actif

Les filtres que nous avons rencontrés jusqu'ici ont un gain en puissance \(\mathcal{P}_\text{s}/\mathcal{P}_\text{e} \leq 1 \), car les éléments utilisés sont passifs. Dans ce cas, une partie de l'énergie entrante est dissipée par le quadripôle. Le filtre est dit actif quand il contient au moins un composant électronique actif, c'est-à-dire alimenté, tel l'amplificateur linéaire intégré (ALI). Il est, dans ce cas, possible d'avoir un gain de puissance.

On pourrait consacrer un ouvrage entier à l'étude des filtres actifs. Nous nous contenterons de présenter trois exemples.

Filtre passe-bas

Nous cherchons à réaliser un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert \[ \underline{H}=\frac{G_0}{1+j\omega/\omega_0} \] Si l'on souhaite un gain statique \(G_0>1\), il faut nécessairement un élément actif dans le montage. Voyons comment, avec un ALI, deux conducteurs, et un condensateur on peut réaliser un tel filtre.

Il suffit de reprendre le montage intégrateur et d'ajouter une résistance. Encore une fois, appliquons le théorème de Millman en N : \[ \underline{V}_\text{N} = \frac{\underline{e}/R+\underline{s} \left(j\omega C+1/R_0\right)}{1/R+j\omega C+1/R_0} = -\underline{\varepsilon}=0 \] Il en découle \[ \underline{H} = \frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{-1/R}{jC\omega+1/R_0} = \frac{-R_0/R}{1+jR_0C\omega} \]

ce qui est bien de la forme \[ \underline{H}=\frac{G_0}{1+j\omega/\omega_0} \quad\text{avec}\quad \begin{cases} G_0 &=-R_0/R\\ \omega_0 &=1/(R_0C)\\ \end{cases} \] Ainsi, on peut contrôler le gain statique à l'aide de \(R\) et/ou \(R_0\), et la fréquence de coupure à l'aide de \(C\).

Filtre passe-bande

Branchons un dipôle RC série sur l'entrée inverseuse d'un ALI, puis un dipôle RC parallèle entre l'entrée inverseuse et la sortie. L'entrée non inverseuse est mise à la masse. Notons \(\underline{Z}_1\) l'impédance du dipôle RC série et \(\underline{Z}_2\) celle du dipôle RC parallèle. On a \[ \left\{\begin{array}{rcccl} \underline{Z}_1 &= &R+\dfrac{1}{jC\omega} &= &\dfrac{1+jRC\omega}{jC\omega}\\[3mm] & &\text{et} & &\\[3mm] \underline{Z}_2 &= &\left(\dfrac{1}{R}+jC\omega\right)^{-1} &=&\dfrac{R}{1+jRC\omega}\\ \end{array}\right. \] Appliquons le théorème de Millman en N en utilisant le fait que l'ALI est idéal et fonctionne en régime linéaire :

\[ \underline{V}_\text{N}=0= \frac{\underline{e}/\underline{Z}_1 + \underline{s}/\underline{Z}_2}{1/\underline{Z}_1 + 1/\underline{Z}_2} \quad\text{d'où}\quad \frac{\underline{s}}{\underline{e}} = -\frac{\underline{Z}_2}{\underline{Z}_1} \] La fonction de transfert se met alors sous la forme \[ \underline{H}=\frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{-j\omega/\omega_0}{\left(1+j\omega/\omega_0\right)^2} \quad\text{avec}\quad \omega_0=\frac{1}{RC} \] Il s'agit d'un filtre passe-bande d'ordre deux. En effet, le gain vaut \[ G=|\underline{H}|=\frac{\omega/\omega_0}{1+(\omega/\omega_0)^2} \] Il est facile de montrer que le maximum est atteint lorsque \(\omega=\omega_0\) (pulsation résonante) pour une valeur \(G_\text{max}=\frac12\).

De plus la bande passante est l'intervalle de fréquences pour lequel \[ G(\omega)>\frac{G_\text{max}}{\sqrt{2}} \quad\text{d'où}\quad \omega\in[\omega_0(\sqrt{2}-1);\omega_0(\sqrt{2}+1)] \] La bande passante a pour largeur \(\Delta \omega=2\omega_0\) ce qui conduit à un facteur de qualité fixé à \(\frac12\). Ici, seule la fréquence de résonance est ajustable.

Structure de Sallen et Key

Présentons maintenant une structure, dite de Sallen et Key, qui permet de réaliser différents types de filtres d'ordre deux (Fig.16) selon la nature des impédances \(\underline{Z}_i\) utilisées.

Établissons la fonction de transfert en appliquant le théorème de Millman en N et sur les entrées inverseuse et non inverseuse. Commençons par écrire le potentiel \(\underline{V_\circleddash}\) de l'entrée inverseuse \[ \underline{V_\circleddash}=\frac{\underline{s}/R_2}{1/R_1+1/R_2}= \frac{\underline{s}}{K} \quad\text{avec}\quad K=1+\frac{R_2}{R_1} \] Le potentiel de l'entrée non inverseuse, quant à lui vaut \[ \underline{V_\oplus}= \frac{\underline{V}_\text{N}/\underline{Z}_3}{1/\underline{Z}_3+1/\underline{Z}_4}= \frac{\underline{V}_\text{N}}{1+\underline{Z}_3/\underline{Z}_4} \] Enfin, exprimons le potentiel en N : \[ \underline{V}_\text{N}= \frac{\underline{e}/\underline{Z}_1 + \underline{s}/\underline{Z}_2 + \underline{V_\oplus}/\underline{Z}_3}{1/\underline{Z}_1 + 1/\underline{Z}_2 + 1/\underline{Z}_3} \] Pour terminer il nous reste à admettre que les rétroactions stabilisent le régime linéaire. Dans ce cas, on a \(\underline{V_\circleddash}=\underline{V_\oplus}\), ce qui donne : \begin{equation} \begin{split} \underline{s} &= K\underline{V_\circleddash}=K\underline{V_\oplus} = K\frac{\underline{V}_\text{N}}{1+\underline{Z}_3/\underline{Z}_4} \\ & =K\frac{\underline{e}/\underline{Z}_1+\underline{s}/\underline{Z}_2 + \underline{s}/(K\underline{Z}_3)}{\left(1/\underline{Z}_1 + 1/\underline{Z}_2 + 1/\underline{Z}_3\right)\left(1 + \underline{Z}_3/\underline{Z}_4\right)} \end{split} \notag \end{equation} On en déduit la fonction de transfert : \[ \underline{H}=\frac{\underline{s}}{\underline{e}} = \frac{K\underline{Z}_2\underline{Z}_4}{\underline{Z}_1\underline{Z}_2 + \underline{Z}_1\underline{Z}_3 + \underline{Z}_1\underline{Z}_4(1-K) + \underline{Z}_2\underline{Z}_3 + \underline{Z}_2\underline{Z}_4} \] Avec simplement des résistances et des condensateurs on peut réaliser différents types de filtre d'ordre deux qui ont l'avantage d'être compacts et peu couteux.

Par exemple, si l'on réalise le montage de la Fig.17, on a \[ \underline{Z}_1=\underline{Z}_2=R \quad \underline{Z}_3=\frac{1}{jC\omega} \quad\text{et}\quad \underline{Z}_4=\frac{R}{1+jRC\omega} \] Sa fonction de transfert se met alors sous la forme \[ \underline{H} = \frac{G_0}{1+\mathrm{j}Q\left(\dfrac{\omega}{\omega_0}-\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)} \quad\text{et}\quad \begin{cases} G_0 &=K/(5-K)\\ Q &=\sqrt{2}/(5-K)\\ \omega_0 &=\sqrt{2}/(RC)\\ \end{cases} \] On reconnaît la réponse d'un filtre passe-bande d'ordre deux avec une fréquence de résonance reliée aux valeurs de \(R\) et \(C\). Le gain maximum et le facteur de qualité sont ajustables via le gain \(K=1+R_2/R_1\). Une valeur proche de 5 permet de réaliser un filtre passe-bande très sélectif Par exemple, la valeur 4,8 donne un facteur de qualité de 7 et un gain à la résonance de 24.. Attention toutefois à ne pas dépasser \(K=5\) sans quoi le montage n'est plus stable.

ALI en régime saturé

Introduction

Jusqu'ici nous nous sommes intéressés aux montages dans lesquels l'ALI fonctionne en régime linéaire. Il existe cependant un autre mode de fonctionnement : le régime saturé. Dans ce cas, la tension de sortie ne peut prendre que deux valeurs : \[ s= \begin{cases} V_\text{sat}&\text{si }\varepsilon\gt 0\quad\text{(saturation haute)}\\ -V_\text{sat}&\text{si }\varepsilon \lt 0\quad\text{(saturation basse)}\\ \end{cases} \] La tension de saturation \(V_\text{sat}\) est proche de la tension d’alimentation \(V_\text{cc}\), et pour simplifier nous prendrons \[ V_\text{sat}\simeq V_\text{cc}=15\;\mathrm{V} \] On admettra les résultats suivants :

L'ALI étant considéré idéal, les courants d'entrée sont toujours supposés nuls \((i_\circleddash=i_\oplus=0\;\mathrm{A})\).

Méthode d'analyse — Savoir que l'ALI fonctionne en régime saturé ne permet pas d'en tirer une conclusion sur la tension de sortie. Il faut alors procéder de la manière suivante :

• On admet que l'ALI est dans un état de saturation, par exemple la saturation haute \((s=+V_\text{sat})\), ce qui impose le signe de \(\varepsilon\) (ici \(\varepsilon>0\)). Cette condition se traduit par des contraintes sur les tensions imposées.
• Tant que ces contraintes sont respectées, l'ALI reste dans l'état de saturation. Lorsqu'elles ne sont plus respectées alors l'ALI bascule dans l'autre état (ici \(s=-V_\text{sat}\)). On reprend alors le raisonnement précédent.

En régime saturé, l'ALI peut servir de comparateur ou de générateurs de fonctions. Voyons quelques exemples en guise d'illustration.

Comparateur simple

C'est un montage qui sert de base à de nombreux autres schémas plus élaborés.

Le principe est simple : on compare un signal d'entrée à une tension de référence, et selon que la valeur du signal est supérieure ou inférieure à la référence, la sortie de l'ALI prend l'une ou l'autre des valeurs \(V_\text{sat}\) ou \(-V_\text{sat}\).

Il existe deux configurations : le comparateur non inverseur (signal sur l'entrée +) et le comparateur inverseur (signal sur l'entrée −). Dans le premier cas, la sortie vaut \(V_\text{sat}\) quand \(e(t)>V_\text{ref}\), et \(-V_\text{sat}\) sinon. Dans le deuxième cas, on a l'inverse.

Le comparateur simple est couramment utilisé dans les dispositifs de détection de niveau.

Comparateur à hystérésis

Dans le montage précédent, si la tension d'entrée \(e(t)\) fluctue autour du seuil de bascule, la tension de sortie fluctue elle aussi entre les deux saturations, ce qui peut être gênant.

Le comparateur à hystérésisOn dit aussi bascule de Schmitt, Schmitt trigger en anglais. résout ce problème. La Fig.19 présente un exemple de montage à hystérésis.

On voit tout d'abord la présence d'une rétroaction qui boucle sur l'entrée non inverseuse. L'ALI fonctionne donc en régime saturé. Exprimons la tension différentielle d'entrée à partir du théorème de Millman : \[ V_\oplus=\frac{V_\text{ref}/R_1+s/R_2}{1/R_1+1/R_2} \quad\text{et}\quad V_\circleddash =e \] d'où l'on tire \[ \varepsilon=V_\oplus-V_\circleddash= \frac{V_\text{ref}}{1+R_1/R_2}+\frac{s}{1+R_2/R_1}-e \] Supposons que la sortie de l'ALI soit dans l'état de saturation haute \(s(t)=V_\text{sat}\). Il le restera tant que \(\varepsilon>0\), c'est-à-dire tant que \[ e \lt \frac{V_\text{ref}}{1+R_1/R_2}+\frac{V_\text{sat}}{1+R_2/R_1} = e_+ \] Lorsque cette condition n'est plus réalisée, l'amplificateur bascule sur la saturation basse \(s(t)=-V_\text{sat}\), et y reste tant que \(\varepsilon \lt 0\), soit tant que \[ e \gt \frac{V_\text{ref}}{1+R_1/R_2}-\frac{V_\text{sat}}{1+R_2/R_1}=e_- \]

Ce comportement est résumé par le cycle représenté Fig.20. En fait, tout se passe comme si on avait un comparateur de tension ayant deux seuils de basculement liés aux états de la sortie : quand la sortie est à l'état haut, le seuil de basculement vaut \(e_+\) ; passé ce seuil, la sortie bascule à l'état bas et le seuil prend la valeur \(e_-\). De ce fait, pour faire rebasculer la sortie à l'état haut, il faut que le signal diminue d'une quantité minimale \(2\Delta e,\) appelé hystérésisOn parle d'hystéresis, car l'état de sortie du comparateur ne dépend pas que du signal d'entrée, mais aussi de son histoire. de la bascule. On peut donc caractériser un comparateur à hystérésis par un seuil de basculement (noté \(e_0\)) associé à un hystérésis \(2\Delta e\) ; les tensions de basculement étant donnés par \(e_0\pm \Delta e\). Pour le montage Fig.19, on a \[ e_0=\frac{V_\text{ref}}{1+R_1/R_2} \quad\text{et}\quad \Delta e=\frac{V_\text{sat}}{1+R_2/R_1} \] En ajustant la valeur de l'hystéresis, on peut réaliser un comparateur peu sensible au bruit (cf. Fig.21).

Mais la principale application de la bascule de Schmitt est la mise en forme de signaux analogiques pour les appliquer à des circuits logiques qui reposent sur le code binaire (à 2 états).

Oscillateur à relaxation

Un oscillateur à relaxationOn dit aussi multivibrateur astable. est un système qui délivre spontanément un signal alternatif de forme rectangulaire évoluant entre deux états stables. En électronique, on peut réaliser un tel dispositif à l'aide d'un comparateur à hystérésis associé à une cellule RC (cf. Fig.22). Montrons que ce dispositif génère bien un signal rectangulaire dont on peut ajuster la fréquence.

Tout d'abord, une analyse complète montre que le régime linéaire n'est pas stable : l'ALI fonctionne en régime saturé. Commençons par exprimer la tension différentielle \(\varepsilon\) en fonction de la tension capacitive \(u_C\) et la tension de sortie \(s\) :

\[ V_\oplus=\frac{R_1}{R_1+R_2}s \quad\text{et}\quad V_\circleddash=u_C \quad\text{donc}\quad \varepsilon=\frac{R_1}{R_1+R_2}s-u_c \] Supposons que la sortie de l'ALI soit à l'état de saturation haute : \(s=+V_\text{sat}\). Il y reste tant que \(\varepsilon \gt 0\), soit tant que \(u_C \lt \frac{R_1}{R_1+R_2}V_\text{sat}\). Le même raisonnement permet de dire que l'ALI reste dans l'état de sautration basse tant que \(u_C \gt -\frac{R_1}{R_1+R_2}V_\text{sat}\). En résumé, \[ s= \begin{cases} +V_\text{sat}&\text{tant que }u_C \lt \dfrac{R_1}{R_1+R_2}V_\text{sat}=V_\text{b}\\ -V_\text{sat}&\text{tant que }u_C \gt -\dfrac{R_1}{R_1+R_2}V_\text{sat}=-V_\text{b}\\ \end{cases} \] Admettons que le condensateur soit initialement déchargé et que l'ALI soit à l'état de saturation haute. Dans ce cas, le condensateur se charge (\(i \gt 0)\) et la tension capacitive augmente. Lorsqu'elle atteint le seuil de basculement \(V_\text{b}\), l'ALI bascule en saturation basse et le courant s'inverse: le condensateur se décharge jusqu'à atteindre \(-V_\text{b}\) après quoi l'ALI bascule à nouveau en saturation haute, etc. Le condensateur subit donc une alternance de charges et décharges.

Calculons la durée \(\Delta t\) d'une décharge. Fixons l'origine des temps au moment où la tension capacitive est maximale \(u_C=V_\text{b}\). Lors de la décharge, la tension capacitive vérifie les relations \[ s(t)-Ri-u_C=0 \quad\text{avec}\quad i=C \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t} \quad\text{et}\quad s=-V_\text{sat} \] D'où l'équation différentielle \[ u_C+\tau \frac{\text{d}u_C}{\text{d}t}=-V_\text{sat} \quad\text{avec}\quad \tau=RC \quad\text{et}\quad u_c(t=0)=V_\text{b} \] On laisse au lecteur le soin de vérifier que la solution s'écrit \[ u_C(t)=(V_\text{b}+V_\text{sat})\,\mathrm{e}^{\left(-t/\tau\right)}-V_\text{sat} \] Le temps que met la tension à atteindre l'autre seuil \((u_C(\Delta t)=-V_\text{b})\) vaut \(\Delta t=\tau \ln\left(\dfrac{V_\text{sat}+V_\text{b}}{V_\text{sat}-V_\text{b}}\right)\).

On vérifie de la même manière que la recharge du condensateur présente la même durée, de sorte que la période du phénomène vaut \[ T=2\Delta t=2RC\ln\left(\frac{V_\text{sat}+V_\text{b}}{V_\text{sat}-V_\text{b}}\right)= 2RC\ln\left(1+\frac{2R_1}{R_2}\right) \] En sortie on observe un signal carré d'amplitude crête-à-crête \(2V_\text{sat}\) et de période \(T\) réglable à l'aide des composants \(R\), \(C\), \(R_1\) et \(R_2\).

En pratique de tels montages servent dans certains générateurs de signaux. Leur principal défaut réside dans la faible stabilité de la fréquence d’oscillation. C’est pourquoi on leur préfère souvent les oscillateurs à quartz.