MENUCours de Physique statistique

Dénombrement

Factorielle

La factorielle de l'entier \(n\) est noté \(n!\) et vaut \[ n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots \times2\times1 \quad\text{avec par convention} \quad 0!=1 \] \(n!\) donne le nombre de permutations de \(n\) objets.

Pour les grands nombres, il est possible d'approcher n! à l'aide de la formule de Stirling : \[ n!\mathop{\simeq}\limits_{n\to+\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \quad \Rightarrow \quad \ln n! \mathop{\simeq}\limits_{n\to+\infty} n\ln n-n \]

Combinaison

Par définition, la combinaison de \(p\) parmi \(n\), notée \(C_{n}^{p}\) vaut \[ C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \] Le nombre \(C_{n}^{p}\) donne le nombre de façons de prendre \(p\) objets parmi \(n\) (l'ordre des \(p\) éléments est sans importance.

Probabilités

Généralités

Dans de nombreux systèmes physiques, il est impossible de connaître avec une précision infinie le résultat d'une expérience. On peut citer différentes raisons :

• On manque d'information sur les conditions initiales du système (comme par exemple lors d'un lancé de dés).
• On manque d'information sur l'interaction du système avec l'extérieur. Par exemple, un gaz isolé ne peut pas être absolument isolé : le simple vol d'un moustique perturbe le système (force de gravitation). Certes cette interaction est négligeable du point de vue des énergies mises en jeu mais peut suffire à rendre le système imprévisible au bout d'un certain temps (horizon de prédictibilité lié à la sensibilité aux conditions initiales).
• Le principe d'incertitude d'Heisenberg traduit l'impossibilité intrinsèque d'obtenir une précision infinie sur l'état (position-vitesse) d'une particule.

On utilise alors la notion de probabilité.
Considérons une expérience dont le résultat n'est pas connu par manque d'information et que l'on peut répéter à l'identique \(N\) fois. Supposons que les résultats possibles fassent parti d'un ensemble d'événements \(\mathbb{E}=\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{p}\}\). Si l'événement \(e_{i}\) se produit \(N_{i}\) fois après avoir réalisé \(N\) expériences identiques, on dit que l'événement \(e_{i}\) se produit avec une fréquence \(N_{i}/N\). Par définition, la probabilité que l'événement \(e_{i}\) se produise est la limite de la fréquence quand le nombre d'expériences tend vers l'infini : \[ P_{i}=\lim_{N\to \infty}\frac{N_{i}}{N}\quad\text{avec}\quad\left\{\begin{array}{cc} 0\leq P_{i}\leq 1 & \\ \displaystyle{\sum_{i}^{p} P_{i}}=1 &\text{(normalisation)} \\ \end{array}\right. \]

Lois de composition — La probabilité que l'un des deux événements \(e_{1}\) ou \(e_{2}\) se produisent lors d'une expérience vaut \[ P(e_{1} \cup e_{2})=P_{1}+P_{2}-P(e_{1}\cap e_{2}) \] De telle sorte que pour deux événements qui s'excluent mutuellement (événements disjoints ou incompatibles) on a \[ P(e_{1} \cup e_{2})=P_{1}+P_{2} \quad \text{si} \quad e_{1}\cap e_{2}=\{\emptyset\} \] La probabilité que deux événements \(e_{1}\) et \(e_2\) se produisent vaut \[ P(e_{1} \cap e_{2})=P(e_{1}|e_{2})P(e_{2}) \] où \(P(e_{1}|e_{2})\) désigne la probabilité conditionnelle de l'événement \(e_{1}\) sachant \(e_{2}\).

Pour deux événements indépendants on a \(P(e_{1}|e_{2})=P(e_{1})\) de telle sorte que \[ P(e_{1} \cap e_{2})=P_{1}\times P_{2} \]

Enfin, si on connaît la probabilité d'un événement, on connaît alors la probabilité associée à l'événement complémentaire : \[P(\complement e_{1})=1-P_{1}\]

Variable aléatoire

On peut associer à un ensemble d'événements distincts des valeurs distinctes d'une variable aléatoire réelle \(x\) : \(\mathbb{E}\mapsto \mathbb{R} : e_{i}\mapsto x_{i}\). Par définition on notera \[P_{i}\stackrel{\text{def}}= P(x=x_{i})\] l'ensemble \((x,P(x))\) constitue la loi de probabilité et se représente à l'aide d'un histogramme. En physique, on a rarement accès à la loi de probabilité mais a des grandeurs qui sont liés à deux propriétés : la moyenne et l'écart-type.

Moyenne — Par définition, la moyenne (ou espérance) de la variable aléatoire \(x\) est notée \(\overline{x}\) et vaut

De la même manière, la moyenne d'une fonction de la variable aléatoire \(x\) vaut

Écart-type — On quantifie la dispersion des tirages de \(x\) autour de la moyenne par l'écart-type \(\sigma_{x}\). L'écart-type est la racine carré de la variance \(\mathcal{V}(x)=\overline{(x-\overline{x})^{2}}=\overline{x^{2}}-\overline{x}^{2}\).

Corrélations

Soient deux variables aléatoires \(x\) et \(y\). La probabilité pour que \(x=x_{i}\) et \(y=y_{j}\) vaut \[P(x_{i}\;\text{et}\;y_{j})=P(y_{j})\times P(x_{i}|y_{j})\] où \(P(x_{i}|y_{j})\) désigne la probabilité conditionnelle pour que \(x=x_{i}\) sachant que \(y=y_{j}\)

Variables indépendantes — Lorsque les variables sont indépendantes, \(P(x_{i}|y_{j})=P(x_{i})\). Comme conséquence on a par exemple \[ \overline{xy}= \sum_{i,j}P(x_{i})P(y_{j})x_{i}y_{j}=\sum_{i}P(x_{i})x_{i}\sum_{j}P(y_{j})y_{j}=\overline{x}.\overline{y} \] On dit alors que les variables \(x\) et \(y\) ne sont pas corrélées.

Variables corrélées — Lorsque \(\overline{xy}\neq\overline{x}.\overline{y}\) on dit que les variables sont corréléesAttention, corrélation ne signifie pas nécessairement dépendance. Deux variables indépendantes sont non corrélées mais deux variables dépendantes peuvent ne pas être corrélées au sens de la définition.. Pour mesurer le degré de corrélation, on définit la covariance : \[ \sigma_{xy}=\overline{xy}-\overline{x}.\overline{y} \]

Somme de variables aléatoires

On est souvent confronté en physique statistique à des grandeurs qui résultent d'une somme de variables aléatoires microscopiques. Citons par exemple, l'énergie interne d'un gaz, l'aimantation d'un aimant, le déplacement d'un grain de pollen en suspension (mouvement brownien) etc. Considérons donc \[S=\sum_{i=1}^{N}x_{i}\] où les \(x_{i}\) sont des variables aléatoires. \(S\) est donc aussi une variable aléatoire pour laquelle on peut définir une loi de probabilité \(P(S)\), à priori nécessaire au calcul des grandeurs moyennes. Cependant, si les variables sont indépendantes, il suffit de connaître les lois de probabilité des \(x_{i}\). Par exemple, calculons la valeur moyenne \(\overline{S}\) et l'écart-type \(\sigma_{S}\) pour s'en convaincre. \[ \overline{S}=\overline{\sum_{i}x_{i}}=\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}} \] car l'opération de moyenne est linéaire. Notons que cette relation est valide même si les variables sont dépendantes. Le calcul de la variance donne \[ \mathcal{V}(S)= \overline{S^{2}}-\overline{S}^{2}=\overline{\sum_{i,j}x_{i}x_{j}}-\left(\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}}\right)^{2} \] D'une part, \[ \overline{\sum_{i,j}x_{i}x_{j}}=\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}^{2}}+\sum_{i\neq j}\overline{x_{i}x_{j}} \] D'autre part, \[ \left(\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{N}\overline{x_{i}}^{2}+\sum_{i\neq j} \overline{x_{i}}.\overline{x_{j}} \] Finalement, la variance de \(S\) est la somme des variances et des covariances : \[ \mathcal{V}(S)=\sum_{i}\sigma_{x_{i}}^{2}+\sum_{i\neq j}\sigma_{x_{i}x_{j}} \] On retiendra le cas particulier des variables indépendantes de même moyenne et de même écart-type :

Les figures ci-dessous illustrent cette loi des grands nombres. On tire \(N\) fois une variable aléatoire à deux états équiprobables (\(x=0\) ou 1) puis on somme les valeurs. On répète l'expérience 100 fois et on trace l'évolution des résultats. On observe bien la décroissance de la dispersion relative autour de la moyenne lorsque \(N\) augmente.

Théorème de la limite centrale — On dit qu'une variable \(x\) suit une loi gaussienne ou normale lorsque la loi de probabilité s'écrit \[P(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\overline{x})^{2}}{2\sigma^{2}}}\]

Ce théorème explique l'omniprésence de la loi gaussienne dans la nature : de nombreux phénomènes sont dus à l'addition d'un grand nombre de petites perturbations aléatoires (cf. figure ci-dessous).

Distribution binomiale

Considérons un jeu de pile ou face et notons \[ \begin{array}{lcr} p & = & \text{probabilité que pile sorte, } \\ q & = & \text{probabilité que face sorte.} \end{array} \quad\text{avec}\quad p+q=1 \] On joue \(N\) fois à ``pile ou face'' et l'on cherche la probabilité \(P(n,N)\) que pile sorte \(n\) fois. La probabilité de sortir \(n\) fois de suite ``pile'' puis de sortir \(N-n\) fois de suite ``face '' vaut \(p^{n}q^{N-n}\). Or il y a \(C_{N}^{n}\) façons de sortir \(n\) ``pile'' parmi les \(N\) lancés. Ainsi, la loi de distribution s'écrit

On dit alors que \(n\) suit la loi binomiale (ou de Bernoulli) de paramètres \(N\) et \(P\).

On a bien \(\sum_{n}P(n,N)=1\) puisque

Le nombre moyen \(\overline{n}\) se calcule comme suit \[ \overline{n}=\sum_{n=0}^{N}nP(n,N)=\sum_{n=0}^{N}nC_{N}^{n}p^{n}q^{N-n} \] Or en dérivant par rapport à \(p\) la relation(5) on obtient \[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial p}\sum_{n}C_{N}^{n}p^{n}q^{N-n} &=& \frac{\partial}{\partial p}(p+q)^{N}\\[3mm] \sum_{n}nC_{N}^{n}p^{n-1}q^{N-n} & = & N(p+q)^{N-1} \\[3mm] \frac{1}{p}\sum_{n}nC_{N}^{n}p^{n}q^{N-n} & = & N \\ \end{array} \] On reconnaît dans le terme de gauche, \(\overline{n}/p\) d'où \[\overline{n}=Np\]

Distribution de poisson

La loi de Poisson est bien adaptée aux événements aléatoires et rares. On peut obtenir cette loi en considérant la distribution binomiale avec \(n \ll N\) grand et \(p\) très petit tout en gardant \(\overline{n}=Np\ll N\) fini non nul. Dans ce cas, on peut remplacer \(C_{N}^{n}\) par \[ C_{N}^{n}=\frac{N(N-1)(N-2)\cdots(N-n+1)}{n!}\simeq \frac{N^{n}}{n!} \quad\text{car}\quad n\ll N \] De plus, on a \[ \ln q^{N-n}=\ln(1-p)^{N-n}=(N-n)\ln(1-p)\simeq-Np \quad\text{car}\quad p\ll 1 \quad\text{et}\quad n\ll N \] Finalement la loi tend vers

La loi de Poisson décrit bien les phénomènes de comptage lorsque :

• la probabilité de détection est proportionnelle à la durée \(\delta t\) et vaut \(\frac{1}{\tau}\delta t\).
• La détection à l'instant \(t\) est indépendante des détections antérieures.
• La probabilité d'une double détection pendant la durée \(\delta t\) est négligeable (ce qui suppose \(\tau\gg \delta t\)).

Dans ce cas, la probabilité de détecter \(n\) événement vaut alors \[ P(n)=\frac{(t/\tau)^{n}}{n!}e^{-t/\tau} \]