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MENUSimuler pour apprendre

Injectez quelques gouttes de colorant dans un écoulement stationnaire puis visualisez les déformations que subit le traceur. Cette expérience est réalisée virtuellement grâce à cette simulation qui vous propose différents types d'écoulements.

Simulation

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Observations

  1. Écoulement uniforme : Il s'agit de l'écoulement le plus simple de la forme \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)=v \overrightarrow{u_x}\). Notez que la particule se déplace sans se déformer ni tourner.
  2. Écoulement de Couette plan : Il s'agit d'un écoulement cisaillant entre un plan mobile et un plan fixe. Il est de la forme \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)=A y \overrightarrow{u_x}\). Une portion de fluide est entraînée en subissant un fort cisaillement incompressible ainsi qu'une rotation locale. Pouvez-vous le vérifier par le calcul ?
  3. Écoulement de Couette cylindrique : Il s'agit d'un écoulement de la forme \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)=(Ar+B/r) \overrightarrow{u_\theta}\) qui est à l'oeuvre dans le viscosimètre de Couette. L'écoulement est là aussi incompressible et rotationnel.
  4. Maelström 1 : Écoulement de type tourbillonaire de la forme \(\overrightarrow{v}(\text{M},t) = \frac{1}{r}\left(-A \overrightarrow{u_r} + B \overrightarrow{u_\theta}\right) \). Vérifiez par le calcul que l'écoulement est incompressible et irrotationnel.
  5. Maelström : Tourbillon de la forme \(\overrightarrow{v}(\text{M},t) =-A \overrightarrow{u_r} + B \overrightarrow{u_\theta}\). La disparition du facteur \(1/r\) transforme le maelström précédent en un maelström compressible et rotationnel.
  6. Écoulement autour d'un cylindre : Observez la forme des lignes d'écoulement et la façon dont une portion de fluide se déforme lors de la rencontre avec le cylindre.

Un peu de théorie

Quelques définitions

En mécanique des fluides, on caractérise un écoulement par le champ de vitesse \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) qui donne le vecteur vitesse d'une particule de fluide qui se trouve à l'instant \(t\) en M. Lorsque M est fixé, le champ \(\overrightarrow{v}(\text{M},t)\) représente donc la vitesse des particules qui passent en ce point, tel un radar enregistrant la vitesse des véhicules au passage d'un carrefour. Cette notion n'est donc pas à confondre avec la vitesse d'une particule de fluide particulière que l'on suivrait au cours de son mouvement comme on peut le faire lorsque que l'on est aux commandes d'un véhicule.

Qu'entend-t-on par écoulement stationnaire ? Tout simplement que le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps. En d'autres termes, posté en un point M du fluide, un observateur verrait passer les particules toujours avec le même vecteur vitesse, mais attention, cela ne signifie pas que les particules de fluide se déplacent à vitesse constante : ce n'est pas parce que vous observez qu'au voisinage d'un radar tous les véhicules roulent à 110 km/h que vous pouvez en conclure que chaque véhicule roule à 110 km/h durant tout son trajet !

Il y a plusieurs façons de représenter un écoulement :

Bien que la notion de trajectoire et de ligne d'écoulement soient fondamentalement différentes, elles se rejoignent dans le cas d'un écoulement stationnaire.

Sens physique des opérateurs différentiels

Lorsque une particule de fluide (entendez une portion infinitésimale de fluide) se déplace au sein du fluide elle subit des déformations qui peuvent entraîner une dilatation, une rotation, un cisaillement etc. Il est possible de mesurer la vitesse à laquelle une particule de fluide se dilate ou tourne. Il suffit de calculer la divergence ou le rotationnel du champ de vitesse.

La divergence du champ de vitesse se note \(\text{div} \overrightarrow{v}\) et s'exprime en coordonnées cartésiennes par \begin{equation} \text{div} \overrightarrow{v}=\dfrac{\partial v_{x}}{dx}+\dfrac{\partial v_{y}}{dy}+\dfrac{\partial v_{z}}{dz} \end{equation}

À Retenir

On montre (Cinématique des fluides) que la divergence représente la vitesse de dilation d'une particule de fluide. En conséquence un écoulement à divergence nulle déforme les particules de fluides sans changer leur volume (ou leur aire en dimension deux).

Le rotationnel du champ de vitesse se note \(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{v}\) et s'exprime en coordonnées cartésiennes par \begin{equation} \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{v}= \left(\begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x}\\ \dfrac{\partial}{\partial y}\\ \dfrac{\partial}{\partial z} \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \dfrac{\partial v_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial v_{y}}{\partial z}\\ \dfrac{\partial v_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial v_{z}}{dx}\\ \dfrac{\partial v_{y}}{dx}-\dfrac{\partial v_{x}}{dy} \end{array}\right) \end{equation}

À Retenir

On montre que le rotationnel est directement lié à la rotation locale d'une particule de fluide. Le sens du vecteur rotationnel indique l'axe orienté de rotation.

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