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La simulation trace le trajet d'un point M le long d'une courbe paramétrique plane. À chaque instant, la base de Frenet et le cercle osculateur sont représentés. Le centre C du cercle osculateur est le centre de courbure, et son rayon est le rayon de courbure. Lorsque M parcourt la courbe, C décrit une courbe que l'on appelle, la développée (evolute en anglais).
Cinq trajectoires sont illustrées : l'ellipse, une courbe de Lissajous, la parabole, la cardioide et la néphroide.

Simulation

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Sélectionner dans le menu déroulant la trajectoire de votre choix.

Aspects théoriques

Supposons que l'on connaisse l'équation paramétrique (x(t),y(t)) de la trajectoire du point M. À un instant t donné, M présente un vecteur vitesse et un vecteur accélération donnés par

\[ \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix}\dot x\\ \dot y\\\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}\ddot x\\ \ddot y\\\end{pmatrix} \]

Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire, il est facile de trouver un vecteur tangent unitaire

\[ \overrightarrow{\tau}= \frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot x\\ \dot y\\\end{pmatrix} \]

où \(v\) désigne la norme du vecteur vitesse. Pour le vecteur normal, orienté dans le sens de la courbure, il s'écrit

\[ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{n}&=&\frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot y\\ -\dot x\\\end{pmatrix}&\text{si}&\ddot x\dot y-\dot x\ddot y>0 \\ \overrightarrow{n}&=&-\frac{1}{v}\begin{pmatrix}\dot y\\ -\dot x\\\end{pmatrix}&\text{si}&\ddot x\dot y-\dot x\ddot y<0\\ \end{array} \] D'après la formule de Frenet, on a

\begin{equation} \overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\overrightarrow{\tau}+\frac{v^2}{R}\,\overrightarrow{n} \end{equation}

où \(R\) désigne le rayon de courbure. Multiplions vectoriellement le vecteur accélération par \(\overrightarrow{\tau}\) pour éliminer l'accélération tangentielle :

\[ \|\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{\tau}\|=\frac{v^2}{R} \]

Ainsi, le rayon de courbure est donnée par

\begin{equation} R= \frac{v^3}{\left|\ddot x\dot y-\dot x\ddot y\right|} \end{equation}

La position du centre de courbure C est telle que \[ \overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OM}}+R \overrightarrow{n} \] ce qui donne, en coordonnées cartésiennes :

\begin{equation} \left\{\begin{array}{rcl} &&\\ x_\text{C} &=&x +\dfrac{\dot x^2+\dot y ^2}{\ddot x\dot y-\dot x\ddot y}\dot y \\ y_\text{C} &=&y -\dfrac{\dot x^2+\dot y ^2}{\ddot x\dot y-\dot x\ddot y}\dot x \\[4mm] \end{array}\right. \end{equation}

Connaissant l'équation paramétrique de la courbe, on peut en déduire à chaque instant la position du centre de courbure.

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