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La simulation trace une carte du champ magnétique produit par deux spires circulaires de même rayon \(R\) et espacées d'une distance égale à \(R\). On forme alors une bobine de Helmholtz. La carte de champ est tracée dans le plan perpendiculaire à la bobine.
Les vecteurs sont normalisés et indiquent seulement le sens du champ magnétique. La simulation permet de visualiser les lignes de champ ainsi que la répartition de l'intensité du champ magnétique. La valeur du champ magnétique est indiquée en fonction du champ qui règne au centre du dispositif (Bc).

Simulation

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Pour tracer une ligne de champ cliquer sur la carte du champ magnétique.

Exercices d'exploration

À l'aide de cette simulation pouvez-vous répondre aux questions suivantes ?

  1. Identifier les plans de symétrie et d'anti-symétrie. Avec quel angle les lignes de champ magnétique coupent-elles les plans de symétrie ?
  2. Que peut-on dire de la valeur du champ magnétique dans la sphère centrée en C et de diamètre \(R/2\) ?
  3. Repérez les deux points où le champ magnétique est quasi nul.
  4. Le champ magnétique garde-t-il une valeur constante le long d'une ligne de champ ?
  5. Lorsque les deux spires sont parcourues par des courants inverses, on obtient une configuration anti-Helmholtz. Dans cette configuration, que peut-on dire du champ magnétique au voisinage de C ? Comment peut-on caractériser la structure des lignes de champ loin de la bobine ?

Méthode numérique utilisée

Le champ magnétique créé par une spire s'exprime en fonction des intégrales elliptiques de premières espèces et deuxième espèce définis par \begin{equation} \mathcal{E}_1(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}} \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_2(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi \end{equation} Si l'on note \(a\) la rayon de la spire, \(I\) l'intensité du courant, \(z\) l'altitude par rapport à la spire et \(r\) la distance à l'axe de la pire, on a \begin{equation} \overrightarrow{B}(r,\theta,z)=\frac{\mu_0I}{4a} \begin{bmatrix} \frac{Z/X}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1+X^2+Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)-\mathcal{E}_1(k)\right)\\ [2mm] 0\\ [2mm] \frac{1}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1-X^2-Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)+\mathcal{E}_1(k)\right)\\ \end{bmatrix} \end{equation} avec \[ X=\frac{r}{a} \quad Z=\frac{z}{a} \quad\text{et}\quad k^2=\frac{4X}{(1+X)^2+Z^2} \]

Les intégrales elliptiques sont calculés a l'aide d'un algorithme simple basée sur la moyenne arithmético-géométrique. Enfin, le tracé des lignes de champ repose sur une méthode de Runge-Kutta d'ordre deux [2].

Pour en savoir plus...

  1. T. Pré Intégrales elliptiques et champ magnétique créé par une spire circulaire. BUP, nov. 2009, vol. 103, no 918(2), p. 119-131.
  2. J.Roussel. Comment tracer une ligne de champ ? (2016-06) femto-physique.fr

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