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MENUSimuler pour apprendre

La simulation trace une carte du champ magnétique produit par une spire circulaire parcouru par un courant électrique permanent. La carte de champ est tracée dans le plan perpendiculaire à la spire et contenant son centre.
Les vecteurs sont normalisés et indiquent seulement le sens du champ magnétique. La simulation permet de visualiser les lignes de champ ainsi que la répartition de l'intensité du champ magnétique. La valeur du champ magnétique est indiquée en fonction du champ qui règne au centre de la spire (Bc).

Simulation

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Cliquer-glisser sur la spire pour la déplacer. Pour tracer une ligne de champ cliquer sur la carte du champ magnétique.

Exercices d'exploration

À partir de cette simulation, pouvez-vous répondre aux questions suivantes ?

  1. Identifier les plans de symétrie et d'anti-symétrie. Avec quel angle les lignes de champ magnétique coupent-elles les plans de symétrie ?
  2. Quelle propriété mathématique présente le champ magnétique au centre de la spire ?
  3. Quelle modification sur le champ magnétique produit une inversion du courant ?
  4. Le champ magnétique garde-t-il une valeur constante le long d'une ligne de champ ?
  5. Réduire la rayon de la spire au minimum puis tracer quelques lignes de champ. À quoi vous fait penser la structure des lignes de champ magnétique ?

Méthode numérique utilisée

Le champ magnétique créé par une spire s'exprime en fonction des intégrales elliptiques de premières espèces et deuxième espèce définis par \begin{equation} \mathcal{E}_1(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}} \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_2(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi \end{equation} Si l'on note \(a\) la rayon de la spire, \(I\) l'intensité du courant, \(z\) l'altitude par rapport à la spire et \(r\) la distance à l'axe de la pire, on a \begin{equation} \overrightarrow{B}(r,\theta,z)=\frac{\mu_0I}{4a} \begin{bmatrix} \frac{Z/X}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1+X^2+Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)-\mathcal{E}_1(k)\right)\\ [2mm] 0\\ [2mm] \frac{1}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1-X^2-Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)+\mathcal{E}_1(k)\right)\\ \end{bmatrix} \end{equation} avec \[ X=\frac{r}{a} \quad Z=\frac{z}{a} \quad\text{et}\quad k^2=\frac{4X}{(1+X)^2+Z^2} \]

Les intégrales elliptiques sont calculés a l'aide d'un algorithme simple basée sur la moyenne arithmético-géométrique. Enfin, le tracé des lignes de champ repose sur une méthode de Runge-Kutta d'ordre deux [2].

Pour en savoir plus...

  1. T. Pré Intégrales elliptiques et champ magnétique créé par une spire circulaire. BUP, nov. 2009, vol. 103, no 918(2), p. 119-131.
  2. J.Roussel. Comment tracer une ligne de champ ? (2016-06) femto-physique.fr

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