Introduction
Par définition, les coniques sont les sections d'un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Il existe trois formes différentes : l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Une conique possède au moins un foyer F et un axe de symétrie passant par F. L'équation polaire d'une conique avec origine au foyer s'écrit : \[r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta-\theta_{0}) \pm 1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &\geq& 0 \end{array}\right.\] $p$ est appelé paramètre et $e$ excentricité de la conique. Étant donné que la transformation $\theta-\theta_{0}\mapsto \theta_{0}-\theta$ laisse invariante la conique, celle-ci présente donc toujours un axe de symétrie, ici l'axe $\theta=\theta_{0}$. Par commodité, nous prendrons l'axe F$x$ comme axe de symétrie de sorte que $\theta_{0}=0$.
L'ellipse
Propriétés de l'ellipse
Par définition, l'ellipse est une conique d'excentricité $e<1$. Son équation polaire s'écrit donc :
\begin{equation} r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta) +1} \quad\text{avec}\quad p>0 \quad\text{et}\quad 0≤e<1 \label{eq:C7equation_polaire_ellipse} \end{equation}
On remarque immédiatement que lorsque $e=0$, l'ellipse se confond avec le cercle de centre F et de rayon $p$. Dans le cas ou $e\neq 0$, l'ellipse présente les propriétés suivantes.
- La courbe est bornée puisque $r$ est fini pour toute valeur de $\theta$.
- La fonction $r(\theta)$ étant $2\pi$-périodique, il s'agit donc d'une courbe qui se referme après une révolution.
- Le point le plus rapproché de l'origine F est appelé péricentre et correspond à $\theta=0$. Il se situe à $r_{\textrm{p}}=p/(1+e)$ du foyer.
- Le point le plus éloigné de l'origine est appelé apocentre et correspond à $\theta=\pi$. Il se situe à la distance $r_{\textrm{a}}=p/(1-e)$ du foyer.
- Par définition, la distance $2a$ qui sépare le péricentre de l'apocentre est le grand-axe de l'ellipse. On a \[2a=r_{\textrm{a}}+r_{\textrm{p}}=\frac{2p}{1-e^2}\]
- Posons le point C sur l'axe de symétrie à gauche de F de sorte que $\textrm{CF}=c=ae$ et définissons F' l'image de F par la symétrie centrale de centre C. Calculons la distance FM + F'M. D'après la relation d'Al-Kashi on a \[\textrm{FM}=r \qquad\text{et}\qquad \textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4c^2+4r\,c\cos\theta}\] Or, on a $c=ea$ et $r=a(1-e^2)/(e\cos\theta+1)$ d'où \[\begin{array}{rcl} 4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4e^2a^2+4r\,e\,a\cos\theta\\ &=& 4a^2+4a^2(e^2-1)+\dfrac{4a^2(1-e^2)e\cos\theta}{e\cos\theta+1}\\ &=& 4a^2-\dfrac{4a^2(1-e^2)}{e\cos\theta+1}\\ 4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4a^2-4a\,r\\ \end{array}\] Finalement $\textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4a^2-4ar}=2a-r$ de sorte que l'on trouve \begin{equation} \textrm{FM}+\textrm{F'M}=2a \label{eq:C7relation_bifocale} \end{equation} Il s'agit de la définition bifocale de l'ellipse.
- Cette dernière propriété implique une symétrie par rapport aux axes (C$y$) et (C$x$) et donc une symétrie centrale de centre C. Il existe donc deux positions de M sur l'axe C$y$, séparées de la distance $2b$ appelé petit-axe. Dans ce cas, compte tenu de la relation \eqref{eq:C7relation_bifocale}, on a \[\textrm{FM}=\textrm{F'M}=a \qquad\text{et}\qquad \textrm{FM}=\sqrt{c^2+b^2}\] Ainsi, petit et grand-axe sont liés à la distance focale $c$ par la relation \begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{a^2=b^{2}+c^{2}} \label{eq:C7relation_entre_a_b_et_c} \end{equation}
Équation cartésienne
L'équation cartésienne est relativement simple si l'origine du repère est placée au centre de l'ellipse. En effet, écrivons l'équation \eqref{eq:C7equation_polaire_ellipse} sous la forme $r=p-re\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=r\cos\theta+c$ et $y=r\sin\theta$ : \[ r=p-e(x-c) \quad\Longrightarrow\quad r^2=(x-c)^2+y^2=p^2+e^2(x-c)^2-2ep(x-c)\] Développons en plaçant les termes quadratiques à gauche : \[x^2(1-e^2)+y^2=p^2+e^2c^2+2epc-c^2+x(2c-2ce^2-2pe)\] Sachant que $p=a(1-e^2)$ et $c=ea$, la relation devient \[x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)^2+e^4a^2+2a^2e^2(1-e^2)-e^2a^2+x\left(2ea-2ae^3-2ae(1-e^2)\right) \] soit, après simplification : \begin{equation} x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) \label{eq:C7equation_cartesienne_conique} \end{equation} Le terme de droite représente $a^2-c^2=b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit
Équation cartésienne d'une ellipse
\begin{equation} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \label{eq:C7equation_cartesienne_ellipse} \end{equation}La parabole
Propriétés
Par définition, la parabole est une conique d'excentricité $e=1$. Son équation polaire avec origine au foyer est donc \[r(\theta)=\frac{p}{1+\cos\theta}\] On est toujours en présence de la symétrie d'axe O$x$. Le péricentre est obtenu lorsque $\theta=0$ et se situe à la distance $p/2$ du foyer, appelée distance focale. Par ailleurs, lorsque $\theta\to \pm\pi$, la distance FM tend vers l'infini.
Équation cartésienne
Plaçons l'origine d'un repère cartésien au péricentre (appelé aussi sommet de la parabole) en orientant l'axe O$x$ vers la gauche. Écrivons l'équation polaire sous la forme $r=p-r\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=p/2-r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ : \[ \sqrt{y^2+(x-\frac{p}{2})^2}=p+(x-\frac{p}{2})\] Élevons au carré : \[ y^2+(x-\frac{p}{2})^2=p^2+(x-\frac{p}{2})^2+2p(x-\frac{p}{2})\] Après simplification, on trouve que l'équation cartésienne d'une parabole de paramètre $p$ s'écrit
Équation cartésienne d'une parabole'
\begin{equation} y^{2}=2p\,x \label{eq:C7equation_cartesienne_parabole} \end{equation}Si l'on transforme $x\to y$ et $y\to -x$, cela revient à tourner la parabole de $-\pi/2$. On obtient dans ce cas l'équation usuelle d'une parabole : $y=\frac{1}{2p}x^2$.
L'hyperbole
Propriétés
Par définition, l'hyperbole est une conique d'excentricité $e>1$ et d'équation polaire \[r(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta \pm1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &>& 1 \end{array}\right.\] ce qui décrit deux branches d'hyperbole dont les asymptotes se coupent en un point O.
L'équation \(r_{-}(\theta)=\dfrac{p}{e\cos\theta -1}\) décrit une branche $\mathcal{B}_{-}$ dont les asymptotes font un angle $\pm \theta_{1}$ avec l'axe des abscisses. En effet, $r$ diverge quand $\cos\theta_{1}=1/e$ ce qui donne la pente des asymptotes : \[\tan\theta_{1}=\pm\sqrt{e^{2}-1}\] De la même façon, l'équation \(r_{+}(\theta)=\dfrac{p}{e\cos\theta +1}\) décrit une deuxième branche $\mathcal{B}_{+}$ d'hyperbole dont les asymptotes font un angle $\pm\theta_{2}$ donné par $\cos\theta_{2}=-1/e$. Ainsi, \[\theta_{2}=\pi-\theta_{1}\] et les asymptotes présentent une symétrie d'axe O$y$. Finalement les asymptotes admettent une symétrie centrale de centre O, propriété partagée par les branches d'hyperbole.
Soit le rectangle tangent à l'hyperbole en $\theta=0$ et dont les sommets sont sur les asymptotes. Par définition, les dimensions de ce rectangle sont appelées grand-axe et petit-axe de l'hyperbole et notées respectivement $2a$ et $2b$. La distance focale $c$ est ici la distance qui sépare O du foyer (comme pour l'ellipse). Une simple lecture des distances donne : \[\left\{\begin{array}{rcl} \dfrac{p}{e-1}-\dfrac{p}{e+1} &=& 2a \\[4mm] \dfrac{p}{e-1} &=& c+a \\ \end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} p &=& a(e^{2}-1) \\[4mm] e &=& \dfrac{c}{a} \\ \end{array}\right.\] Par ailleurs, la pente des asymptotes vaut aussi $\pm b/a$ de sorte que $b/a=\sqrt{e^{2}-1}$ c'est-à-dire
\begin{equation} \bbox[5px,border:2px solid #ff9d00]{c^{2}=a^{2}+b^{2}} \label{eq:C7relation_entre_a_b_et_c_pour_hyperbole} \end{equation}Équation cartésienne
Reprenons la démarche employée dans le cas de l'ellipse sans oublier de procéder aux modifications suivantes :
- l'origine étant à droite du foyer, il faut poser $x=r\cos\theta-c$ ;
- le paramètre $p$ est relié à l'excentricité et au demi grand-axe par $p=a(e^2-1)$.
On retrouve alors l'équation \eqref{eq:C7equation_cartesienne_conique} valable donc aussi bien pour une ellipse que pour une hyperbole : \[ x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\] Ici, le terme $a^2(1-e^2)$ vaut $a^2-c^2=-b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une hyperbole demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit