Introduction
Par définition, les coniques sont les sections d'un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Il existe trois formes différentes : l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Une conique possède au moins un foyer F et un axe de symétrie passant par F. L'équation polaire d'une conique avec origine au foyer s'écrit : \[ r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta-\theta_{0}) \pm 1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &\geq& 0 \end{array}\right. \] \(p\) est appelé paramètre et \(e\) excentricité de la conique. Étant donné que la transformation \(\theta-\theta_{0}\mapsto \theta_{0}-\theta\) laisse invariante la conique, celle-ci présente donc toujours un axe de symétrie, ici l'axe \(\theta=\theta_{0}\). Par commodité, nous prendrons l'axe F\(x\) comme axe de symétrie de sorte que \(\theta_{0}=0\).
L'ellipse
Propriétés de l'ellipse
Par définition, l'ellipse est une conique d'excentricité \(e<1\). Son équation polaire s'écrit donc : \begin{equation} r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta) +1} \quad\text{avec}\quad p>0 \quad\text{et}\quad 0≤e<1 \end{equation} On remarque immédiatement que lorsque \(e=0\), l'ellipse se confond avec le cercle de centre F et de rayon \(p\). Dans le cas ou \(e\neq 0\), l'ellipse présente les propriétés suivantes.
- La courbe est bornée puisque \(r\) est fini pour toute valeur de \(\theta\).
- La fonction \(r(\theta)\) étant \(2\pi\)-périodique, il s'agit donc d'une courbe qui se referme après une révolution.
- Le point le plus rapproché de l'origine F est appelé péricentre et correspond à \(\theta=0\). Il se situe à \(r_{\textrm{p}}=p/(1+e)\) du foyer.
- Le point le plus éloigné de l'origine est appelé apocentre et correspond à \(\theta=\pi\). Il se situe à la distance \(r_{\textrm{a}}=p/(1-e)\) du foyer.
- Par définition, la distance \(2a\) qui sépare le péricentre de l'apocentre est le grand-axe de l'ellipse. On a \[2a=r_{\textrm{a}}+r_{\textrm{p}}=\frac{2p}{1-e^2}\]
- Posons le point C sur l'axe de symétrie à gauche de F de sorte que \(\textrm{CF}=c=ae\) et définissons F' l'image de F par la symétrie centrale de centre C. Calculons la distance FM + F'M. D'après la relation d'Al-Kashi on a
\[
\textrm{FM}=r
\qquad\text{et}\qquad
\textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4c^2+4r\,c\cos\theta}
\]
Or, on a \(c=ea\) et \(r=a(1-e^2)/(e\cos\theta+1)\) d'où
\[
\begin{array}{rcl}
4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4e^2a^2+4r\,e\,a\cos\theta\\
&=& 4a^2+4a^2(e^2-1)+\dfrac{4a^2(1-e^2)e\cos\theta}{e\cos\theta+1}\\
&=& 4a^2-\dfrac{4a^2(1-e^2)}{e\cos\theta+1}\\
4c^2+4r\,c\cos\theta &=& 4a^2-4a\,r\\
\end{array}
\]
Finalement \(\textrm{F'M}=\sqrt{r^2+4a^2-4ar}=2a-r\) de sorte que l'on trouve
\begin{equation} \text{FM}+\text{F'M}=2a \end{equation}Il s'agit de la définition bifocale de l'ellipse.
- Cette dernière propriété implique une symétrie par rapport aux axes (C\(y\)) et (C\(x\)) et donc une symétrie centrale de centre C. Il existe donc deux positions de M sur l'axe C\(y\), séparées de la distance \(2b\) appelé petit-axe. Dans ce cas, compte tenu de la relation(2), on a \[ \textrm{FM}=\textrm{F'M}=a \qquad\text{et}\qquad \textrm{FM}=\sqrt{c^2+b^2} \] Ainsi, petit et grand-axe sont liés à la distance focale \(c\) par la relation \[ \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle a^2=b^{2}+c^{2} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]
Équation cartésienne
L'équation cartésienne est relativement simple si l'origine du repère est placée au centre de l'ellipse. En effet, écrivons l'équation(1)sous la forme \(r=p-re\cos\theta\) et substituons les coordonnées cartésiennes \(x=r\cos\theta+c\) et \(y=r\sin\theta\) : \[ r=p-e(x-c) \] d'où \[ r^2=(x-c)^2+y^2=p^2+e^2(x-c)^2-2ep(x-c) \] Développons en plaçant les termes quadratiques à gauche : \[ x^2(1-e^2)+y^2=p^2+e^2c^2+2epc-c^2+x(2c-2ce^2-2pe) \] Sachant que \(p=a(1-e^2)\) et \(c=ea\), la relation devient \[ \begin{split} x^2&(1-e^2)+y^2\\ &=a^2(1-e^2)^2+e^4a^2+2a^2e^2(1-e^2)-e^2a^2+x\left(2ea-2ae^3-2ae(1-e^2)\right) \end{split} \] soit, après simplification :
Le terme de droite représente \(a^2-c^2=b^2\) de sorte que l'équation cartésienne d'une ellipse de demi-grand axe \(a\) et de demi-petit axe \(b\) s'écrit
Équation cartésienne d'une ellipse
\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \]La parabole
Propriétés
Par définition, la parabole est une conique d'excentricité \(e=1\). Son équation polaire avec origine au foyer est donc \[ r(\theta)=\frac{p}{1+\cos\theta} \] On est toujours en présence de la symétrie d'axe O\(x\). Le péricentre est obtenu lorsque \(\theta=0\) et se situe à la distance \(p/2\) du foyer, appelée distance focale. Par ailleurs, lorsque \(\theta\to \pm\pi\), la distance FM tend vers l'infini.
Équation cartésienne
Plaçons l'origine d'un repère cartésien au péricentre (appelé aussi sommet de la parabole) en orientant l'axe O\(x\) vers la gauche. Écrivons l'équation polaire sous la forme \(r=p-r\cos\theta\) et substituons les coordonnées cartésiennes \(x=p/2-r\cos\theta\) et \(y=r\sin\theta\) : \[ \sqrt{y^2+(x-\frac{p}{2})^2}=p+(x-\frac{p}{2}) \] Élevons au carré : \[ y^2+(x-\frac{p}{2})^2=p^2+(x-\frac{p}{2})^2+2p(x-\frac{p}{2}) \] Après simplification, on trouve que l'équation cartésienne d'une parabole de paramètre \(p\) s'écrit
Équation cartésienne d'une parabole
\[ y^{2}=2p\,x \]Si l'on transforme \(x\to y\) et \(y\to -x\), cela revient à tourner la parabole de \(-\pi/2\). On obtient dans ce cas l'équation usuelle d'une parabole : \(y=\dfrac{1}{2p}x^2\).
L'hyperbole
Propriétés
Par définition, l'hyperbole est une conique d'excentricité \(e>1\) et d'équation polaire \[ r(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta \pm1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &>& 1 \end{array}\right. \] ce qui décrit deux branches d'hyperbole dont les asymptotes se coupent en un point O. L'équation \(r_{-}(\theta)=\dfrac{p}{e\cos\theta -1}\) décrit une branche \(\mathcal{B}_{-}\) dont les asymptotes font un angle \(\pm \theta_{1}\) avec l'axe des abscisses. En effet, \(r\) diverge quand \(\cos\theta_{1}=1/e\) ce qui donne la pente des asymptotes : \[\tan\theta_{1}=\pm\sqrt{e^{2}-1}\] De la même façon, l'équation \(r_{+}(\theta)=\dfrac{p}{e\cos\theta +1}\) décrit une deuxième branche \(\mathcal{B}_{+}\) d'hyperbole dont les asymptotes font un angle \(\pm\theta_{2}\) donné par \(\cos\theta_{2}=-1/e\). Ainsi, \[\theta_{2}=\pi-\theta_{1}\] et les asymptotes présentent une symétrie d'axe O\(y\). Finalement les asymptotes admettent une symétrie centrale de centre O, propriété partagée par les branches d'hyperbole.
Soit le rectangle tangent à l'hyperbole en \(\theta=0\) et dont les sommets sont sur les asymptotes. Par définition, les dimensions de ce rectangle sont appelées grand-axe et petit-axe de l'hyperbole et notées respectivement \(2a\) et \(2b\). La distance focale \(c\) est ici la distance qui sépare O du foyer (comme pour l'ellipse). Une simple lecture des distances donne : \[ \left\{\begin{array}{rcl} \dfrac{p}{e-1}-\dfrac{p}{e+1} &=& 2a \\[4mm] \dfrac{p}{e-1} &=& c+a \\ \end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} p &=& a(e^{2}-1) \\[4mm] e &=& \dfrac{c}{a} \\ \end{array}\right. \] Par ailleurs, la pente des asymptotes vaut aussi \(\pm b/a\) de sorte que \(b/a=\sqrt{e^{2}-1}\) c'est-à-dire \[ \fcolorbox{#FFFFFF}{#FFF8F0}{\quad \(\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]
Équation cartésienne
Reprenons la démarche employée dans le cas de l'ellipse sans oublier de procéder aux modifications suivantes :
- l'origine étant à droite du foyer, il faut poser \(x=r\cos\theta-c\) ;
- le paramètre \(p\) est relié à l'excentricité et au demi grand-axe par \(p=a(e^2-1)\).
On retrouve alors l'équation(3)valable donc aussi bien pour une ellipse que pour une hyperbole : \[ x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) \] Ici, le terme \(a^2(1-e^2)\) vaut \(a^2-c^2=-b^2\) de sorte que l'équation cartésienne d'une hyperbole demi-grand axe \(a\) et de demi-petit axe \(b\) s'écrit