MENUCours d'Électromagnétisme

Les équations de Maxwell relient les sources électriques (charges et courants) au champ électromagnétique. Dans ce cours nous nous intéressons à la dynamique du champ électromagnétique dans le vide sans se préoccuper des sources qui en sont à l'origine.

Propagation du champ dans le vide

Équation de propagation

Plaçons-nous dans une région de l'espace ou règne le vide : aucune matière n'y est présente ; en particulier les densités de charge et courant électrique sont rigoureusement nuls. Dans cette région, les équations de Maxwell prennent la forme simple suivante :

Pour obtenir l'équation qui régit la dynamique du champ électrique ou magnétique on utilise l'identité: \[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{A}\right)= \overrightarrow{\text{grad}}\left(\text{div}\overrightarrow{A}\right)-\Delta \overrightarrow{A} \] Commençons par l'appliquer au champ électrique: \[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\right)= \overrightarrow{\text{grad}}(\underbrace{\text{div}\overrightarrow{E}}_{0})-\Delta \overrightarrow{E}=-\Delta \overrightarrow{E} \] Par ailleurs, on a également \[ \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{E}\right)= -\overrightarrow{\text{rot}}\left(\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)= -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)= -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} \] On aboutit à l'équation aux dérivées partielles \[ \Delta \overrightarrow{E}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0} \] En procédant de la même manière avec le champ magnétique, c'est-à-dire en calculant \(\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\overrightarrow{B}\right)\), on laisse au lecteur le soin de vérifier que le champ magnétique est régi par la même équation.

Cette équation aux dérivées partielles d'ordre deux, est dite équation de d'AlembertJean le Rond d'Alembert (1717-1783) est un mathématicien, physicien et philosophe français du siècle des Lumières. Il établit l'équation des ondes en 1746 dans un traité sur la physique des cordes vibrantes. ou équation des ondes, car nous verrons que ses solutions caractérisent un phénomène propagatif. Une analyse aux dimensions nous révèle que le terme \(c\) représente une vitesse caractéristique : \[ \frac{[E]}{\mathrm{L^2}}=\frac{1}{[c^2]}\frac{[E]}{T^2} \quad\text{soit}\quad [c]=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} \] Il s'agira de la vitesse de propagation. Par ailleurs, cette équation reste invariante par inversion du sens du temps. En effet, changer \(t\) en \(-t\) ne change rien à l'opérateur \(\partial^2/\partial t^2\), ni au laplacien. Le phénomène décrit est réversible, par conséquent non dissipatif.

Cette équation aux dérivées partielles d'ordre deux, est dite équation de d'Alembert

ou équation des ondes, car nous verrons que ses solutions caractérisent un phénomène propagatif. Une analyse aux dimensions nous révèle que le terme \(c\) représente une vitesse caractéristique : \[ \frac{[E]}{\mathrm{L^2}}=\frac{1}{[c^2]}\frac{[E]}{T^2} \quad\text{soit}\quad [c]=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{T}} \] Il s'agira de la vitesse de propagation. Par ailleurs, cette équation reste invariante par inversion du sens du temps. En effet, changer \(t\) en \(-t\) ne change rien à l'opérateur \(\partial^2/\partial t^2\), ni au laplacien. Le phénomène décrit est réversible, par conséquent non dissipatif.

Bien entendu, la solution particulière évidente \(\overrightarrow{E}\) ou \(\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{C^{te}}}\) ne nous intéresse pas. Nous cherchons des solutions variables dans l'espace et le temps.

Concernant le potentiel électromagnétique \(\{V,\overrightarrow{A}\}\), on peut vérifier à l'aide des équations (6-7) du chapitre précédent, qu'il est également régit par l'équation d'onde à condition de se placer dans la jauge de Lorentz.

Propagation isotrope

Cherchons la forme des solutions dans le cas où le champ électromagnétique présente la propriété d'isotropie autour d'un point O que nous prenons comme origine du repère. Adoptons les coordonnées sphériques, et posons : \[ \overrightarrow{E}(\text{M},t)=\overrightarrow{E}(r,t) \quad\text{et}\quad \overrightarrow{B}(\text{M},t)=\overrightarrow{B}(r,t) \] On montre dans ce cas que la composante radiale du champ électromagnétique est nécessairement nulle. Considérons donc la composante orthoradiale \(E_\theta(r,t)\). L'équation de d'Alembert devient [2] :

Les solutions de cette équation aux dérivées partielles se mettent sous la forme \[ E_\theta=\frac{1}{r}\left[f(r-ct)+g(r+ct)\right] \]

Interprétons le terme \(f(r-ct)\). À \(t=0\) ce signal vaut \(f(r)\), et à l'instant \(t>0\) le signal \(f(r-ct)\) est le même signal translaté radialement de la distance \(ct\). Autrement dit, \(f(r-ct)\) est un signal qui se propage radialement à la vitesse \(c\). Ainsi le terme \(f(r-ct)/r\) représente un signal qui se propage radialement tout en s'amortissantCet amortissement n'est en aucun cas lié à un phénomène dissipatif. Au contraire, comme nous le verrons ultérieurement, il est la conséquence de la conservation de l'énergie. au fur et à mesure de sa propagation.

On appelle onde sphérique divergente ce type d'onde. En effet, sa surface d'ondeRappelons que la surface d'onde correspond à l'ensemble des points qui, à un instant \(t\), présente la même valeur du champ. a pour équation \(r-ct=\mathrm{C^{te}}\) ce qui correspond à une sphère se dilatant à la vitesse \(c\). Ce type d'émission électromagnétique décrit assez bien le comportement des étoiles par exemple.

De la même manière, le terme \(g(r+ct)/r\) représente une onde sphérique se contractant à la vitesse \(c\).

Finalement, la propagation isotrope d'une onde électromagnétique à la vitesse \(c\) est une solution de l'équation de d'Alembert. Lorsque l'on se trouve assez loin de la source d'émission, ces ondes sphériques s'aplatissent et présentent une structure d'ondes planes que nous étudions plus en détail dans la section suivante.

Vitesse de propagation

L'équation de propagation prévoit donc l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant dans le vide à la vitesse

À l'époque de Maxwell, les constantes \(\mu_0\) et \(\epsilon_0\) étaient connues grâce aux travaux expérimentaux de Kohlrausch et Weber. Le calcul donna \(c\simeq\) 3,11×10⁸m.s^-1, valeur étrangement proche de la vitesse de la lumière déterminée par Fizeau en 1849. En effet, à l'aide d'une roue dentée en rotation rapide, Hippolyte Fizeau mesure une vitesse de la lumière d'environ 3,15×10⁸ m.s^-1. Il n'en faut pas plus pour pousser Maxwell à conjecturer la nature électromagnétique de la lumière. Il écrira :

The agreement of the results seems to show that light and magnetism are affections of the same substance, and that light is an electromagnetic disturbance propagated through the field according to electromagnetic laws.

J.C Maxwell

L'idée que la lumière pouvait être de nature électromagnétique était dans l'air du temps et de nombreux indices existaient déjà du temps de MaxwellPar exemple, Faraday avait mis en évidence l'effet qui porte maintenant son nom : un champ magnétique axial peut faire tourner le plan de polarisation de la lumière. L'angle de rotation dépend de l'intensité du champ magnétique et du milieu dans lequel la lumière se propage.. Toutefois, c'est en 1888, neuf ans après la mort de Maxwell, que le physicien allemand Heinrich Rudolf HertzHeinrich Rudolph Hertz (1857-1894) est un physicien allemand qui découvrit l'effet photoélectrique et confirma l'existence des ondes électromagnétiques. confirme l'existence de telles ondes. Ces ondes, dit hertziennes, seront à l'origine du développement de la communication à distance et de la radio.

Depuis 1983, la vitesse de la lumière dans le vide est devenue une constante fondamentale définie par le Système international des unités. Sa valeur est fixée à \[ c=299 792 458\,\mathrm{m.s^{-1}} \]

Propagation unidimensionnelle

Onde plane

L'onde plane est une solution unidimensionnelle de l'équation d'onde. Autrement dit, le champ électromagnétique ne dépend que d'une dimension d'espace - prenons \(x\) par exemple - en plus de la dimension temporelle : \(\{\overrightarrow{E}(x,t),\overrightarrow{B}(x,t)\}\).

L'équation d'onde devient \[ \frac{\partial^2 \{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}}{\partial x^2}- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}}{\partial t^2}=0 \] et la solution se met sous la forme \[ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}(x-ct)+\overrightarrow{E_2}(x+ct) \quad\text{et}\quad \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B_1}(x-ct)+\overrightarrow{B_2}(x+ct) \] Les termes \(\overrightarrow{E_1}(x-ct)\) et \(\overrightarrow{B_1}(x-ct)\) représentent des ondes planes se propageant dans le sens des \(x\) croissants. En effet, la surface d'onde a pour équation \[ x-ct=\mathrm{C^{te}} \] ce qui représente un plan parallèle à \((y\text{O}z)\) se déplaçant à la vitesse \(\dot x=c\) suivant \(\overrightarrow{u_x}\). Il s'agit d'une onde plane progressive. Les termes \(\overrightarrow{E_2}(x+ct)\) et \(\overrightarrow{B_2}(x+ct)\) désignent quant à eux le même type d'onde se propageant à la vitesse \(c\) dans la direction opposée : il s'agit d'une onde plane régressive.

Suite aux expériences menées par Fresnel et Arago au début du XIX^e siècle, Fresnel avait conjecturé la nature transversale de l'onde lumineuse. C'est effectivement une des caractéristiques des ondes planes électromagnétiques qui découle des équations de Maxwell : \[ \left\{\begin{array}{rcl} \text{div}\overrightarrow{E}&=&0\\ \text{div}\overrightarrow{B}&=&0 \end{array}\right. \quad\text{d'où}\quad \left\{\begin{array}{rcl} \partial E_x/\partial x&=&0\\[2mm] \partial B_x/\partial x&=&0 \end{array}\right. \] Les relations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday impliquent \[ \left\{\begin{array}{rcl} \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{E}&=&-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}&=&\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t} \end{array}\right. \quad\text{d'où}\quad \left\{\begin{array}{rcccl} \dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}&=&0&=&-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}\\ \dfrac{\partial B_z}{\partial y}-\dfrac{\partial B_y}{\partial z}&=&0&=&\mu_0\epsilon_0 \dfrac{\partial E_x}{\partial t} \end{array}\right. \] Finalement, on aboutit à la conclusion que le champ électromagnétique suivant \(x\) ne dépend ni de \(x\) ni de \(t.\) Par conséquent, il ne peut être que constant. Puisque nous cherchons des solutions variables, nous pouvons ignorer cette solution et poser \(E_x=B_x=0\). Le champ électromagnétique est orthogonal à la direction de propagation ; l'onde électromagnétique est transversale.

Allons plus loin en déterminant la structure du champ électromagnétique transportée par l'onde plane. Pour cela, supposons que le champ électromagnétique se propage suivant les \(x\) croissantsLe lecteur pourra vérifier que les conclusions auxquelles on arrive ne dépendent pas de ce choix. : \[ \{\overrightarrow{E}(x,t),\overrightarrow{B}(x,t)\}= \{\overrightarrow{E}(u),\overrightarrow{B}(u)\} \quad\text{avec}\quad u=x-ct \] Déterminons alors le champ magnétique à l'aide de la relation de Maxwell-Faraday \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\) : \[ \begin{pmatrix} \partial/\partial x \\ \partial/\partial y\\ \partial/\partial z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0\\E_y\\E_z \end{pmatrix} =-\frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} 0\\B_y\\B_z \end{pmatrix} \quad\text{soit}\quad \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial E_z}{\partial x}&=& \dfrac{\partial B_y}{\partial t}\\[2mm] \dfrac{\partial E_y}{\partial x}&=& -\dfrac{\partial B_z}{\partial t}\\ \end{array}\right. \] Puisque les champs ne dépendent que de la variable \(u=x-ct\), on obtient \[ \left\{\begin{array}{rcccccccccl} \dfrac{\partial E_z}{\partial x} &= &\dfrac{\mathrm{d} E_z}{\mathrm{d} u}\dfrac{\partial u}{\partial x} &= &\dfrac{\mathrm{d} E_z}{\mathrm{d} u} &= &\dfrac{\partial B_y}{\partial t} &= &\dfrac{\mathrm{d} B_y}{\mathrm{d} u}\dfrac{\partial u}{\partial t} &= &-c\dfrac{\mathrm{d} B_y}{\mathrm{d} u}\\[2mm] \dfrac{\partial E_y}{\partial x} &= &\dfrac{\mathrm{d} E_y}{\mathrm{d} u}\dfrac{\partial u}{\partial x} &= &\dfrac{\mathrm{d} E_y}{\mathrm{d} u} &= &-\dfrac{\partial B_z}{\partial t} &= &-\dfrac{\mathrm{d} B_z}{\mathrm{d} u}\dfrac{\partial u}{\partial t} &= &c\dfrac{\mathrm{d} B_y}{\mathrm{d} u}\\ \end{array}\right. \] Après intégration par rapport à \(u\) on aboutit à : \[ E_z=-cB_y \qquad\text{et}\qquad E_y=cB_z \] Le champ magnétique est donc entièrement déterminé par le champ électrique. On remarque notamment :

• \(\overrightarrow{E}\perp \overrightarrow{B}\) puisque \(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{B}=E_yB_y+E_zB_z=0\) ;
• Le trièdre \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{u_x})\) est direct car \((\overrightarrow{E}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{u_x}>0\) ;
• \(\|\overrightarrow{E}\|=c\|\overrightarrow{B}\|\).

Finalement on retiendra la structure générale d'une onde plane progressive ou régressive :

Onde Plane Progressive Harmonique (OPPH)

Par définition, une onde plane progressive harmonique est de la forme \[ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0}\cos(k(x-ct)) \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{E_0}\perp \overrightarrow{u_x} \] où \(k\) est appelé nombre d'onde.

En \(x=0\), le champ oscille comme \(\cos(\omega t)\) avec une pulsation

Cette oscillation présente une période temporelle \(T=2\pi/\omega\) (en s) et une fréquence \(\nu=\omega/(2\pi)\) (en Hz).

Après une durée \(T\) le signal s'est propagé d'une longueur \(\lambda\), dite longueur d'onde, telle que

Pour résumer, une onde plane progressive s'écrit sous différentes formes selon que l'on utilise les paramètres \((\omega, k)\) ou \((T,\lambda)\). \[ \overrightarrow{E}(x,t)=\begin{cases} \overrightarrow{E_0}\cos(\omega t-kx)&\text{avec }\omega =ck\\ \overrightarrow{E_0}\cos\left[2\pi\left(t/T-z/\lambda\right)\right]& \text{avec }\lambda =cT\\ \end{cases} \] Finalement, quand on s'intéresse à une onde plane dans le vide, fixer la longueur d'onde c'est fixer la fréquence \(\nu\), la pulsation \(\omega\), la période \(T\) et le nombre d'onde \(k\). Nous verrons qu'il suffit ensuite de préciser l'orientation du champ électrique pour caractériser complètement l'onde plane.

Les premières ondes électromagnétiques découvertes par Hertz présentaient une longueur d'onde de quelques mètres. Ces ondes furent appelées ondes hertziennes (ou onde radio). On a pris l'habitude de découper l'intervalle des longueurs d'onde en différents domaines spectraux qui constituent le spectre électromagnétique. Dans le domaine optique, on parlera plutôt d'ondes planes monochromatiques car la fréquence du signal électromagnétique détermine la couleur de la lumière visible.

Vecteur d'onde

Pour une onde plane se propageant suivant \(+\overrightarrow{u_x}\), on a donc \(\overrightarrow{k}=k\, \overrightarrow{u_x}\).

De manière générale, une onde plane qui se propage suivant la direction \(\overrightarrow{u}\) présente un vecteur d'onde \(\overrightarrow{k}=k\, \overrightarrow{u}\). Dans ce cas, l'onde plane harmonique s'écrit \[ \overrightarrow{E}(\text{M},t)=\overrightarrow{E_0}\cos(\omega t-k\xi) \] où \(\xi\) est la coordonnée le long de l'axe orienté par \(\overrightarrow{u}\). Considérons un point M de l'espace et appelons H le projeté orthogonal de M sur l'axe (O,\(\overrightarrow{u}\)). H est repéré par la coordonnée \(\xi\). On a alors la propriété suivante : \[ \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{\text{OM}}= k\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{\text{OH}}+\overrightarrow{\text{HM}}\right)= k \,\text{OH}=k\xi \] de sorte que l'expression générale d'une onde plane harmonique de vecteur d'onde \(\overrightarrow{k}\) s'écritOn a choisit l'origine des temps de façon à ce que la phase à l'origine soit nulle. Si ce n'est pas le cas, on écrira \($\overrightarrow{E}(\text{M},t)=\overrightarrow{E_0}\cos(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{\text{OM}}+\varphi)\)$ :

Notation complexe

Il est souvent pratique d'utiliser la notation complexe pour manipuler les ondes planes harmoniques. L'idée consiste à associer à chaque terme harmonique de la forme \(A\cos(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}+\varphi)\), le nombre complexe \[ A\, \mathrm{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}+\varphi)}= \underbrace{\;A\,\mathrm{e}^{i \varphi}\;}_{\underline{A}}\mathrm{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})} \] où \(\underline{A}\) est appelé amplitude complexe.

La partie imaginaire du nombre complexe \(\underline{A}\mathrm{e}^{i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r})}\) étant sinusoïdale, elle est aussi solution de l'équation d'onde. Ainsi la linéarité des équations de Maxwell garantit que ces représentations complexes soient solutions des équations de Maxwell.

L'intérêt majeur de la notation complexe réside dans la simplification qu'elle apporte dans les opérations de dérivation. On vérifie aisément que \[ \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{x,y,z}\rightarrow i\omega\times \qquad \overrightarrow{\nabla}\rightarrow i \overrightarrow{k}\cdot \qquad\text{et}\qquad \Delta=\overrightarrow{\nabla}^2\rightarrow -k^2\times \]

Polarisation

Généralités

Nous avons vu qu'une onde plane harmonique est entièrement déterminée si l'on connaît deux vecteurs parmi les trois vecteurs \(\overrightarrow{E}\), \(\overrightarrow{B}\) et \(\overrightarrow{k}\). On a coutume de choisir le couple \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{k})\) pour décrire une telle onde électromagnétique :

• \(\overrightarrow{k}\) indique sa direction de propagation ainsi que sa longueur d'onde (\(k=2\pi/\lambda\)) et donc sa fréquence \((\nu=c/\lambda)\).
• \(\overrightarrow{E}\) détermine complètement la structure du champ électromagnétique puisque \(B=E/c\) et le trièdre \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{k})\) est direct.

Le mouvement décrit par l'extrémité du champ électrique, dans le plan d'onde, définit l'état de polarisation de l'onde. On distingue trois types de polarisation :

• la polarisation rectiligne;
• la polarisation circulaire;
• la polarisation elliptique.

Décrivons en détail ces différentes polarisations.

Polarisation rectiligne

Pour fixer les idées, considérons une OPPH se propageant suivant l'axe des \(x\) croissants (\(\overrightarrow{k}=k\, \overrightarrow{u_x}\)). Le champ électrique oscille donc dans un plan parallèle à \((y\text{O}z)\). Adoptons la notation complexe pour exprimer le champ électrique : \[ \overrightarrow{\underline{E}}(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} 0\\ \underline{E_{0}^y}\mathrm{e}^{i(\omega t-kx)}\\ \underline{E_{0}^z}\mathrm{e}^{i(\omega t-kx)}\\ \end{pmatrix} \quad\text{avec}\quad (\underline{E_0^y},\underline{E_0^z})\in \mathbb{Z}^2 \]

Supposons que chaque composante oscille en phase ou en opposition de phase. Dans ce cas on a \[ \underline{E_{0}^z}=\alpha\underline{E_{0}^y} \quad\text{avec}\quad \alpha \in \mathbb{R} \]

Plaçons-nous en \(x=0\) et observons la courbe décrite par l'extrémité du champ électrique. \[ \left\{\begin{array}{rcl} \underline{E_y}&=&\underline{E_{0}^y}\mathrm{e}^{i(\omega t)}\\ \underline{E_z}&=&\underline{E_{0}^z}\mathrm{e}^{i(\omega t)}\\ \end{array}\right. \quad \underset{\text{notation réelle}}{\longrightarrow} \quad \left\{\begin{array}{rcl} E_y(t)&=&A\cos(\omega t+\varphi)\\ E_z(t)&=&\alpha A\cos(\omega t+\varphi)\\ \end{array}\right. \] où l'on a posé \(\underline{E_{0}^y}=A\mathrm{e}^{i\varphi}\). Ainsi la composante suivant O\(y\) oscille entre \(-A\) et \(A\), et la composante suivant O\(z\) entre \(-\alpha A\) et \(\alpha A\). De surcroît, à chaque instant \(E_z(t)=\alpha E_y(t)\). Autrement dit, l'extrémité du champ électrique décrit un segment sur la droite d'équation \(z=\alpha y\) : on dit que l'onde est polarisée rectilignement.

La structure de l'onde plane représentée sur la Fig. 4 correspond à une onde harmonique polarisée rectilignement suivant l'axe O\(y\). On a donc \(\alpha=0\) puisque \(E_z=0\).

Polarisation elliptique

Voyons maintenant le comportement du champ électrique dans le cas général où les composantes ne sont ni en phase ni en opposition de phase. Posons \[ \underline{E_{0}^y}=A_y\mathrm{e}^{i\varphi_y} \quad\text{et}\quad \underline{E_{0}^z}=A_z\mathrm{e}^{i\varphi_z} \] Dans le plan \(x=0\), la vibration électrique s'écrit \[ \left\{\begin{array}{rcl} \underline{E_y}&=&\underline{E_{0}^y}\mathrm{e}^{i(\omega t)}\\ \underline{E_z}&=&\underline{E_{0}^z}\mathrm{e}^{i(\omega t)}\\ \end{array}\right. \quad \underset{\text{notation réelle}}{\longrightarrow} \quad \left\{\begin{array}{rcl} E_y(t)&=&A_y\cos(\omega t+\varphi_y)\\ E_z(t)&=&A_z\cos(\omega t+\varphi_z)\\ \end{array}\right. \] On montre que l'extrémité du champ électrique trace une ellipse inscrite dans un rectangle d'axes \(y\)O\(z\) et de dimensions \(2A_y\times 2A_z\). On dit alors que l'onde présente une polarisation elliptique.

Lorsque cette ellipse est parcourue dans le sens horaire pour un observateur qui voit l'onde se diriger vers lui, on parle de polarisation elliptique droite ; On a alors \(\Delta \varphi=\varphi_z-\varphi_y\in]0;\pi[\). Dans le cas contraire, on parle de polarisation elliptique gauche.

Polarisation circulaire

La polarisation circulaire est une polarisation elliptique particulière. Elle se rencontre lorsque les composantes du champ électrique oscillent avec la même amplitude et en quadrature de phase. L'ellipse se réduit alors à un cercle parcouru dans le sens horaire (circulaire droite) si \(\Delta \varphi=\frac{\pi}{2}\), et dans le sens anti-horaire (circulaire gauche) si \(\Delta \varphi=-\frac{\pi}{2}\).

En notation réelle, on obtient \[ \left\{\begin{array}{rcl} E_y(t)&=&A\cos(\omega t-kx+\varphi)\\ E_z(t)&=&\pm A\sin(\omega t-kx+\varphi)\\ \end{array}\right. \] de sorte qu'à chaque instant \({E_y(t)}^2+{E_z(t)}^2=A^2\) : l'extrémité du champ électrique décrit un cercle de rayon \(A\).

En notation complexe, on a \[ \overrightarrow{\underline{E}}(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} 0\\ A\mathrm{e}^{i(\omega t-kx+\varphi)}\\ A\mathrm{e}^{i(\omega t-kx+\varphi\pm\frac{\pi}{2})}\\ \end{pmatrix} =A\mathrm{e}^{i(\omega t-kx+\varphi)}(\overrightarrow{u_y}\pm i \overrightarrow{u_z}) \] Il est commode de définir les deux vecteurs suivants : \[ \underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{u_y}+i\overrightarrow{u_z}) \quad\text{et}\quad \overrightarrow{\underline{u_\text{g}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{u_y}-i\overrightarrow{u_z}) \] Ces deux vecteurs forment une base orthonorméeOn laisse au lecteur le soin de vérifier que \(\underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}\cdot\underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}{}^\star=\underline{\overrightarrow{u_\text{g}}}\cdot\underline{\overrightarrow{u_\text{g}}}{}^\star=1\) et \(\underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}\cdot\underline{\overrightarrow{u_\text{g}}}{}^\star=0\). de \(\mathbb{C}^2\), et sont associés aux deux états de polarisation circulaire : \[ \begin{array}{lr} \text{polarisation circulaire droite} :& \overrightarrow{\underline{E}}(\text{M},t)=A \mathrm{e}^{i(\omega t-kx+\varphi)}\, \underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}\\ \text{polarisation circulaire gauche} :& \overrightarrow{\underline{E}}(\text{M},t)=A \mathrm{e}^{i(\omega t-kx+\varphi)}\, \underline{\overrightarrow{u_\text{g}}}\\ \end{array} \] Tout état de polarisation peut être décrit dans cette base. Par exemple, deux ondes de même amplitude et polarisées circulairement -l'une à gauche, l'autre à droite- se composent en donnant une onde polarisée rectilignement : \[ A \mathrm{e}^{i(\omega t-kx)}\, \underline{\overrightarrow{u_\text{d}}}+ A \mathrm{e}^{i(\omega t-kx)}\, \underline{\overrightarrow{u_\text{g}}}= \sqrt{2}A \mathrm{e}^{i(\omega t-kx)}\, \overrightarrow{u_y} \]

Polarisation aléatoire

Une onde plane harmonique est nécessairement polarisée. Toutefois dans la réalité on rencontre plutôt des ondes quasi-harmoniques (ou quasi-monochromatiques). En effet, en première approximation, la lumière naturelle peut être décrite par une émission d'ondes de polarisation elliptique, mais dont la phase varie de façon imprévisible sur une durée caractéristique beaucoup plus courte que le temps de réponse des détecteurs usuels. On dit qu'il s'agit d'ondes incohérentes[3] et que la lumière naturelle n'est pas polarisée.

Cependant, la lumière peut se polariser totalement ou partiellement après interaction avec la matière comme nous allons le voir par la suite.

Production de lumière polarisée

Il existe différentes façons d'obtenir une lumière polarisée.

Polarisation par dichroïsme — Certains matériaux ont la particularité d'absorber une composante du champ électrique sans affecter la composante perpendiculaire. On parle de dichroïsme. Ces matériaux sont souvent constitués de polymères alignés dans une direction qui correspond à la direction absorbante. Ainsi lorsque l'on envoie une lumière non polarisée au travers de ce matériau, il en ressort une onde polarisée rectilignement suivant la direction perpendiculaire à la direction absorbante. En pratique on utilise couramment des polaroïdsPolaroïd® est une marque déposée de la société Polaroid corporation fondée en 1937 par Edwin Land pour exploiter commercialement son invention. qui se présentent comme des feuilles de plastique transparent, et que l'on appelle polariseurs.

Comme on peut le voir sur Fig.9, un polariseur peut servir à mettre en évidence une lumière polarisée rectilignement. On dit alors que le polariseur est utilisé en analyseur.

Polarisation par réflexion vitreuse — Historiquement, la polarisation de la lumière a été découverte par le français Louis Malus en 1809 sur la lumière réfléchie par réflexion vitreuse. Si on envoie de la lumière naturelle sur une substance comme le verre, on observe que la lumière réfléchie est polarisée rectilignement pour une incidence particulière définie par l'angle \(i_\text{B}\), dit angle de Brewster. Le champ électrique de l'onde réfléchie est alors perpendiculaire au plan d'incidence. L'angle \(i_\text{B}\) est tel que \[ \tan(i_\text{B})=n \] où \(n\) est l'indice de réfraction du milieu réfléchissant par rapport au milieu ambiant. Dans le cas d'une interface air/verre on trouve \(i_\text{B}\simeq 56\degree\), et pour l'interface air/eau \(i_\text{B}=53\degree\). Ainsi, pour des incidences voisines de l'incidence de Brewster, un polariseur dont l'axe de transmission est parallèle au plan d'incidence éliminera une grande partie de la lumière réfléchie ; c'est l'intérêt des lunettes de soleil à verres polarisants.

Polarisation par biréfringence — Certains cristaux transparents ont la propriété de dédoubler les images à cause du phénomène de double réfraction. Cette biréfringence fut initialement observée en 1669 par Erasme Bartholin avec du spath d'Islande, un cristal de calcite. Un rayon incident arrivant sur un tel milieu donne naissance en général à deux rayons réfractés ce qui correspond pour ces rayons à deux valeurs de l'indice de réfraction. Ces deux rayons présentent deux polarisations rectilignes orthogonales entre elles. Les premiers polariseurs utilisèrent cette propriété.