MENUCours d'Électromagnétisme

En 1865, le physicien écossais James Clerk Maxwell publie A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, article dans lequel il unifie les théories électrique et magnétique en une seule, et établit 20 équations différentielles qui décrivent le comportement local du champ électromagnétique. C'est Oliver Heaviside qui les réduira à 4 ; les 4 équations de Maxwell qui, associées à la force de Lorentz, forment la théorie électromagnétique classique.

Lois générales de l'électromagnétisme

Concept de champ électromagnétique

Nous avons vu lors de l'étude des phénomènes électriques et magnétiques en régime stationnaire, qu'on pouvait les interpréter en faisant intervenir deux champs indépendants : les charges électriques produisent dans tout l'espace un champ électrique \(\overrightarrow{E}(\text{M})\) donné par la loi de Coulomb, et les courants électriques un champ magnétique \(\overrightarrow{B}(\text{M})\) obtenu par la loi de Biot et Savart.

Les phénomènes d'induction sont venus troubler ce découplage apparent entre magnétisme et électricité. Lorsque les charges et/ou les courants évoluent au cours du temps cela produit à la fois un champ électrique et magnétique sans qu'il soit possible de relier le champ électrique uniquement à la charge électrique, ni le champ magnétique uniquement au courant électrique. Ainsi, on admet que l'objet physique pertinent pour décrire ces phénomènes, est le champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}\) qui forme un tout indissociable. Il s'agit donc d'un objet mathématique constitué de 6 champs scalairesOn choisit de représenter ce champ par un ensemble de deux vecteurs de ℝ³ mais on pourrait tout aussi bien décrire ce champ par un tenseur symétrique 4x4.. Le champ électromagnétique est accessible à l'expérience par l'intermédiaire de la formule de Lorentz qui donne la force subie par une particule de charge \(q\) et de vitesse \(\overrightarrow{v}\) dans un référentiel donné :

L'objet de ce chapitre est de déterminer les lois qui relient une distribution de charges et courants modélisée par les densités \((\rho,\overrightarrow{j})\), au champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E}(\text{M},t),\overrightarrow{B}(\text{M},t)\}\).

Équation de continuité

Toute distribution de charges doit obéir à un principe qui dépasse le cadre de l'électromagnétisme : la loi de conservation de la charge. Celle-ci se traduit par une équation locale qui relie densité volumique de charge et densité volumique de courant.

Imaginons un volume V fixe dans le référentiel d'étude, contenant une charge totale \(q(t)\). Ce volume est délimité par une surface fermée S. Si l'on caractérise la distribution des charges par sa densité volumique \(\rho(\text{M},t)\) et son courant \(\overrightarrow{j}(\text{M},t)\), on a \[ q(t)=\iiint_\text{V} \rho(\text{M},t)\, \mathrm{d}\tau \quad\text{et}\quad i_\text{sortant}=\oiint_\text{S} \overrightarrow{j}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\, \mathrm{d}S \] où \(i_\text{sortant}\) est l'intensité du courant électrique sortant du volume à l'instant \(t\).

Le principe de conservation de la charge se traduit par le fait que si \(q(t)\) varie au cours du temps, c’est que le volume V a échangé des charges avec l’extérieur sous forme de courants : \[ i_\text{sortant}=-\frac{\mathrm{d}q(t)}{\mathrm{d} t} \quad\text{soit}\quad \oiint_\text{S} \overrightarrow{j}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}\, \mathrm{d}S= -\iiint_\text{V} \frac{\partial \rho(\text{M},t)}{\partial t}\, \mathrm{d}\tau \]

Le premier terme peut être transformé à l'aide du théorème de Green-Ostrogradski : \[ \iiint_\text{V} \text{div}\overrightarrow{j}(\text{M},t)\, \mathrm{d}\tau= -\iiint_\text{V} \frac{\partial \rho(\text{M},t)}{\partial t}\, \mathrm{d}\tau \] L'égalité devant être vérifiée quel que soit le volume V choisi, il en découle la relation \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \text{div}\overrightarrow{j}(\text{M},t)+\frac{\partial \rho(\text{M},t)}{\partial t}=0 \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Cette équation est appelée équation de continuité ou équation de conservation de la charge.

En régime stationnaire, densité et courant sont indépendants du temps : on retrouve alors la relation déjà rencontrée \(\text{div}\overrightarrow{j}(M)=0\) qui exprime le fait que le courant électrique est à flux conservatif.

Il manque quelque chose

Les phénomènes électromagnétiques étudiés jusqu'iciOn parle ici de l'électrostatique, la magnétostatique et l'induction électromagnétique. sont bien décrits par les équations résumées ici : \[ \begin{array}{c|c} \text{Relation avec les sources}\qquad&\qquad\text{Structure du champ}\\ \text{div}\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0} & \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0 \overrightarrow{j} & \text{div}\overrightarrow{B}=0 \end{array} \]

Montrons sur un exemple classique d'électrocinétique que nos équations ne forment pas un cadre cohérent. Imaginons la situation d'un condensateur initialement chargé se déchargeant dans une résistance. Lors de la décharge, un courant électrique circule dans le circuit produisant ainsi un champ magnétique \(\overrightarrow{B}(\text{M},t)\) autour des fils de connexion. Considérons un cercle C entourant le circuit comme indiqué sur la Fig. 3, puis calculons la circulation du champ magnétique le long de C à l'aide du théorème de Stokes:

où le flux de \(\overrightarrow{j}\) a été calculé à travers le disque entouré par C. On retrouve bien entendu le théorème d'Ampère.

Cependant, rien nous oblige à choisir le disque comme surface d'intégration. Toute surface convient tant qu'elle s'appuie sur le contour C. Prenons donc la surface S' qui passe entre les armatures du condensateur. Dans ce cas, aucun courant ne traverse S' et l'on a \[ \oint_\text{C} \overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=\iint_\text{S'} \mu_0 \overrightarrow{j}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=0 \] en contradiction avec la relation précédente.

C'est en résolvant cette contradiction que Maxwell trouva un cadre cohérent pour unifier les effets électromagnétiques.

Courant de déplacement

Dans le calcul précédent on se rend bien compte que le long de la surface S' le vecteur \(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}\) doit présenter par endroit une valeur non nulle. Il faut donc modifier la relation d'Ampère. Pour cela, écrivons \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}=\mu_0(\overrightarrow{j}+\overrightarrow{j_\text{d}}) \] où \(\overrightarrow{j_\text{d}}\) est un terme supplémentaire homogène à une densité volumique de courant. Ce terme est appelé courant de déplacement. Cherchons l'expression qu'il faut lui donner. Pour cela, exprimons \(\text{div}\overrightarrow{j}\): \[ \overrightarrow{j}=\frac{1}{\mu_0} \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}-\overrightarrow{j_d} \quad\text{d'où}\quad \text{div}\overrightarrow{j}= \text{div}\left[\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{B}/\mu_0)-\overrightarrow{j_\text{d}}\right]=-\text{div}\overrightarrow{j_\text{d}} \] Or, la conservation de la charge impose \(\text{div}\overrightarrow{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}\) ce qui implique \[ \text{div}\overrightarrow{j_\text{d}}=\frac{\partial\rho}{\partial t} \] Si l'on considère que la relation de Maxwell-Gauss reste valide en régime variable, alors \(\rho=\epsilon_0 \text{div}\overrightarrow{E}\), et on aboutit à la relationOn peut intervertir les dérivées temporelles et spatiales en vertu du théorème de Schwarz. \[ \text{div}\overrightarrow{j_\text{d}} = \text{div}\left(\epsilon_0 \frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right) \] Dans ses publications de 1865 Maxwell propose d'adopter la solution particulière la plus simple, à savoir \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{j_\text{d}} \stackrel{\text{def}}= \epsilon_0 \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\qquad \mathrm{[A.m^{-2}]} \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Ce choix s'est avéré justifié par les conséquences vérifiables expérimentalement.

Bilan

En résumé, les phénomènes électromagnétiques sont correctement décrits si l'on admet l'existence d'un champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}\) accessible expérimentalement via la force de Lorentz \[ \overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}) \] et dont les propriétés locales sont données par les 4 équations de Maxwell :

On distingue deux relations qui relient les champs aux sources (courant et densité de charge). La première traduit le théorème de Gauss qui découle comme on l'a vu de la loi de Coulomb et que l'on étend aux régimes variables. La seconde traduit le théorème d'Ampère modifié par la prise en compte du courant de déplacement pour assurer la conservation de la charge. Les deux autres relations traduisent les propriétés intrinsèques du champ électromagnétique indépendamment des sources. La relation de Maxwell-Faraday indique que toute variation temporelle du champ magnétique induit un champ électrique (phénomène d'induction), et la dernière postule que le champ magnétique est à flux conservatif.

Notez que le principe de conservation de la charge est implicitement inclus dans les équations de Maxwell.

Enfin, ces équations de Maxwell sont valables dans tout référentiel galiléenComme on le sait, le référentiel terrestre n'est pas strictement galiléen du fait de sa rotation propre. Toutefois, l'influence de cette dernière sur les phénomènes électromagnétiques est tout a fait négligeable..

Résolution des équations de Maxwell

Propriétés

Les équations de Maxwell constituent un système couplé aux dérivées partielles du premier ordre, dont la solution est le champ électromagnétique. Donnons quelques propriétés de ce champ.

Continuité du champ — Si les sources sont décrites par une description volumiqueOn caractérise la source par une densité volumique de charge locale ρ(M,t) et un courant volumique local j⃗(M,t)., le champ électromagnétique est continu.

Discontinuité du champ — Il arrive que l'on soit amené à idéaliser une situation physique en décrivant un ensemble de charges ou de courants comme s'ils étaient distribuées le long d'une surface. Ce type de simplifications conduit à des discontinuités du champ de part et d'autres de la surface. On retrouve les mêmes propriétés que celles déjà vues[1][2] dans le cadre des régimes stationnaires. Nous les résumons ici : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \overrightarrow{E_2}-\overrightarrow{E_1}= \frac{\sigma}{\epsilon_0}\overrightarrow{n_{12}} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{B_2}-\overrightarrow{B_1}= \mu_0\left(\overrightarrow{j_s}\wedge \overrightarrow{n_{12}}\right)\quad \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Principe de superposition — Les équations de Maxwell ont le bon goût d'être linéaires par rapport aux champs et aux sources. Il en découle le principe de superposition suivant : Si une distribution \(\mathcal{D}_1\) crée en M et à l'instant \(t\) un champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E_1},\overrightarrow{B_1}\}\), et qu'une autre distribution crée le champ \(\{\overrightarrow{E_2},\overrightarrow{B_2}\}\), alors les deux distributions agissant simultanément créeront le champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2},\overrightarrow{B_1}+\overrightarrow{B_2}\}\).

Introduction des potentiels

Les équations de Maxwell forment un système d'équations aux dérivées partielles qui ne permet pas, en général, d'expliciter séparément les champs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) en fonction des densités \(\rho\) et \(\overrightarrow{j}\). En revanche, l'introduction des potentiels dont dérivent les champs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) va nous permettre de découpler le problème. On est ainsi capable d'exprimer le potentiel \(V\) en fonction de \(\rho\) et le potentiel vecteur \(\overrightarrow{A}\) en fonction de \(\overrightarrow{j}\). Le champ électromagnétique s'en déduit par simple dérivation. Cherchons donc à déterminer les équations vérifiées par les potentiels.

Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, la conservation du flux magnétique \(\text{div}\overrightarrow{B}=0\) implique que \(\overrightarrow{B}\) est un champ rotationnel :

En réinjectant dans l'équation de Maxwell-Faraday, on trouve \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\left(\overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)= \overrightarrow{0} \] Ce qui signifie que le champ à l'intérieur de l'opérateur rotationnel est un gradient. On pose alors

Le potentiel électromagnétique \(\{V,\overrightarrow{A}\}\) est donc un intermédiaire de calcul qui permet de déduire le champ électromagnétique \(\{\overrightarrow{E},\overrightarrow{B}\}\).

Utilisons maintenant les deux autres équations de Maxwell en utilisant les potentiels : \begin{align} \text{div}\left(-\overrightarrow{\text{grad}}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)= \frac{\rho}{\epsilon_0}\quad\scriptsize \text{Maxwell-Gauss} \notag \\ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}=\mu_0 \overrightarrow{j}- \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\left(\overrightarrow{\text{grad}}V+\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)\quad\scriptsize \text{Maxwell-Ampère} \notag \end{align} En utilisant les identités \(\text{div}\left(\overrightarrow{\text{grad}}f\right)=\triangle f\) et \(\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A}\right)=\overrightarrow{\text{grad}}\left(\text{div}\overrightarrow{A}\right)-\triangle \overrightarrow{A}\), on aboutit à

Jauge de Lorenz

Rappelons que les définitions (2) et (3) ne définissent pas de manière univoque les potentiels. En effet, les transformations \[ \overrightarrow{A}\rightarrow \overrightarrow{A}+\overrightarrow{\text{grad}}f \quad\text{et}\quad V\rightarrow V-\frac{\partial f}{\partial t} \] laissent invariantes les relations \[ \overrightarrow{B}=\overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{A} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\text{grad}}V- \frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t} \] On peut profiter de cette indétermination pour imposer une condition supplémentaire qui serait choisie en fonction des simplifications qu'elle apporte. Cette contrainte arbitraire est dite condition de jauge.

La jauge de Lorenz est une jauge particulière donnée par : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \text{div}\overrightarrow{A}+\frac{1}{c^2} \frac{\partial V}{\partial t}=0 \quad\text{avec}\quad \mu_0\epsilon_0c^2=1 \notag \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

Cette contrainte permet de simplifier grandement les équations (4) et (5) qui deviennent alors :

Ainsi, on obtient deux équations découplés, qui relient le potentiel scalaire à la densité de charge, et le potentiel vecteur au courant. Les solutions ont été introduites par Lorenz et sont appelées potentiels retardés.

Potentiels retardés (jauge de Lorenz)

\[ \begin{array}{rcc} V(\text{M},t)& =& \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint_\mathcal{D}\frac{\rho(\text{P},t-r/c)}{r} \mathrm{d}\tau\\[5mm] \overrightarrow{A}(\text{M},t)& =& \displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_\mathcal{D}\frac{\overrightarrow{j}(\text{P},t-r/c)}{r}\mathrm{d}\tau\\[5mm] \text{avec }c&=&\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} \end{array} \]

Tout se passe comme si chaque point P de la distribution produisait en M un potentiel électromagnétique correspondant à celui vu en régime stationnaire à ceci près qu'il faut considérer l'état de P à l'instant \(t-\text{PM}/c\) pour connaître l'effet en M à l'instant \(t\). Ce retardD'où le terme de potentiels retardés. est dû au terme en \[ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \] qui traduit un phénomène de propagation à la vitesse \(c\).

Insistons sur le fait que ce découplage n'est possible qu'avec les potentiels et dans le cadre de la jauge de Lorenz. Le découplage des champs \(\overrightarrow{E}\) et \(\overrightarrow{B}\) n'est possible qu'en régime statique. Une fois ces potentiels calculés, on en déduit le champ électromagnétique par les relations (2) et (3).

Approximation des régimes quasi-stationnaires

Comme nous venons de le voir, le potentiel électromagnétique \(\{V,\overrightarrow{A}\}\) dépend de l'état des sources à l'instant \(t-\text{PM}/c\) avec \(\mu_0\epsilon_0c^2=1\). Nous verrons que \(c\) correspond à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques et qu'elle vaut environ \(3\cdot 10^8\,\mathrm{m.s^{-1}}\).

Dans ce contexte, les potentiels prennent la forme suivante : \[ V(\text{M},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\iiint_\mathcal{D}\frac{\rho(\text{P},t)}{r} \mathrm{d}\tau \quad\text{et}\quad \overrightarrow{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_\mathcal{D}\frac{\overrightarrow{j}(\text{P},t)}{r}\mathrm{d}\tau \] On en tire plusieurs conséquences.

• L'expression du potentiel vecteur est la même que celle vue en magnétostatique, à une nuance près : la densité de courant dépend a priori du temps. Ainsi, la loi de Biot et Savart reste valide dans l'ARQS.
• Pour les mêmes raisons, le théorème d'Ampère vu en magnétostatique est encore valide : \[ \overrightarrow{\text{rot}}\,\overrightarrow{B}(\text{M},t)=\mu_0 \overrightarrow{j}(\text{M},t) \] Par conséquent, l'ARQS revient à négliger le courant de déplacement \(\overrightarrow{j_\text{d}}=\epsilon_0 \partial \overrightarrow{E}/\partial t\).
• Prenons la divergence de l'équation de Maxwell précédente. On aboutit à \(\text{div}\overrightarrow{j}=0\) : dans l'ARQS, le flux du courant électrique se conserve. C'est cette propriété qui est à la base de l'électrocinétiqueOn en tire la loi des nœuds. En particulier, en tout point d'une branche d'un circuit l'intensité électrique prend la même valeur à un instant t.
• Bien que le potentiel scalaire présente la même expression qu'en régime stationnaire, le champ électrique viole la loi de Coulomb puisque \[ \overrightarrow{E}(\text{M},t)= -\overrightarrow{\text{grad}}V(\text{M},t) -\frac{\partial \overrightarrow{A}(\text{M},t)}{\partial t} \] Autrement dit, l'ARQS néglige les phénomènes de propagation mais pas les phénomènes d'induction.

L'ARQS suppose que la source évolue au cours du temps avec un temps caractéristique \(T\) suffisamment grand devant le retard \(\tau\) dû à la propagation. En régime sinusoïdal cela signifie que \[ \frac{\text{PM}}{c}\ll T \quad\text{soit}\quad \text{PM}\ll cT=c/\nu=\lambda \] En particulier, sur une distance de 1 m, l'ARQS est valable pour des fréquences \(\nu\ll 300\,\mathrm{MHz}\) : c'est le domaine de l'électrocinétique. Dans le cas des courants industriels la fréquence est fixée à 50 Hz, ce qui impose \(\text{PM}\ll 6~000\,\mathrm{km}\) : à l'échelle d'un pays, le transport de l'électricité peut être traité dans le cadre de l'ARQS.