MENUCours de Thermodynamique

Phénomène de diffusion thermique

Généralités

Citons quelques exemples que l'on rencontre au quotidien :

• le fer à repasser transfère de la chaleur aux tissus repassés par conduction ;
• la plaque électrique permet de chauffer une casserole d'eau par conduction ;
• la sensation de froid que l'on ressent au contact d'une règle métallique est produit par conduction thermique.

Pour caractériser le transport thermique, on définit deux grandeurs : le flux thermique et le courant thermique.

• Le flux thermique \(\phi_\text{th}\) désigne la puissance thermique qui traverse une surface : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \begin{array}{rcl} \phi_\text{th} &=& \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d} t}\\[3mm] [\mathrm{W}] &=&\mathrm{[J.s^{-1}]} \end{array}\nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

• La densité de courant thermique \(\overrightarrow{\jmath_\text{th}}\) mesure la répartition du courant thermique dans un milieu. \(\overrightarrow{\jmath_\text{th}}\) est orienté dans le sens du transfert thermique et \(|\overrightarrow{\jmath_\text{th}}|\) désigne le flux thermique par unité de surface (\(\mathrm{W.m^{-2}}\)). Plus généralement, le flux thermique traversant une surface \((S)\) s'exprime en fonction de \(\overrightarrow{\jmath_\text{th}}\) : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \phi_{\rm th}=\iint_{(S)}\overrightarrow{\jmath_{\rm th}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit}\nonumber \end{equation}

Loi de Fourier

En 1822, Jean-Baptiste Joseph Fourier, publie son Traité analytique de la chaleur dans lequel il énonce la loi relative à la diffusion thermiqueil y introduit également les fameuses séries qui portent désormais son nom pour résoudre l'équation de la chaleur[1] : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\jmath_{\rm th}} &=& -\lambda\; \overrightarrow{\nabla}T\\[3mm] [\mathrm{W/m^2}] &=&\mathrm{[W.m^{-1}.K^{-1}]\times[K.m^{-1}]} \end{array}\nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} où \(\lambda\) est une constante positive appelée conductivité thermique.

Cette loi traduit le fait que le courant thermique est perpendiculaire aux isothermes et dirigé des parties chaudes vers les parties froides. Plus le gradient de température est important, plus le courant thermique l'est aussi.

La conductivité thermique est caractéristique du milieu dans le lequel s'effectue le transfert thermique. Plus la conductivité thermique est importante moins le milieu résiste au transfert thermique.

Équation de la chaleur

Cas unidimensionnel — Considérons le cas simple d'un milieu au repos soumis à un gradient thermique dans la direction \((\text{O}x)\). On note \(T(x,t)\) la température à un instant \(t\) en un point M d'abscisse \(x\).

Cherchons alors à établir l'équation qui donne l'évolution dans l'espace et le temps du champ de température à partir d'un bilan thermique effectué sur une portion de section \(S\) située entre les abscisses \(x\) et \(x+\mathrm{d}x\). On adoptera les hypothèses suivantes.

• Le milieu est au repos ; la diffusion thermique est le seul mode transfert thermique considéré.
• La capacité thermique massique \(c_p\), la masse volumique \(\rho\) ainsi que la conductivité thermique \(\lambda\) sont considérés constantes.
• Le milieu n'est le siège d'aucune réaction chimique ni d'aucun processus produisant ou consommant de la chaleur.
• Enfin, la pression extérieure est maintenue constante.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants \(t\) et \(t+\mathrm{d}t\) donne \[ H(t+\mathrm{d}t)-H(t)=\delta Q_p \] où \(H\) est l'enthalpie de la portion étudiée. Le transfert thermique que reçoit le système s'écrit \[ \delta Q_p=\phi_{\text{reçu}}\,\mathrm{d}t=\left[j_\text{th}(x)\,S-j_\text{th}(x+\mathrm{d}x)\,S\right]\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}j_\text{th}}{\mathrm{d}x}S\,\mathrm{d}x \mathrm{d}t \] La température variant à priori dans le temps, l'enthalpie du système varie : \[ \mathrm{d}H=H(t+\mathrm{d}t)-H(t)=\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\left[\left.\frac{\partial H}{\partial T}\right|_p \frac{\partial T}{\partial t} \right]\mathrm{d}t \] Or, par définition, \(\left.\partial H/\partial T\right|_p \) désigne la capacité thermique à pression constant \(C_p\) du système : \[ \left.\frac{\partial H}{\partial T}\right|_p=C_p=\rho \,S\,\mathrm{d}x\,c_p \] où \(c_p\) représente la \textbf{capacité thermique massique}. Le premier principe se réécrit donc \[ \left[\rho \,S\,\mathrm{d}x\,c_p\frac{\partial T}{\partial t}\right]\mathrm{d}t= -\frac{\mathrm{d}j_\text{th}}{\mathrm{d}x}S\,\mathrm{d}x\mathrm{d}t \] Si on ajoute à cela la loi de Fourier \(\overrightarrow{\jmath_\text{th}}=-\lambda\partial T/\partial x\,\overrightarrow{u_x}\), on trouve finalement \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{\rho c_p}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Le champ de température vérifie une équation de diffusion unidimensionnelle dite équation de la chaleur.

Cas tridimensionnel — Cette équation se généralise en trois dimensions. Si l'on conserve les mêmes hypothèses, on trouve \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}= \frac{\lambda}{\rho c_p}\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right) \quad\text{(3D)}\nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} Le champ de température vérifie donc une équation aux dérivées partielles d'ordre deux. Son intégration fait alors apparaître des constantes d'intégration que l'on détermine grâce aux conditions initiales et aux limites.

Conditions aux limites

Résoudre l'équation de la chaleur consiste à déterminer le champ de température dans un espace \(\Omega\) sachant que l'on connaît les conditions initiales ainsi que les propriétés sur la frontière \(\partial \Omega\). Dans la pratique on distingue différents cas.

1. Le système est en contact parfait avec un thermostat de température \(T_0\) : à chaque instant on a la condition aux limites \[ T(\text{M},t)=T_0\quad \forall \text{M}\in \partial \Omega \]
2. Le système est solide et présente une surface de contact avec un autre solide. Si le contact n'est pas parfait, la température n'est pas continue. Cependant le flux thermique est continu.
3. Le système est parfaitement calorifugé c'est-à-dire entouré d'une paroi adiabatique. Dans ce cas, \[ \overrightarrow{j_\text{th}}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}^\text{ext}=0 \quad\forall \text{M} \in \partial \Omega \]
4. Le système présente une paroi en contact avec un fluide : la loi de Newton relative à la convection impose alors une condition sur le flux thermique (voir plus loin).

Résistance thermique

La résistance thermique est une notion très utilisée dans le bâtiment car elle indique le pouvoir isolant d'un matériau.

Imaginons un mur homogène d'épaisseur \(e\), de conductivité thermique \(\lambda\) soumis à un gradient thermique. Par ailleurs, admettons que le mur ait des dimensions suffisamment importantes devant son épaisseur pour considérer que le problème ne dépend que de la profondeur \(x\). Le champ de température est alors noté \(T(x,t)\). Le but est d'obtenir le flux thermique qui traverse le mur en régime permanent, lorsqu'une paroi est maintenue à la température \(T_1\) et l'autre à la température \(T_2\).

En régime permanent, \(\partial T/\partial t=0\) de sorte que l'équation de la chaleur se ramène à \[ \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d} x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}=C_1 \quad\Longrightarrow\quad T(x)=C_1x+C_2 \] Les conditions aux limites imposent \[ \left\{\begin{array}{rcl} T(0)&=&T_1\\[2mm] T(e)&=&T_2 \end{array} \right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} C_2&=&T_1\\[2mm] C_1&=&\dfrac{T_2-T_1}{e} \end{array} \right. \]

Finalement le champ de température varie linéairement avec la profondeur : \[ T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{e}x \] Le champ de température étant déterminé on peut obtenir la densité de courant thermique ainsi que le flux thermique traversant le mur : \[ \overrightarrow{\jmath_\text{th}}=-\lambda\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\overrightarrow{u_x}= -\frac{\lambda(T_2-T_1)}{e}\overrightarrow{u_x} \] On constate d'une part que la densité de courant thermique est uniforme : les lignes de courant thermique sont donc parallèles et les isothermes sont des plans parallèles aux parois. D'autre part, la présence du signe - indique que, conformément aux principes de la thermodynamique, le transfert s'effectue du chaud vers le froid. Si l'on considère une surface (S) du mur, le flux thermique qui traverse cette surface vaut \[ \phi_\text{th}=\iint_\text{(S)}\overrightarrow{\jmath_\text{th}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=\frac{\lambda(T_1-T_2)}{e}S \] où \(S\) est l'aire de la surface. Le flux thermique est alors proportionnelle à l'écart de température entre les parois. La notion de résistance thermique découle de l'analogie que l'on peut faire avec l'électricité. De la même manière que la résistance électrique d'un conducteur ohmique est le rapport de la différence de potentiel imposée sur le flux électrique (intensité électrique) qui le traverse, la résistance thermique est le rapport de la différence de température sur le flux thermique : \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle T_1-T_2=R_\text{th}\phi_\text{th} \quad\text{avec}\quad R_\text{th}=\frac{e}{\lambda S}\quad [\mathrm{K.W^{-1}}] \nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}

De part cette analogie avec la loi d'Ohm, il en découle les traditionnelles lois de composition des résistances :

• quand plusieurs milieux sont traversés par le même flux thermique on peut leur associer une résistance thermique équivalente \[ R_\text{eq}=\sum_i R_i\quad \text{(résistances en série)} \]
• quand plusieurs milieux sont soumis à la même différence de température, on peut leur associer une résistance thermique équivalente \(R_\text{eq}\) telle que \[ \frac{1}{R_\text{eq}}=\sum_i\frac{1}{R_i}\quad\text{(résistances en parallèle)} \]

La convection

Loi de Newton

On distingue deux types de convection.

La convection naturelle est induite lorsque c'est le gradient de température qui provoque le mouvement du fluide. Le chauffage par un convecteur électrique repose sur ce principe : l'air chaud au voisinage du convecteur étant moins dense que l'air environnant, il entame un mouvement ascensionnel du fait de la poussé d'Archimède. Cette ascension aspire de l'air froid qui va pouvoir se réchauffer au contact du convecteur mais permet aussi à l'air chaud d'échanger de l'énergie avec l'air situé en hauteur. De ce fait, l'air en mouvement se refroidit et donc retombe. Cette circulation en rouleau produit une homogénéisation (partielle) de la température beaucoup plus rapide que la conduction.

La convection forcée est provoquée par une circulation artificielle (pompe, turbine) d'un fluide. Par exemple, dans un sèche-cheveux, un courant d'air est soufflé par un ventilateur au travers d'une résistance électrique chauffante : l'air est chauffée par convection forcée.

Par définition, la convection est évidemment absente dans le vide. On pourrait croire qu'elle l'est également dans les solides. En réalité, tout dépend de l'échelle de temps sur laquelle on décrit le phénomène. Par exemple, Le manteau terrestre est vu comme un solide (densité \(d=3,5\)) à l'échelle de l'année mais présente les caractéristiques d'un fluide sur des échelles de temps géologiques. On ne pourrait pas comprendre la vitesse à laquelle la Terre se refroidit ni la tectonique des plaques sans le phénomène de convection mantellique.

Loi de Newton — Le phénomène convectif est difficile à modéliser car ce transport thermique est étroitement lié au type d'écoulement. Le traitement rigoureux nécessite trois bilans (masse, quantité de mouvement et chaleur) et débouche sur des équations aux dérivées partielles couplées en général très complexes. On préfère souvent recourir à des lois phénoménologiques telle que la loi de Newton.

Analyse dimensionnelle

Des lois d'échelle issues de l'analyse dimensionnelle et de résultats d'expérience permettent de calculer le coefficient de transfert en fonction de la géométrie du problème.

Prenons par exemple le cas d'un simple échangeur cylindrique de diamètre intérieur \(D\) dans lequel circule un fluide de masse volumique \(\rho\), de viscosité \(\eta\), de conductivité thermique \(\lambda\) et de capacité thermique massique \(c_{p}\). Lorsque le fluide s'écoule à une vitesse moyenne \(\overline{v}\), un échange convectif a lieu avec l'intérieur du tuyau. Appelons \(h\) le coefficient de transfert associé et cherchons à le relier avec les propriétés du fluide par une analyse dimensionnelle.

On cherche une relation entre \(n=7\) grandeurs qui mettent en jeu \(k=4\) dimensions indépendantes. En vertu du théorème \(\Pi\), il existe \(n-k=3\) grandeurs adimensionnées liées entre elles.

On peut effectivement construire trois nombres sans dimension :

• Le nombre de Reynolds \(R_\text{e}=\dfrac{\rho \overline{v}D}{\eta}\) qui caractérise l'écoulement et qui joue un rôle important en mécanique des fluides [3].
• Le nombre de Prandtl \(P_\text{r}=\dfrac{\eta\,c_{p}}{\lambda}\). Plus le nombre de Prandtl est élevé, plus la diffusion de masse domine devant la diffusion de chaleur.
• Le nombre de Nusselt \(N_\text{u}=\dfrac{hD}{\lambda}\). Plus le nombre de Nusselt est important plus le transfert par convection domine devant le transfert par conduction.

D'après le théorème \(\Pi\), on a \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle N_\text{u}=f(R_\text{e},P_\text{r}) \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\lambda}{D}f(R_\text{e},P_\text{r}) \nonumber \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation} La fonction \(f\) peut être déterminée de façon empirique ou numérique. Par exemple, pour les fluides usuels et lorsque le régime turbulent est établi, on obtient

Retour sur la résistance thermique

Lors du calcul de la résistance thermique d'une cloison fait précédemment, on a supposé que le mur était en contact parfait avec les milieux extrêmes. En pratique il arrive plus souvent que le mur soit en contact avec des fluides en mouvement. Dans ce cas, la température des parois (notées \(T_{p1}\) et \(T_{p2}\)) ne coïncide plus avec la température du fluide. Si l'on note \(h_1\) et \(h_2\) les coefficients de transfert associés aux transferts convectifs en \(x=0\) et en \(x=e\), on obtient une nouvelle expression de la résistance thermique à partir de la continuité du flux thermique : \[ \phi_\text{th}=h_1S(T_1-T_{p1})=h_2S(T_{p2}-T_2)=\frac{T_{p1}-T_{p2}}{R} \quad\text{avec}\quad R=\frac{e}{\lambda S} \] En utilisant \(T_1-T_2=(T_1-T_{p1})+(T_{p1}-T_{p2})+(T_{p2}-T_2)\), on trouve \[ T_1-T_2=R_\text{th}\phi_\text{th} \quad\text{avec}\quad R_\text{th}=\frac{e}{\lambda S}+\frac{1}{h_1S}+\frac{1}{h_2S} \] La résistance thermique augmente quand les transferts convectifs diminuent. C'est pourquoi, une lame d'air statique est plus isolante qu'une lame d'air en mouvement.

Le rayonnement

L'expérience montre que tout corps porté à une température \(T\) émet un rayonnement électromagnétique dit rayonnement thermique dont l'intensité augmente avec la température.

Loi de Stefan-Boltzmann (1879) — Les corps qui rayonnent le plus sont ceux qui absorbent le plus. Pour un corps parfaitement absorbant (dit corps noir) de température \(T\), la puissance rayonnée par unité de surface du corps s'écrit \[ \left.\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}\right|_{r}=\sigma\,T^4 \quad\text{avec}\quad \sigma=5,67.10^{-8}\,\mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}} \] où \(T\) est exprimée en kelvin et \(\sigma\) la constante de Stefan-Boltzmann. En réalité, un corps n'est jamais complètement absorbant. On parle de corps gris lorsque l'absorption du corps est indépendante de la longueur d'onde. Dans ce cas, on montre que la puissance rayonnée par unité de surface s'écrit \[ \left.\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}\right|_{r}=\epsilon\sigma\,T^4 \quad\text{avec}\quad 0<\epsilon<1 \] \(\epsilon\) est un coefficient empirique appelé émissivité.

Évidemment, en plus de rayonner de l'énergie, un système matériel absorbe également l'énergie rayonné par son environnement. On peut montrer que le flux thermique surfacique net produit pas un corps de température \(T\) dans un environnement de température \(T_0\) s'écrit \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}=\epsilon\sigma\left(T^4-T_0^4\right) \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \nonumber \end{equation}

Bilan thermique dans une conduite

Relation générale

Considérons un fluide en écoulement stationnaire dans un système de conduites. Au cours de l'écoulement le fluide échange du travail et de la chaleur avec son environnement. Il s'agit ici d'établir la relation exprimant le bilan thermique.

Pour simplifier le raisonnement, nous faisons les hypothèses suivantes :

• l'écoulement est permanent ;
• le problème est unidimensionnel ; en d'autres termes les grandeurs physiques sont supposées uniformes sur la section de la conduite et variables le long de la conduite.

Désignons par \(\mathcal{F}\) la portion de fluide située entre les sections A et B à l'instant \(t\). À l'instant \(t+\mathrm{d}t\), ce système fermé se retrouve entre les sections A' et B'. Le régime d'écoulement étant stationnaire, la masse qui traverse la section A pendant \(\mathrm{d}t\) est la même que celle qui traverse la section B : \[ \mathrm{d}m=\rho_\text{A} v_\text{A}\textrm{d}t\,S_\text{A}=\rho_\text{B} v_\text{B}\textrm{d}t\,S_\text{B}=D_\text{m}\,\mathrm{d}t \] Ce qui définit le débit massique \(D_\text{m}\). Appliquons à \(\mathcal{F}\) le premier principe de la thermodynamique entre les instants \(t\) et \(t+\mathrm{d}t\) :

où le travail des forces de pesanteur a été exprimé par une variation d'énergie potentielle de pesanteurOn a \(W(\overrightarrow{P})=-\Delta \mathcal{E}_\text{p}\). La variation d'énergie interne s'écrit \[ \begin{split} U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=U^\text{A'B'}(t+\mathrm{d}t)-U^\text{AB}(t)\\ =U^\text{A'B}(t+\mathrm{d}t)+U^\text{B'B}(t+\mathrm{d}t)-U^\text{AA'}(t)-U^\text{A'B}(t) \end{split} \] L'écoulement est stationnaire de sorte que \(U^\text{A'B}(t+\mathrm{d}t)=U^\text{A'B}(t)\). Ainsi, \[ U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=U^\text{B'B}-U^\text{AA'}=\mathrm{d}m(u_\text{B}-u_\text{A}) \] où \(u\) désigne l'énergie interne massique (J/kg). De la même manière on a \[ \mathcal{E}_\text{c}(t+\mathrm{d}t)-\mathcal{E}_\text{c}(t)=\mathcal{E}_\text{c}^\text{B'B}-\mathcal{E}_\text{c}^\text{AA'}=\frac12 \mathrm{d}m(v_\text{B}^2-v_\text{A}^2) \] et \[ \mathcal{E}_\text{p}(t+\mathrm{d}t)-\mathcal{E}_\text{p}(t)=\mathcal{E}_\text{p}^\text{B'B}-\mathcal{E}_\text{p}^\text{AA'}=\mathrm{d}m g(z_\text{B}-z_\text{A}) \] Quant au travail reçu, il se décompose en un travail des forces de pression s'exerçant en A et B ainsi que le travail mécanique éventuellement échangé par des machines hydrauliques (turbines, pompes). Si l'on appelle \(\mathcal{P}\) la puissance mécanique transférée à \(\mathcal{F}\) (\(\mathcal{P}>0\) pour les pompes et \(\mathcal{P}<0\) pour les turbines), on a \[ W=\mathcal{P}\mathrm{d}t+p_\text{A}S_\text{A}\times v_\text{A} \mathrm{d}t-p_\text{B}S_\text{B}\times v_\text{B} \mathrm{d}t \] Enfin, si l'on note \(\phi_\text{th}\) le flux thermique reçu par \(\mathcal{F}\), le bilan d'énergie (2) se réécrit \[ \begin{split} \mathrm{d}m(u_\text{B}-u_\text{A})+\frac12 \mathrm{d}m(v_\text{B}^2-v_\text{A}^2)+\mathrm{d}m g(z_\text{B}-z_\text{A})\\ =\mathcal{P}\mathrm{d}t+p_\text{A}S_\text{A}\times v_\text{A} \mathrm{d}t-p_\text{B}S_\text{B}\times v_\text{B} \mathrm{d}t + \phi_\text{th}\mathrm{d}t \end{split} \] Par ailleurs, le produit \(v\,S\) s'identifie avec le débit volumique soit \(D_\text{m}/\rho\). Si l'on divise par \(\mathrm{d}t\), on trouve \[ D_\text{m}\left[\left(u_\text{B}+\frac{p_\text{B}}{\rho_\text{B}}-u_\text{A}-\frac{p_\text{A}}{\rho_\text{A}}\right)+ \frac12(v_\text{B}^2-v_\text{A}^2)+g(z_\text{B}-z_\text{A})\right]=\mathcal{P}+\phi_\text{th} \]

On voit apparaître dans le terme de gauche, le terme \(u+p/\rho\) qui n'est rien d'autre que l'enthalpie massiqueL'enthalpie \(H\) est le potentiel thermodynamique défini par \(H=U+pV\) avec \(U\) l'énergie interne du système. En rapportant à l'unité de masse on obtient l'enthalpie massique \[ h=\frac{H}{m}=\frac{U}{m}+p\frac{V}{m}=u+\frac{p}{\rho} \], que nous noterons \(h\). Pour conclure le bilan prend la forme suivante :

Cette relation est souvent appelée, premier principe industriel.

Application : transfert thermique d'un échangeur

Cela consiste en général à faire passer un fluide chaud dans un cylindre creux et un autre (dans le même sens ou a contre sens) autour. Supposons que le fluide chaud rentre à la température \(T_{c1}\) dans l'échangeur et ressorte à la température \(T_{c2}\) et qu'il circule avec un débit massique \(D_c\). Quant au fluide réfrigérant, supposons qu'il rentre à la température \(T_{f1}\) et qu'il sorte avec un débit massique \(D_f\), à la température \(T_{f2}\). Cherchons à exprimer le transfert thermique \(\Phi\) que reçoit le réfrigérant entre l'entrée et la sortie de l'échangeur lorsque le régime permanent est établi.

Pour cela il suffit d'appliquer le bilan thermodynamique (3) sur le fluide froid entre l'entrée et la sortie. En général, la section est constante et l'écoulement suffisamment lent pour que l'on puisse considérer l'écoulement incompressible de sorte que \(v=\mathrm{C^{te}}\). En effet, la conservation du débit massique implique \[ \rho\, v\, S=\mathrm{C^{te}}\quad\Longrightarrow\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Par ailleurs, on suppose que le tuyau est horizontal (ou, ce qui revient au même, que les effets de la pesanteur sont négligeables) d'où \(gz=\mathrm{C^{te}}\). Ainsi, \[ \Delta\left(\frac{v^2}{2}+gz\right)=0 \] De plus on suppose que le transfert thermique axial est complètement négligeable devant le transfert radialNotez que cet argument est en contradiction avec l'hypothèse selon laquelle les grandeurs sont uniformes sur une section de la conduite. En effet, un transfert thermique radial implique un gradient thermique radial. La relation (3) reste malgré tout valable à condition de remplacer les grandeurs par des grandeurs moyennées sur la section dite grandeurs de mélange. \(\Phi\) que l'on cherche à déterminer. Le fluide n'échangeant pas de travail avec une quelconque machine pendant son parcours dans l'échangeur on a \(\mathcal{P}=0\). Compte tenu de toutes ces hypothèses, le bilan thermodynamique donne \(D_f\Delta h_f=\Phi\). Le fluide sort de l'échangeur avec une température différente de celle qu'il a en entrée, mais également avec une pression différente. Ainsi rigoureusement on a \[ \Delta h=\int_{T_1,p_1}^{T_2,p_2}\frac{\partial h}{\partial T}\;\mathrm{d}T+\frac{\partial h}{\partial p}\;\mathrm{d}p \] Cependant, la dépendance en pression est le plus souvent négligeable devant la dépendance en température. De plus, par définition, \(\partial h/\partial T\) représente la capacité thermique massique \(c_{p\,f}\). Finalement, \(D_f\Delta h=\Phi\) donne \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle \begin{array}{ccl} D_f\;c_{p\,f}\;(T_{f2}-T_{f1}) &=& \Phi\\[3mm] \mathrm{(kg/s).(J/kg/K).K} &=& \mathrm{W} \end{array} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \nonumber \end{equation} Cette relation permet donc d'obtenir le transfert thermique en fonction de quantités facilement mesurables.