MENUCours d'Électromagnétisme

Les aimants

Propriétés des aimants

La pierre d'aimant qui a la propriété d'attirer les petits morceaux de fer, est connue depuis l'antiquité grecque. On trouve cette pierre étonnante dans la région de Magnésie, en Asie Mineure. On sait aujourd'hui qu'elle est formée essentiellement d'oxyde de Fer Fe₃O₄ que l'on appelle magnétite. Façonnée et polie en forme de cuiller, elle est utilisée en Chine dès le III^e siècle à des fins divinatoires. Il faut attendre l'an Mille environ pour voir apparaître les première boussoles. Elle est adoptée par les navigateurs arabes puis européens pour s'orienter en mer. L'usage du compas de marine devient primordial avec les grandes explorations à la Renaissance. Sa pièce principale est une aiguille d'acier que l'on a aimantée par frottement contre une pierre d'aimant.

Les aimants présentent toujours au moins deux pôles, appelés pôle sud et pôle nord. Lorsque l'on approche deux aimants, on met aisément en évidence deux types d'interaction : deux pôles de même nature se repoussent alors que deux pôles de nature différente s'attirent.

Notion de champ magnétique

Interprétation

Sur Terre, il règne un champ de force magnétique qui oriente toutes les boussoles dans l'axe Sud-Nord. Par convention, le pôle qui indique le Nord Il s'agit du nord magnétique terrestre situé dans l'océan arctique, à quelques degrés de latitude du Nord géographique. est appelé pôle nord de la boussole, l'autre étant alors le pôle sud.

Un aimant modifie les propriétés magnétiques de l'espace : il crée un champ magnétique. Ce champ présente une direction donnée par la boussole et un sens donné par l'axe SN de la boussole.

Enfin, plus ce champ est important, plus l'aiguille est forcée de s'aligner avec ce champ ce qui explique l'augmentation de la fréquence des oscillations.

Une façon de visualiser le champ magnétique que produit un aimant consiste à disperser autour, de la limaille de fer : les aiguilles de fer s'aimantent puis de comportent comme de petites boussoles qui s'orientent suivant le champ magnétique local.

Force de Lorentz

Définition du champ magnétique

Le champ magnétique est défini à partir de la force de déflexion que ressent une particule chargée en présence d'une source de champ magnétique.

Considérons un tube de Crookes dans lequel on produit un faisceau d'électrons entre deux électrodes. Les électrons, en entrant en collision avec les quelques molécules du gaz résiduel du tube, produisent une lumière de fluorescence, rendant ainsi visible leur trajectoire. Approchons maintenant un aimant perpendiculairement à la vitesse initiale : le faisceau est alors dévié tout en restant dans un plan perpendiculaire au champ magnétique. Ainsi, une charge électrique en mouvement ressent, en plus de la force électrique, une force de nature magnétique. L'analyse de la trajectoire montre que la force électromagnétique que subit une particule chargée en mouvement s'écrit

Dans le Système international d'unités, le champ magnétique s'exprime en tesla (T) en hommage à Nikola Tesla Nikola Tesla (1856-1943) : ingénieur électricien croate (Empire Austro-hongrois) naturalisé américain, il est considéré comme l'un des plus grands inventeurs du 20ème siècle avec plus de 900 brevets à son actif. Il fut l'opposant à Edison concernant le transport de l'électricité et partisan de l'utilisation des courants alternatifs.. L'analyse dimensionnelle montre que \[ \left[f\right]=\mathrm{I\,L\,B}\quad\Longrightarrow\quad 1\;\mathrm{T}=1\;\mathrm{N.A^{-1}m^{-1}} \] La figure ci-contre donne quelques ordres de grandeurs du champ magnétique.

La force magnétique étant constamment perpendiculaire au vecteur vitesse, elle ne fournit pas de puissance mécanique et donc pas de travail. \[ \overrightarrow{f}\perp\overrightarrow{v}\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{{P}}=\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{v}=0 \]

Par conséquent, en vertu du théorème de l'énergie cinétique, une particule soumise uniquement à la force magnétique conserve sa vitesse constante en norme : \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{2}mv^{2})=\mathcal{{P}}=0 \] La force magnétique incurve la trajectoire sans modifier la vitesse de la particule.

Particule dans un champ magnétique uniforme

Étudions le mouvement d'une particule de charge \(q\) située dans une zone où règne un champ magnétique uniforme et permanent \(\overrightarrow{B}\). On néglige la force de gravitation devant la force de Lorentz.

Dans la base de Frenet, l'accélération de la particule s'écrit (Mécanique du point - Cinématique) : \[ \overrightarrow{a}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}\overrightarrow{\tau}+\dfrac{v^{2}}{R}\overrightarrow{n}=\dfrac{v^{2}}{R}\overrightarrow{n} \quad\text{car}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, la seconde loi de Newton \(f=ma\) donne \[ \left|q\right|vB\sin\alpha=m\frac{v^{2}}{R} \] où \(\alpha\) représente l'angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur champ magnétique. Trois cas de figure se présentent :

• \(\alpha=0\) ou \(\pi\) : la force magnétique est nulle et le vecteur vitesse reste constant en direction et en norme. Le mouvement est rectiligne uniforme.
• \(\alpha=\pi/2\) : la vitesse n'a pas de composante suivant \(\overrightarrow{B}\), et la force est perpendiculaire au champ magnétique. Ainsi, le mouvement s'effectue dans le plan formé par la vitesse \(\overrightarrow{v}\) et la force de Lorentz. Par ailleurs, le rayon de courbure vaut \({\displaystyle R=\frac{mv}{\left|q\right|B}}\). Ce rayon de courbure est constant si le champ magnétique est uniforme et permanent : la trajectoire est donc un cercleUne particule accélérée dissipe de l'énergie sous la forme d'un rayonnement électromagnétique, dit rayonnement cyclotron, et a pour effet une diminution de la vitesse —et donc du rayon de courbure— au cours du temps. Cet effet est négligé ici. de rayon
  \begin{equation} \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle R=\frac{mv}{\left|q\right|B} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \end{equation}
  Ce cercle est décrit à la vitesse angulaire \[ \omega_{c}=\frac{v}{R}=\frac{\left|q\right|B}{m} \] qui ne dépend que du rapport \(q/m\) et du champ magnétique. Cette vitesse angulaire est aussi appelée pulsation cyclotron.
• Dans les autres cas, il est facile de montrer que la composante de la vitesse suivant la direction du champ magnétique reste constante. Le mouvement se décompose alors en un mouvement uniforme suivant le champ magnétique et un mouvement circulaire dans un plan perpendiculaire. On obtient un mouvement hélicoïdal dont l'axe est le champ magnétique et le rayon de courbure \[ R=\frac{mv}{\left|q\right|B\sin\alpha} \]

Quelques applications

Le cyclotron

Le cyclotron est un accélérateur de particules inventé par l'américain Lawrence en 1932 (Prix Nobel 1939). Il est constitué de deux demi-cylindres creux, appelés dees, séparés par un intervalle étroit. Dans les dees, il règne un champ magnétique uniforme perpendiculaire à leur base. Une tension électrique sinusoïdale est appliquée entre les dees dans un plan perpendiculaire au champ magnétique.

Le principe du cyclotron repose essentiellement sur le fait que la fréquence de révolution d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme est indépendante de la vitesse de la particule. On injecte au centre du dispositif des particules chargées, en général des protons ou des ions. La tension produite entre les dees accélère les particules. Ensuite, arrivées dans un des dees, elles décrivent des portions de cercle à la vitesse angulaire \(\omega_{c}=\frac{\left|q\right|B}{m}\) indépendante de leur vitesse. La tension appliquée oscille à la fréquence cyclotron de sorte que les particules en sortant du dee sont à nouveau accélérées. Gagnant de la vitesse, ils décrivent dans le dee suivant un arc de cercle de rayon plus grand. Ainsi, à chaque tour, le rayon de courbure augmente jusqu'à atteindre le rayon maximum \(R_{\text{max}}\) imposé par la taille du cyclotron. En sortie du cyclotron, le faisceau de particules accélérées est en général envoyé sur une cible.

La quantité de mouvement maximum des particules vaut alors \[ p=mv_{\text{max}}=\left|q\right|BR_{\text{max}} \] L'énergie cinétique maximum s'écrit simplement \[ \mathcal{E}_{\text{c}}=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{q^2 B^2 R^2_{\text{max}}}{2m} \] Pour un proton par exemple, en prenant \(B\approx\) 1 T et \(R_{\text{max}}\approx\) 1 m, on obtient \(\mathcal{E}_{\text{c}}\approx\) 50 MeV.

Le cyclotron est utilisé de nos jours pour produire des Radio-Isotopes utilisés en médecine nucléaire (radio-thérapie) et en recherche pour la physique nucléaire.

Le spectromètre de masse à analyseur magnétique

La spectrométrie de masse est une technique d'analyse permettant d'identifier les molécules d'un composé à analyser. Dans un spectromètre de masse à analyseur magnétique, on injecte les molécules dans une chambre d'ionisation : un bombardement électronique permet de briser les molécules de façon à former des fragments d'ions moléculaires positifs. Ces ions sont ensuite accélérés grâce à un champ électrique et un dispositif de filtrage garantit que les ions sortent avec la même vitesse \(v_0\). Ils entrent ensuite dans un zone où règne un champ magnétique uniforme produit par un électroaimant. Ces ions décrivent alors un arc de cercle de rayon \(R=mv_0/|q|B\) avant d'être reçu sur un détecteur. La vitesse et le champ magnétique étant contrôlés, la position de l'impact est en fait une mesure du rapport \(q/m\) des ions détectés. En faisant varier le champ magnétique on détecte des ions de masse différentes (ions différents ou ions isotopes) ; l'enregistrement de l'intensité du signal en fonction de la masse s'appelle le spectre de masse. De ces informations il est possibles d'en déduire la formule brute des molécules présents dans le composé.

L'étendue des applications de cette technologie est assez vaste.

• En chimie analytique : détermination de la formule brute des molécules  ;
• En chimie de l'environnement : analyse de l'air et de l'eau ; suivi de la pollution par des pesticides ou des processus industriels.
• En biochimie : identification de protéines (séquençage d'acides aminés) et de micro-organismes ; analyse de gaz sanguins ; pharmacologie ; toxicologie.
• En physique fondamentale : mesure de masse d'atomes stables.
• En sciences de la Terre : mesure des rapports isotopiques (géologie, océanographie, glaciologie, volcanologie, physique de l'atmosphère, étude des météorites, planétologie, etc.).

Interaction magnétique avec les courants électriques

Force de Laplace

Considérons un conducteur filiforme parcouru par un courant électrique d'intensité \(I\) en présence d'un champ magnétostatique \(\overrightarrow{B}\). Admettons que ce conducteur soit en mouvement dans le champ magnétique et analysons les forces qui s'exercent sur une portion orientée \(\overrightarrow{\text{d}\ell}\) de conducteur.

Adoptons les notations suivantes :

• \(s\) est la section droite du fil conducteur ;
• \(n_{-}\) est le nombre de porteurs de charges mobiles (charges \(q_{-}\)) par unité de volume ;
• \(n_{+}\) est le nombre de cations fixes (charges \(q_{+}\)) par unité de volume assurant la neutralité de la matière ;
• \(\overrightarrow{V}\) est la vitesse de la portion de conducteur par rapport au laboratoire ;
• \(\overrightarrow{v}\) est la vitesse moyenne des porteurs de charge libres par rapport au conducteur.

L'électroneutralité du conducteur impose \[ n_{-}q_{-}+n_{+}q_{+}=0 \] Intéressons-nous à la force magnétique que ressent une portion de conducteur. Appelons \(\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\) un élément de longueur du conducteur situé en M et orienté par le sens algébrique du courant. Sommons toutes les forces magnétiques de Lorentz subies par toutes les particules chargées : \[ \overrightarrow{\text{d}F}=n_{-}s \mathrm{d}\ell q_-(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V})\wedge\overrightarrow{B}+ n_+s \mathrm{d}\ell q_+\,\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B}= n_-s \mathrm{d}\ell q_-\,\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B} \] On reconnaît dans cette expression le vecteur densité de courant \(\overrightarrow{j}=q_{-}n_{-} \overrightarrow{v}\) d'où \[ \overrightarrow{\text{d}F}=s \mathrm{d}\ell \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{B} \] Dans le cas d'un circuit filiforme, on a \(\overrightarrow{j}\, s\, \mathrm{d}\ell=I\,\overrightarrow{ \mathrm{d}\ell}\). Ainsi \[ \mathrm{d}\overrightarrow{F}=I\,\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{B} \] La résultante des forces s'écrit alors

Cette force, dite force de Laplace, représente la force macroscopique que ressent un conducteur dans un champ magnétique.

La force de Laplace possède de nombreuses applications dans le domaine électrotechnique :

• le moteur électrique continu produit un mouvement rotatif à l'aide d'un courant continu dans un champ magnétique radial ;
• le haut-parleur électrodynamique produit un déplacement alternatif d'une membrane à l'aide d'un courant alternatif transformant ainsi l'énergie électrique en énergie sonore ;
• l'ampèremètre à aiguille relie la mesure d'une intensité électrique à un angle de torsion d'un circuit électrique dans un champ magnétique.

Effet Hall (1879)

On peut se demander comment les porteurs de charge libres réussissent à transmettre la force magnétique à l'ensemble du conducteur. En fait, en présence d'un champ magnétique, ces porteurs de charge sont déviés et tentent de sortir du conducteur. Cependant, les charges fixes du cristal les retiennent au sein du conducteur : c'est par ce processus que la force magnétique est transmise au conducteur.

De surcroît, en s'accumulant sur les parois, les porteurs de charge libres créent un champ électrique dont l'effet compense la force magnétique et assure ainsi un régime permanent (les porteurs de charge se déplacent à une vitesse moyenne constante). Ce champ électrique produit une tension que l'on peut mesurer : c'est l'effet Hall Découvert en 1879 par Edwin Herbert Hall..

Considérons une plaquette conductrice de longueur \(\ell\), de largeur \(b\) et de faible épaisseur \(a\). La plaquette, parcourue par un courant d'intensité \(I\), est placée dans un champ magnétostatique uniforme et perpendiculaire à sa plus grande face. La force magnétique concentre les charges mobiles sur un bord ce qui produit une force électrique s'opposant à la force magnétique. Une situation d'équilibre apparaît très vite quand : \[ q_{-}\overrightarrow{E}+q_{-}\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad E=vB \] Le champ électrique est tel que le trièdre \((\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{v})\) est direct. Il règne donc une tension \(U_{\text{H}}\), dite tension de Hall, entre les bords de la plaquette. Cette tension s'obtient en calculant la circulation du champ électrique entre les bords. Le champ électrique étant constant on a tout simplement \[ U_{\text{H}}=E\times b=vB\,b \] Or, le courant électrique présente une intensité \(I=j\,s=n_{-}\left|q_{-}\right|v\,ab\), d'où \[ \fcolorbox{#FF9D00}{#FEF5EB}{\quad \(\displaystyle U_{\text{H}} =R_{\text{H}}\frac{IB}{a} \quad\text{avec}\quad R_{\text{H}}=\frac{1}{\left|q_{-}\right|n_{-}} \)\quad} \;\color{#FF9900}{\heartsuit} \]

où la grandeur \(R_{H}\) désigne la constante de Hall. Ainsi, on prévoit que la tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique. Cet effet est mise à profit dans les Teslamètres à effet Hall. On trouve également des sondes à effet Hall dans les téléphones portables ce qui permet de mesurer l'orientation du champ magnétique terrestre et donc de s'orienter. Par ailleurs, la polarité de la tension de Hall permet d'identifier la nature des porteurs de charge libres.

Travail des forces de Laplace

Cherchons à calculer le travail des forces de Laplace lors du déplacement d'un circuit alimenté par un courant constant dans un champ indépendant du temps.

Cas d'un cadre rectangulaire

Considérons un cadre ABCD rectangulaire parcouru par un courant d'intensité \(I\) se déplaçant dans un champ magnétique uniforme. Pour simplifier nous supposons que le cadre se déplace suivant (AB) et qu'il peut se déformer (son aire peut donc varier). Notons \(\overrightarrow{\text{AA}}'\) le déplacement de la portion AD et \(\overrightarrow{\text{BB}}'\) celui de la portion BC.

Seules les forces qui s'exercent sur AD et BC travaillent. La portion AD subit une force de Laplace \(\overrightarrow{F_1}\) dont le travail s'écrit \[ W_1=I(\overrightarrow{\text{DA}}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\text{AA}}' =I(\overrightarrow{\text{AA}}'\wedge \overrightarrow{\text{DA}})\cdot \overrightarrow{B} \] Or, le vecteur \(\overrightarrow{\text{AA}}'\wedge \overrightarrow{\text{DA}}\) a pour norme, l'aire \(S_1\) de la surface balayée et est dirigé perpendiculairement à celle ci. On a \[ W_1=-I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S_1 \] où \(\overrightarrow{n}\) est le vecteur unitaire normal à la surface du cadre dont le sens est lié au sens positif du courant via la règle du tire-bouchon un tire-bouchon que l'on fait tourner dans le sens du courant électrique progresse dans le sens de n⃗.. De la même manière, la force \(\overrightarrow{F_2}\) qui s'exerce sur la portion BC produit un travail \[ W_2=I(\overrightarrow{\text{BC}}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\text{BB}}' =I(\overrightarrow{\text{BB}}'\wedge \overrightarrow{\text{BC}})\cdot \overrightarrow{B} \] Ici, le vecteur \(\overrightarrow{\text{BB}}'\wedge \overrightarrow{\text{BC}}\) a pour norme l'aire de la surface balayée par la branche BC et un sens identique à \(\overrightarrow{n}\). On a donc \[ W_2=I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S_2 \] Finalement, la travail des forces de Laplace qui s'exerce sur le cadre vaut \(W=I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}(S_2-S_1)\). Si l'on note \(\phi_B=\overrightarrow{B}\overrightarrow{n}S\) le flux magnétique à travers le cadre, on trouve \[ W=I\, \Delta \phi_B \] Le travail est proportionnel à l'intensité du courant et à la variation du flux magnétique.

Généralisation

Le calcul réalisé précédemment se généralise à tout circuit dans un champ magnétique permanent. On retiendra que le travail des forces de Laplace vaut

Selon (2), le travail des forces de Laplace ne dépend que de l'état initial et final quel que soit le chemin suivi entre ces deux états. On peut donc définir l'énergie potentielle \(\mathcal{E}_p^{\text{mag}}\) :

Ainsi, un circuit électrique en présence d'un champ magnétique cherchera à minimiser son énergie potentielle magnétique c'est-à-dire à maximiser son flux magnétique : c'est la règle du flux maximum. Pour illustrer cette propriété, imaginons une spire alimentée par un courant d'intensité \(I\) et suspendue par deux fils électriques rigides. Approchons le pôle sud d'un aimant. Imaginons que l'orientation du courant soit telle que le flux est positif. Pour maximiser le flux magnétique, la spire doit se rapprocher de l'aimant, là où le champ magnétique est le plus fort : la spire est alors attirée vers l'aimant.

Inversons maintenant le sens du courant. Le flux magnétique est négatif et chercher à le maximiser revient à s'éloigner de l'aimant : la spire est repoussée par l'aimant.

Finalement, ces expériences montrent qu'une spire se comporte comme un aimant dont la polarité dépend du sens du courant. Le vecteur \(\overrightarrow{n}\) indique l'axe sud-nord de l'aimant équivalent.

Dipôle magnétique dans un champ magnétique

Comme on vient de le voir, une boucle de courant se comporte comme un aimant. On peut donc lui associer un pôle sud et un pôle nord. Pour caractériser cette polarité, on définit un vecteur orienté du sud vers le nord dit moment magnétique et noté \(\overrightarrow{m}\). Pour une spire plane quelconque, le moment magnétique s'écrit

Moment dipolaire magnétique

\[ \overrightarrow{m}=IS\,\overrightarrow{n} \]

où \(S\) est l'aire de la surface de la spire et \(\overrightarrow{n}\) un vecteur unitaire perpendiculaire à la spire et dont l'orientation est associé au sens positif du courant par la règle du tire-bouchon. \(m\) s'exprime en A.m\(^2\).

Action d'un champ magnétique sur un dipôle magnétique

Plaçons un dipôle magnétique dans un champ magnétique permanent. Si le dipôle est de petite taille, on peut considérer que le champ magnétique est localement uniforme. Ainsi l'énergie potentielle magnétique s'écrit

Le dipôle ressent une résultante des forces magnétiques (qui correspond à la force de Laplace) \[ \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}\mathcal{E}_p^{\text{mag}}=\overrightarrow{\text{grad}}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}) \] Par conséquent, si le champ magnétique est partout le même, la quantité \(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}\) ne dépend pas de l'espace et la force magnétique est donc nulle.

En revanche, en vertu de la règle du flux maximum, le dipôle va chercher à s'orienter de façon à maximiser son flux magnétique. Appelons \(\theta\) l'angle entre le moment dipolaire magnétique et le champ magnétique. L'énergie magnétique vaut \[ \mathcal{E}_p^{\text{mag}}=-mB\cos\theta \] On constate alors qu'il existe une position d'équilibre stable lorsque le moment magnétique est aligné avec le champ magnétique extérieur. Autrement dit, les forces magnétiques présentent un couple d'orientation dont on peut exprimer le moment \(\Gamma\). En effet, supposons le dipôle magnétique animé d'un mouvement de translation (vitesse \(\overrightarrow{V}\)) et d'un mouvement de rotation (vecteur rotation \(\overrightarrow{\Omega}\)). Pendant \(\mathrm{d}t\), le travail des forces magnétiques s'écrit

puisque la résultante des forces est nulle. Par ailleurs, le travail produit est relié à la variation d'énergie magnétique via \[ \mathrm{d}W=-\mathrm{d}\mathcal{E}_p^{\text{mag}}=\mathrm{d}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}) \] Or, le dipôle étant considéré rigide, le moment magnétique conserve la même norme et seule son sens varie. La formule de dérivation vectorielle (vecteur rotation) donne \(\mathrm{d}\overrightarrow{m}/\mathrm{d}t=\overrightarrow{\Omega}\wedge \overrightarrow{m}\) ce qui permet d'écrire \[ \mathrm{d}W=\mathrm{d}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B})=(\overrightarrow{\Omega}\wedge \overrightarrow{m})\cdot \overrightarrow{B}\, \mathrm{d}t=(\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\Omega}\, \mathrm{d}t \] En comparant avec la formule (3), on obtient :

On retrouve le fait que lorsque le dipôle est aligné avec le champ magnétique, le couple s'annule : le dipôle est en équilibre mécanique.

Ces formules sont analogues à celle rencontrées dans l'étude de l'interaction d'un dipôle électrique avec un champ électrique.