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MENUCours d'Électromagnétisme

Ce cours introduit la notion de champ magnétique en laissant de côté pour l'instant son origine. On se concentre ici sur les interactions magnétiques :
-- l'interaction de Lorentz entre une charge et un champ magnétique ;
-- l'interaction de Laplace entre un conducteur parcouru par un courant électrique et un champ magnétique.

Les aimants

Propriétés des aimants

Un aimant

La pierre d'aimant qui a la propriété d'attirer les petits morceaux de fer, est connue depuis l'antiquité grecque. On trouve cette pierre étonnante dans la région de Magnésie, en Asie Mineure. On sait aujourd'hui qu'elle est formée essentiellement d'oxyde de Fer $\mathsf{Fe_{3}O_{4}}$ que l'on appelle magnétite. Façonnée et polie en forme de cuiller, elle est utilisée en Chine dès le IIIe siècle à des fins divinatoires. Il faut attendre l'an Mille environ pour voir apparaître les première boussoles. Elle est adoptée par les navigateurs arabes puis européens pour s'orienter en mer. L'usage du compas de marine devient primordial avec les grandes explorations à la Renaissance. Sa pièce principale est une aiguille d'acier que l'on a aimantée par frottement contre une pierre d'aimant.

Les aimants présentent toujours au moins deux pôles, appelés pôle sud et pôle nord. Lorsque l'on approche deux aimants, on met aisément en évidence deux types d'interaction : deux pôles de même nature se repoussent alors que deux pôles de nature différente s'attirent.

interaction entre aimants
Interaction entre aimants

Notion de champ magnétique

Expérience

En un point de la surface terrestre et en l'absence d'aimants et/ou de circuits électriques, l'aiguille d'une boussole s'oriente dans la direction Sud-Nord. Approchons un aimant : l'orientation de la boussole s'en trouve modifiée. Déplaçons la boussole autour de l'aimant : la direction de la boussole varie d'un point à l'autre. Enfin, perturbons l'aiguille de la boussole : elle se met à osciller autour de la direction indiquée initialement. Si l'on rapproche l'aimant, l'aiguille oscille de plus en plus vite.

Interprétation

Sur Terre, il règne un champ de force magnétique qui oriente toutes les boussoles dans l'axe Sud-Nord. Par convention, le pôle qui indique le Nord Il s'agit du nord magnétique terrestre situé dans l'océan arctique, à quelques degrés de latitude du Nord géographique. est appelé pôle nord de la boussole, l'autre étant alors le pôle sud.

Un aimant modifie les propriétés magnétiques de l'espace : il crée un champ magnétique. Ce champ présente une direction donnée par la boussole et un sens donné par l'axe SN de la boussole.

Enfin, plus ce champ est important, plus l'aiguille est forcée de s'aligner avec ce champ ce qui explique l'augmentation de la fréquence des oscillations.

Conclusion

L'espace est caractérisé par un champ de force qui présente les attributs d'un vecteur que l'on nomme vecteur champ magnétique et que l'on note généralement $\overrightarrow{B}$(M). Ce champ est détectable par une boussole.

Une façon de visualiser le champ magnétique que produit un aimant consiste à disperser autour, de la limaille de fer : les aiguilles de fer s'aimantent puis de comportent comme de petites boussoles qui s'orientent suivant le champ magnétique local.

spectre magnétique matérialisation d'une ligne de champ
Spectre magnétique : les grains de limaille de fer se comportent comme de petites boussoles, matérialisant ainsi les lignes de champ.

Force de Lorentz

Définition du champ magnétique

Déviation d'un faisceau électronique dans un tube de Crookes
Déflexion magnétique

Le champ magnétique est défini à partir de la force de déflexion que ressent une particule chargée en présence d'une source de champ magnétique.

Considérons un tube de Crookes dans lequel on produit un faisceau d'électrons entre deux électrodes. Les électrons, en entrant en collision avec les quelques molécules du gaz résiduel du tube, produisent une lumière de fluorescence, rendant ainsi visible leur trajectoire. Approchons maintenant un aimant perpendiculairement à la vitesse initiale : le faisceau est alors dévié tout en restant dans un plan perpendiculaire au champ magnétique. Ainsi, une charge électrique en mouvement ressent, en plus de la force électrique, une force de nature magnétique. L'analyse de la trajectoire montre que la force électromagnétique que subit une particule chargée en mouvement s'écrit

Force électromagnétique

\begin{equation} \begin{array}{cccc} \overrightarrow{F}=&q \overrightarrow{E}&+&q \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\\ &\text{force électrique}&&\text{force magnétique} \end{array} \label{eq:force_electromagnetique} \end{equation}

ce qui définit le champ magnétique $\overrightarrow{B}$.

Dans le Système International d'Unités, le champ magnétique s'exprime en Tesla en hommage à Nikola Tesla Nikola Tesla (1856-1943) : ingénieur électricien croate (Empire Austro-hongrois) naturalisé américain, il est considéré comme l'un des plus grands inventeurs du 20ème siècle avec plus de 900 brevets à son actif. Il fut l'opposant à Edison concernant le transport de l'électricité et partisan de l'utilisation des courants alternatifs.. L'analyse dimensionnelle montre que \[ \left[F\right]=\mathrm{I\,L\,B}\quad\Longrightarrow\quad 1\;\mathrm{T}=1\;\mathrm{N.A^{-1}m^{-1}} \] La figure ci-dessous donne quelques ordres de grandeurs du champ magnétique.

ordre de grandeur des champs magnétiques rencontrés dans la nature
Ordres de grandeur

La force magnétique étant constamment perpendiculaire au vecteur vitesse, elle ne fournit pas de puissance mécanique et donc pas de travail. \[ \overrightarrow{F}\perp\overrightarrow{v}\quad\Longrightarrow\quad \mathcal{{P}}=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{v}=0 \]

Force de Lorentz
Force magnétique
Par conséquent, en vertu du théorème de l'énergie cinétique, une particule soumise uniquement à la force magnétique conserve sa vitesse constante en norme : \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{2}mv^{2})=\mathcal{{P}}=0 \] La force magnétique incurve la trajectoire sans modifier la vitesse de la particule.

Remarques

Mouvements d'une particule dans un champ magnétique uniforme

Étudions le mouvement d'une particule de charge $q$ située dans une zone où règne un champ magnétique uniforme et permanent $\overrightarrow{B}$. On néglige la force de gravitation devant la force de Lorentz.

trajectoire hélicoïdal dans un champ magnétique
Mouvements hélicoïdal d'une particule de charge négative dans un champ magnétique.

Dans la base de Frenet, l'accélération de la particule s'écrit (Mécanique du point - Cinématique) : \[ \overrightarrow{a}=\dfrac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}(t)\overrightarrow{\tau}+\dfrac{v^{2}}{\rho}\overrightarrow{n}=\dfrac{v^{2}}{\rho}\overrightarrow{n} \quad\text{car}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, la seconde loi de Newton $F=ma$ donne \[ \left|q\right|vB\sin\alpha=m\frac{v^{2}}{\rho} \] où $\alpha$ représente l'angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur champ magnétique. Trois cas de figure se présentent :

Remarques

Quelques applications

Le cyclotron

Le cyclotron est un accélérateur de particules inventé par l'américain Lawrence en 1932 (Prix Nobel 1939). Il est constitué de deux demi-cylindres creux, appelés dees, séparés par un intervalle étroit. Dans les dees, il règne un champ magnétique uniforme perpendiculaire à leur base. Une tension électrique sinusoïdale est appliquée entre les dees dans un plan perpendiculaire au champ magnétique.

Le principe du cyclotron repose essentiellement sur le fait que la fréquence de révolution d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme est indépendante de la vitesse de la particule. On injecte au centre du dispositif des particules chargées, en général des protons ou des ions. La tension produite entre les dees accélère les particules. Ensuite, arrivées dans un des dees, elles décrivent des portions de cercle à la vitesse angulaire $\omega_{c}=\frac{\left|q\right|B}{m}$ indépendante de leur vitesse. La tension appliquée oscille à la fréquence cyclotron de sorte que les particules en sortant du dee sont à nouveau accélérées. Gagnant de la vitesse, ils décrivent dans le dee suivant un arc de cercle de rayon plus grand. Ainsi, à chaque tour, le rayon de courbure augmente jusqu'à atteindre le rayon maximum $R_{\text{max}}$ imposé par la taille du cyclotron. En sortie du cyclotron, le faisceau de particules accélérées est en général envoyé sur une cible.

Principe du cyclotron
Principe du cyclotron (la charge est négative ici).

La quantité de mouvement maximum des particules vaut alors \[ p=mv_{\text{max}}=\left|q\right|BR_{\text{max}} \] L'énergie cinétique maximum s'écrit simplement \[ \mathcal{E}_{\text{c}}=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{q^2 B^2 R^2_{\text{max}}}{2m} \] Pour un proton par exemple, en prenant $B\approx$ 1 T et $R_{\text{max}}\approx$ 1 m, on obtient $\mathcal{E}_{\text{c}}\approx$ 50 MeV.

Le cyclotron est utilisé de nos jours pour produire des Radio-Isotopes utilisés en médecine nucléaire (radio-thérapie) et en recherche pour la physique nucléaire.

Le spectromètre de masse à analyseur magnétique

La spectrométrie de masse est une technique d'analyse permettant d'identifier les molécules d'un composé à analyser. Dans un spectromètre de masse à analyseur magnétique, on injecte les molécules dans une chambre d'ionisation : un bombardement électronique permet de briser les molécules de façon à former des fragments d'ions moléculaires positifs. Ces ions sont ensuite accélérés grâce à un champ électrique et un dispositif de filtrage garantit que les ions sortent avec la même vitesse $v_0$. Ils entrent ensuite dans un zone où règne un champ magnétique uniforme produit par un électroaimant. Ces ions décrivent alors un arc de cercle de rayon $R=mv_0/|q|B$ avant d'être reçu sur un détecteur. La vitesse et le champ magnétique étant contrôlés, la position de l'impact est en fait une mesure du rapport $q/m$ des ions détectés. En faisant varier le champ magnétique on détecte des ions de masse différentes (ions différents ou ions isotopes) ; l'enregistrement de l'intensité du signal en fonction de la masse s'apelle le spectre de masse. De ces informations il est possibles d'en déduire la formule brute des molécules présents dans le composé.

Principe du spectromètre de masse
Principe du spectromètre de masse

L'étendue des applications de cette technologie est assez vaste.

Interaction magnétique avec les courants électriques

Force de Laplace

Considérons un conducteur filiforme parcouru par un courant électrique d'intensité $I$ en présence d'un champ magnétostatique $\overrightarrow{B}$. Admettons que ce conducteur soit en mouvement dans le champ magnétique et analysons les forces qui s'exercent sur une portion orientée $\overrightarrow{\text{d}\ell}$ de conducteur.

Notations poour la force de Laplace
Notations pour la force de Laplace.

Adoptons les notations suivantes :

L'électroneutralité du conducteur impose \[ n_{-}q_{-}+n_{+}q_{+}=0 \] Intéressons-nous à la force magnétique que ressent une portion de conducteur. Appelons $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ un élément de longueur du conducteur situé en M et orienté par le sens algébrique du courant. Sommons toutes les forces magnétiques de Lorentz subies par toutes les particules chargées : \[ \overrightarrow{\text{d}F}=n_{-}s \mathrm{d}\ell q_-(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{V})\wedge\overrightarrow{B}+ n_+s \mathrm{d}\ell q_+\,\overrightarrow{V}\wedge\overrightarrow{B}= n_-s \mathrm{d}\ell q_-\,\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B} \] On reconnaît dans cette expression le vecteur densité de courant $\overrightarrow{j}=q_{-}n_{-} \overrightarrow{v}$ d'où \[ \overrightarrow{\text{d}F}=s \mathrm{d}\ell \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{B} \] Dans le cas d'un circuit filiforme, on a $\overrightarrow{j}\, s\, \mathrm{d}\ell=I\,\overrightarrow{ \mathrm{d}\ell}$. Ainsi \[ \mathrm{d}\overrightarrow{F}=I\,\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{B} \] La résultante des forces s'écrit alors

Force de Laplace

\begin{equation} \overrightarrow{F}=\oint_{\mathcal{C}}I\overrightarrow{\text{d}l}\wedge\overrightarrow{B} \label{eq:force_De_laplace} \end{equation}

Cette force, dite force de Laplace, représente la force macroscopique que ressent un conducteur dans un champ magnétique.

Remarque

Si le conducteur n'est pas filiforme, on utilisera la formule plus générale \[ \overrightarrow{F}=\iiint \overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{B}\, \mathrm{d}\tau \] où l'intégration est effectuée sur le volume du conducteur ($\mathrm{d}\tau$ représente l'élément de volume).

La force de Laplace possède de nombreuses applications dans le domaine électrotechnique :

Effet Hall (1879)

On peut se demander comment les porteurs de charge libres réussissent à transmettre la force magnétique à l'ensemble du conducteur. En fait, en présence d'un champ magnétique, ces porteurs de charge sont déviés et tentent de sortir du conducteur. Cependant, les charges fixes du cristal les retiennent au sein du conducteur : c'est par ce processus que la force magnétique est transmise au conducteur.

De surcroît, en s'accumulant sur les parois, les porteurs de charge libres créent un champ électrique dont l'effet compense la force magnétique et assure ainsi un régime permanent (les porteurs de charge se déplacent à une vitesse moyenne constante). Ce champ électrique produit une tension que l'on peut mesurer : c'est l'effet Hall Découvert en 1879 par Edwin Herbert Hall..

Effet Hall
Effet Hall

Considérons une plaquette conductrice de longueur $\ell$, de largeur $b$ et de faible épaisseur $a$. La plaquette, parcourue par un courant d'intensité $I$, est placée dans un champ magnétostatique uniforme et perpendiculaire à sa plus grande face. La force magnétique concentre les charges mobiles sur un bord ce qui produit une force électrique s'opposant à la force magnétique. Une situation d'équilibre apparaît très vite quand : \[ q_{-}\overrightarrow{E}+q_{-}\overrightarrow{v}\wedge\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad E=vB \] Le champ électrique est tel que le trièdre $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},\overrightarrow{v})$ est direct. Il règne donc une tension $U_{\text{H}}$, dite tension de Hall, entre les bords de la plaquette. Cette tension s'obtient en calculant la circulation du champ électrique entre les bords. Le champ électrique étant constant on a tout simplement \[ U_{\text{H}}=E\times b=vB\,b \] Or, le courant électrique présente une intensité \[ I=j\,s=n_{-}\left|q_{-}\right|v\,ab \] D'où

\begin{equation} U_{\text{H}} =R_{\text{H}}\frac{IB}{a} \quad\text{avec}\quad R_{\text{H}}=\frac{1}{\left|q_{-}\right|n_{-}} \label{eq:constante_de_hall} \end{equation}

où la grandeur $R_{H}$ désigne la constante de Hall. Ainsi, on prévoit que la tension de Hall est proportionnelle au champ magnétique. Cet effet est mise à profit dans les Teslamètres à effet Hall. On trouve également des sondes à effet Hall dans les téléphones portables ce qui permet de mesurer l'orientation du champ magnétique terrestre et donc de s'orienter. Par ailleurs, la polarité de la tension de Hall permet d'identifier la nature des porteurs de charge libres.

Remarques

Travail des forces de Laplace

Cherchons à calculer le travail des forces de Laplace lors du déplacement d'un circuit alimenté par un courant constant dans un champ indépendant du temps.

Cas d'un cadre rectangulaire

travail des forces de Laplace
cadre rectangulaire

Considérons un cadre ABCD rectangulaire parcouru par un courant d'intensité $I$ se déplaçant dans un champ magnétique uniforme. Pour simplifier nous supposons que le cadre se déplace suivant (AB) et qu'il peut se déformer (son aire peut donc varier). Notons $\overrightarrow{\text{AA}}'$ le déplacement de la portion AD et $\overrightarrow{\text{BB}}'$ celui de la portion BC.

Seules les forces qui s'exercent sur AD et BC travaillent. La portion AD subit une force de Laplace $\overrightarrow{F_1}$ dont le travail s'écrit \[ W_1=I(\overrightarrow{\text{DA}}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\text{AA}}' =I(\overrightarrow{\text{AA}}'\wedge \overrightarrow{\text{DA}})\cdot \overrightarrow{B} \] Or, le vecteur $\overrightarrow{\text{AA}}'\wedge \overrightarrow{\text{DA}}$ a pour norme, l'aire $S_1$ de la surface balayée et est dirigé perpendiculairement à celle ci. On a \[ W_1=-I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S_1 \] où $\overrightarrow{n}$ est le vecteur unitaire normal à la surface du cadre dont le sens est lié au sens positif du courant via la règle du tire-bouchon un tire-bouchon que l'on fait tourner dans le sens du courant électrique progresse dans le sens de n⃗.. De la même manière, la force $\overrightarrow{F_2}$ qui s'exerce sur la portion BC produit un travail \[ W_2=I(\overrightarrow{\text{BC}}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\text{BB}}' =I(\overrightarrow{\text{BB}}'\wedge \overrightarrow{\text{BC}})\cdot \overrightarrow{B} \] Ici, le vecteur $\overrightarrow{\text{BB}}'\wedge \overrightarrow{\text{BC}}$ a pour norme l'aire de la surface balayée par la branche BC et un sens identique à $\overrightarrow{n}$. On a donc \[ W_2=I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S_2 \] Finalement, la travail des forces de Laplace qui s'exerce sur le cadre vaut $W=I \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}(S_2-S_1)$. Si l'on note $\phi_B=\overrightarrow{B}\overrightarrow{n}S$ le flux magnétique à travers le cadre, on trouve \[ W=I\, \Delta \phi_B \] Le travail est proportionnel à l'intensité du courant et à la variation du flux magnétique.

Généralisation

La calcul réalisé précédemment se généralise à tout circuit dans un champ magnétique permanent. On retiendra que le travail des forces de Laplace vaut

\begin{equation} W=I\Delta\phi_B \quad\text{avec}\quad \phi_B=\iint \overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}\, \mathrm{d}S \label{eq:travail_des_forces_de_laplace} \end{equation}

Remarque

On peut s'étonner de l'apparente contradiction qu'il y a entre le fait que la force de Laplace est d'origine magnétique et qu'elle produit paradoxalement du travail. En réalité, le travail des forces magnétiques qui s'exercent sur les charges (libres et fixes) est bien nul. En effet \[ \int_{t_1}^{t_2}\sum (q_i \overrightarrow{v_i}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{v_i}\,\mathrm{d}t = \overrightarrow{0} \] Cependant, ce que l'on a calculé représente le travail macroscopique des forces magnétiques et s'écrit \[ W=\int_{t_1}^{t_2}\sum (q_i \overrightarrow{v_i}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{V}\,\mathrm{d}t \] où $\overrightarrow{V}$ est la vitesse de déplacement du conducteur (et non des charges). Ce travail non nul est en fait compensé par un travail microscopique dit travail électromoteur.

Énergie d'interaction d'un circuit dans un champ magnétique

selon \eqref{eq:travail_des_forces_de_laplace}, le travail des forces de Laplace ne dépend que de l'état initial et final quel que soit le chemin suivi entre ces deux états. On peut donc définir l'énergie potentielle $\mathcal{E}_p^{\text{mag}}$ :

\begin{equation} W=-\Delta \mathcal{E}_p^{\text{mag}} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{E}_p^{\text{mag}}=-I\phi_B \label{eq:energie_potentielle_magnetique} \end{equation}

Règle du flux maximum

Ainsi, un circuit électrique en présence d'un champ magnétique cherchera à minimiser son énergie potentielle magnétique c'est-à-dire à maximiser son flux magnétique : c'est la règle du flux maximum. Pour illustrer cette propriété, imaginons une spire alimentée par un courant d'intensité $I$ et suspendue par deux fils électriques rigides. Approchons le pôle sud d'un aimant. Imaginons que l'orientation du courant soit telle que le flux est positif. Pour maximiser le flux magnétique, la spire doit se rapprocher de l'aimant, là où le champ magnétique est le plus fort : la spire est alors attirée vers l'aimant.

Inversons maintenant le sens du courant. Le flux magnétique est négatif et chercher à le maximiser revient à s'éloigner de l'aimant : la spire est repoussée par l'aimant.

Finalement, ces expériences montrent qu'une spire se comporte comme un aimant dont la polarité dépend du sens du courant. Le vecteur $\overrightarrow{n}$ indique l'axe sud-nord de l'aimant équivalent.

Règle du flux maximum

Dipôle magnétique dans un champ magnétique

Dipôle magnétique

Comme on vient de le voir, une boucle de courant se comporte comme un aimant. On peut donc lui associer un pôle sud et un pôle nord. Pour caractériser cette polarité, on définit un vecteur orienté du sud vers le nord dit moment magnétique et noté $\overrightarrow{m}$. Pour une spire plane quelconque, le moment magnétique s'écrit

Moment dipolaire magnétique

\begin{equation} \overrightarrow{m}=IS\,\overrightarrow{n} \label{eq:moment_dipolaire_magnetique} \end{equation}

où $S$ est l'aire de la surface de la spire et $\overrightarrow{n}$ un vecteur unitaire perpendiculaire à la spire et dont l'orientation est associé au sens positif du courant par la règle du tire-bouchon. $m$ s'exprime en A.m$^2$.

Remarque

De manière plus générale, toute distribution de courant localisée dans l'espace est caractérisée par un moment dipolaire magnétique. Pour une boucle filiforme quelconque (pas forcément plane), le moment magnétique s'écrit \[ \overrightarrow{m}=\frac12\oint_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\text{OP}}\wedge I \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \] Avec P un point parcourant la boucle.

Action d'un champ magnétique sur un dipôle magnétique

Plaçons un dipôle magnétique dans un champ magnétique permanent. Si le dipôle est de petite taille, on peut considérer que le champ magnétique est localement uniforme. Ainsi l'énergie potentielle magnétique s'écrit

Énergie d'un dipôle magnétique

\begin{equation} \mathcal{E}_p^{\text{mag}}=-I\phi_B=-I\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{n}S=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B} \label{eq:energie_d_un_dipole_magnetique} \end{equation}

Le dipôle ressent une résultante des forces magnétiques (qui correspond à la force de Laplace) \[ \overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}\mathcal{E}_p^{\text{mag}}=\overrightarrow{\text{grad}}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}) \] Par conséquent, si le champ magnétique est partout le même, la quantité $\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}$ ne dépend pas de l'espace et la force magnétique est donc nulle.

Remarque

On peut retrouver ce résultat à partir de l'expression de la force de Laplace puisque si le champ magnétique est uniforme, la force de Laplace se simplifie en : \[ \overrightarrow{F}=I\overrightarrow{L}\wedge\overrightarrow{B} \] avec $\overrightarrow{L}$ le vecteur qui joint les extrémités de la portion de circuit qui plonge dans le champ magnétique. Or, pour une boucle de courant, $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{0}$ et donc $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$.

Dipôle rigide dans un champ uniforme énergie d'un dipôle rigide dans un champ uniforme
Dipôle rigide dans un champ uniforme.

En revanche, en vertu de la règle du flux maximum, le dipôle va chercher à s'orienter de façon à maximiser son flux magnétique. Appelons $\theta$ l'angle entre le moment dipolaire magnétique et le champ magnétique. L'énergie magnétique vaut \[ \mathcal{E}_p^{\text{mag}}=-mB\cos\theta \] On constate alors qu'il existe une position d'équilibre stable lorsque le moment magnétique est aligné avec le champ magnétique extérieur. Autrement dit, les forces magnétiques présentent un couple d'orientation dont on peut exprimer le moment $\Gamma$. En effet, supposons le dipôle magnétique animé d'un mouvement de translation (vitesse $\overrightarrow{V}$) et d'un mouvement de rotation (vecteur rotation $\overrightarrow{\Omega}$). Pendant $\mathrm{d}t$, le travail des forces magnétiques s'écrit \begin{equation} \mathrm{d}W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{V}\mathrm{d}t+\overrightarrow{\Gamma}\cdot \overrightarrow{\Omega}\mathrm{d}t=\overrightarrow{\Gamma}\cdot \overrightarrow{\Omega}\mathrm{d}t \label{eq:travail_elementaire} \end{equation} puisque la résultante des forces est nulle. Par ailleurs, le travail produit est relié à la variation d'énergie magnétique via \[ \mathrm{d}W=-\mathrm{d}\mathcal{E}_p^{\text{mag}}=\mathrm{d}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}) \] Or, le dipôle étant considéré rigide, le moment magnétique conserve la même norme et seule son sens varie. La formule de dérivation vectorielle (vecteur rotation) donne $\mathrm{d}\overrightarrow{m}/\mathrm{d}t=\overrightarrow{\Omega}\wedge \overrightarrow{m}$ ce qui permet d'écrire \[ \mathrm{d}W=\mathrm{d}(\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B})=(\overrightarrow{\Omega}\wedge \overrightarrow{m})\cdot \overrightarrow{B}\, \mathrm{d}t=(\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{\Omega}\, \mathrm{d}t \] En comparant avec la formule \eqref{eq:travail_elementaire}, on obtient :

Couple d'orientation

\begin{equation} \overrightarrow{\Gamma}=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B} \label{eq:couple_magnetique} \end{equation}

On retrouve le fait que lorsque le dipôle est aligné avec le champ magnétique, le couple s'annule : le dipôle est en équilibre mécanique.

Analogies

Ces formules sont analogues à celle rencontrées dans l'étude de l'interaction d'un dipôle électrique avec un champ électrique.

grandeursélectriquesmagnétiques
moment dipolaire $\overrightarrow{p}$$\overrightarrow{m}$
champ extérieur$\overrightarrow{E}$$\overrightarrow{B}$
énergie d'interaction$\mathcal{E}_p=-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{E}$ $\mathcal{E}_p=-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}$
couple d'orientation$\overrightarrow{\Gamma}=\overrightarrow{p}\wedge \overrightarrow{E}$$\overrightarrow{\Gamma}=\overrightarrow{m}\wedge \overrightarrow{B}$

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