Carte de champ d'un solénoïde

Le principe

La simulation trace une carte du champ magnétique produit par un solénoïde formé de \(2N+1\) spires circulaires de même rayon \(a=80\;\text{pixels}\) et espacées d'une distance égale à \(b\). La simulation permet de voir l'influence du nombre de spires et de l'espacement entre les spires sur la topographie du champ magnétique. La carte de champ est tracée dans le plan contenant l'axe de la bobine. Les vecteurs sont normalisés et indiquent seulement le sens du champ magnétique.

Par ailleurs, il est possible de connaître l'évolution du champ magnétique à travers la section AB ainsi que la répartition de l'intensité du champ magnétique. La valeur du champ magnétique est indiquée en fonction de \(B_0=\mu_0I/2a\) (champ qui règne au centre d'une spire isolée).

Méthode numérique utilisée

Le champ magnétique s'obtient à partir du champ créé par chaque spire. Le champ magnétique créé par une spire s'exprime en fonction des intégrales elliptiques de première et deuxième espèce définies par

\[ \left\{\begin{array}{rcl} \mathcal{E}_1(k) &= &\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\\[3mm] \mathcal{E}_2(k) &= &\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi \end{array}\right. \]

Si l'on note \(a\) la rayon de la spire, \(I\) l'intensité du courant, \(z\) l'altitude par rapport à la spire et \(r\) la distance à l'axe de la pire, on a

\[ \overrightarrow{B}(r,\theta,z)=\frac{\mu_0I}{4a} \begin{bmatrix} \frac{Z/X}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1+X^2+Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)-\mathcal{E}_1(k)\right)\\[3mm] 0\\[3mm] \frac{1}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1-X^2-Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)+\mathcal{E}_1(k)\right)\\ \end{bmatrix} \]

avec

\[ X=\frac{r}{a} \quad Z=\frac{z}{a} \quad\text{et}\quad k^2=\frac{4X}{(1+X)^2+Z^2} \]

Les intégrales elliptiques sont calculés a l'aide d'un algorithme simple basée sur la moyenne arithmético-géométrique[2]. Enfin, le tracé des lignes de champ repose sur une méthode de Runge-Kutta d'ordre deux[3].

Exercices d'explorations

À l'aide de cette simulation pouvez-vous répondre aux questions suivantes ?

1. Identifier les plans de symétrie et d'anti-symétrie de la distribution de courant. Avec quel angle les lignes de champ magnétique coupent-elles les plans de symétrie ?
2. La valeur du champ magnétique au centre du solénoïde présente-t-elle un minimum ou un maximum ?
3. Choisir 5 spires et un espacement de 25 pixels. Quelle est l'intensité du champ magnétique au centre ? On rappelle que
   \[B_0=\frac{\mu_0I}{2a}\]
   Ici le rayon des spires vaut 80 pixels. Comparer avec la formule du solénoïde à spires jointives :
   \[B(\text{centre})=\mu_0 n I\,\cos\alpha\]
   avec \(n\) la densité d'enroulement et \(\alpha\) le demi-angle sous lequel les spires aux extrémités sont vues depuis le centre.
4. Choisir 9 spires et un espacement de 10 pixels puis fixer le segment AB perpendiculairement au solénoïde et passant par son centre. Observer l'évolution du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde. Est-il uniforme ? Augmenter l'espacement entre les spires et donc la longueur du solénoïde. Le champ devient-il plus ou moins uniforme ?
5. Choisir 13 spires et un espacement de 30 pixels puis placer le segment AB le long de l'axe du solénoïde à l'intérieur. Estimer la variation relative (en %) du champ magnétique entre le centre et aux bords. Retrouver ce résultat à partir de la formule du solénoïde :
   \[ B(\text{M}\in\text{axe})=\frac12 \mu_0 n I\,(\cos\alpha_1-\cos\alpha_2)\]
   \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) sont les demi-angles sous lequel les spires aux extrémités sont vues depuis le point M.