Période du pendule

Principe

Une des expériences couramment réalisées dans l'enseignement des sciences consiste à faire osciller un pendule pour en mesurer la demi-période à l'aide d'une fourche optique placée à la position d'équilibre. Outre, la possibilité de relier cette période au champ de pesanteur terrestre, cette expérience met en évidence un des effets anharmoniques d'un tel oscillateur : la dépendance de la période avec l'angle initial.

La simulation réalise virtuellement cette expérience en tenant compte de la résistance de l'air via un coefficient d'amortissement \(\gamma\). La courbe tracée correspond au tracé théorique dans le cas \(\gamma=0\).

Intéractions

Interactions au clavier

• Tab pour arrêter le pendule et effacer les points
• R pour ralentir (gain de précision)
• S pour faire une copie d'écran

Intéractions à la souris

• Cliquer-glisser sur le slider pour jouer sur l'amortissement
• Cliquer-glisser sur le pendule pour fixer l'état initial

Méthode numérique utilisée

Le mouvement du pendule est modélisé via l'équation différentielle

\[ \ddot \theta+\frac12\gamma|\dot \theta|\dot\theta+{\omega_0}^2\sin(\theta)=0 \]

où \(\omega_0=\sqrt{g/\ell}\) est la pulsation propre du pendule et \(\gamma\) un coefficient d'amortissement tenant compte de la résistance de l'air (que l'on suppose quadratique en vitesse)

Cette équation différentielle est intégrée numériquement via la méthode de Verlet[1] avec un pas correspondant à 2ms en mode ralenti.

Observations

1. Fixer, \(\gamma=0\), puis mesurer la demi-période pour les angles \(\theta_0=\) 10°, 20°, 30° et 40°. Faire la mesure en mode ralenti pour un gain de précision.
2. Placer ces données dans un repère \((T,\theta_0)\), puis ajouter des barres d'erreur en admettant que l'incertitude-type sur la mesure de \(T\) vaut \(\sigma_T=1\,\mathrm{ms}\).
3. À l'aide d'une régression linéaire, montrer que vos points vérifient une loi du type \[T=T_0(1+a\theta_0^2)\] Quelle valeur trouvez-vous pour \(a\) ? Théoriquement, on prévoit \(a=1/16\) (loi de Borda).
4. Fixer maintenant un coefficient d'amortissement non nul. L'amplitude angulaire à gauche est-elle identique à celle de droite ? Expliquer.
5. Vérifier que dans le cas où \(\gamma\lt 0,1\) la formule de Borda reste assez bien vérifiée à condition de prendre pour \(\theta_0\) l'angle maximum atteint entre le déclenchement et l'arrêt du chronomètre.