La simulation trace une carte du champ magnétique produit par deux spires circulaires de même rayon \(R\) et espacées d'une distance égale à \(R\). On forme alors une bobine de Helmholtz. La carte de champ est tracée dans le plan perpendiculaire à la bobine. Les vecteurs sont normalisés et indiquent seulement le sens du champ magnétique.
La simulation permet de visualiser les lignes de champ ainsi que la répartition de l'intensité du champ magnétique. La valeur du champ magnétique est indiquée en fonction du champ qui règne au centre du dispositif (Bc).
Le champ magnétique créé par une spire s'exprime en fonction des intégrales elliptiques de première et deuxième espèce définies par
\[ \left\{\begin{array}{rcl} \mathcal{E}_1(k) &= &\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}\\[3mm] \mathcal{E}_2(k) &= &\displaystyle\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}\,\mathrm{d}\phi \end{array}\right. \]Si l'on note \(a\) la rayon de la spire, \(I\) l'intensité du courant, \(z\) l'altitude par rapport à la spire et \(r\) la distance à l'axe de la pire, on a
\[ \overrightarrow{B}(r,\theta,z)=\frac{\mu_0I}{4a} \begin{bmatrix} \frac{Z/X}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1+X^2+Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)-\mathcal{E}_1(k)\right)\\[3mm] 0\\[3mm] \frac{1}{\sqrt{(1+X)^2+Z^2}}\left(\frac{1-X^2-Z^2}{(1-X)^2+Z^2}\mathcal{E}_2(k)+\mathcal{E}_1(k)\right)\\ \end{bmatrix} \]avec
\[ X=\frac{r}{a} \quad Z=\frac{z}{a} \quad\text{et}\quad k^2=\frac{4X}{(1+X)^2+Z^2} \]Les intégrales elliptiques sont calculés a l'aide d'un algorithme simple basée sur la moyenne arithmético-géométrique[2]. Enfin, le tracé des lignes de champ repose sur une méthode de Runge-Kutta d'ordre deux[3].
À l'aide de cette simulation pouvez-vous répondre aux questions suivantes ?