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MENUCours d'Optique

Ce chapitre aborde quelques applications courantes de l'optique géométrique.

L’ŒIL HUMAIN

L’œil normal

L’œil est l’organe de la vision. Il est constitué par une cavité sphérique contenant un corps transparent, l’humeur vitrée. La lumière pénètre dans l’œil par un orifice circulaire situé au centre de l’iris, la pupille. Le cristallin constitue avec la cornée et l’humeur aqueuse une lentille qui projette sur la rétine une image renversée des objets situés devant l’œil. La rétine est le capteur des informations visuelles qu’elle convertit en message nerveux destiné au cerveau.

Le cristallin est plus qu’une simple lentille. En effet il se déforme pour faire varier sa vergence et ainsi faire la mise au point sur l’objet observé : on dit que l’œil accommode.

oeil
Schéma de l'œil humain. (© Wikimedia Commons)

Punctum remotum

Un œil normal (dit emmétrope) au repos (pas d’accommodation) perçoit une image nette d’un point éloigné à l’infini. Ce point, le plus éloigné pour une vision nette, est appelé punctum remotum.

Punctum proximum

punctum proximum
Vision au punctum proximum.

Le point le plus proche qui puisse être vu nettement est le punctum proximum. Pour un jeune adulte, le punctum proximum est situé à une distance \(d_{\rm m}\approx 20\;\mathrm{cm}\).

Ainsi un maximum de détail est perçu si l’objet est placé au punctum proximum. Un détail de dimension \(h\) est vu sous un angle maximum (on considère un petit objet de telle sorte que \(\theta\) est petit) \[\theta\simeq\frac{h}{d_{\rm m}}\]

Pouvoir de résolution

La rétine est pavée de nombreuses cellulesIl existe deux types de cellules : les bâtonnets sensibles aux faibles luminosités et les cônes sensibles aux couleurs qui jouent le même rôle que les pixels d’un capteur d’appareil photo. La différence réside dans le fait que la répartition n’est pas homogène : la densité de cellules est plus importante au centre d’où un maximum d’acuité visuelle au centrePour être plus précis, il existe une région appelée la fovea où l’on ne trouve que des cônes extrêmement serrés. C’est là que l’acuité visuelle est maximum en pleine lumière. Lorsque deux points lumineux donnent lieu à deux images ponctuelles reçues par la même cellule, ces deux images ne sont pas distinguées mais au contraire perçues comme un point unique. On retiendra qu’un œil normal arrive à distinguer deux points lumineux séparés de 1mm à la distance de 3m ce qui correspond à un pouvoir de séparation angulaire \[\theta_{\text{min}}=1'\;\mathrm{d'arc}=1/60°\] En France, on dit que l’œil normal a une acuité visuelle de 10 dixième.

Quelques défauts de l’œil

Le fonctionnement de l’œil peut présenter quelques anomalies par rapport à l’œil emmétrope. Citons en quelques une :

LA LOUPE

L’invention de la loupe se perd dans la nuit des temps et il est difficile d’attribuer un inventeur de la loupe. Par exemple Sénèque (4 av. JC, 65 ap. J.C) notait déjà que : “une écriture mince et embrouillée paraît plus grosse et plus distincte à travers une boule remplie d’eau”.

Principe d’une loupe

Principe de la loupe

La loupe est un instrument d’optique simple puisqu’elle se compose d’une seule lentille convergente. Son intérêt est double :

  1. Elle permet de ne pas faire travailler l’œil ;
  2. Chaque détail est vu sous un angle plus grand ; on dit qu’il y a grossissement (à ne pas confondre avec le grandissement).

La loupe se place de telle sorte que l’objet soit dans le plan focal objet de la lentille, ainsi la loupe en donne une image virtuelle à \(-\infty\). Cette image virtuelle est donc vue par un œil normal sans accommoder.

Grossissement d’une loupe

Définition

Le grossissement \(G\) d’un appareil est défini par \[ G=\frac{\theta'}{\theta} \] où \(\theta'\) est l’angle sous lequel on voit un détail dans l’image alors que \(\theta\) est l’angle maximum sous lequel l’œil nu peut le voir.

Ici l’image est virtuelle et vu à l’infini sous l’angle \[\theta'=\frac{h}{f'}\] alors qu’un œil nu verrait ce détail sous l’angle \[\theta=\frac{h}{d_{\rm m}}\] Ainsi, une loupe présente un grossissement \[G=\frac{d_{\rm m}}{f'}\] On aura donc intérêt à choisir une lentille de petite focale si l’on veut un fort grossissement.

Dans le commerce, on indique les grossissements en prenant \(d_{\text{m}}=25\;\mathrm{cm}\). Par exemple une loupe de grossissement commercial \(G_{c}=5\) présentera une focale \(f'=5\;\mathrm{cm}\).

LA LUNETTE ASTRONOMIQUE

La lunette astronomique permet d’observer les détails d’objets lointains (considérés à l’infini) ; son invention est probablement due à un artisan opticien hollandais, Hans Lippershey (1570-1619) à la fin du XVI siècle.

Principe de la lunette astronomique

Dans son principe, la lunette est constituée de deux parties :

  1. Un objectif dont le rôle est de ramener l’image d’un astre sur Terre. L’objectif est une lentille convergente de grande focale \({f_1}'\) qui projette l’astre dans son plan focal.
  2. Un oculaire qui joue le rôle d’une loupe. L’oculaire permet de grossir l’image que donne l’objectif.
Principe de la lunette astronomique
Principe de la lunette astronomique.

La lunette donne donc d’un objet considéré à l’infini, une image virtuelle à l’infini. Le système ne présente donc pas de foyer (ses foyers sont à l’infini) : on dit que la lunette est afocale. Pour qu’il en soit ainsi, il suffit de placer le foyer image de l’objectif dans le plan focal objet de l’oculaire. L’encombrement d’une lunette vaut donc \(\ell={f_1}'+{f_2}'\).

Le disque oculaire

Une construction des rayons entrant dans la lunette montre que le faisceau sortant se présente sous la forme d’un tube dont le diamètre rétrécit puis augmente. La zone où le diamètre est minimum est appelé disque oculaire. L’étude des rayons permet de montrer que le disque oculaire est l’image de la pupille d’entrée (entrée de l’objectif) par l’oculaire. On aura intérêt à placer son œil dans le cercle oculaire pour recevoir le maximum de lumière.

Quelques inconvénients

La lunette présente quelques défauts. Pour une observation précise, il faut une optique irréprochable (les aberrations géométriques et chromatiques doivent être corrigées). De plus, pour avoir un fort grossissement il faut un objectif de grande focale, d’où un encombrement important. Le télescope (instrument d’observation des astres construit à partir de miroirs) présente l’avantage de produire des grossissements supérieurs avec moins d’aberrations et moins d’encombrement.

Grossissement

Si l’on note \(\theta\) le diamètre apparent de l’astre, c’est-à-dire l’angle sous lequel est vu l’astre depuis la Terre, on a \[\theta\simeq\frac{h}{{f_1}'}\] avec \(h\) la taille de l’image intermédiaire. L’image est virtuelle vue sous l’angle \[\theta'=\frac{h}{{f_2}'}\] Le grossissement de la lunette vaut alors

\[G=\frac{\theta'}{\theta}=\frac{{f_1}'}{{f_2}'}\]

On aura donc un fort grossissement si \({f_1}'\gg {f_2}'\) ce qui explique qu’une lunette puissante est forcément encombrante. Par exemple pour la lunette Lunar 70 800 on a \({f_1}'=800\;\mathrm{mm}\) et \({f_2}'=4\;\mathrm{mm}\) d'où un grossissement \(G=200\).

L’APPAREIL PHOTOGRAPHIQUE RÉFLEX

Principe du Réflex

Schéma d'un appareil photographique Reflex
Description.

L’appareil photo Réflex est constitué de trois éléments :

  1. L’objectif. C’est par là que rentre la lumière. La quantité de lumière est contrôlée par un diaphragme de rayon variable \(R\). L’objectif est un système centré convergent contenant plusieurs lentilles. Dans un soucis de simplification, on réduira ce système à une lentille mince convergente de focale \(f'\).
  2. Le miroir et le pentaprisme. La lumière venant de l’objectif est réfléchie (reflex) par un miroir puis par un penta-prisme permettant de redresser l’image que voit le photographe à travers le viseur.
  3. Le capteur. Lors du déclenchement, le miroir pivote pour laisser passer la lumière qui arrive alors sur un film photosensible s’il s’agit d’un appareil argentique, ou d’un capteur CCD s’il s’agit d’un Réflex numérique.

La mise au point consiste à déplacer l’objectif par rapport au capteur de façon à conjuguer un certain plan objet avec le capteur. En fonction de la quantité de lumière rentrante, le temps de capture est calculé. Un long temps de capture (en général au dessus de 1/30 s) nécessitera l’utilisation d’un pied si l’on veut éviter le “flou de bougé” ; pour fixer une image d’un objet en mouvement il est crucial d’avoir un court temps de capture.

Appelons \(d_{\text{o}}\) la distance objet-lentille et \(d_{\text{i}}\) la distance lentille-capteur. Pour faire l’image d’un objet à photographier sur le capteur il faut vérifier \[\frac{1}{d_{\text{i}}}+\frac{1}{d_{\text{o}}}=\frac{1}{f'}\] En général, la focale est de l’ordre de quelques cm alors que \(d_{\text{o}}\) est de l’ordre du mètre de sorte que dans la plupart des situations courantes, on a \[d_{\text{o}}\gg f'\quad\Rightarrow\quad d_{\text{i}}\simeq f'\]

Champ angulaire d’un appareil photo

Champ angulaire d'un appareil photo
Champ angulaire d'un appareil photo.

Le champ angulaire \(\Delta\theta\) correspond au champ de vision de l’objectif. On définit un champ angulaire horizontal et vertical.

Supposons l’appareil réglé à l’infini de sorte que le capteur est placé dans le plan focal image de l’objectif. Appelons \(\ell\) la dimension du capteur (en largeur ou en hauteur). C’est cette quantité qui limite l’angle de vue de l’appareil photo. En effet, on a \[\tan\frac{\Delta\theta}{2}=\frac{\ell}{2f'}\] On voit donc qu’adopter un objectif de grande focale diminue le champ de vision (et agrandie l’image). On note aussi qu’adopter un petit capteur impose des objectifs de petite focale à champ angulaire constant : c’est la stratégie des compacts numériques.

Exemples

Champ angulaire de différents appareils.

Profondeur de champ

Cette notion joue un rôle importante dans la prise de vue photographique. Il s’agit de la longueur de l’intervalle dans lequel tout objet donne une image que l’on peut considérer net. On considère généralement qu’une tache sera perçue comme un point si son diamètre \(\phi\) est inférieur à \(\phi_0=100\;\mathrm{\mu m}\).

Détermination de la profondeur de champ

Supposons qu’un point A ait pour image A’ situé à la distance algébrique \(x\) du capteur. Se formera alors sur le capteur, une tache de diamètre \(\phi\) donné par le théorème de Thales : \[\frac{\phi}{2R}=\pm\frac{x}{\text{OA'}}\] Si l’on fait l’approximation \(\text{OA'}\simeq f'\), on en déduit que l’intervalle de netteté dans le plan image vaut \[\Delta'=2|x|\simeq\frac{f'\phi_0}{R}\] Cet intervalle est associé à un intervalle de netteté \(\Delta\) dans le plan objet dont la dimension s’obtient à l’aide du grandissement longitudinal : \[\frac{\Delta'}{\Delta}=\gamma_{\ell}\] Rappelons que pour une lentille, le grandissement longitudinal est relié au grandissement transversal \[ \gamma_{\ell}=\gamma_{\text{t}}^2=\left(\frac{\text{OA'}}{\text{OA}}\right)^2\simeq\frac{f'^2}{\text{OA}^2} \] In fine, l’intervalle de netteté objet, dite profondeur de champ, vaut \[\Delta\simeq\phi_0\dfrac{\text{OA}^2}{Rf'}\] Que nous dit ce résultat ?

  1. La profondeur de champ augmente quand la focale diminue. Ainsi, les appareils numériques compacts donnent des photos avec une grande profondeur de champ ce qui est intéressant pour faire du paysage mais l’est moins pour du portrait.
  2. La profondeur de champ augmente lorsque la distance de mise au point augmente.
  3. On peut jouer sur la profondeur de champ en agissant sur l’ouverture. Réduire l’ouverture augmente a profondeur de champ. En effet, lorsque l’on réduit le diamètre du diaphragme d’ouverture, on réduit du même coup le diamètre \(\phi\) de la tache sur le capteur.

Exemples

Calcul de la profondeur de champ pour un objet situé à 10 m.

LE MICROSCOPE

Principe du microscope

Le microscope, à l’instar de la lunette astronomique, se compose de deux éléments :

Principe du microscope
Principe du microscope.

Par construction, l’objectif et l’oculaire sont solidaires dans un tube que l’on peut translater minutieusement à l’aide d’une molette. On note \(\Delta=\mathrm{F'_1F_2}\), l'intervalle optique.

Le réglage consiste à placer l’objet suffisamment proche du plan focal objet afin que l’image se forme dans le plan focal objet de l’oculaire. Ce dernier en donne alors une image à l’infini évitant à l’œil un effort d’accommodation. La construction des rayons montre que l’image virtuelle est retournée par rapport à l’objet étudié.

Limitations

À cause du phénomène de diffraction, on ne peut pas voir des détails de l’ordre de \(\lambda\simeq 0,5\;\mathrm{\mu m}\) dans le domaine visible. Pour observer des détails plus petits il faut utiliser des ondes de longueur d’onde plus courtes. C’est le principe du microscope électronique qui utilise des faisceaux électroniques dont la longueur d’onde associée est donnée par la relation de DeBroglie \[\lambda=\dfrac{h}{mv}\quad\text{(dualité onde-corpuscule)}\] et permet d’obtenir des résolutions allant jusqu’à mille fois celle d’un microscope optique.

Grossissement

La propriété essentielle d’un microscope est son grossissement. Calculons son grossissement dit grossissement commercial en considérant un punctum proximum standard de \(25\;\mathrm{cm}\).

L’angle maximum sous lequel un œil normal standard peut voir l’objet AB vaut, dans l’approximation des petits angles, \[\theta=\frac{\textrm{AB}}{d_{\rm m}}\] Alors que l’image virtuelle finale, située à l’infini, est vue sous l’angle \[\theta'=\dfrac{\textrm{A'B'}}{{f_2}'}\] De sorte que le grossissement commercial vaut

\begin{equation} G_{\rm c}=\dfrac{\theta'}{\theta}=\dfrac{\textrm{A'B'}\,d_{\rm m}}{\textrm{AB}\,{f_2}'}=|\gamma_{\rm t}|\times G_{\rm oc} \label{eq:C4GrossissemementMicroscope} \end{equation}

où l’on reconnait le grandissement transversale de l’objectif \(|\gamma_{\rm t}|=\textrm{A'B'}/\textrm{AB}\) ainsi que le grossissement de l’oculaire \(G_{\rm oc}\). Le grandissement de l’objectif est lié à l’intervalle optique puisque \[ |\gamma_{\rm t}| = \dfrac{\overline{\rm F'_{1}A'}}{{f_1}'} = \dfrac{\Delta}{{f_1}'}\quad\Rightarrow\quad G_{\rm c}=\dfrac{\Delta\,d_{\rm m}}{{f_1}'\,{f_2}'} \]

Remarque

La valeur de $|\gamma_{\rm t}|$ est gravée sur l’objectif, celle de $G_{\rm oc}$ sur l’oculaire, d’où l’utilité de la relation \eqref{eq:C4GrossissemementMicroscope}. Par exemple, un microscope muni d'un objectif x16 et d'un oculaire x10 possède un grossissement commercial \[G_{\rm c}=10\times16=160\]

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