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MENUCours d'Optique

Ce chapitre est consacré à l'étude des miroirs et plus particulièrement du miroir plan ainsi que des miroirs sphériques. On montre comment ces systèmes permettent la formation des images.

GÉNÉRALITÉS SUR LES SYSTÈMES OPTIQUES

Stigmatisme

Sources de lumière

On distingue usuellement les sources primaires qui sont des sources autonomes de lumière (comme par exemple le soleil, une lampe, une flamme etc.) des sources secondaires qui renvoient la lumière par réflexion, diffraction ou diffusion (comme par exemple la lune, la plupart des objets de notre environnement, etc.). L'optique géométrique s'intéressant au trajet de la lumière, la nature de la source n'a pas d'importance.

Une source de lumière peut se décomposer en une infinité de sources ponctuelles émettant des rayons lumineux, a priori, dans toutes les directions de l'espace. La figure ci-dessous illustre quelques types de faisceaux issus d'un point source.

Quelques exemples de sources ponctuelles
Quelques exemples de sources ponctuelles

Système optique centré

On appelle système optique centré tout système constitué d'éléments transparents (dioptres) ou réfléchissants (miroirs) et possédant un axe de symétrie de révolution appelé axe optique. Ce système transforme un rayon lumineux incident en un rayon émergeant dans une direction, a priori différente de la direction incidente. Si le rayon émergeant ressort par la face d'entrée, on parle de système catadioptrique, sinon on parle de système dioptrique.

Par la suite, tous les systèmes optiques seront considérés centrés.

Stigmatisme

Considérons un point source A envoyant des rayons lumineux sur un système optique. On dira que A est un objet ponctuel réel. Le système est stigmatique si les rayons émergeant ou leurs prolongements se coupent tous en un même point.

Formation de l'image d'un objet ponctuel réel par un système optique stigmatique
Formation de l'image d'un objet ponctuel réel par un système optique stigmatique.

Deux cas de figure se présentent :

  1. Les rayons émergeant convergent en un point A’. Ce point lumineux peut être enregistré sur une plaque photosensible sans nécessiter de système optique annexe. On dit qu’il s’agit d’une image réelle.
  2. Les rayons émergeant semblent provenir d’un point A’ (leurs prolongements se coupent en A’). Dans ce cas, on ne peut pas capturer A’ sur une plaque photosensible mais on peut le voir à l’œil nu : en effet, pour l’œil, tout se passe comme s’il y avait un point lumineux en A’ de sorte que s’il fait la mise au point en A’, un point lumineux sera produit sur la rétine. on dit que A’ est une image virtuelle.

Focalisons maintenant un faisceau sur un système optique de telle sorte que le point de convergence A des rayons se trouve dans ou derrière le système. Dans ce cas on dit que A est un objet virtuel. Là encore, si les rayons émergeant ou leurs prolongements se coupent tous en un même point A’, on dira que le système est stigmatique.

Formation de l'image d'un objet ponctuel virtuel par un système optique stigmatique
Formation de l'image d'un objet ponctuel virtuel par un système optique stigmatique.

Relation de conjugaison

Lorsqu’un système donne d’un point objet A une image A’, on dit qu’il conjugue A et A’ ou que A’ est le conjugué de A. La relation de conjugaison est la relation mathématique qui relie la position de A avec celle de A’ :
\[ f(\text{A,A'})=0 \] Pour schématiser le fait qu’un système optique (SO) conjugue un objet A et une image A’ on écrit \[ \text{A} \xrightarrow{\text{(SO)}} \text{A'} \]

A part le miroir plan que nous étudierons en détail dans la partie 2, il n’existe pas de système optique rigoureusement stigmatique pour tout point. Par contre il est possible de trouver la forme que doit avoir un système optique pour conjuguer deux points particuliers. Par exemple, le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique pour le couple ($\infty$,F) : l’image d’un point à l’infini sur l’axe de révolution est le foyer de la surface parabolique. De même, l’ellipse conjugue parfaitement ses deux foyers.

Exemples de stigmatisme rigoureux
Exemples de stigmatisme rigoureux.

Aplanétisme

L’aplanétisme est une autre propriété partagée par les systèmes utilisés pour former des images. Lorsqu’un système optique donne d’un objet lumineux plan une image plane on dit qu’elle présente la propriété d’aplanétisme.

Le système optique présentant un axe de révolution, on peut étudier le système dans un plan contenant l’axe optique. Dans ce cas il suffit que l’image d’un segment soit un segment pour parler d’aplanétisme. Cependant le segment image n’a pas nécessairement la même taille ni la même orientation que le segment objet. On définit alors deux grandissements $\gamma_{\rm t}$ et $\gamma_{\rm \ell}$.

Déformation longitudinale d'un système optique aplanétique
Déformation longitudinale d'un système optique aplanétique.

Considérons tout d’abord un segment lumineux AB sur l’axe optique. L’image est nécessairement sur l’axe optique puisque la symétrie de révolution oblige tout rayon incident confondu avec l’axe optique à sortir en restant sur l’axe optique. On définit alors le grandissement longitudinal \[\gamma_{\rm \ell}=\frac{\overline{\text{A'B'}}}{\overline{\text{AB}}}\] Si $\gamma_{\rm \ell}<0$, on dit qu’il y a inversion de l’image et donc inversion de la gauche et de la droite.

Déformation transversale d'un système optique aplanétique.
Déformation transversale d'un système optique aplanétique.

Considérons maintenant un segment lumineux AB, perpendiculaire au système optique. Pour quantifier la déformation verticale de l’image, on définit le grandissement transversale : \[\gamma_{\rm t}=\frac{\overline{\text{A'B'}}}{\overline{\text{AB}}}\]

Remarque

La définition des grandissements fait intervenir des mesures algébriques ce qui suppose d'orienter les axes. Les résultats ne dépendent pas du choix de cette orientation mais il est d'usage d'orienter l'axe horizontal de gauche à droite (comme le sens de la lumière) et l'axe vertical de bas en haut.

LE MIROIR PLAN

Le miroir plan est une surface plane dont le pouvoir de réflexion est proche de 1. C’est le seul type de miroir qui soit rigoureusement stigmatique et aplanétique, comme nous allons le voir.

Stigmatisme

formation d'une image à l'aide d'un miroir plan

Considérons un point source A envoyant des rayons lumineux sur un miroir plan. Une simple construction des rayons réfléchis montre que tous les rayons émergeant semblent provenir d'un point A', image virtuelle de A. De la même manière, si l'on inverse le sens de la lumière, on constate que l'image d'un objet virtuel placé en A' est une image réelle placée en A. En résumé nous avons \[ \begin{array}{ccc} \textrm{Objet réel} & \xrightarrow{\text{Miroir plan}}& \textrm{Image virtuelle}\\ \textrm{Objet virtuel} & \xrightarrow{\text{Miroir plan}} & \textrm{Image réelle}\end{array} \] On voit donc sur ces deux exemples que le miroir est un système qui donne d’un point objet lumineux un point image que l’on peut, soit capturer directement sur un écran (image réelle), soit capturer à l’aide d’un système optique (œil, appareil photo, etc.). Le miroir plan est donc rigoureusement stigmatique. La relation de conjugaison qui lie la position de l’objet A à celle de l’image associée A’ s’écrit \[\overline{\text{AH}}=\overline{\text{HA'}}\] où H est le projeté orthogonal de A sur le miroir : L’image de A est le symétrique orthogonal de A.

Aplanétisme

Formation d'une image avec un miroir plan
Formation d'une image avec un miroir plan. L'image est inversée (gauche/droite) mais pas renversée (haut/bas).

La projection orthogonale étant une isométrie, l’image que donne un miroir plan conserve ses dimensions. Il n’y a donc aucune déformation. Plus précisément, pour un objet AB perpendiculaire à l’axe optique, on a \[\gamma_{\rm t}=\frac{\overline{\text{A'B'}}}{\overline{\text{AB}}}=1\] et pour un objet AB sur l’axe optique, \[\gamma_{\rm \ell}=\frac{\overline{\text{A'B'}}}{\overline{\text{AB}}}=-1\]

Dans le cas du miroir, on a $\gamma_{\rm \ell} = − 1$ ce qui traduit l’inversion gauche-droite.

LE MIROIR SPHÉRIQUE DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS

Description

Un miroir sphérique est une calotte sphérique de centre C et de sommet S rendue réfléchissante. L’axe de symétrie est l’axe optique du miroir. Cet axe est habituellement orienté de la gauche vers la droite car la lumière arrive de la gauche (par convention). On distingue deux types de miroirs sphériques :

miroirs sphériques
Miroirs sphériques concave et convexe.
  1. le miroir concave est un miroir sphérique tel que $\overline{\text{SC}}<0$
  2. le miroir convexe est un miroir sphérique tel que $\overline{\text{SC}}>0$

Simulations

Une simulation du trajet des rayons provenant d’un point A situé à l’infini sur l’axe montre que les rayons réfléchis ne se coupent pas en un seul point : il n’ y a pas stigmatisme rigoureux ! En revanche, si l’on se limite aux rayons proches de l’axe optique et de faible inclinaison par rapport à celui-ci (ces rayons sont dit paraxiaux), les rayons se coupent quasiment tous en un même point image : il y a stigmatisme approché. Cela constitue l’approximation de Gauss.

Conditions de stigmatisme approché
Conditions de stigmatisme approché : L’image d’un point est un point (ici un point à l’infini sur l’axe) si les rayons font des angles faibles et sont proches de l’axe optique (rayons paraxiaux).

De la même manière, on montre que si l’on se limite aux rayons paraxiaux, l’image d’un segment est aussi un segment. Ainsi, le miroir sphérique présente un aplanétisme approché.

Approximation de Gauss

Si les rayons sont peu inclinés de l'axe optique et peu écartés, on se trouve alors dans le cadre des conditions de Gauss. Dans ces conditions, on admettra que le miroir sphérique est aplanétique et stigmatique : L'image d'un segment est un segment.

Remarque

Le miroir sphérique n'est rigoureusement stigmatique que pour un point lumineux situé en C (objet réel dans le cas du miroir concave et virtuel dans le cas convexe). En effet, tout rayon issu de C est réfléchi en rebroussant chemin de telle sorte que l'image de C est lui même.

Notion de foyers

Deux points jouent un rôle particulier dans tout système optique centré : le foyer objet F et foyer image F'.

Foyer image
L'image d'un point à l'infini sur l'axe est le foyer image F'. La distance focale image $f'$ est la mesure algébrique $\overline{\text{SF'}}$.
Foyer objet
Un point à l'infini sur l'axe est l'image du foyer objet F. La distance focale objet $f$ est la mesure algébrique $\overline{\text{SF}}$.

Dans le cas des miroirs sphériques, le principe du retour inverse de la lumière implique \[\text{F}=\text{F'}\] La position des foyers s’obtient grâce aux relations de Descartes. Dans les conditions de Gauss, on montre (cf démonstration ci-dessous) que le foyer est le milieu de [CS] : \begin{equation*} \overline{\text{SF'}}=\overline{\text{SF}}=\frac{\overline{\text{SC}}}{2}=f=f' \end{equation*}

Construction des rayons lumineux

Pour construire les images d’un objet étendu on obéira à ces quelques principes :

Formule de conjugaison

Contruction des rayons arrivant sur un miroir concave

La formule de conjugaison est la relation qui relie la position objet A avec la position de l’image A’. On l’obtient rigoureusement à l’aide des lois de Descartes, mais on peut l’obtenir à l’aide de considérations géométriques (les notions de foyers objet et image étant admises). Pour cela nous allons calculer le grandissement transversal de deux manières différentes.

Aidons nous de la formation d'une image réelle par un miroir concave ; les résultats se généraliseront à toutes les situations et pour tous les miroirs sphériques. La figure ci-contre permet d'écrire, à l'aide des formules de Thales, \[ \gamma_{\rm t}= \frac{\overline{\text{A'B'}}}{\overline{\text{AB}}}= -\frac{\overline{\text{SA'}}}{\overline{\text{SA}}}= \frac{\overline{\text{FS}}}{\overline{\text{FA}}}= \frac{\overline{\text{FA'}}}{\overline{\text{FS}}} \] On pose $f'=\overline{\text{SF'}}$ et $f=\overline{\text{SF}}$ . Bien sûr ici, $f=f'$. Les formules du grandissement permettent d'obtenir deux relations :

Relations de conjugaison

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