Dis-moi comment l'on te cherche, je te dirai qui tu es
Bachelard
Dimension d'une grandeurs physique
Grandeurs physiques
Une grandeur physique est une quantité qui se rapporte à une propriété et qui peut se mesurer. Or, mesurer, c'est comparer. C'est comparer à l'aide d'un instrument, une grandeur physique inconnue avec une grandeur de même nature — on dira de même dimension — prise comme référence que l'on appelle étalon.
Par exemple, le poids de Miss Univers peut être comparé à celui d'un étalon (1 kg par exemple) à l'aide d'une balance : le poids de Miss Univers est une grandeur physique. En revanche, sa beauté est une propriété subjective qui ne peut être mesurée compte tenu qu'il n'existe pas d'étalon de beauté. En d'autres termes, la beauté se rapporte à l'aspect physique mais ne relève pas de la Physique ; il ne s'agit pas d'une grandeur physique.
Lors du processus de mesure (mesurage) on effectue donc une comparaison entre un étalon (l'unité) et la grandeur à mesurer puis l'on traduit le résultat par un chiffre (la mesure) assortie d'un intervalle définissant un certain niveau de confiance (l'incertitude) ainsi que l' \[X=x_{\rm m}\pm\Delta x\quad\text{unité}\] La détermination de la mesure et de l'incertitude fait l'objet d'un autre chapitre. Ici on s'intéresse au contenu dimensionnel des grandeurs physiques et du choix de l'unité.
Notion de dimension
En général, le résultat d'une mesure dépend de l'étalon utilisé. Par exemple, si l'on compare la longueur \(\ell\) d'une règle de 1 m avec un décimètre, on obtient \(\ell=10\) dm. Si l'on choisit un double décimètre comme étalon de mesure, on trouve \(\ell=5\) ddm (double décimètre). La mesure est donc différente (\(5\neq 10\)) : on dit que la longueur possède une dimension.
Dimension d'une grandeur
Par définition, une grandeur physique \(G\) a une dimension si sa mesure dépend du choix de l'étalon de mesure. Sa dimension est notée \([G]\).Il ne faut pas confondre cette notion avec l'unité qui est purement conventionnelle alors que la dimension est une propriété indépendante de tout système d'unités.
Deux grandeurs ont même dimension si on peut les comparer. C'est pourquoi le rayon d'un cercle et son périmètre ont même dimension, car je peux en faire la mesure avec le même étalon (par exemple un fil souple d'une certaine longueur). Ici il s'agit de la dimension [longueur].
Il existe également des grandeurs physiques sans dimension (on dit aussi adimensionnées). Dans ce cas la dimension est noté \([G]=1\). Par exemple, l'angle \(\theta\) d'un secteur AOB est une grandeur que l'on peut mesurer comme suit : traçons un cercle de centre O et de rayon \(r\). Les droites (OA) et (OB) coupent le cercle en deux points A' et B'. L'angle se mesure en faisant le rapport de la longueur d'arc \(\overset{\displaystyle\frown}{\text{A'B'}}\) et du rayon du cercle. On constate donc que si l'on double le rayon du cercle, la longueur d'arc double également de sorte que l'angle ne dépend pas de la taille du cercle. Il est alors assez évident que si l'on décide de mesurer les distances en centimètre, en pouce, ou dans n'importe quel système d'unités, le résultat de l'angle \(\theta\) ne changera pas. L'angle est donc sans dimension. De la même manière, une grandeur définie comme le rapport de deux grandeurs de même dimension, ne présente pas de dimension.
Enfin, par commodité, on a donné un nom spécifique à certaines dimensions
| Dimension | Symbole |
|---|---|
| Longueur | L |
| Masse | M |
| Temps | T |
| Intensité électrique | I |
| Température | \(\Theta\) |
| Quantité de matière | N |
| Intensité lumineuse | J |
Équation aux dimensions
Une loi physique affirme l'égalité de deux grandeurs qui sont nécessairement de même nature. Une loi physique est donc aussi une relation entre différentes dimensions : on parle d'équation aux dimensions. Voyons comment obtenir ces équations aux dimensions sur quelques exemples.
- La vitesse
- D'après la définition \(v_x\stackrel{\text{def}}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\), on déduit \[[v]=\mathrm{LT^{-1}}\]
- L'accélération
- La définition \(a_x\stackrel{\text{def}}=\mathrm{d}v_x/\mathrm{d}t\) donne \[[a]=\frac{[v]}{\text{T}}=\mathrm{LT^{-2}}\]
- La force
- En vertu de la deuxième loi de Newton \(F=ma\) on a \[[\text{F}]=\mathrm{MLT^{-2}}\]
- La constante des gaz parfaits
- On peut obtenir sa dimension à partir de la loi du gaz parfait \(pV=nRT\). \[ [R]=\frac{[p][V]}{[n][T]}=\frac{[F]}{\mathrm{L^{2}}}\times\frac{\mathrm{L^3}}{N\Theta}= \mathrm{ML^2}\mathrm{T^{-2}}\Theta^{-1}\mathrm{N^{-1}}\]
- Le champ magnétique
- Par définition du champ magnétique, une particule de charge électrique \(q\) se déplaçant à la vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) subit une force \(\vec{F}=q\vec{v}\wedge\vec{B}\), d'où \[[B]=\frac{[F]}{[q][v]}=\frac{\mathrm{MLT}^{-2}}{\mathrm{IT}\times \mathrm{LT}^{-1}}=\mathrm{MT}^{-2}\mathrm{I}^{-1}\]
Le Système international d'unités
Comme on l'a déjà dit, mesurer c'est comparer une grandeur physique avec un étalon qui définit l'unité de mesure. Celle-ci relevant d'un choix arbitraire il faut bien convenir d'un système d'unités pour pouvoir communiquer (transactions commerciales, rapports scientifiques, etc.). La bonne idée consiste alors à choisir des étalons dont la définition est indépendante du lieu et du temps et avec lesquels on peut construire toutes les unités. C'est l'ambition du Système international d'unités (SI) adopté par quasiment tous les . Né officiellement en 1960, il s'agit d'une extension de l'ancien système MKSA.
Les unités de base
Le (SI) forme un système cohérent reposant sur sept unités de base indépendants du point de vue dimensionnel.
| Dimension | Symbole | Unité SI | Symbole |
|---|---|---|---|
| Longueur | L | mètre | m |
| Masse | M | kilogramme | kg |
| Temps | T | seconde | s |
| Intensité électrique | I | ampère | A |
| Température | \(\Theta\) | kelvin | K |
| Quantité de matière | N | mole | mol |
| Intensité lumineuse | J | candela | cd |
Depuis le 20 mai 2019, les unités du SI sont définies à partir de sept constantes de la nature auxquelles on donne une valeur fixe. Les sept constantes sur lesquelles repose le Système international d'unités sont
- la fréquence de la transition hyperfine du césium 133 \(\Delta \nu_\textsf{Cs}=9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}\) qui permet de définir la seconde ;
- la vitesse de la lumière dans le vide \(c=299~792~458\,\mathrm{m.s^{-1}}\) qui permet de relier le mètre à la seconde ;
- la constante de Planck \(h=6{,}626~070~15\cdot 10^{-34}\,\mathrm{kg.m^2.s^{-1}}\) qui définit indirectement le kilogramme ;
- la charge élémentaire \(e=1{,}602~176~634\cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}\) qui fixe l'ampère puisque \(1\,\mathrm{C}=1\,\mathrm{A.s}\) ;
- la constante de Boltzmann \(k_\text{B}=1{,}380~649 \cdot 10^{-23} \, \mathrm{J.K^{-1} } \) qui relie le kelvin aux unités mécaniques ;
- la constante d'Avogadro \(N_\text{A}=6{,}022~140~76\cdot 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}\) qui donne le nombre exact d'entités élémentaires (atomes, molécules, ions, etc.) formant une mole ;
- Enfin, l'efficacité lumineuse \(K_\text{cd}=683\,\mathrm{lumen.W^{-1}}\) pour un rayonnement monochromatique de \(\lambda=555\,\mathrm{nm}\). Cette constante relie les grandeurs sensorielles (intensité en candela, éclairement en lux, flux lumineux en lumen) aux grandeurs énergétiques de la lumière (intensité en watt par stéradian, éclairement en watt par mètre carré, flux en watt).
Notez que ces constantes sont des grandeurs physiques sans incertitude. En revanche, certaines grandeurs auparavant fixées (avant mai 2019) retrouvent leur statut de grandeur expérimentale. Par exemple, une mole de carbone 12 pesait auparavant 12 g par définition ; dorénavant sa valeur n'est plus connue exactement. Elle présente donc une incertitude.
Les unités dérivées
Les sept unités de base du système international sont les unités fondamentales
à partir desquelles sont obtenues par combinaison toutes les autres unités, dites unités dérivées. Certaines d'entre-elles se sont vues attribuer un nom qui rappelle une personnalité scientifique : newton, pascal, joule, volt, tesla, henry etc.
| Grandeur | Unité SI | Grandeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| aire | m2 | énergies | J (joule) |
| volume | m3 | pression | Pa (pascal) |
| masse molaire | kg.mol-1 | tension | V (volt) |
| masse volumique | kg.m-3 | charge électrique | C (coulomb) |
| fréquence | Hz (hertz) | résistance électrique | Ω (ohm) |
| vitesse (scalaire) | m.s-1 | champ électrique | V.m-1 |
| vitesse angulaire, pulsation | rad.s-1 | conductance électrique | S (siemens) |
| accélération (scalaire) | m.s-2 | capacité électrique | F (farad) |
| force d'interaction | N (newton) | inductance | H (henry) |
| puissance mécanique | W (watt) | champ magnétique | T (tesla) |
Il peut donc y avoir différentes façons d'exprimer la même unité.
Exemple
La pression s'exprime en pascal (Pa) dans le système international. Etant donné que la pression représente une force par unité de surface on peut aussi l'exprimer en N/m2. Par ailleurs, on sait d'après l'équation aux dimensions F = MLT-2, que 1 N = 1 kg.m.s-2 d'où l'on déduit \[1\;\mathrm{Pa}=1\;\mathrm{N.m^{-2}}=1\;\mathrm{kg.m^{-1}.s^{-2}}\]
Remarque
Il existe une dernière classe d'unités qu'on appelle unités supplémentaires. Cette classe contient deux unités sans dimension : le radian (rad), unité de l'angle plan, et le stéradian (sr), unité d'angle solide.
Préfixes SI
Enfin, on utilise parfois des préfixes multiplicateurs pour remplacer les puissances de 10 :
| Valeur | 10-18 | 10-15 | 10-12 | 10-9 | 10-6 | 10-3 | 10-2 | 10-1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Préfixe | atto | femto | pico | nano | micro | milli | centi | déci |
| Symbole | a | f | p | n | µ | m | c | d |
| Valeur | 101 | 102 | 103 | 106 | 109 | 1012 | 1015 | 1018 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Préfixe | déca | hecto | kilo | Mega | Giga | Tera | Peta | Exa |
| Symbole | da | h | k | M | G | T | P | E |
Analyse dimensionnelle
Analyser le contenu dimensionnel d'une relation permet de rendre bien des services. En voici un petit tour d'horizon ...
Vérifier une formule
Une loi physique impose une contrainte qui n'existe pas en mathématique ; elle doit être homogène, c'est-à-dire constituée de termes de même dimension. Sommer deux grandeurs de dimension différente n'a aucun sens en physique. Ainsi pour vérifier une loi physique, la première chose à faire est de vérifier l'homogénéité !
À retenir
Toute formule non-homogène est nécessairement fausse.
On retiendra quelques règles :
- dans \(\sin x\), \(\cos x\), \(\mathrm{e}^x\), \(\ln x\) et \(\log x\) la grandeur \(x\) doit être sans dimension ;
- dans \(1+x\), la grandeur \(x\) doit être sans dimension ;
- dans \(1+x/y\), les grandeurs \(x\) et \(y\) sont de même dimension.
Exercice
La période d'oscillation d'un pendule simple dépend de sa longueur \(\ell\), du champ de pesanteur \(g\) et de l'amplitude angulaire \(\theta_{\rm max}\) des oscillations. On propose plusieurs formules ; préciser celles qui ne sont pas homogènes : \[T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell+\theta_{\rm max}}{g-\theta_{\rm max}}} \qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g\theta_{\rm max}}} \qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\left(1+\dfrac{{\theta_{\rm max}}^2}{16}\right) \qquad T=2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}\left(1+\dfrac{\theta_{\rm max}}{\ell}\right)\]
Rép. — La première et la dernière ne sont pas homogènes.
Bien entendu, cela ne signifie pas qu'une formule homogène soit forcément exacte, mais cela permet déjà de trier ce qui n'a aucun sens physique de ce qui peut en avoir. De manière générale, l'analyse dimensionnelle est un outil de réfutation, pas de validation.
Remarque
Il faut prendre garde à certaines formules qui mélangent expressions numériques et littérales. Par exemple, le pH d'une solution acido-basique diluée est souvent défini par \[\text{pH}=-\log\left[\mathsf{H_3O^+}\right]\] Or la concentration n'est pas sans dimension ce qui suggère que cette formule n'est pas homogène. En réalité cette formule n'obéit pas à la règle élémentaire qui veut que toute relation soit indépendante du système d'unités. En effet, dans la formule qui donne le pH, il est sous entendu qu'il faut exprimer \(\left[\mathsf{H_3O^+}\right]\) en mol.L-1. Si l'on veut donner la relation qui donne le pH quel que soit le système d'unités on écrira plutôt \[\text{pH}=-\log\frac{\left[\mathsf{H_3O^+}\right]}{c^{\circ}}\] où \(c^{\circ}\) désigne la concentration standard. Dans le SI, \(c^{\circ}=\) 1000 mol.m-3 mais si l'on décide d'exprimer les concentrations en mol.L-1, on a \(c^{\circ}=\) 1 mol.L-1 et dans ce cas la tentation est grande de faire disparaître cette constante par commodité. Mais cela ne doit pas nous faire oublier sa présence.
Conversion d'unités
L'équation aux dimensions étant indépendante du système d'unités, elle est très utile quand il faut convertir une unité d'un système vers celle d'un autre système.
Exemple
Dans le Système international, la force s'exprime en newton alors qu'elle s'exprime en dyne dans le Système CGS (cm, gramme, seconde). Combien de newton vaut 1 dyne ?
L'équation aux dimensions [Force] = MLT-2 doit être vérifiée dans tout système d'unités. On a donc \[\text{1 newton}=\mathrm{1\, kg.m.s^{-2}}\quad\text{et}\quad \text{1 dyne}=\mathrm{1\, g.cm.s^{-2}}\] Ainsi on en déduit la conversion : \[1\;\mathrm{newton}=10^5\;\mathrm{dynes}\]
Modéliser
L'analyse dimensionnelle permet de prévoir la forme d'une loi si l'on sait quels sont les paramètres pertinents du problème.
Supposons par exemple que nous cherchions à exprimer une grandeur \(G\) en fonction de 2 paramètres pertinents indépendants \(p_{1}\) et \(p_{2}\). La méthode consiste alors à trouver comment multiplier \(p_1\) et \(p_2\) pour former une grandeur de même dimension que \(G\). On écrit donc \[G=\mathrm{C^{te}}{p_1}^\alpha\,{p_2}^\beta\] où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des facteurs que l'on détermine grâce à l'équation aux dimensions. Une fois ces constantes déterminées, on peut proposer la forme générale de la loi recherchée.
Exemple : période d'oscillation \(T\) d'un pendule simple
On suppose que la période \(T\) dépend de la masse \(m\), du champ de pesanteur \(g\) et de la longueur \(\ell\) du pendule : \(T=f(m,g,\ell)\). On écrit alors \[T=\mathrm{C^{te}}m^{\alpha}\,g^{\beta}\,\ell^{\gamma}\] où \(\mathrm{C^{te}}\) est un facteur adimensioné. Cela nous donne l'équation aux dimensions \[\mathrm{T}=\mathrm{M}^{\alpha}\mathrm{L}^{\gamma+\beta}\mathrm{T}^{-2\beta}\] La loi devant être homogène on doit poser \(\alpha=0\), \(\beta=-1/2\) et \(\gamma=1/2\). La forme générale est donc \[T=\mathrm{C^{te}}\sqrt{\frac{\ell}{g}}\]
Attention, ce n'est pas parce que l'on trouve une loi qu'elle est juste ! L'analyse dimensionnelle nous dit simplement que la loi est correcte en termes de dimension. C'est à l'expérience de confirmer ou d'infirmer l'analyse. Par exemple, dans le cas du pendule, supposer comme nous l'avons fait, que la période du pendule ne dépend pas de l'amplitude des oscillations est en contradiction avec . Il faut alors introduire l'amplitude \(\theta_0\) des oscillations dans l'analyse dimensionnelle : \[T=f(m,g,\ell,\theta_0) \quad\Longrightarrow\quad T=\mathrm{C^{te}}m^{\alpha}\,g^{\beta}\,\ell^{\gamma}{\theta_0}^\delta\] d'où l'équation aux dimensions \[\mathrm{T}=\mathrm{M}^{\alpha}\mathrm{L}^{\gamma+\beta}\mathrm{T}^{-2\beta}\] identique à la précédente. On trouve donc les mêmes résultats (\(\alpha=0\), \(\beta=-1/2\) et \(\gamma=1/2\)) et \(\delta\) peut prendre des valeurs quelconque. En d'autres termes on peut écrire la période ainsi \[ T=\sqrt{\frac{\ell}{g}}(a_0+a_1\,\theta_0+a_2\,{\theta_0}^2+\ldots+a_p\,{\theta_0}^p+\ldots) \] où les exposants peuvent être quelconques de sorte que la forme la plus générale est \[T=\sqrt{\frac{\ell}{g}}f(\theta_0)\]
Notez que l'analyse dimensionnelle ne permet pas de déterminer complètement la loi recherchée. Dans le meilleur des cas, une constante adimensionnée est à déterminer de façon empirique.
Pour en savoir plus...
- Le Système métriqueParis, Chiron, 1975.
- Du système métrique décimal au SI BNMParis, №100, 1995.
- Brochure sur le SI : Le Système international d'unités[en ligne, consulté le 2023-07-17]. Disponible sur http://www.bipm.org