Écartons un pendule simple de sa position d'équilibre, puis lâchons-le. On observe des oscillations angulaires amorties régies par l'équation différentielle non linéaire suivante :
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+2\lambda\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}+{\omega_0}^2\sin(\theta)=0 \end{equation}où \(\omega_0=\sqrt{g/\ell}\) est la pulsation propre du pendule et \(\lambda\) le coefficient d'amortissement (par soucis de simplicité, on a choisit un frottement proportionnel à la vitesse angulaire)
La simulation illustre le cas d'un pendule simple pour lequel la pulsation propre est fixée à \(2\pi\) et \(\lambda\) choisi par l'utilisateur. Par défaut, l'évolution du pendule simple est décrite dans l'espace \((\theta,\dot\theta)\), qu'on nomme l'espace des phases. Dans cet espace, un point représentatif de l'état du pendule est repéré par le vecteur position \(\overrightarrow{r}=(\theta,\dot\theta)^T\). Au cours du temps, ce vecteur décrit une trajectoire de phase dont l'équation est donnée par
\[ \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{bmatrix}\theta \\ \dot \theta\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\dot \theta \\ -2\lambda\dot \theta-{\omega_0}^2\sin(\theta) \end{bmatrix}= \overrightarrow{F}(\theta,\dot\theta) \]La simulation trace également la carte de champ de \(\overrightarrow{F}(\theta,\dot\theta)\), champ vectoriel qui s'interprète comme un champ de vitesse associé au système dynamique.
L'équation différentielle(1) est intégrée numériquement via la méthode de Verlet[1].