Résonance

Principe

Un pendule élastique de fréquence propre fixée à 1 Hz est mis en oscillation forcée à l'aide d'un moteur à excentrique. La simulation permet de régler la fréquence f de l'excitation ainsi que le coefficient d'amortissement λ de l'oscillateur.

Méthode numérique utilisée

L'allongement \(x(t)\) du pendule élastique est modélisé via l'équation différentielle

\begin{equation} \ddot x+2\lambda\dot x+{\omega_0}^2 x={\omega_0}^2e(t) \end{equation}

où \(e(t)\) est le déplacement de la liaison à l'excitateur, \(\omega_0\) est la pulsation propre du pendule et \(\lambda\) un coefficient d'amortissement pour tenir compte des frottements (que l'on suppose linéaires en vitesse).

Cette équation différentielle est intégrée numériquement via la méthode de Euler[1] avec un pas correspondant à 20ms.

Observations

1. Eteindre le moteur et attendre que le pendule soit au repos. Fixer \(\lambda=0,2\,\mathrm{Hz}\) et \(f=1,3\,\mathrm{Hz}\). Démarrer le moteur et observer un phénomène de battement qui se dissipe. Expliquer.
2. Fixer \(\lambda=0,2\,\mathrm{Hz}\). Chercher la fréquence qui rend maximum l'amplitude du mouvement de l'oscillateur. Comparer à la fréquence propre.
3. Augmenter le coefficient d'amortissement et observer son influence sur la résonance.
4. Fixer \(\lambda=0,4\,\mathrm{Hz}\) et mesurer l'amplitude de l'élongation pour des fréquences variant entre 0,25 Hz et 2 Hz. Tracer la courbe de résonance (élongation en fonction de la fréquence).