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MENUCours de Physique statistique

Ce cours traite des différents modes de transfert thermiques et aurait probablement plus sa place dans une section thermodynamique.

Les différents modes de transfert thermique

La conduction

Définition

La conduction (ou diffusion) thermique est un mode de transport thermique sans déplacement macroscopique de matière. Ce transfert s'effectue de proche en proche des parties chaudes vers les parties froides, grâce à l'agitation thermique.

Citons quelques exemples de transferts thermiques que l'on rencontre au quotidien :

Remarque

La conduction thermique nécessitant la présence de matière, il est impossible de transporter de la chaleur via ce mode de transfert dans le vide.

Pour caractériser le transport thermique, on définit deux grandeurs : le flux thermique et le courant thermique.

Loi de Fourier

En 1822 , Jean-Baptiste Joseph Fourier, publie son Traité analytique de la chaleur dans lequel il énonce la loi relative à la diffusion thermique (il y introduit également les fameuses séries qui portent désormais son nom pour résoudre l'équation de la chaleur[1].) :

Loi de Fourier

\begin{equation} \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\jmath_{\rm th}} &=& -\lambda\; \overrightarrow{\nabla}T\\[3mm] [\mathrm{W/m^2}] &=&\mathrm{[W.m^{-1}.K^{-1}]\times[K.m^{-1}]} \end{array} \end{equation}
Fourier

où $\lambda$ est une constante positive appelée conductivité thermique. Cette loi traduit le fait que le courant thermique est perpendiculaire aux isothermes et dirigé des parties chaudes vers les parties froides. Plus le gradient de température est important, plus le courant thermique l'est aussi.

La conductivité thermique est caractéristique du milieu dans le lequel s'effectue le transfert thermique. Plus la conductivité thermique est importante moins le milieu résiste au transfert thermique.

Conductivité thermique à 20°C
MilieuConductivité $\boldsymbol{\lambda}\;[\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}]$}
Solide
Aluminium204
Cuivre386
Argent407
Granite1
Marbre2,5
Verre1,0
Plexiglas0,19
Polyuréthane ($d=0,032$)0,03
Liquide
Eau0,6
Huile0,1
Mercure8,4
Gaz
Air0,026

Exercice

Une casserole de diamètre 20 cm contient 10 cm d'eau chauffée par contact à partir du fond de la casserole. Supposons le fond de la casserole à 100°C et la surface libre à 20°C. En ne considérant que la conduction comme mode de transfert thermique, estimer le flux thermique ainsi que le temps nécessaire pour amener toute l'eau à 100°C. On donne $\boldsymbol{\lambda=0,6\;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}}$ et $\boldsymbol{c_p=4180\;\mathrm{J.K^{-1}.kg^{-1}}}$.

Le flux thermique est de l'ordre de \[ \phi_{\rm th}\simeq -\lambda\frac{\Delta T}{\Delta z}S=-0,6\times\frac{20-100}{0,1}\times \pi\times 0,1^2=15\;W \] Si ce flux est converti en énergie interne, la durée $\Delta t$ nécessaire pour porter toute l'eau à 100°C est telle que \[ \phi_{\rm th} \Delta t \simeq mc_p\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \Delta t\sim 7.10^4\;\mathrm{s}\simeq 20\;\mathrm{h} \] Comme on peut le voir, le phénomène de conduction thermique est très lent. En réalité le processus est accéléré notamment grâce à la convection.

La convection

Définition

La convection est un mode de transfert thermique qui implique un déplacement collectif de fluide. La matière fluide chaude, en se déplaçant, cède de l'énergie aux parties plus froides.

On distingue deux types de convection.

La convection naturelle
est induite lorsque c'est le gradient de température qui provoque le mouvement du fluide. Le chauffage par un convecteur électrique repose sur ce principe : l'air chaud au voisinage du convecteur étant moins dense que l'air environnant, entame un mouvement ascensionnel du fait de la poussé d'Archimède. Cette ascension aspire de l'air froid qui va pouvoir se réchauffer au contact du convecteur mais permet aussi à l'air chaud d'échanger de l'énergie avec l'air situé en hauteur. De ce fait, l'air en mouvement se refroidit et donc retombe. Cette circulation en rouleau produit une homogénéisation (partielle) de la température beaucoup plus rapide que la conduction.
La convection forcée
est provoquée par une circulation artificielle (pompe, turbine) d'un fluide. Par exemple, dans un sèche-cheveux, un courant d'air est soufflé par un ventilateur au travers d'une résistance électrique chauffante : l'air est chauffée par convection forcée.

Remarque

compte-tenu de la définition, la convection est évidemment absente dans le vide. On pourrait croire qu'elle l'est également dans les solides. En réalité, tout dépend de l'échelle de temps sur laquelle on décrit le phénomène. Par exemple, Le manteau terrestre est vu comme un solide (densité $d=3,5$) à l'échelle de l'année mais présente les caractéristiques d'un fluide sur des échelles de temps géologiques. On ne pourrait pas comprendre la vitesse à laquelle la Terre se refroidit ni la tectonique des plaques sans le phénomène de convection mantellique.

Convection casserole.png Oceanic spreading.svg
Exemples illustrant la convection naturelle (© Wikipedia).

Il arrive que la convection s'accompagne d'un changement de phase. Par exemple, dans le condenseur d'une colonne à distillation, la vapeur recueillie est refroidie à une circulation d'eau froide qui échange de l'énergie essentiellement par convection. Pendant ce refroidissement, la vapeur est liquéfiée ce qui facilite son écoulement par gravité.

Loi de Newton

Le phénomène convectif est difficile à modéliser car ce transport thermique est étroitement lié au type d'écoulement. Le traitement rigoureux nécessite trois bilans (masse, quantité de mouvement et chaleur) et débouche sur des équations aux dérivées partielles couplées en général très complexes. On préfère souvent recourir à des lois phénoménologiques telle que la loi de Newton.

Loi de Newton

Au voisinage d'un solide de température de surface $T_{\rm s}$, un fluide en mouvement à la température $T_{\rm f}$, reçoit une densité de courant thermique \begin{equation} \overrightarrow{\jmath_{\rm th}}=h(T_{\rm s}-T_{\rm f})\, \overrightarrow{n} \end{equation} où $h$ désigne le coefficient de transfert thermique (en $\mathrm{W.m^{-2}.K^{-1}}$). Ce coefficient dépend surtout des propriétés de l'écoulement dans la couche limite située entre le solide et le fluide.

Analyse dimensionnelle

Echangeur

Des lois d'échelle issues de l'analyse dimensionnelle et de résultats d'expérience permettent de calculer le coefficient de transfert en fonction de la géométrie du problème. Prenons par exemple le cas d'un simple échangeur cylindrique de diamètre intérieur $D$ dans lequel circule un fluide de masse volumique $\mu$, de viscosité $\eta$, de conductivité thermique $\lambda$ et de capacité thermique massique $c_{p}$. Lorsque le fluide s'écoule à une vitesse moyenne $\overline{v}$, un échange convectif a lieu avec l'intérieur du tuyau. Appelons $h$ le coefficient de transfert associé et cherchons à le relier avec les propriétés du fluide par une analyse dimensionnelle.

Grandeur $\mu$ $\overline{v}$ $D$ $\eta$ $\lambda$ $c_{p}$ $h$
Dimension $\mathrm{ML^{-3}}$ $\mathrm{LT^{-1}}$ L $\mathrm{ML^{-1}T^{-1}}$ $\mathrm{MLT^{-3}\Theta^{-1}}$ $\mathrm{L^2T^{-1}\Theta^{-1}}$ $\mathrm{MT^{-3}\Theta^{-1}}$

On cherche une relation entre $n=7$ grandeurs qui mettent en jeu $k=4$ dimensions indépendantes. En vertu du théorème $\Pi$, il existe $n-k=3$ grandeurs adimensionnées liées entre elles. On peut effectivement construire trois nombres sans dimension :

D'après le théorème $\Pi$, on a \[ \mathcal{N}u=f(\mathcal{R}e,\mathcal{P}r) \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\lambda}{D}f(\mathcal{R}e,\mathcal{P}r) \] La fonction $f$ peut être déterminée de façon empirique ou numérique. Par exemple, pour les fluides usuels et lorsque le régime turbulent est établi, on obtient \begin{equation} \mathcal{N}u=0,023\,\mathcal{R}e^{0,8}\,\mathcal{P}r^{1/3}\quad \text{si }\mathcal{P}r\geq 0,5 \label{eq:nusselt_correlation} \end{equation}

Exercice

De l'eau à 8°C circule à la vitesse de 1 m/s à l'intérieur d'un tube en acier de diamètres 20/27 mm. L'écoulement est-il turbulent ? Calculer le coefficient de transfert convectif interne. Pour l'eau à 8°C, on donne : $\boldsymbol{\mu=998\;\mathrm{kg.m^{-3}}}$ ; $\boldsymbol{\lambda=0,571\;\mathrm{W.m^{-1}.K^{-1}}}$ ; $\boldsymbol{c_p=4180\;\mathrm{J.kg^{-1}.K^{-1}}}$ et $\boldsymbol{\eta=1,39.10^{-3}\;\mathrm{Pa.s}}$.

Le nombre de Reynolds vaut $\mathcal{R}e=\frac{\mu \overline{v}D}{\eta}=14,4.10^3>2000$. L'écoulement est donc turbulent. D'après la loi \eqref{eq:nusselt_correlation} on trouve \[ \mathcal{N}u=0,023\,\mathcal{R}e^{0,8}\,\mathcal{P}r^{1/3} \quad\text{avec}\quad \mathcal{P}r=10,2 \quad\text{soit}\quad \mathcal{N}u=106 \] Finalement, le coefficient de transfert interne vaut \[ h=\frac{\lambda}{D}\mathcal{N}u=3,02\;\mathrm{kW.m^{-2}.K^{-1}} \]

Le rayonnement

Définition

Le rayonnement décrit le transport d'énergie via la propagation d'onde électromagnétique. Ce transfert d'énergie est toujours présent, même dans le vide.

L'expérience montre que tout corps porté à une température $T$ émet un rayonnement électromagnétique dit rayonnement thermique dont l'intensité augmente avec la température.

Loi de Stefan-Boltzmann (1879)

Les corps qui rayonnent le plus sont ceux qui absorbent le plus. Pour un corps parfaitement absorbant (dit corps noir) de température $T$, la puissance rayonnée par unité de surface du corps s'écrit \[ \left.\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}\right|_{r}=\sigma\,T^4 \quad\text{avec}\quad \sigma=5,67.10^{-8}\;\mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}} \] où $T$ est exprimée en kelvin et $\sigma$ la constante de Stefan-Boltzmann. En réalité, un corps n'est jamais complètement absorbant. On parle de corps gris lorsque l'absorption du corps est indépendante de la longueur d'onde. Dans ce cas, on montre que la puissance rayonnée par unité de surface s'écrit \[ \left.\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}\right|_{r}=\epsilon\sigma\,T^4 \] avec $\epsilon$ un coefficient empirique appelé émissivité compris entre 0 et 1.

Évidemment, en plus de rayonner de l'énergie, un système matériel absorbe également l'énergie rayonné par son environnement. On peut montrer que le flux thermique surfacique net produit pas un corps de température $T$ dans un environnement de température $T_0$ s'écrit \begin{equation} \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}S}=\epsilon\sigma\left(T^4-T_0^4\right) \end{equation}

Équation de diffusion thermique

Équation de la chaleur

Cas unidimensionnel

Bilan

Considérons le cas simple d'un milieu au repos soumis à un gradient thermique suivant une direction (que nous notons $x$). On note $T(x,t)$ la température à un instant $t$ en un point M d'abscisse $x$. Cherchons alors à établir l'équation qui donne l'évolution dans l'espace et le temps du champ de température à partir d'un bilan thermique. Pour cela, raisonnons sur une portion de section $S$ située entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$ puis faisons les hypothèses suivantes.

Remarque

En général, c'est la pression qui est fixée. Dans ce cas, il suffit de remplacer $c_v$ par $c_p$.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants $t$ et $t+\mathrm{d}t$ donne \[ U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\delta Q+\delta W^{\rm ext} \] Les forces de pression ne travaillent pas puisque le volume est invariable. Le transfert thermique que reçoit le système s'écrit \[ \delta Q=\phi_{\text{reçu}}\,\mathrm{d}t=\left[j_{\rm th}(x)\,S-j_{\rm th}(x+\mathrm{d}x)\,S\right]\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{d}j_{\rm th}}{\mathrm{d}x}S\,\mathrm{d}x \mathrm{d}t \] La température variant à priori dans le temps, l'énergie interne du système varie : \[ \mathrm{d}U=U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\left[\left.\frac{\partial U}{\partial T}\right|_V \frac{\partial T}{\partial t} \right]\mathrm{d}t \] Or, par définition, $\left.\partial U/\partial T\right|_V $ désigne la capacité thermique à volume constant $C_v$ du système : \[ \left.\frac{\partial U}{\partial T}\right|_V=C_v=\mu \,S\,\mathrm{d}x\,c_v \] où $c_v$ représente la capacité thermique massique. Le premier principe se réécrit donc \[ \left[\mu \,S\,\mathrm{d}x\,c_v\frac{\partial T}{\partial t}\right]\mathrm{d}t= -\frac{\mathrm{d}j_{\rm th}}{\mathrm{d}x}S\,\mathrm{d}x\mathrm{d}t \] Si on ajoute à cela la loi de Fourier $\overrightarrow{\jmath_{\rm th}}=-\lambda\partial T/\partial x\,\overrightarrow{u_x}$, on trouve finalement

Équation de diffusion 1D

\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{\mu c_v}\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \quad\text{(1D)} \end{equation}

Le champ de température vérifie une équation de diffusion unidimensionnelle dite équation de la chaleur.

Cas tridimensionnel

Cette équation se généralise en trois dimensions. Si l'on conserve les mêmes hypothèses, on trouve

Équation de diffusion 3D

\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda}{\mu c_v}\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right) \quad\text{(3D)} \end{equation}

Le champ de température vérifie donc une équation aux dérivées partielles d'ordre deux. Son intégration fait alors apparaître des constantes d'intégration que l'on détermine grâce aux conditions initiales et aux limites.

Remarque

L'équation de la chaleur, à l'instar de l'équation de diffusion, brise la symétrie $t/-t$ ce qui traduit l'irréversibilité des phénomènes de transfert thermique.

Conditions aux limites

Résoudre l'équation de la chaleur cela consiste à déterminer le champ de température dans un espace $\Omega$ sachant que l'on connaît les conditions initiales ainsi que les propriétés sur la frontière $\partial \Omega$. Dans la pratique on distingue différents cas.

  1. Le système est en contact parfait avec un thermostat de température $T_0$ : à chaque instant on a la condition aux limites \[ T(\text{M},t)=T_0\quad \forall \text{M}\in \partial \Omega \]
  2. Le système est solide et présente une surface de contact avec un autre solide. Si le contact n'est pas parfait, la température n'est pas continue. Cependant le flux thermique est continu.
  3. Le système est parfaitement calorifugé c'est-à-dire entouré d'une paroi adiabatique. Dans ce cas, \[ \overrightarrow{j}_{\rm th}(\text{M},t)\cdot \overrightarrow{n}^{\rm ext}=0 \quad\forall \text{M} \in \partial \Omega \]
  4. Le système présente une paroi en contact avec un fluide : la loi de Newton relative à la convection impose alors une condition sur le flux thermique.

Notion de résistance thermique

Resistance

La résistance thermique est une notion très utilisée dans le bâtiment car elle indique le pouvoir isolant d'un matériau.

Imaginons un mur homogène d'épaisseur $e$, de conductivité thermique $\lambda$ soumis à un gradient thermique. Par ailleurs, admettons que le mur ait des dimensions suffisamment importantes devant son épaisseur pour considérer que le problème ne dépend que de la profondeur $x$. Le champ de température est alors noté $T(x,t)$. Le but est d'obtenir le flux thermique qui traverse le mur en régime permanent, lorsqu'une paroi est maintenue à la température $T_1$ et l'autre à la température $T_2$. En régime permanent, $\partial T/\partial t=0$ de sorte que l'équation de la chaleur se ramène à \[ \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d} x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}=C_1 \quad\Longrightarrow\quad T(x)=C_1x+C_2 \] Les conditions aux limites imposent \[ \left\{\begin{array}{rcl} T(0)&=&T_1\\[2mm] T(e)&=&T_2 \end{array} \right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} C_2&=&T_1\\[2mm] C_1&=&\dfrac{T_2-T_1}{e} \end{array} \right. \]

Profil de température
Profil de température

Finalement le champ de température varie linéairement avec la profondeur : \[ T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{e}x \] Le champ de température étant déterminé on peut obtenir la densité de courant thermique ainsi que le flux thermique traversant le mur : \[ \overrightarrow{\jmath_{\rm th}}=-\lambda\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\overrightarrow{u_x}= -\frac{\lambda(T_2-T_1)}{e}\overrightarrow{u_x} \]

On constate d'une part que la densité de courant thermique est uniforme : les lignes de courant thermique sont donc parallèles et les isothermes sont des plans parallèles aux parois. D'autre part, la présence du signe - indique que, conformément aux principes de la thermodynamique, le transfert s'effectue du chaud vers le froid. Si l'on considère une surface (S) du mur, le flux thermique qui traverse cette surface vaut \[ \phi_{\rm th}=\iint_{\rm (S)}\overrightarrow{\jmath_{\rm th}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=\frac{\lambda(T_1-T_2)}{e}S \] où $S$ est l'aire de la surface. Le flux thermique est alors proportionnelle à l'écart de température entre les parois. La notion de résistance thermique découle de l'analogie que l'on peut faire avec l'électricité. De la même manière que la résistance électrique d'un conducteur ohmique est le rapport de la différence de potentiel imposée sur le flux électrique (intensité électrique) qui le traverse, la résistance thermique est le rapport de la différence de température sur le flux thermique :

Résistance thermique

\begin{equation} T_1-T_2=R_{\rm th}\phi_{\rm th} \quad\text{avec}\quad R_{\rm th}=\frac{e}{\lambda S}\quad [\mathrm{K.W^{-1}}] \label{eq:resistance_thermique} \end{equation}

De part cette analogie avec la loi d'Ohm, il en découle les traditionnelles lois de composition des résistances :

Analogies thermo-électriques
GrandeursÉlectriquesThermiques
Grandeur transportée :charge $q$transfert thermique $Q$
Flux :intensité $I$flux thermique $\phi_{\rm th}$
Densité de courant :$\overrightarrow{\jmath}_{\rm e}$$\overrightarrow{\jmath_{\rm th}}$
Conductivité :$\gamma$$\lambda$
Loi de la conduction :$\overrightarrow{\jmath}_{\rm e}=\gamma \overrightarrow{E}=-\gamma \overrightarrow{\nabla}V$$\overrightarrow{\jmath_{\rm th}}=-\lambda \overrightarrow{\nabla}T$
Gradient :$U=V_1-V_2$$\Delta T=T_1-T_2$
Résistance :$R=U/I$$R_{\rm th}=\Delta T/\Phi_{\rm th}$

Exercice

Considérons un double vitrage constitué par deux lames de verre d'épaisseur $e$ séparées par une lame d'air statique d'épaisseur $\boldsymbol{e}$. Notons $\boldsymbol{\lambda}$ la conductivité du verre. Sachant que le verre est quarante fois plus conducteur que l'air, comparer la résistance thermique d'un double vitrage avec celle d'un simple vitrage.

La résistance thermique d'un simple vitrage s'écrit $R_1=e/\lambda\,S$. Dans le cas d'un d'un double vitrage il y a trois résistance en série : \[ R_2=\frac{e}{\lambda\,S}+\frac{e}{\lambda/40\,S}+\frac{e}{\lambda\,S}=42\,R_1 \] D'après ce calcul, on diminue d'un facteur 42, les pertes thermiques en remplaçant un simple vitrage par un double vitrage.

Influence de la convection

Influence de la convection
Influence de la convection

Dans l'étude précédente on a supposé que le mur était en contact parfait avec les milieux extrêmes. En pratique il arrive plus souvent que le mur soit en contact avec des fluides en mouvement. Dans ce cas, la température des parois (notées $T_{p1}$ et $T_{p2}$) ne coïncide plus avec la température du fluide. Si l'on note $h_1$ et $h_2$ les coefficients de transfert associés aux transferts convectifs en $x=0$ et en $x=e$, on obtient une nouvelle expression de la résistance thermique à partir de la continuité du flux thermique : \[ \phi_{\rm th}=h_1S(T_1-T_{p1})=h_2S(T_{p2}-T_2)=\frac{T_{p1}-T_{p2}}{R} \quad\text{avec}\quad R=\frac{e}{\lambda S} \] En utilisant $T_1-T_2=(T_1-T_{p1})+(T_{p1}-T_{p2})+(T_{p2}-T_2)$, on trouve \[ T_1-T_2=R_{\rm th}\phi_{\rm th} \quad\text{avec}\quad R_{\rm th}=\frac{e}{\lambda S}+\frac{1}{h_1S}+\frac{1}{h_2S} \] La résistance thermique augmente quand les transferts convectifs diminuent. C'est pourquoi, une lame d'air statique est plus isolante qu'une lame d'air en mouvement.

Exercice

Reprendre l'exercice précédent sur le double vitrage en tenant compte de la convection. Pour les calculs on prendra $\boldsymbol{h_1=h_2=10\;\mathrm{W.m^{-2}.K^{-1}}}$, $\boldsymbol{\lambda=1\;\mathrm{W.K^{-1}.m^{-1}}}$ et $\boldsymbol{e=4\;\mathrm{mm}}$.

Calculons la résistance thermique pour 1 m$^2$ de vitre. La résistance thermique d'un simple vitrage vaut \[ R_1=\frac{e}{\lambda S}+\frac{1}{h_1S}+\frac{1}{h_2S}=0,20\;\mathrm{K.W^{-1}.m^{-2}} \] Alors que pour le double vitrage elle vaut \[ R_2=42\frac{e}{\lambda S}+\frac{1}{h_1S}+\frac{1}{h_2S}=0,37\;\mathrm{K.W^{-1}.m^{-2}}\simeq 2R_1 \] Comme on le voit, la présence de la convection change significativement les choses puisque les pertes thermiques ne sont réduits que d'un facteur deux au lieu de 42 trouvé dans l'exercice précédent.

Bilan thermique dans une conduite

Relation générale

Bilan dans une conduite
Bilan dans une conduite

Considérons un fluide en écoulement stationnaire dans un système de conduites. Au cours de l'écoulement le fluide échange du travail et de la chaleur avec son environnement. Il s'agit ici d'établir la relation exprimant le bilan thermique.

Pour simplifier le raisonnement, nous faisons les hypothèses suivantes :

Désignons par $\mathcal{F}$ la portion de fluide située entre les sections A et B à l'instant $t$. À l'instant $t+\mathrm{d}t$, ce système fermé se retrouve entre les sections A' et B'. Le régime d'écoulement étant stationnaire, la masse qui traverse la section A pendant $\mathrm{d}t$ est la même que celle qui traverse la section B : \[ \mathrm{d}m=\mu_{\rm A} v_{\rm A}\textrm{d}t\,S_{\rm A}=\mu_{\rm B} v_{\rm B}\textrm{d}t\,S_{\rm B}=Q_m\,\mathrm{d}t \] Ce qui définit le débit massique $Q_m$.

Appliquons à $\mathcal{F}$ le premier principe de la thermodynamique entre les instants $t$ et $t+\mathrm{d}t$ : \[ \Delta U+\Delta E_c+\Delta E_p=W+Q \] La variation d'énergie interne s'écrit \[ U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=U^{\rm A'B'}(t+\mathrm{d}t)-U^{\rm AB}(t)=U^{\rm A'B}(t+\mathrm{d}t)+U^{\rm B'B}(t+\mathrm{d}t)-U^{\rm AA'}(t)-U^{\rm A'B}(t) \] L'écoulement est stationnaire de sorte que $U^{\rm A'B}(t+\mathrm{d}t)=U^{\rm A'B}(t)$. Ainsi, \[ U(t+\mathrm{d}t)-U(t)=U^{\rm B'B}-U^{\rm AA'}=\mathrm{d}m(u_{\rm B}-u_{\rm A}) \] où $u$ désigne l'énergie interne massique (J/kg). De la même manière on a

\begin{align*} E_c(t+\mathrm{d}t)-E_c(t)& =E_c^\text{B'B}-E_c^\text{AA'}=\frac12 \mathrm{d}m(v_\text{B}^2-v_\text{A}^2)\\[2mm] \text{et}&\\[2mm] E_p(t+\mathrm{d}t)-E_p(t)& =E_p^\text{B'B}-E_p^\text{AA'}=\mathrm{d}m g(z_\text{B}-z_\text{A}) \end{align*}

Quant au travail reçu, il se décompose en un travail des forces de pression s'exerçant en A et B ainsi que le travail mécanique éventuellement échangé par des machines hydrauliques (turbines, pompes). Si l'on appelle $\mathcal{P}$ la puissance mécanique transférée à $\mathcal{F}$ ($\mathcal{P}>0$ pour les pompes et $\mathcal{P}<0$ pour les turbines), on a \[ W=\mathcal{P}\mathrm{d}t+p_{\rm A}S_{\rm A}\times v_{\rm A} \mathrm{d}t-p_{\rm B}S_{\rm B}\times v_{\rm B} \mathrm{d}t \]

Enfin, si l'on note $\phi_{\rm th}$ le flux thermique reçu par $\mathcal{F}$, le bilan d'énergie s'écrit \[ \mathrm{d}m(u_{\rm B}-u_{\rm A})+\frac12 \mathrm{d}m(v_{\rm B}^2-v_{\rm A}^2)+\mathrm{d}m g(z_{\rm B}-z_{\rm A})= \mathcal{P}\mathrm{d}t+p_{\rm A}S_{\rm A}\times v_{\rm A} \mathrm{d}t-p_{\rm B}S_{\rm B}\times v_{\rm B} \mathrm{d}t +\phi_{\rm th}\mathrm{d}t \] Par ailleurs, le produit $v\,S$ s'identifie avec le débit volumique soit $Q_m/\mu$. Si l'on divise par $\mathrm{d}t$, on trouve \[ Q_m\left[\left(u_{\rm B}+\frac{p_\text{B}}{\mu_\text{B}}-u_{\rm A}-\frac{p_\text{A}}{\mu_\text{A}}\right)+ \frac12(v_\text{B}^2-v_\text{A}^2)+g(z_\text{B}-z_\text{A})\right]=\mathcal{P}+\phi_{\rm th} \]

On voit apparaître dans le terme de gauche, le terme $u+p/\mu$ qui n'est rien d'autre que l'enthalpie massique, que nous noterons $h$. Pour conclure le bilan prend la forme suivante :

\begin{equation} Q_m\,\Delta\left(h+\frac{v^2}{2}+gz\right)=\mathcal{P}+\phi_{\rm th} \label{eq:bilan_thermodynamique} \end{equation}

Exercice

Que devient la relation précédente dans le cas d'un écoulement permanent incompressible et isotherme d'un fluide parfait (sans viscosité ni conductivité thermique)?

Le fluide étant parfait son écoulement ne dissipe pas d'énergie : il n y a donc pas de transfert thermique. Par ailleurs, l'énergie interne massique -en tant que fonction de la température et de la masse volumique- est constante pour une évolution isotherme incompressible. Ainsi $\Delta h=\Delta(p/\mu)=\Delta p/\mu$. En multipliant l'équation bilan \eqref{eq:bilan_thermodynamique} par $\mu/Q_m=1/Q_v$, on trouve \[ \left(p_\text{B}+\frac12\mu\,v_\text{B}^2+\mu\,g\,z_\text{B}\right)= \left(p_\text{A}+\frac12\mu\,v_\text{A}^2+\mu\,g\,z_\text{A}\right)+\frac{\mathcal{P}}{Q_v} \] On retrouve l'équation de Bernoulli qui traduit en fait la conservation de l'énergie mécanique.

Application : transfert thermique d'un échangeur

Définition

Un échangeur est un système qui permet d'effectuer un transfert thermique d'un fluide chaud vers un fluide froid sans qu'il y ait contact direct entre ces deux fluides.
Exemples : radiateur d'automobile, condenseur d'une colonne à distiller, etc.

Echangeur co-courant Echangeur contre-courant
À gauche : échangeur co-courant. À droite : échangeur contre-courant.

Cela consiste en général à faire passer un fluide chaud dans un cylindre creux et un autre (dans le même sens ou a contre sens) autour. Supposons que le fluide chaud rentre à la température $T_{c1}$ dans l'échangeur et ressorte à la température $T_{c2}$ et qu'il circule avec un débit massique $Q_c$. Quant au fluide réfrigérant, supposons qu'il rentre à la température $T_{f1}$ et qu'il sorte avec un débit massique $Q_f$, à la température $T_{f2}$. Cherchons à exprimer le transfert thermique $\Phi$ que reçoit le réfrigérant entre l'entrée et la sortie de l'échangeur lorsque le régime permanent est établi.

Pour cela il suffit d'appliquer le bilan thermodynamique \eqref{eq:bilan_thermodynamique} sur le fluide froid entre l'entrée et la sortie. En général, la section est constante et l'écoulement suffisamment lent pour que l'on puisse considérer l'écoulement incompressible de sorte que $v=\mathrm{C^{te}}$. En effet, la conservation du débit massique implique \[ \mu\, v\, S=\mathrm{C^{te}}\quad\Longrightarrow\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Par ailleurs, on suppose que le tuyau est horizontal (ou, ce qui revient au même, que les effets de la pesanteur sont négligeables) d'où $gz=\mathrm{C^{te}}$. Ainsi, \[ \Delta\left(\frac{v^2}{2}+gz\right)=0 \] De plus on suppose que le transfert thermique axial est complètement négligeable devant le transfert radialNotez que cet argument est en contradiction avec l'hypothèse selon laquelle les grandeurs sont uniformes sur une section de la conduite. En effet, un transfert thermique radial implique un gradient thermique radial. La relation (9) reste malgré tout valable à condition de remplacer les grandeurs par des grandeurs moyennées sur la section dite grandeurs de mélange. $\Phi$ que l'on cherche à déterminer. Le fluide n'échangeant pas de travail avec une quelconque machine pendant son parcours dans l'échangeur on a $\mathcal{P}=0$. Compte tenu de toutes ces hypothèses, le bilan thermodynamique donne $Q_f\Delta h_f=\Phi$. Le fluide sort de l'échangeur avec une température différente de celle qu'il a en entrée, mais également avec une pression différente. Ainsi rigoureusement on a \[ \Delta h=\int_{T_1,p_1}^{T_2,p_2}\frac{\partial h}{\partial T}\;\mathrm{d}T+\frac{\partial h}{\partial p}\;\mathrm{d}p \] Cependant, la dépendance en pression est le plus souvent négligeable devant la dépendance en température. De plus, par définition, $\partial h/\partial T$ représente la capacité thermique massique $c_{p\,f}$. Finalement, $Q_f\Delta h=\Phi$ donne

\begin{equation} \begin{array}{ccl} Q_f\;c_{p\,f}\;(T_{f2}-T_{f1}) &=& \Phi\\[3mm] \mathrm{(kg/s).(J/kg/K).K} &=& \mathrm{W} \end{array} \end{equation}

Cette relation permet donc d'obtenir le transfert thermique en fonction de quantités facilement mesurables.

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Pour en savoir plus...

  1. R. Bracewell L’analyse de Fourier Pour la science, n°142:74–80, 1989.
  2. L. Couture, C. Chahine et R. Zitoun. Thermodynamique classique et propriétés de la matière. Dunod, 1980.