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MENUCours Outils et Méthodes pour la Physique

Petit complément sur une méthode numérique simple à mettre en œuvre pour résoudre l'équation de Laplace : la méthode de relaxation.

L'ÉQUATION DE LAPLACE

Introduction

De nombreux problèmes physiques peuvent se ramener à la recherche d'un champ scalaire Un champ scalaire est un nombre qui prend différentes valeurs en différents points de l'espace. Par exemple l'intensité lumineuse de votre écran d'ordinateur est un champ scalaire fonction de la position de chaque pixel. - que nous appellerons Potentiel et que nous noterons \(V(x,y,z)\) - vérifiant l'équation aux dérivées partielles suivante : \[ \triangle V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}=0 \] Il s'agit de l'équation de Laplace ; l'opérateur \(\Delta\) s'appelle le Laplacien. L'ensemble des fonctions vérifiant l'équation de Laplace sont dites harmoniques. Donnons quelques exemples de problèmes physiques exigeant la résolution de l'équation de Laplace :

Les conditions aux limites

En général, on cherche le potentiel dans une zone de l'espace que nous appellerons \(\Omega\). Les bords de \(\Omega\) que nous noterons \(\partial\Omega\) imposent des contraintes : On parle de conditions aux limites. On distingue généralement, deux types de conditions aux limites :

  1. La valeur du potentiel est fixée sur \(\partial \Omega\). C'est par exemple le cas lorsque l'on étudie le potentiel électrique qui règne entre différents conducteurs électriques soumis à des tensions connues. On parle dans ce cas des conditions de Dirichlet.
  2. La valeur de la dérivée normaleLa dérivée normale est la dérivée spatiale de V suivant un axe perpendiculaire à la frontière et dirigé vers l'extérieur. du potentiel est fixée. On parle alors des conditions de Von Neumann.

Par la suite, nous nous limitons au problème de Dirichlet.

Les propriétés du potentiel

On montre en mathématique que le potentiel harmonique vérifie quelques propriétés remarquables :

LA MÉTHODE DE RELAXATION

Il existe de nombreuses méthodes analytiques pour résoudre l'équation de Laplace. On peut affirmer que lorsque le problème est assez symétrique il sera facile de mener au bout un traitement analytique, cependant lorsque le problème est complexe, une résolution numérique sera à envisager. Nous allons ici expliquer une méthode de résolution numérique très simple à mettre en œuvre : la méthode de relaxation.

Pour simplifier nous nous limiterons à la résolution de l'équation de Laplace dans le plan \((xOy)\). La généralisation à l'espace tridimensionnelle est évidente.

Discrétisation

Cette méthode repose sur la discrétisation de l'espace et sur l'approximation du laplacien. On représente le plan par une grille carrée de pas \(h\) ; les nœuds du réseau sont indexés par le couple \((i,j)\). L'objectif est de calculer la valeur du potentiel en chaque noeud sachant que sur la frontière \(\partial \Omega\), le potentiel est fixé. Nous noterons \(V_{i,j}\) le potentiel au noeud \((i,j)\).

Approchons le laplacien à l'aide des différences finies : \[\frac{\partial^2V}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial V}{\partial x}\simeq \frac{1}{h^2}(V_{i+1,j}-V_{i,j}+V_{i-1,j}-V_{i,j}) \] \[\frac{\partial^2V}{\partial y^2}= \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial V}{\partial y}\simeq \frac{1}{h^2}(V_{i,j+1}-V_{i,j}+V_{i,j-1}-V_{i,j}) \] Ainsi on obtient comme approximation du laplacien : \[ \triangle V\simeq\frac{4(V_{\rm moy}-V_{i,j})}{h^2} \] où \(V_{\rm moy}\) représente la moyenne des 4 noeuds entourant le noeud \((i,j)\). Ainsi résoudre numériquement l'équation de Laplace c'est chercher les valeurs de \(V_{i,j}\) telles que : \[ V_{i,j}=V_{\rm moy} \]

Algorithmes

À partir du résultat précédent, il est facile de comprendre le principe de la méthode de relaxation dont voici l'algorithme :

Méthode de relaxation

  1. Initialisations du champ scalaire : On impose la valeur de \(V_{i,j}\) à tous les points de la frontière. Pour les autres points, on impose une valeur nulleSi l'on veut gagner du temps de calcul, il vaut mieux imposer une valeur intermédiaire entre le maximum et le minimum de V sur la frontière puisque l'on sait que V est, dans Ω, compris entre ces valeurs. ;
  2. initialisation du seuil de précision \(\sigma\). Par exemple, \(\sigma=(V_{\rm max}-V_{\rm min})/1000\) ;
  3. initialisation d'une variable booléenne : ITERATION=TRUE.
  4. Tant que ITERATION=TRUE faire :
    • initialisation de l'erreur : \(\epsilon=0\) ;
    • pour tout couple (i,j) faire :
      • ancien_potentiel=V(i,j) ;
      • calcul du nouveau potentiel \(V_{i,j}=\frac14(V_{i,j+1}+V_{i,j-1}+V_{i+1,j}+V_{i-1,j})\) ;
      • difference =|ancien_potentiel-\(V_{i,j}\)| ;
      • \(\epsilon\)=max(\(\epsilon\),difference).
    • Si \(\epsilon \lt \sigma\) faire ITERATION=FALSE.
      Si l'erreur est suffisamment faible, on arrête le processus itératif. Sinon on relance l'itération (retour niveau 2). Le processus converge vers la solution. Évidemment, plus le seuil de précision est faible, plus la solution numérique sera proche de la valeur théorique.
  5. Affichage des valeurs du champ.

Exemples

Considérons, par exemple, un disque conducteur au potentiel \(V_1=250\,\)V entouré par deux petits disques au potentiel \(V_2=-250\,\)V ; Le tout en dans une boite carrée de potentiel nul. On cherche le potentiel en tout point. Ci-dessous l'état initial et l'état final.

conditions aux limites

En cliquant sur l'applet vous verrez comment le schéma itératif de la méthode de relaxation tend vers la solution.

Simulation

Built with Processing

Méthode de relaxation (cliquer pour voir l'animation).

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Précision

La précision du calcul, comme on l'a dit, est d'autant plus importante que \(\sigma\) est petit. Ce sont bien sûr les considérations sur le temps de calcul qui nous limitent dans le choix du seuil de précision. Cependant, on peut améliorer la précision du résultat sans toucher à \(\sigma\), mais simplement en changeant la façon de calculer la moyenne des potentiels voisins. Si l'on note \(V_{pp}\) la moyenne des quatre plus proches voisins et \(V_s\) la moyenne des 4 plus proches voisins suivants (qui se trouvent aux sommets du carré d'arête \(2h\)), Alors on gagne en précision en calculant la moyenne ainsi : \[ V_\text{moy}=0,8V_{pp}+0,2V_s \]

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Pour en savoir plus...

  1. JACKSON, J.D. Électrodynamique classique. Paris, Dunod, 2001 : p.49-52.
  2. DELLACHERIE, C. Pascal et Fermat.La naissance du calcul des probabilités. Actes Math en Jeans [en ligne, consulté le 2012-03-05] http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/actes/actespdf/94207214.pdf